精品解析：陕西省宝鸡市某校2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试卷

凤翔中学2025－2026学年第一学期 高三数学科第一次质量检测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 2. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的高为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与的夹角为 ，且则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 4 8. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知的面积为，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 13. 已知，则______． 14. 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 16. 如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6. （1）证明：平面； （2）求该正四棱台的表面积. 17. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. （1）当时，求的值； （2）设的面积为，求的最大值. 18. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 19. 已知函数． （1）若函数有唯一零点，求实数的取值范围； （2）若对任意实数，对任意，恒有成立，求正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤翔中学2025－2026学年第一学期 高三数学科第一次质量检测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 2. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的高为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥侧面积的求法列方程求母线，再由圆锥轴截面结构特征求圆锥的高. 【详解】设圆锥的底面半径，母线长为，则，解得， 所以该圆锥的高. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 4. 已知向量与的夹角为 ，且则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的模结合向量的数量积的运算律求解即得. 【详解】与的夹角 则， 解得. 故选：C. 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6. 在中，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合，化简得到，对照题设即得的值. 【详解】因为，可得， 所以， 又因为，所以. 故选：D. 7. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等比数列定义列式求出公比. 【详解】记此等比数列为，设其公比为，由，得， 依题意，，则，， 所以这个数列的公比等于2. 故选：C 8. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h 【答案】B 【解析】 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用均值不等式判断A选项，通过“1”的代换判断B选项，利用平方判断CD选项. 【详解】A选项，， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为，A错误； B选项，，当且仅当时等号成立，故B正确； C选项，由，得， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； D选项，由，得， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知的面积为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性求解析判断A；解方程求零点判断B；解不等式可判断C；利用导数求出函数的极值，可得函数值域，即可判断D. 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，当时，， 则当时，，故，A错误； 对于B，函数是定义在R上的奇函数，故； 当时，令，解得； 当时，令，解得； 故函数有3个零点，B正确； 对于C，当时，令，解得； 当时，令，解得，则， 故的解集为，C正确； 对于D，当时，，所以时，，单调递减， 时，，单调递增，所以时，取最小值为， 且时，，所以，即， 当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，取极大值为，且时，，时，， 所以，所以， 综合以上，的值域为， 所以，都有，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 【答案】288 【解析】 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 13. 已知，则______． 【答案】15 【解析】 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 14. 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积. 【详解】因为且四边形为正方形，故， 而，故，故， 故所求体积为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【小问1详解】 由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； 【小问2详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 16. 如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6. （1）证明：平面； （2）求该正四棱台的表面积. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示. 在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点. 又为的中点，. 又平面，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接.根据三角形中位线定理证明，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）在梯形中，过作交于点，根据平面几何知识可求出，进而可求，即可求解正四棱台的表面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知：在梯形中，，，， 过作交于点，，， 所以， 正四棱台的表面积为 . 17. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. （1）当时，求的值； （2）设的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. 【小问2详解】 如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 18. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 19. 已知函数． （1）若函数有唯一零点，求实数的取值范围； （2）若对任意实数，对任意，恒有成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将函数有唯一零点转化成方程有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可； （2）由复合函数单调性可知，函数为上的减函数，将恒成立转化成在上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数的取值范围. 【小问1详解】 函数有唯一零点， 即①有唯一零点，即有唯一零点， 当时，，解得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，其 当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意； 当时，，方程有两个不等的实数根，； 若为①的解，则，解得； 若为①的解，则，解得； 要使①有唯一实数解，则． 综上，实数的取值范围为． 【小问2详解】 函数，其中内部函数在上为减函数，外部函数为增函数， 由复合函数性质知为上的减函数， ，， 不等式转化为， 即转化为， 即 令，，即． 二次函数对称轴为，由，开口向上 （i）当时，，函数在上单调递减， ，解得，不符合题意，舍去； （ii）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，解得， 即； （iii）当时，，函数在上单调递增， ，解得， 即； 综上可知，正实数的取值范围． 【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意，恒有成立”进行等价转化，只需满足，再利用函数的单调性，即可将问题转化成不等式在上恒成立的问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $