专题03 整式加减重难点题型专训（2个知识点+7大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年湘教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义围绕整式加法与减法构建了系统化复习体系，通过知识框架图清晰呈现去括号、添括号、整式加减运算等核心知识点的逻辑脉络，并用表格对比不同题型的解题策略，突出“无关型问题”“化简求值”“新定义运算”等重难点之间的内在联系，帮助学生建立结构化的认知网络。 讲义的亮点在于融合数学思维与现实情境，如在“拓展训练五”中设计“幸运数”新定义问题，引导学生运用符号意识和推理能力分析数字规律，提升模型观念和应用意识。针对不同层次学生，基础题强化规则理解，综合题注重整体思想与分类讨论方法的渗透，例如第13题通过错误辨析培养批判性思维。讲义还提供错题归类模板和自主检测卷，既支持学生高效复习，又助力教师精准诊断学情，实现教学评一体化。

专题03 整式的加法与减法重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 去括号 题型二 添括号 题型三 整式的加减运算 题型四 整式的加减中的化简求值 题型五 整式加减中的无关型问题 题型六 带有字母的绝对值化简问题 题型七 整式加减的应用 拓展训练一 整式加减的破损、遮盖问题 拓展训练二 整式加减无关型问题与图形结合 拓展训练三 整式加减的图形类规律探索 拓展训练四 整式加减的数字类规律探索 拓展训练五 整式加减的新定义计算 知识点一：去括号、添括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期中）下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号，解题的关键是掌握去括号法则．根据去括号法则逐个判断即可． 【详解】解：，故A不正确，不符合题意，B正确，符合题意； ，故C不正确，不符合题意； ，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）把算式中的后三个数放入前面带有“-”的括号内正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据括号前添“－”号，括号里的每一项都变号，确定答案即可． 【详解】根据题意，原式=． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了添括号法则，理解添括号法则是解题的关键． 知识点二：整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据括号前是负号去掉括号要变号，可判断A、D，根据合并同类项，可判断B、C． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、不是同类项，不能合并，故错误，不合题意； C、不是同类项不能合并，故错误，不合题意； D、，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是掌握去括号，合并同类项法则． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）减去得的整式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，由“减去得的整式”得整式，化简即可作答． 【详解】解：依题意，因为减去得 所以这个整式， 故答案为： 【经典例题一 去括号】 【例1】（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列去括号正确的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式加减运算中的去括号，需根据去括号法则逐一验证各选项．括号前为“+”时，直接去掉括号且符号不变；括号前为“−”或系数为负数时，需改变括号内各项的符号． 【详解】解：选项A：，与选项一致，正确． 选项B：，但选项写为，符号错误，故错误． 选项C：．选项写为，符号错误，故错误． 选项D：，但选项写为，符号错误，故错误． 故选：A． 1．（2025七年级上·湖南怀化·专题练习）下列各式化简后与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号，根据去括号法则逐一化简即可判断求解，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解： 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式不相等，符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）当时，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）计算： ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了绝对值，去括号，根据绝对值和去括号法则进行计算即可． 【详解】解：，， 故答案为：2，． 4．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【经典例题二 添括号】 【例2】（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习），括号中应填入的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了添括号根据添括号法则“添括号时，如果括号前面是加号或乘号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号或除号，括号里的各项都改变符号”即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号和添括号，掌握去括号和添括号法则是解题关键．根据去括号和添括号法则逐项计算，判断即可． 【详解】解：，故A选项变形错误，不符合题意； ，故B选项变形错误，不符合题意； ，故C选项变形错误，不符合题意； ，故D选项变形正确，符合题意． 故选D． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）添括号：( )． 【答案】 【分析】本题考查了添括号法则，添括号法则：1、如果括号前面是加号，加上括号后，括号里面的符号不变；2、如果括号前面是减号，加上括号后，括号里面的符号全部改为与其相反的符号．据此作答即可． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·全国·周测）（1）（ ）+3 （2）（ ） 【答案】 【分析】本题考查了添括号的知识点，解决本题的关键是先确定括号内的内容，然后根据添括号的法则进行符号的调整. 添括号时，因为括号前是负号，括号里的每一项都需要变号. 【详解】解：（1）原式 故答案为： （2）原式 故答案为： 4．（24-25七年级上·湖南常德·期末）阅读理解：已知，求代数式的值． 解：因为，所以原式． 仿照以上解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题，可得，将，整体代入求解即可； （2）仿照例题，可得，将，，，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以原式 ． （2）解：因为，， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． 【经典例题三 整式的加减运算】 【例3】（24-25七年级上·湖南益阳·期末）下列运算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，运用去括号法则及合并同类项法则，逐项分析即可求解． 【详解】解：A：，故该选项不正确，不符合题意； B：故该选项正确，符合题意； C：故该选项不正确，不符合题意； D：故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作差，并算出结果，称之为“全差操作”．例如：，，给出下列说法： （1）不存在任何“全差操作”，使其结果为0； （2）至少存在一种“全差操作”，使其结果为常数； （3）所有的“全差操作”共有6种不同的结果． 以上说法中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的加减，设四个多项式为：，，，，所有“全差操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“”号，据此列出所有计算结果，再逐一判断即可． 【详解】解：设四个多项式为：，，，，所有“全差操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“”号，共有6种不同的系数组合，计算结果如下： 1. ， 2. ， 3. ， 4. ， 5. ， 6. ， （1）所有结果均不含，故（1）正确； （2）和均为常数，故（2）正确； （3）上述6种结果均不重复，故（3）正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的化简，先去括号，再移项合并同类项，得，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 3．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算“*”，对于任意有理数a，b，都有．例如，那么当m为有理数时， ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，新定义，根据新定义运算，先算出，再运算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）化简． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减的运算，熟练掌握合并同类项和去括号法则是解题的关键． （1）去括号，合并同类项即可化简； （2）去括号，合并同类项即可化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题四 整式的加减中的化简求值】 【例4】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用去括号的法则，合并同类项的法则对式子进行化简，再整体代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对去括号的法则及合并同类项的法则的掌握． 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知，在多项式中任意加绝对值，加绝对值后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序进行化简，称为“取非负数操作”．例如： ，． 下列说法： ①至少存在一种“取非负数操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②至少存在一种“取非负数操作”，使其运算结果一定为负数； ③所有可能的“取非负数操作”共有种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“取非负数操作”的定义逐项分析判断； 【详解】解：；故①正确； “取非负数操作”的结果在形式上只能改变之间的运算符号； ∵ ∴对多项式进行“取非负数操作”的结果的最小值为： 当时，的值恒大于；故②错误； ∵之间的运算符号只有“”或“”两种符号 ∴共有种不同的运算结果； 分别为：；；；；；；；；③正确； 正确的有：①③ 故选C． 【点睛】本题考查了新定义下的绝对值的化简；熟练掌握绝对值的化简方法是解题的关键． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，先对整式进行化简，再把已知条件代入计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知，，且对于任意有理数，代数式的值不变，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减-化简求值，解题的关键是理解对于任意有理数，代数式的值不变．把和代入后去括号合并进行化简，再根据对于任意有理数，代数式的值不变求得，的值，最后计算即可求解． 【详解】解：，， ， 对于任意有理数，代数式的值不变， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）化简求值 (1)求，其中． (2)已知，试求的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、平方和绝对值的非负性，熟练掌握整式的加减计算是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可； （2）先去括号，然后合并同类项化简，根据平方和绝对值的非负性，求出、的值，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， ∵， ，， ∴，， ，， 解得：，， 当，时，原式． 【经典例题五 整式加减中的无关型问题】 【例5】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）若多项式化简后不含y项，则a的值为（  ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项,先去括号，再合并同类项，再根据化简后不含y项，即可求出a的值． 【详解】解： ， ∵化简后不含y项， ∴， ∴， 故选：A． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）多项式的值（   ） A．与，的大小有关，与的大小无关 B．与的大小有关，与，的大小无关 C．与，，的大小都无关 D．与，，的大小都有关 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 先去括号，然后合并同类项，即可得出答案． 【详解】解： ， 多项式的值与，，的大小都无关， 故选：． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）若关于x，y的多项式的值与字母x取值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． 先对多项式进行合并同类项，再根据多项式的值与x取值无关的条件求出m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ∵多项式的值与字母x取值无关， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）小明在化简时发现系数“□”印刷不清楚，老师提示他此题的化简结果是常数，则“□”表示的数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．设“□”表示的数是，先去括号，再计算整式的加减，然后根据含的项的系数等于0求解即可得． 【详解】解：设“□”表示的数是， 则原式 ， ∵化简结果是常数， ∴， 解得， 所以“□”表示的数是6， 故答案为：6． 4．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）如图，A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1) ； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点；设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题主要考查了多项式的定义、绝对值方程、两点间距离、无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据三次二项式列方程求解即可求得a的值； （2）设点C对应数为c，然后列绝对值方程求解即可； （3）设运动时间为t秒，先表示出点M、N，再表示出P、Q，然后用绝对值表示出、,进而确定m的值，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵关于x、y的三次二项式， ∴， ∴． （2）解：设点C对应数为c， ∵点A对应的数记为，点B对应的数记为12，， ∴， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：，符合题意； 当时，有，解得：，符合题意． 综上，设点C对应数为或． （3）解：设运动时间为t秒，则点M表示，点N表示， P、Q为、的中点 点P表示，点Q表示， ， ， 的长度与t无关， ， ∴当时，． 【经典例题六 带有字母的绝对值化简问题】 【例6】（2025·湖南岳阳·模拟预测）若，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据含有字母的绝对值化简，解答即可． 本题考查了绝对值的化简，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】解：由，得， ∴， ∴， 故A. ，不符合题意；     B. 0，不符合题意；     C. 2，不符合题意；     D. 4，符合题意； 故选：D． 1．（2025·湖南常德·模拟预测）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为 0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于 0，1，3 进行“非负差值运算”，． ①对，5，9 进行“非负差值运算”的结果是24； ②x，，6的“非负差值运算”的最小值是15； ③x，y，z 的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义．根据“非负差值运算”的定义逐项判断即可． 【详解】解：①， ∴对、5、9进行“非负差值运算”的结果是24，故①正确； ②当时，、、6的“非负差值运算”结果为，故②错误； ③∵x、y、z的“非负差值运算”结果为， ∴时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 同理，时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； ∴x、y、z的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③错误； ∴正确的有1个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及合并同类项，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及合并同类项是解题的关键；由数轴可知，然后化简绝对值，进而问题可求解． 【详解】解：由数轴可知：， ∴ ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中结论一定正确的有 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查绝对值的性质，解题关键是熟练掌握绝对值与数本身及相反数的关系． 根据绝对值的性质来逐一分析每个说法． 【详解】解：①若，根据绝对值的定义：一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值，可知相等的两个数到原点的距离相等，即，所以正确． ②若，则与互为相反数，根据绝对值的性质：互为相反数的两个数的绝对值相等，可得，所以正确． ③若，则或，例如，但 ，所以错误． ④若，则或，例如，此时 ，所以错误． 综上，结论一定正确的有①②． 故答案为：①②． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)9或3 【分析】本题主要考查绝对值、代数式求值等知识，熟练掌握绝对值的定义、有理数的加法法则、有理数的减法法则是解决本题的关键． （1）先根据绝对值的意义得出x，y的值，然后根据题意取得x，y的确定的值，然后代入式子根据有理数减法运算法则计算即可． （2）根据绝对值的意义可得出或，，然后代入式子根据有理数加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴或，， ∴， 若， 则或， ∴或； （2）解：∵，， ∴，， ∴或，， ∵， ∴， 则或，， ∴或． 【经典例题七 整式加减的应用】 【例7】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知多项式，当时，多项式的值为；当时，多项式的值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．取任意实数，都有 D．取任意实数，都有 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数运算，正确理解题意是解题关键．根据题意，可知，，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，可有， 当时，则有， ∵， ∴， ∴，，故选项A、B错误，不符合题意； ∵， ∴，故选项C正确，符合题意； ∵，故选D错误，不符合题意． 故选：C． 1．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，嘉淇将一正方形纸片裁剪成①，②，③，④四块，其中①～③是三块小矩形，④是一块小正方形．若已知矩形②和③的周长和为20，则正方形与正方形④的周长和为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减的应用，依题意，设长方形②的宽为b，长为a，则长方形③的长为a，设长方形③的宽为c，根据图形可得，进而得出正方形④的周长为，正方形的周长为，根据整式的加减即可求解． 【详解】解：依题意，设长方形②的宽为b，长为a，则长方形③的长为a，设长方形③的宽为c， ∵长方形②与③的周长和为， ∴， ∴， ∴， ∵④是正方形， ∴正方形④的周长为，正方形的周长为， ∴两个正方形的周长和为： ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下课后，甲、乙、丙三名同学各拿一个水杯在同一个水龙头前依次接水．已知甲接满一杯水需要秒钟，乙接满一杯水需要秒钟，丙接满一杯水需要秒钟，如果，水龙头出水速度不变．三人运用所学的数学知识结合实际经验，合理安排接水顺序，使得三人都接满一杯水且三人所用时间（包括接水时间和等待时间）之和最少，则这个最少时间是 秒． 【答案】 【分析】本题考查整式加减的应用，理解题意，准确计算是关键． 要使三人所用时间(包括接水时间和等待时间)之和最少，应该让接水用时少的人先接水，这样等待的总时间会更短。然后分别计算出按照丙、乙、甲的顺序接水时每个人的接水时间和等待时间，最后将它们相加即可得到总时间． 【详解】解：∵， ∴接水顺序为丙、乙、甲时符合题意 丙接水时间为秒，此时乙和甲都需要等待秒，丙自己不需要等待，丙的总用时就是秒． 乙接水时间为秒，乙等待了丙接水的秒，乙的总用时为秒． 甲接水时间为秒，甲等待了丙接水的秒和乙接水的秒，甲的总用时为秒． ∴三人所用时间之和为秒， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）将边长分别为a和b（a＞b）的两张正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式置于同一个长方形中（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值为 【答案】0 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，掌握整式的加减的法则是解题的关键． 先根据周长公式列代数式，然后根据长方形的性质化简，然后比较即可解答． 【详解】解：由题意知，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为0． 4．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：m）如图所示．     (1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S． (2)若m，n满足，求该广场的面积S． 【答案】(1) (2)420 【分析】（1）利用长方形的面积公式，根据广场的面积大长方形的面积空白长方形的面积计算即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性质求出、的值，再代入的表达式并计算即可． 【详解】（1）； （2）∵， ，， ，， ， 该广场的面积是420． 【点睛】本题考查列代数式、绝对值和偶次方的非负性质、代数式求值，掌握长方形的面积计算公式、绝对值和偶次方的非负性质是解题的关键． 【拓展训练一 整式加减的破损、遮盖问题】 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，正方形内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中②号正方形的部分被①号和③号正方形遮盖，若②号和③号正方形未被遮盖部分的面积为，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，结合题意可得，易得，再根据即可获得答案． 【详解】解：设正方形的边长为，如下图， 则②号和③号正方形未被遮盖部分的面积， 整理，可得， 则阴影部分面积为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了列代数式以及整式运算，理解题意，求得是解题关键． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）小华在做多项式的加减法，发现一个多项式被遮住了，他的同桌告诉他正确答案是，则被遮住的多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减混合运算，能将遮住的多项式表示为是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南松江·期末）（1）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和3之间的数据，如图： 若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：的值； （2）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体．则．请尝试解决： 若，，求的值． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是整体思想的应用； （1）先根据题意求出x，y，再化简整式并代入求值即可； （2）把变形为，把变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：是和3之间的最大整数， ， 是和3之间的最小整数， ， 又， 当，时， 原式； （2）解：，， ． 【拓展训练二 整式加减无关型问题与图形结合】 1．（25-26七年级上·全国·周测）【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某个字母的值无关的含义. （1）先转化为关于的多项式，然后去括号，合并同类项化简，再根据多项式的值与无关，再建立方程求解即可； （2）先分别表示，，再计算，再根据与无关，从而可得答案. 【详解】（1）解：由题意，得 ． ∵的值与的取值无关， ∴，解得． （2）由题意，得， ∴ ． 的值始终保持不变， ，即． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·开学考试）小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： ．．． 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道题中的系数“”及该式子的结果． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键； （1）直接去括号、合并同类项，进而得出答案； （2）直接去括号、合并同类项，再利用结果是常数，得出答案． 【详解】（1）解：∵系数“”是， ； （2）解： ， 计算结果是常数， ∴，解得， ∴原式． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知整式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，在数轴上，A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)________，________；A、B两点之间的距离为_______； (2)若点A以每秒4个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，运动t秒钟后，求A、B两点之间的距离；（用含t的代数式表示） (3)在（2）的基础上，与A、B同时，点D从原点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动（若追上点B则运动停止），设运动时间为t秒，在运动过程中，点A与D点之间的距离表示为，点B与点D之间的距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值． 【答案】(1)；3；4 (2) (3) 【分析】本题考查了多项式、数轴上两点之间的距离以及动点问题，整式的加减与无关题型，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据多项式的定义，求出、的值，再得出A、B两点之间的距离即可； （2）根据题意，分别表示出点和点对应的数，再求出距离即可； （3）根据题意，分别表示出点、点和点对应的数，进而得到和的长，再根据的值始终保持不变，即可求出m的值． 【详解】（1）解：整式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b， ，， ， A、B两点之间的距离为， 故答案为：；3；4 （2）解：由题意得，运动t秒钟后，点A对应的数为，点B对应的数为， 此时A，B两点之间的距离为； （3）解：由（2）可知：运动t秒钟后，点A对应的数为，点B对应的数为， 点D对应的数为， 点B到D的距离：， 点A到D的距离：， ， 要的值始终保持不变，则， 解得：． 【拓展训练三 整式加减的图形类规律探索】 1．（2025·湖南株洲·模拟预测）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：________； (2)猜想：________； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； 【答案】(1)20 (2)20 (3)见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，数式规律问题，理解题意并总结出规律是解题的关键． （1）先算乘法，再算减法即可； （2）根据表格中的数据及（1）中求得的结果总结规律即可； （3）由图表可得，，，然后列得算式并计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：20； （2）猜想：， 故答案为：20； （3）解：由图表可得，，， 则 ， ∴，正确． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）数学课上，王老师提出了这样一个问题： 一张方桌周围可坐8人，试探索把桌子按下图排放时周围可坐人数的变化规律． 下面是三名同学就这个问题作出了不同的阐述： 第一张桌子东西方向各坐2人，共4人，南北方向也各坐2人，共4人，后面每增加一张桌子，东西方向坐的人数①______变化，而南北方向增加②______人，那么张桌子共坐人；（左西右东，上北下南） 如果把每张桌子都看成坐了8人，那么后面每张桌子坐的人数重复算了4人，减去重复算的所有人数，那么张桌子共坐______人； ______，那么张桌子共坐人． 请认真阅读他们的阐述，回答下列问题： (1)填空：①______（填“没有”或“有”），②______； (2)请用含的代数式表示小颖同学阐述的变化规律（结果保留原式，不要化简），并说明她的算式结果与小明的算式结果是一致的； (3)请根据小丽同学列出的代数式，补充完整她对这个问题变化规律的正确描述． 【答案】(1)①没有，②4 (2)，化简见解析 (3)第一张桌子坐8人，后面每增加一张桌子，增加4人． 【分析】本题考查的是图形类规律探究，整式的加减运算，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由图形中东西方向各坐2人，南北方向也各坐2人，结合增加的桌子数量可得答案； （2）由把每张桌子都看成坐了8人，那么后面每张桌子坐的人数重复算了4人，减去重复算的所有人数，可得张桌子共坐人，再化简进行计算即可； （3）由表示的意义可补充对这个问题变化规律的正确描述． 【详解】（1）解：第一张桌子东西方向各坐2人，共4人，南北方向也各坐2人，共4人，后面每增加一张桌子，东西方向坐的人数没有变化，而南北方向增加4人，那么张桌子共坐人； （2）解：如果把每张桌子都看成坐了8人，那么后面每张桌子坐的人数重复算了4人，减去重复算的所有人数，那么张桌子共坐人， ∵， ∴两个同学的运算结果是一致． （3）解：∵张桌子共坐人， ∴第一张桌子坐8人，后面每增加一张桌子，增加4人． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． (1)摆成图1需要_______枚棋子，摆成图2需要______枚棋子，摆成图3需要_____枚棋子． (2)摆成图n需要_________枚棋子； (3)七（1）班有50名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这50枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)6，10，14 (2) (3)能，是图12，25人 【分析】本题考查图形类规律探究． （1）直接通过图形，确定出棋子的数量即可； （2）由已知的图形中的棋子的数量，概括出相应的规律，即可； （3）根据（2）中的结论，进行求解即可． 根据已有图形，抽象概括出相应的数字规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知：摆成图1需要6枚棋子，摆成图2需要10枚棋子，摆成图3需要14枚棋子； 故答案为：6，10，14； （2）由图可知，后一个图形比前一个图形多4枚棋子， ∴摆成图n需要（枚）棋子； 故答案为： （3）能； 当时，， ∴能站成，能站成图12； 由图可知，最后一横上的棋子的个数是从3开始的连续的奇数， ∴， 即：最下面一“横”的学生数是25人． 【拓展训练四 整式加减的数字类规律探索】 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列等式解答问题： ①； ②； ③． … (1)按此规律，第④个等式为 ；第n个等式为 ； （用含n的代数式表示，n为正整数） (2)按此规律，计算： ①； ②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题主要考查了数字规律、整式的化简求值等知识点，归纳出数字的变化规律并灵活运用规律成为解题的关键． （1）根据已有等式，类比、归纳即可解答； （2）①逆用（1）所得的规律即可解答；②逆用（1）所得的规律即可解答． 【详解】（1）解：①； ②； ③． …… ④； …… 第n个等式为． 故答案为，． （2）解：① ； ② ． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题： ， ， ， ， …… (1)请另外写出一个符合上述规律的算式； (2)设算式中第一个两位数的十位数字为，个位数字为，请用含和的式子表示你所发现的规律； (3)运用整式的运算证明你所发现的规律． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查数字的变化规律； （1）仿照所给的等式，写出符合条件的等式即可； （2）通过观察可得； （3）利用整式的运算进行证明即可； 通过观察所给的等式，探索出一般规律，并用整式的运算加以证明是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ； 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）已知，且n为自然数，对进行如下分裂，可分裂成n个连续奇数的和，如图： 即如下规律： …… (1)按上述分裂要求，将分裂成奇数和的形式：______，可分裂的最大奇数为______； (2)按上述分裂要求，可分裂成连续奇数和的形式： ______（填最大奇数，用含的式子表示）； (3)用上面的规律求：． 【答案】(1)；39 (2) (3) 【分析】本题考查了数字规律类题意，涉及整式的混合运算，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意分别写出和的分裂，即可得出答案； （2）根据题意发现规律，进行总结即可； （3）利用（2）中得出的规律，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵， 可分裂的最大奇数为； 故答案为：；． （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：由（2）得：， ， ． 【拓展训练五 整式加减的新定义计算】 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）观察下列式子，定义一种新运算： ；；； (1)这种新运算是：______（用含a，b的代数式表示）； (2)如果，求a的值； (3)若a，b为整数，试判断是否能被3整除． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 【分析】本题考查解一元一次方程和整式的加减运算，正确理解题意掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． （1）通过观察发现，； （2）根据定义新运算列方程计算求a； （3）根据定义新运算列式，然后先去括号，合并同类项化简，最后做出判断． 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴； 故答案为：； （2）解：∵，又， ∴， 解得：； （3）解：根据题意得： ∵a、b为整数， ∴为整数 ∴能被3整除 即：能被3整除． 2．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． (1)请你想想： ； (2)若那么 （填“”或“”）； (3)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2) (3)，9 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子，直接作答即可． （2）先分别表示，，再列式，结合，进行作答即可． （3）先整理得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干各式，得 故答案为：； （2）解：依题意，，， 则， ∵ ∴， 即， ∴； 故答案为： （3）解：依题意， 当，时，原式． 3．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）新定义：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“幸运数”，例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“幸运数”． （1）直接运用：最大的“幸运数”是 ； （2）提升运用：将一个“幸运数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“幸运数”为“相伴幸运数”．例如：1423与4132为“相伴幸运数”；设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，请你说明“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和一定是11的倍数； （3）拓展运用：请你直接写出同时满足下列条件的所有“幸运数”． ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12． 【答案】（1）9999；（2）见解析；（3）4848，2754 【分析】（1）直接根据“幸运数”的定义进行求解即可； （2）设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，则其“相伴幸运数”的千位上数字为b，百位上数字为a，十位上数字为d，个位上数字为c，然后求出“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和为，由此即可证明； （3）设这个“幸运数”的千位上的数字是a，百位上的数字是m，十位上的数字是n，其中a，m，n均是正整数且1≤a≤9，0≤m≤9，0≤n≤9，则个位上的数字是2a，则由0≤2a≤9，可得a的取值为1，2，3，4，再由百位上的数字与十位上的数字之和是12，得到m+n=12，即可推出a=2m-12，由此进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，最大的“幸运数”9999， 故答案为：9999； （2）设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，则其“相伴幸运数”的千位上数字为b，百位上数字为a，十位上数字为d，个位上数字为c， ∴“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和 ， ∵a、b、c、d都是整数， ∴也是整数， ∴“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和一定是11的倍数； （3）设这个“幸运数”的千位上的数字是a，百位上的数字是m，十位上的数字是n，其中a，m，n均是正整数且1≤a≤9，0≤m≤9，0≤n≤9，则个位上的数字是2a， 又∵0≤2a≤9， ∴a的取值为1，2，3，4， ∵百位上的数字与十位上的数字之和是12 ∴m+n=12， 又∵a+m=n+2a， ∴a+m=12-m+2a，即a=2m-12， 又∵m，a均为正整数，m的取值为7，8，9 当m=7时，a=2，这个“幸运数”是2754 当m=8时，a=4，这个“幸运数”是4848， 当m=9时，a=6，不成立， 综上所述，满足条件的“幸运数”是4848和2754． 【点睛】本题主要考查了整式的加法和列代数式，解题的关键在于能够读懂题意了解“幸运数”的定义． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解题关键． 根据去括号法则及乘法分配律去括号即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）下列选项中，等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减运算，去括号和添括号，解题的关键是熟练掌握运算法则，是解题的关键．逐一分析各选项的等式是否成立，重点检查合并同类项及去括号的正确性． 【详解】解：A. 与不是同类项，无法合并，等式不成立，故A不符合题意； B. 左边去括号：，与右边完全一致，等式成立，故B符合题意； C. 右边展开括号：，与左边不符，等式不成立，故C不符合题意； D. 左边化简为，等式仅在时成立，非恒等式，故不成立，故D不符合题意． 故选：B． 3．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）已知，则代数式的值为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先去括号合并同类项，然后整体代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 故选：D． 4．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）定义，如果（，，，为常数），（，，，为常数），满足，，，，则A和B互为“兄弟式”，下列结论正确的有（  ）个 ①代数式的“兄弟式”为； ②若两个关于x的代数式与互为“兄弟式”，则； ③的值与x的取值无关； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减和多项式的相关知识，正确理解代数式互为“兄弟式”的定义是关键． 根据“兄弟式”的定义即可判断①，根据题意可得，求出，即可判断②；根据题意可得，即可判断③，根据得到，求出，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴代数式的“兄弟式”为；故①正确； ②∵两个关于的代数式与互为“兄弟式”， ，即， ， ∴，故②错误； ③∵， ， ∴， ∴的值与x的取值有关，故③错误； ④∵， ， 当时，， ， ， ∴，故④正确， 综上可知，①④正确． 故选：B． 5．（24-25七年级上·湖南邵阳·开学考试）两个正方形如图放置，其中B、C、E在同一条直线上，小正方形的边长为6，连、、，则图中阴影部分的面积为（　  　） A．3 B．6 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，设大正方形的边长为，根据面积相等列出代数式化简即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，则 图中阴影部分的面积为 ， 故选：D． 6．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据整式的加减计算法则列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）当时，代数式的值为2020，当时，求代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把代入代数式，使其值为，得到的值，再将与的值代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入得：， 整理得：， 则当时， 原式， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·期中）已知多项式的值与字母的取值无关，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是正确解决本题的关键． 先将化简，然后根据的值与字母的取值无关，即可求得的值，再代入计算即可． 【详解】解∶ ， 多项式的值与字母的取值无关， ， 解得， ． 故答案为：3． 9．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）有理数、、在数轴上的位置如图所示，且，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减．先判断，，然后化简绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 10．（2025七年级·全国·模拟预测）如图，已知正五角星的面积为，正方形的边长为，图中对应阴影部分的面积分别是、，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减的应用，设空白部分的面积为，结合题意表示出，，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设空白部分的面积为， ∵正五角星的面积为，正方形的边长为， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）（1）化简： ． （2）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键. （1）先去括号，然后合并同类项即可． （2）先去括号，然后合并同类项，最后将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）原式 ；   （2）原式 ． 当，时， 原式． 12．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）【阅读理解问题】数学中，运用整体思想的方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，求的值； (2)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值， 对于（1），将原式变为，再整体代入求值即可； 对于（2），将代入原式求出，再将代入原式，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：将代入得， 将代入得， 将代入得． 13．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）小颖同学化简多项式的过程如下图所示． (1)在化简过程中，开始出现错误的是___________（填序号），请写出正确的化简步骤． (2)小霞说“若与互为倒数，则可求出的值”，小军说“若与互为相反数，则可求出的值”．请直接判断哪位同学的说法正确，并根据其说法求出的值． 【答案】(1)①，化简步骤见解析 (2)小霞同学的说法正确，的值为5 【分析】本题考查的是整式的加减及代数式求值， （1）原式去括号出现错误，先去括号，再合并同类项即可； （2）根据与互为倒数，则，可代入求值，根据与互为相反数，则，无法求代数式的值，据此解决即可． 【详解】（1）解：在化简过程中，开始出现错误的是①， ； （2）解：若与互为倒数，则， ∴； 若与互为相反数，则，此时无法求出的值； 故小霞同学的说法正确，的值为5． 14．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 【答案】(1)3 (2)，3或 (3)3 (4)或3 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义．绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意直接求点A、B之间的距离即可； （2）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （3）由点在线段上，可得，计算求解即可； （4）由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：点A、B之间的距离为， 故答案为：3； （2）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得：或， 故答案为：或3； （3）解：∵点在线段上， ， 故答案为：3． （4）解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3， 故答案为：或3． 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）阅读理解： 已知；若的值与字母的取值无关，则，解得． 当时，的值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题： （1）先去括号，合并同类项；再根据值与无关，合并同类项后，使的系数为0，进行求解即可； （2）设，分别表示出，，求出的值，根据的值始终保持不变，得到的值与无关，进行求解即可． 【详解】解：（1） ， 又的值与字母的取值无关， ， ； （2）设， 依题意，， ， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ．即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的加法与减法重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 去括号 题型二 添括号 题型三 整式的加减运算 题型四 整式的加减中的化简求值 题型五 整式加减中的无关型问题 题型六 带有字母的绝对值化简问题 题型七 整式加减的应用 拓展训练一 整式加减的破损、遮盖问题 拓展训练二 整式加减无关型问题与图形结合 拓展训练三 整式加减的图形类规律探索 拓展训练四 整式加减的数字类规律探索 拓展训练五 整式加减的新定义计算 知识点一：去括号、添括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期中）下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）把算式中的后三个数放入前面带有“-”的括号内正确的是（  ） A． B． C． D． 知识点二：整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）减去得的整式是 ． 【经典例题一 去括号】 【例1】（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列去括号正确的是：（    ） A． B． C． D． 1．（2025七年级上·湖南怀化·专题练习）下列各式化简后与不相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）当时，化简： ． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）计算： ， ． 4．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）化简： (1)； (2)； (3)． 【经典例题二 添括号】 【例2】（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习），括号中应填入的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）添括号：( )． 3．（25-26七年级上·全国·周测）（1）（ ）+3 （2）（ ） 4．（24-25七年级上·湖南常德·期末）阅读理解：已知，求代数式的值． 解：因为，所以原式． 仿照以上解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【经典例题三 整式的加减运算】 【例3】（24-25七年级上·湖南益阳·期末）下列运算正确的是(   ) A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作差，并算出结果，称之为“全差操作”．例如：，，给出下列说法： （1）不存在任何“全差操作”，使其结果为0； （2）至少存在一种“全差操作”，使其结果为常数； （3）所有的“全差操作”共有6种不同的结果． 以上说法中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）如果，那么 ． 3．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算“*”，对于任意有理数a，b，都有．例如，那么当m为有理数时， ． 4．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）化简． (1)； (2)． 【经典例题四 整式的加减中的化简求值】 【例4】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知，在多项式中任意加绝对值，加绝对值后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序进行化简，称为“取非负数操作”．例如： ，． 下列说法： ①至少存在一种“取非负数操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②至少存在一种“取非负数操作”，使其运算结果一定为负数； ③所有可能的“取非负数操作”共有种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知，，则代数式的值是 ． 3．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知，，且对于任意有理数，代数式的值不变，则的值是 ． 4．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）化简求值 (1)求，其中． (2)已知，试求的值． 【经典例题五 整式加减中的无关型问题】 【例5】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）若多项式化简后不含y项，则a的值为（  ） A．2 B． C．0 D．1 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）多项式的值（   ） A．与，的大小有关，与的大小无关 B．与的大小有关，与，的大小无关 C．与，，的大小都无关 D．与，，的大小都有关 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）若关于x，y的多项式的值与字母x取值无关，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）小明在化简时发现系数“□”印刷不清楚，老师提示他此题的化简结果是常数，则“□”表示的数是 ． 4．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）如图，A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1) ； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点；设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 【经典例题六 带有字母的绝对值化简问题】 【例6】（2025·湖南岳阳·模拟预测）若，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 1．（2025·湖南常德·模拟预测）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为 0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于 0，1，3 进行“非负差值运算”，． ①对，5，9 进行“非负差值运算”的结果是24； ②x，，6的“非负差值运算”的最小值是15； ③x，y，z 的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中结论一定正确的有 （填序号）． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【经典例题七 整式加减的应用】 【例7】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知多项式，当时，多项式的值为；当时，多项式的值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．取任意实数，都有 D．取任意实数，都有 1．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，嘉淇将一正方形纸片裁剪成①，②，③，④四块，其中①～③是三块小矩形，④是一块小正方形．若已知矩形②和③的周长和为20，则正方形与正方形④的周长和为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下课后，甲、乙、丙三名同学各拿一个水杯在同一个水龙头前依次接水．已知甲接满一杯水需要秒钟，乙接满一杯水需要秒钟，丙接满一杯水需要秒钟，如果，水龙头出水速度不变．三人运用所学的数学知识结合实际经验，合理安排接水顺序，使得三人都接满一杯水且三人所用时间（包括接水时间和等待时间）之和最少，则这个最少时间是 秒． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）将边长分别为a和b（a＞b）的两张正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式置于同一个长方形中（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值为 4．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：m）如图所示．     (1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S． (2)若m，n满足，求该广场的面积S． 【拓展训练一 整式加减的破损、遮盖问题】 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，正方形内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中②号正方形的部分被①号和③号正方形遮盖，若②号和③号正方形未被遮盖部分的面积为，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）小华在做多项式的加减法，发现一个多项式被遮住了，他的同桌告诉他正确答案是，则被遮住的多项式为 ． 3．（24-25七年级上·湖南松江·期末）（1）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和3之间的数据，如图： 若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：的值； （2）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体．则．请尝试解决： 若，，求的值． 【拓展训练二 整式加减无关型问题与图形结合】 1．（25-26七年级上·全国·周测）【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·开学考试）小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： ．．． 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道题中的系数“”及该式子的结果． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知整式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，在数轴上，A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)________，________；A、B两点之间的距离为_______； (2)若点A以每秒4个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，运动t秒钟后，求A、B两点之间的距离；（用含t的代数式表示） (3)在（2）的基础上，与A、B同时，点D从原点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动（若追上点B则运动停止），设运动时间为t秒，在运动过程中，点A与D点之间的距离表示为，点B与点D之间的距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值． 【拓展训练三 整式加减的图形类规律探索】 1．（2025·湖南株洲·模拟预测）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：________； (2)猜想：________； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）数学课上，王老师提出了这样一个问题： 一张方桌周围可坐8人，试探索把桌子按下图排放时周围可坐人数的变化规律． 下面是三名同学就这个问题作出了不同的阐述： 第一张桌子东西方向各坐2人，共4人，南北方向也各坐2人，共4人，后面每增加一张桌子，东西方向坐的人数①______变化，而南北方向增加②______人，那么张桌子共坐人；（左西右东，上北下南） 如果把每张桌子都看成坐了8人，那么后面每张桌子坐的人数重复算了4人，减去重复算的所有人数，那么张桌子共坐______人； ______，那么张桌子共坐人． 请认真阅读他们的阐述，回答下列问题： (1)填空：①______（填“没有”或“有”），②______； (2)请用含的代数式表示小颖同学阐述的变化规律（结果保留原式，不要化简），并说明她的算式结果与小明的算式结果是一致的； (3)请根据小丽同学列出的代数式，补充完整她对这个问题变化规律的正确描述． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． (1)摆成图1需要_______枚棋子，摆成图2需要______枚棋子，摆成图3需要_____枚棋子． (2)摆成图n需要_________枚棋子； (3)七（1）班有50名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这50枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由． 【拓展训练四 整式加减的数字类规律探索】 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列等式解答问题： ①； ②； ③． … (1)按此规律，第④个等式为 ；第n个等式为 ； （用含n的代数式表示，n为正整数） (2)按此规律，计算： ①； ②． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题： ， ， ， ， …… (1)请另外写出一个符合上述规律的算式； (2)设算式中第一个两位数的十位数字为，个位数字为，请用含和的式子表示你所发现的规律； (3)运用整式的运算证明你所发现的规律． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）已知，且n为自然数，对进行如下分裂，可分裂成n个连续奇数的和，如图： 即如下规律： …… (1)按上述分裂要求，将分裂成奇数和的形式：______，可分裂的最大奇数为______； (2)按上述分裂要求，可分裂成连续奇数和的形式： ______（填最大奇数，用含的式子表示）； (3)用上面的规律求：． 【拓展训练五 整式加减的新定义计算】 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）观察下列式子，定义一种新运算： ；；； (1)这种新运算是：______（用含a，b的代数式表示）； (2)如果，求a的值； (3)若a，b为整数，试判断是否能被3整除． 2．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． (1)请你想想： ； (2)若那么 （填“”或“”）； (3)先化简，再求值：，其中 3．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）新定义：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“幸运数”，例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“幸运数”． （1）直接运用：最大的“幸运数”是 ； （2）提升运用：将一个“幸运数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“幸运数”为“相伴幸运数”．例如：1423与4132为“相伴幸运数”；设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，请你说明“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和一定是11的倍数； （3）拓展运用：请你直接写出同时满足下列条件的所有“幸运数”． ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）下列选项中，等式成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）已知，则代数式的值为（　 ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）定义，如果（，，，为常数），（，，，为常数），满足，，，，则A和B互为“兄弟式”，下列结论正确的有（  ）个 ①代数式的“兄弟式”为； ②若两个关于x的代数式与互为“兄弟式”，则； ③的值与x的取值无关； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级上·湖南邵阳·开学考试）两个正方形如图放置，其中B、C、E在同一条直线上，小正方形的边长为6，连、、，则图中阴影部分的面积为（　  　） A．3 B．6 C．12 D．18 6．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）已知，则 ． 7．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）当时，代数式的值为2020，当时，求代数式的值为 ． 8．（24-25七年级上·全国·期中）已知多项式的值与字母的取值无关，则 ． 9．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）有理数、、在数轴上的位置如图所示，且，化简的结果为 ． 10．（2025七年级·全国·模拟预测）如图，已知正五角星的面积为，正方形的边长为，图中对应阴影部分的面积分别是、，则的值为 ． 11．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）（1）化简： ． （2）先化简，再求值： ，其中，． 12．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）【阅读理解问题】数学中，运用整体思想的方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，求的值； (2)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值． 13．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）小颖同学化简多项式的过程如下图所示． (1)在化简过程中，开始出现错误的是___________（填序号），请写出正确的化简步骤． (2)小霞说“若与互为倒数，则可求出的值”，小军说“若与互为相反数，则可求出的值”．请直接判断哪位同学的说法正确，并根据其说法求出的值． 14．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）阅读理解： 已知；若的值与字母的取值无关，则，解得． 当时，的值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $