专题02 整式重难点题型专训（4个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年湘教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 整式重难点题型专训 （4个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 多项式的判断 题型四 多项式的项、项数或次数 题型五 整式的判断 题型六 同类项的判断 题型七 合并同类项 题型八 写出满足某些特征的单项式 题型九 多项式的系数、指数中字母求值 题型十 单项式规律题 题型十一 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型十二 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型十三 数字类规律探索 题型十四 图形类规律探索 拓展训练一 杨辉三角问题 拓展训练二 差倒数问题 拓展训练三 新定义问题 知识点一：单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南常德·期末）在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·全国·课前预习）数字与字母的乘积的代数式叫 ．单独一个数或一个字母也是单项式．单项式中的 叫做单项式的 ；一个单项式中，所有字母的 叫做这个单项式的 ． 知识点二：多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）多项式的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．5，1 B．4， C．4， D．3， 2．（24-25七年级上·湖南益阳·课后作业）小明买了单价为10元的练习本本和单价为5元的钢笔支，他一共花费 元，该多项式的次数是 ． 知识点三：整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列式子中：，，，，，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·全国·课后作业） 和 统称整式． 知识点四：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）计算： ． 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列各代数式中，是单项式的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）下列代数式：﹣6x2y、，﹣、a、、﹣x2+2x﹣1中，单项式有 个． 3．（24-25七年级上·湖南常德·开学考试）下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有 个． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）下列式子中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．0不是单项式 B．的系数是，次数是3 C．的系数是 D．的系数是0，次数是2 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）单项式的系数与次数分别是（　　） A．3，5 B．，2 C．，5 D．，3 2．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）单项式的系数是 ． 3．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）若是六次单项式，则 ． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·课后作业）观察下列关于，的单项式：，，，，． (1)直接写出第5个单项式：________； (2)第20个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为2025的单项式的次数是多少？ (4)试写出第个单项式． 【经典例题三 多项式的判断】 【例3】（24-25七年级上·湖南株洲·期中）在，，，a，，中，多项式有（  ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．的项是，，5 B．与都是多项式 C．多项式的次数是3 D．一个多项式的次数是5，则这个多项式中只有一项的次数是5 2．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）在式子，，，3，中，多项式有 个． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）代数式，，，，，，中，多项式有 个． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）若多项式M＝（y﹣2）x+2y﹣2与字母x的取值无关，求y的值？ 【经典例题四 多项式的项、项数或次数】 【例4】（24-25七年级上·湖南常德·期末）已知代数式，下列说法中错误的是（   ） A．它是一个多项式 B．它的项分别是 C．它的次数是2 D．它的常数项是 5 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）多项式的项分别是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）多项式的次数是 ． 3．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）下列说法中：①是五次单项式；②单项式的系数是，次数5；③是四次三项式；④是二次二项式；⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式最多有六项．其中正确的序号为 ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）填空： 多项式 项 次数 最高次项 几次几项式 【经典例题五 整式的判断】 【例5】（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）在代数式，，，，中整式的个数，是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在代数式中，下列说法正确的是（    ） A．有2个多项式，5个单项式 B．有7个整式 C．有2个多项式，4个单项式 D．有5个整式 2．（24-25七年级上·湖南常德·期末）在式子，，，，，中，整式的个数是 个． 3．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）请你写出一个只含x的整式，满足当x=﹣2时，它的值等于3．你写的整式是 ． 4．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知代数式：①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦．其中： (1)属于单项式的有 ；（填序号） (2)属于多项式的有 ；（填序号） (3)属于整式的有 ．（填序号） 【经典例题六 同类项的判断】 【例6】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）下列与是同类项的是 （    ） A． B． C． D． 1．（2025七年级上·湖南益阳·模拟预测）下列说法：①的系数是，②不是单项式：③是多项式：④次数是3次，⑤的次数是5次：⑥与是同类项，正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）写出的一个同类项： ． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）写出的一个同类项： ．用代数式表示“x与y的差的平方”为 ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 【经典例题七 合并同类项】 【例7】（24-25七年级上·全国·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）如果与的和为单项式，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）单项式与 的和是单项式，则 ， ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）若多项式与多项式相加后不含二次项，则多项式的值为 ． 4．（25-26七年级上·全国·随堂练习）合并下列各式的同类项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【经典例题八 写出满足某些特征的单项式】 【例8】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（     ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南常德·期末）请写出一个次数为2的单项式： ． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）写出一个只含有字母a，b，且系数为，次数为4的单项式，该单项式可以是 ． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）观察下面的一列单项式：，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 ，第个单项式为 ． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期中）给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 (1)分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： (2)模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 【经典例题九 多项式的系数、指数中字母求值】 【例9】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）已知整式，其中n，为小于21的自然数．满足，且相邻两数之差不小于3．①若，则n的最大值为4；②若，则满足条件的整式有12个；③若，则满足条件的整式有28个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）若代数式是三次三项式，则 ． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）写出一个次数为3的单项式 ，写出一个二次三项式 ． 4．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）若多项式是一个四次三项式，且n是最高次项的系数的倒数，求的值． 【经典例题十 单项式规律题】 【例10】（2025·湖南永州·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）一列单项式：，按此规律排列，则第10个单项式是 ． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是 ，第（是正整数）个式子是 ． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）探究规律题：按照规律填上所缺的单项式并回答问题： （1）a，﹣2a2，3a3，﹣4a4，　 　，　 　； （2）试写出第2017个和第2018个单项式； （3）试写出第n个单项式； （4）当a＝﹣1时，求代数式a+2a2+3a3+4a4+…+99a99+100a100+101a101的值． 【经典例题十一 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例11】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）如果单项式与是同类项，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2025七年级上·全国·专题练习）若与是同类项，则、的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）若与是同类项，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期末）单项式与是同类项，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值； (2)若，且，求的值． 【经典例题十二 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例12】（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南常德·期末）关于多项式3x2﹣y﹣3xy3+x5﹣1，下列说法错误的是（　　） A．这个多项式是五次五项式 B．常数项是﹣1 C．四次项的系数是3 D．按x降幂排列为x5+3x2﹣3xy3﹣y﹣1 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）把多项式按x的降幂排列为 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知多项式（，为正整数）是按的降幂排列（的指数不相同）的四次三项式，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于、的多项式是一个四次三项式，试确定、的值，并指出这个多项式是按哪个字母升幂或降幂排列的？ 【经典例题十三 数字类规律探索】 【例13】（24-25七年级上·湖南常德·开学考试）给出的数字之间存在一定的规律23，56，1130，5330，则下一个数字为（    ）． A．6780 B．11300 C．83150 D．11590 1．（2025·湖南株洲·模拟预测）对于一个正整数，若这个数的位数为，各数位数字中奇数的个数为，偶数的个数为，记，称为一次“归位变换”．例如，则，，，，同理，可再对进行“归位变换”，称为二次“归位变换”，以此类推，则下列说法： 若，进行两次“归位变换”后，得到的数为； 对于一个正整数，若，则进行一次“归位变换”后，将得到一个三位数； 对于任意一个四位正整数，连续进行“归位变换”后，一定会得到一个定值． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知整数，，，，，满足下列条件：，，，，依次类推，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）古希腊数学家把数，，，，，，叫做三角形数，如图，因为这些数能表示成三角形，它有一定规律性，若把第一个三角形数记为，第二个数记为，第个三角形数记为，则的值是 ． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）观察下面的变形规律： ，； 解答下面的问题： (1)若n为正整数，请你猜想 ； (2)求和：． (3)求 【经典例题十四 图形类规律探索】 【例14】（2025七年级上·湖南常德·模拟预测）如图所示，图①由1个棱长为1的小正方体堆成，图②由5个棱长为1的小正方体堆成，图③由14个棱长为1的小正方体堆成，按照此规律，则图⑦由（   ）个棱长为1的小正方体堆成． A．91 B．140 C．150 D．250 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图是用摆成的图形，按照下面这种摆法，第ⓝ个图形中的个数是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南娄底·开学考试）找规律填一填： 依次摆下去，第个图形需要 根小棒，摆个图形需要 根小棒． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第8个图案中有 个涂有阴影的小正方形，第n个图案中有 个阴影小正方形（用含有n的代数式表示）． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）． (1)如图1所示，图中共有_____对对顶角； (2)如图2所示，图中共有_____对对顶角； (3)如图3所示，图中共有_____对对顶角； (4)研究（1）（3）题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有条直线相较于一点，则可形成_____对对顶角； (5)若有2020条直线相交于一点，则可形成_____对对顶角． 【拓展训练一 杨辉三角问题】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．若用有序数对表示第行，从左往右数第个位置上的分数．如表示分数，则表示的分数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”： 仔细观察上表，根据你发现的规律，解答下列问题： (1)从上往下数第6行，左边第二个数是__________，右边最后一个数是__________； (2)该数表中是否存在数255？并说明理由． 【拓展训练二 差倒数问题】 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）定义：是不为的有理数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）有若干个数，第一个数记为，第二个数记为，…，第n个数记为．若，从第二个数起，每个数都等于“1与前面那个数的差的倒数”，则 ． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习） a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，．．． （1）求a2，a3，a4的值； （2）根据（1）的计算结果，请猜想并求出的值； （3）计算：a1•a2•a3•…•a2018•a2019． 【拓展训练三 新定义问题】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）定义：是不为1的有理数，我们称为的差倒数.如3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则 ． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）将个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，，…都取0或1，称是一个元完美数组（且为整数）. 例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组，但不是任何完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于和，， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，，例如：对于3元完美数组和，有. (1)在，，，中是3元完美数组的有：______； (2)设，，则 (3)已知完美数组求出所有4元完美数组，使得. 1．（24-25七年级上·湖南常德·期末）下列说法正确的是（    ） A．是整式 B．0是单项式 C．的系数是 D．是一次三项式 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）为关于的三次二项式的条件是（   ） A． B．，n为任意数 C． D． 4．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）已知整式：，其中，，，为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）请写出的一个同类项 ． 7．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）若多项式是按字母x降幂排列的，则m的值是 ． 8．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）若关于的多项式●的各项系数之和是7，则“●”代表的数是 ． 9．（24-25七年级上·湖南常德·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 10．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）有下列三个代数式：． (1)单项式的个数是______． (2)2024的次数是______，的系数是______． (3)写出的二次项、常数项． (4)是______次______项式． 13．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）已知多项式是六次四项式． (1)求m的值； (2)将该多项式按照x的降幂顺序排列． 14．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）已知关于的二次多项式． (1)直接写出的值； (2)若当时，该多项式的值是2，求的值．（其中表示不超过的最大整数，例如．） 15．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，是我们发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略——归纳．请试用这个策略解决下面的问题． 如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段．如此剪下去…… (1)剪11刀，绳子变为多少段？ (2)剪n刀，绳子变为多少段？ (3)有可能正好剪得2025段吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式重难点题型专训 （4个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 多项式的判断 题型四 多项式的项、项数或次数 题型五 整式的判断 题型六 同类项的判断 题型七 合并同类项 题型八 写出满足某些特征的单项式 题型九 多项式的系数、指数中字母求值 题型十 单项式规律题 题型十一 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型十二 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型十三 数字类规律探索 题型十四 图形类规律探索 拓展训练一 杨辉三角问题 拓展训练二 差倒数问题 拓展训练三 新定义问题 知识点一：单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南常德·期末）在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据单项式的定义解决此题 【详解】解：根据单项式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式（单个数字或单个字母也是单项式）， ∴单项式有，共3个 故选：C. 【点睛】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决本题的关键 2．（24-25七年级上·全国·课前预习）数字与字母的乘积的代数式叫 ．单独一个数或一个字母也是单项式．单项式中的 叫做单项式的 ；一个单项式中，所有字母的 叫做这个单项式的 ． 【答案】 单项式 数字因数 系数 指数和 次数 【解析】略 知识点二：多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）多项式的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．5，1 B．4， C．4， D．3， 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的有关定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的次数，系数的意义，即可解答． 【详解】解：多项式的次数为， 最高项为，则系数为， 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·课后作业）小明买了单价为10元的练习本本和单价为5元的钢笔支，他一共花费 元，该多项式的次数是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了多项式及多项式的次数，先根据总费用等于练习本的总钱数加上钢笔的总钱数，再根据多项式的次数解答． 【详解】根据题意可知他一共花费元，该多项式为1次． 故答案为：，1． 知识点三：整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列式子中：，，，，，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查了整式的概念，根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式，即可求解． 【详解】解：整式有，，，共4个． 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业） 和 统称整式． 【答案】 单项式 多项式 【分析】根据整式的定义直接写出答案即可． 【详解】解：单项式和多项式统称整式． 故答案是单项式，多项式． 【点睛】本题主要考查了整式的定义，掌握整式是单项式和多项式统称． 知识点四：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项．根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项．根据同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变进行计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列各代数式中，是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，直接利用了单项式的定义逐个判断即可．掌握单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式成为解题的关键． 【详解】解：是多项式，故本选项不符合题意； B、是单项式，故本选项符合题意； C、是多项式，故本选项不符合题意； D、不是整式，故本选项不符合题意； 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的判断，根据单项式的定义：数字与字母的积的形式，单个数字或字母也是单项式，逐一判断各代数式是否为单项式即可． 【详解】：用减号连接两个项，是多项式，不是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：分母含字母，是分式，不是单项式． ：单独的数字，是单项式． ：单独的字母，是单项式． 综上，共有4个单项式， 故选C． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）下列代数式：﹣6x2y、，﹣、a、、﹣x2+2x﹣1中，单项式有 个． 【答案】3 【分析】单项式：数字与字母的积，单个的数与单个的字母也是单项式，根据单项式的定义逐一判断即可. 【详解】解：根据单项式的定义，单项式有，共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是单项式的定义，掌握“单项式的定义判断代数式是否是单项式”是解题的关键. 3．（24-25七年级上·湖南常德·开学考试）下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有 个． 【答案】4/四 【分析】单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式．据此判断即可． 【详解】解：在代数式，，，，0，中，，，，0是单项式，共有4个， 故答案为：4 【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）下列式子中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 【答案】单项式：；多项式： 【分析】本题主要考查了单项式、多项式及整式的定义．根据单项式、多项式及整式的概念来分类：单项式：数与字母的乘积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．（1）数字与字母的乘积的形式叫做单项式；（2）单个字母也是单项式；（3）单个数字是单项式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．据此解答即可． 【详解】解：单项式：； 多项式：． 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．0不是单项式 B．的系数是，次数是3 C．的系数是 D．的系数是0，次数是2 【答案】B 【分析】直接利用单项式的定义，以及单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，分别判断得出答案．本题考查单项式，掌握单项式的定义，单项式系数，次数是解题的关键． 【详解】A：0是单项式，故此选项不合题意； B：的系数是，次数是3，故此选项符合题意； C：的系数是，故此选项不合题意； D：的系数是1，次数是3，故此选项不合题意． 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）单项式的系数与次数分别是（　　） A．3，5 B．，2 C．，5 D．，3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式次数及系数的定义． 根据单项式系数及次数的定义，即可得出答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是5． 故选C． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数，单项式的数字因数是单项式的系数，据此作答即可． 【详解】解：单项式的系数是 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）若是六次单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，代数式求值，由已知可得，再代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是六次单项式， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·课后作业）观察下列关于，的单项式：，，，，． (1)直接写出第5个单项式：________； (2)第20个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为2025的单项式的次数是多少？ (4)试写出第个单项式． 【答案】(1) (2)系数是，次数是41 (3) (4) 【分析】本题主要考查了数字变化规律问题，单项式的系数和次数，绝对值的定义， 对于（1），根据数字变化的特点得出系数是，字母x的指数与序号数相同，字母y的指数是序号数加1，根据规律解答即可； 对于（2），先根据规律写出第20个单项式，再解答； 对于（3），先根据规律写出单项式，再解答； 对于（4），根据规律直接写出即可． 【详解】（1）第5个单项式为． 故答案为：； （2）由题意，得第20个单项式为，所以第20个单项式的系数是，次数是41； （3）因为系数的绝对值为2025，所以，解得， 所以系数的绝对值为2025的单项式的次数为； （4）第个单项式为． 【经典例题三 多项式的判断】 【例3】（24-25七年级上·湖南株洲·期中）在，，，a，，中，多项式有（  ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】该题主要考查了多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的定义． 根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式，解答即可． 【详解】解：在，，，a，，中，多项式是：，，，共3个， 故选：C． 1．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．的项是，，5 B．与都是多项式 C．多项式的次数是3 D．一个多项式的次数是5，则这个多项式中只有一项的次数是5 【答案】B 【分析】一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数． 【详解】解：A：的项是，，5，故A错误； B：与都是由几个单项式的和组成，都是多项式，故B正确； C：多项式的次数是，故C错误； D：若一个多项式的次数是5，则这个多项式中每一项的次数都可以是5，故D错误； 故选：B 【点睛】本题考查多项式的相关知识点．熟记相关结论是解题关键． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）在式子，，，3，中，多项式有 个． 【答案】2 【分析】根据多项式的定义：几个单项式和的形式，进行判断即可． 【详解】解：在式子，，，3，中， ，是多项式，共2个； 故答案为：2． 【点睛】本题考查多项式的识别．熟练掌握多项式的定义，是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）代数式，，，，，，中，多项式有 个． 【答案】2 【分析】根据单项式的定义，结合所给代数式进行判断即可． 【详解】解：多项式有：，，共2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了多项式的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握几个单项式的和叫做多项式． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）若多项式M＝（y﹣2）x+2y﹣2与字母x的取值无关，求y的值？ 【答案】y＝2 【分析】根据多项式M与字母x的取值无关即可直接得出y-2＝0，解出y即可． 【详解】∵多项式M与字母x的取值无关， ∴y-2＝0， 解得：y＝2． 【点睛】本题考查与多项式有关的概念．根据题意理解y-2＝0的意义是解题关键． 【经典例题四 多项式的项、项数或次数】 【例4】（24-25七年级上·湖南常德·期末）已知代数式，下列说法中错误的是（   ） A．它是一个多项式 B．它的项分别是 C．它的次数是2 D．它的常数项是 5 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，根据多项式定义，次数和项数定义解答即可． 【详解】解：A．代数式是一个多项式，故选项A正确； B．代数式是一个多项式，它的项分别是，和5，故选项B错误； C．代数式是一个多项式，它的次数是2，故选项C正确； D．代数式是一个多项式，它的常数项是5，故选项D正确． 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）多项式的项分别是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的项的定义，多项式的项是指由加减号分隔的各个单项式，每个项包含其前面的符号，据此可得答案． 【详解】解：多项式的项分别是，，， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）多项式的次数是 ． 【答案】三/3 【分析】此题主要考查了多项式的概念，解题的关键是掌握多项式次数的计算方法．“多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数”． 【详解】解：多项式的次数是三． 故答案为：三． 3．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）下列说法中：①是五次单项式；②单项式的系数是，次数5；③是四次三项式；④是二次二项式；⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式最多有六项．其中正确的序号为 ． 【答案】③⑤ 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．根据定义求解即可。 【详解】解：①是三次单项式；故不符合题意； ②单项式的系数是，次数6；故不符合题意； ③是四次三项式；故符合题意； ④不是多项式；故不符合题意； ⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式项数最多时为：；有六项．故符合题意； ∴正确的有：③⑤， 故答案为：③⑤ 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）填空： 多项式 项 次数 最高次项 几次几项式 【答案】见解析 【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有个单项式，单项式最高次数是，那么这个多项式就叫次项式，根据多项式的定义进行解答即可． 【详解】解： 多项式 项 ， ，， ，， 次数 1 4 5 最高次项 几次几项式 一次二项式 四次三项式 五次三项式 【经典例题五 整式的判断】 【例5】（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）在代数式，，，，中整式的个数，是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了整式的定义，理解“单形式和多项式统称为整式”是解题的关键． 【详解】解：整式有：，，，，共个， 故选：C． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在代数式中，下列说法正确的是（    ） A．有2个多项式，5个单项式 B．有7个整式 C．有2个多项式，4个单项式 D．有5个整式 【答案】C 【分析】本题考查单项式，多项式和整式的判断，根据单项式，多项式和整式的定义，进行判断即可． 【详解】解：在中，单项式有，共4个，多项式有共2个，整式有共6个； 故选C． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期末）在式子，，，，，中，整式的个数是 个． 【答案】 【分析】整式包括单项式，多项式，当个数或字母也是单项式，分母中含有字母的不是整式，由此即可求解． 【详解】解：整式有，，，，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查整式的定义，理解并掌握单项式的定义，多项式的定义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）请你写出一个只含x的整式，满足当x=﹣2时，它的值等于3．你写的整式是 ． 【答案】，答案不唯一 【分析】直接利用已知结合整式的定义：多项式和单项式的统称，进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：（答案不唯一），当x＝-2时，． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了整式，正确理解整式的定义是解题关键． 4．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知代数式：①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦．其中： (1)属于单项式的有 ；（填序号） (2)属于多项式的有 ；（填序号） (3)属于整式的有 ．（填序号） 【答案】(1)①②⑥ (2)③⑤ (3)①②③⑤⑥ 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式，掌握这三个定义的意义，是数字而不是字母是解题的关键． （1）根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式进行判断； （2）根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式进行判断； （3）根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式进行判断． 【详解】（1）解：属于单项式的有：①，② ，⑥， 故答案为：①②⑥； （2）属于多项式的有：③，⑤， 故答案为：③⑤； （3）属于整式的有：①，② ，③，⑤，⑥， 故答案为：①②③⑤⑥． 【经典例题六 同类项的判断】 【例6】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）下列与是同类项的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是熟练的掌握同类项的定义．所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此求解即可． 【详解】解∶A．与所含相同字母的指数不同，不是同类项，故错误； B．与所含相同字母的指数不同，不是同类项，故错误； C．符合同类项的定义，故正确； D．与所含相同字母的指数不同，不是同类项，故错误； 故选：C． 1．（2025七年级上·湖南益阳·模拟预测）下列说法：①的系数是，②不是单项式：③是多项式：④次数是3次，⑤的次数是5次：⑥与是同类项，正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式、同类项的概念，熟练掌握单项式与多项式的相关知识点和同类项的概念是解题的关键； 根据单项式的定义、系数和次数，多项式的定义和次数，同类项的概念，逐项验证即可得到答案． 【详解】①的系数是，故①错误，不符合题意； ②不是单项式，故②正确，符合题意； ③是多项式，故③正确，符合题意； ④是单项式，次数是3次，故④正确，符合题意； ⑤是多项式，次数是2次，故⑤错误，不符合题意； ⑥与是同类项，故⑥正确，符合题意； 综上所述，以上说法正确的有②③④⑥． 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）写出的一个同类项： ．用代数式表示“x与y的差的平方”为 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，列代数式，根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项写出的一个同类项即可；根据“x与y的差的平方”应先算差再算差的平方写出代数式即可． 【详解】解：的一个同类项可以是（答案不唯一）； “x与y的差的平方”为． 故答案为：（答案不唯一）；． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1)与是同类项，与是同类项，1与是同类项． (2)与是同类项，与是同类项 【分析】本题考查多项式中的同类项，注意掌握多项式中同类项的特征是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，以及常数项也是同类项． （1）由题意直接利用多项式中的同类项的特征进行分析判断即可； （2）根据题意直接利用多项式中的同类项的特征进行分析判断即可． 【详解】（1）解：， 与是同类项，与是同类项，1与是同类项； （2）解：， 与是同类项，与是同类项． 【经典例题七 合并同类项】 【例7】（24-25七年级上·全国·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误． 故选：C 1．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）如果与的和为单项式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，利用同类项的定义求字母的值．所含字母相同，并且相同字母的指数相同的项叫做同类项，根据相同字母的指数相同列方程求解即可． 【详解】解：∵与的和为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）单项式与 的和是单项式，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】本题考查合并同类项，根据题意，易得两个单项式为同类项，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵单项式与 的和是单项式， ∴单项式与为同类项， ∴， ∴； 故答案为：2，3 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）若多项式与多项式相加后不含二次项，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的加法运算、合并同类项以及解方程求参数的值．通过多项式相加后不含某项，根据不含某项即含某项的系数为，可以得到关于参数的方程，解出参数的值，然后代入到相关的表达式中求值． 【详解】解：将多项式与多项式中的二次项合并， 得. ∵两个多项式相加后不含二次项， ∴， 解得 ， ． 故答案为∶． 4．（25-26七年级上·全国·随堂练习）合并下列各式的同类项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题主要考查了合并同类项，正确把握合并同类项法则是解题关键． （1）利用合并同类项法则计算即可求解； （2）利用合并同类项法则计算即可求解； （3）利用合并同类项法则计算即可求解； （4）利用合并同类项法则计算即可求解； （5）利用合并同类项法则计算即可求解； （6）利用合并同类项法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解： ． 【经典例题八 写出满足某些特征的单项式】 【例8】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的系数和次数，根据单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的字数和是单项式的次数，逐个判断即可． 【详解】解：A、的系数是2，次数是4，不符合题意； B、的系数是2，次数是3，符合题意； C、的系数是3，不符合题意； D、的系数是，不符合题意． 故选B 1．（24-25七年级上·湖南常德·期末）请写出一个次数为2的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式定义．单项式的次数及未知数的指数，写出任何一个字母上边指数是2的即可，答案不唯一． 【详解】解：∵写出一个次数为2的单项式， ∴可以作为本题结果， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）写出一个只含有字母a，b，且系数为，次数为4的单项式，该单项式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的系数和次数的概念：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：∵单项式的次数等于各个字母指数之和， ∴该单项式可以是或或． 故答案为：或或． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）观察下面的一列单项式：，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 ，第个单项式为 ． 【答案】 【分析】根据符号的规律：为奇数时，单项式的系数为负，为偶数时，系数为正；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是指数的规律：第个对应的指数是，进而解答即可． 【详解】解：由系数及字母两部分分析的规律： ①系数：，得系数规律为， ②字母及其指数：，得到字母规律为， 综合起来规律为， 第个单项式是，第个单项式为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期中）给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 (1)分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： (2)模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 【答案】(1)①、、、、；②、 (2)分成单项式次数为0、1、3三类，①、；②、；③、、 【分析】本题主要考查了单项式以及单项式的次数． （1）根据单项式的分类，即可求解； （2）根据单项式的次数，即可求解． 【详解】（1）解：①含字母的有：、、、、； ②不含字母的有：、； （2）解：模仿（1）的分类方式分成三类，分类方法是（分成单项式次数为0、1、3三类） 其中①单项式次数为0的有：、； ②单项式次数为1的有：、； ③单项式次数为3的有：、、 【经典例题九 多项式的系数、指数中字母求值】 【例9】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键． 根据多项式的定义得且，求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴且， ∴， 故选：A． 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）已知整式，其中n，为小于21的自然数．满足，且相邻两数之差不小于3．①若，则n的最大值为4；②若，则满足条件的整式有12个；③若，则满足条件的整式有28个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查多项式的系数规律问题，理解题意，根据递减条件、相邻系数差以及取值范围的约束条件，结合题干中的具体条件逐个分析解答即可． 【详解】解：①由题意，当时，，，，超出范围， 则n的最大值为4，故①正确； ②当时，，可取2，1，0，有3种情况； 当时，，可取1，0，有2种情况； 当，可取0，有1种情况； 当时，可取18，19，20，有3种情况，但当时，超出范围， ∴若，则满足条件的整式有个，故②错误； ②由题意，，则， ∴，又，超出范围， ∴，，， 当时，可取9、10、11、12、13、14、15，有7种情况； 当时，可取10、11、12、13、14、15，有6种情况； 当时，可取11、12、13、14、15，有5种情况； 当时，可取12、13、14、15，有4种情况； 当时，可取13、14、15，有3种情况； 当时，可取14、15，有2种情况； 当时，可取15，有1种情况； 当时，有0种情况， 故满足条件的整式有个，故③正确； 正确的个数有2个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）若代数式是三次三项式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据多项式的项与次数得出，即可解答． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）写出一个次数为3的单项式 ，写出一个二次三项式 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式，多项式．熟练掌握单项式，多项式的定义是解题的关键． 根据单项式，多项式的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，一个次数为3的单项式为，一个二次三项式， 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）若多项式是一个四次三项式，且n是最高次项的系数的倒数，求的值． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和最高次项的系数求出m，n的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：∵多项式是一个四次三项式， ∴， ∴， ∵n是最高次项的系数的倒数， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了多项式的次数和系数，掌握多项式中，次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 【经典例题十 单项式规律题】 【例10】（2025·湖南永州·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律题，分别确定单项式的系数和字母指数规律即可求解． 【详解】解：由题意得：单项式的系数依次为：； 字母的指数依次为：； ∴第个单项式是． 故选：A． 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为单项式规律题．理解题意，总结出规律，并利用规律解题是关键．根据题意可总结规律为：奇数个单项式的系数为正，偶数个单项式的系数为负，第n个单项式系数，次数是，从而利用规律即可解答． 【详解】解：单项式的次数为：2，，10，，26，， …第n个单项式的系数为：， ∴第100个单项式的系数为：， 单项式的次数为：3，5，7，9，11， ∴ 单项式的次数为：， ∴第100个单项式的次数为， 故第100个单项式是， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）一列单项式：，按此规律排列，则第10个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式的概念，涉及数字规律问题，解题的关键是得出规律，利用规律求解．观察单项式的系数与次数即可得出规律． 【详解】解：根据式子的特点，可知第n项符号为：，系数的绝对值为，而x的指数为， 因此可知其规律为：， 则第10个为：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是 ，第（是正整数）个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，数字的变化规律；判断出单项式的符号，系数以及幂与序号之间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为，字母是，的指数为． 则第项为， ∴第2023个式子是， 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）探究规律题：按照规律填上所缺的单项式并回答问题： （1）a，﹣2a2，3a3，﹣4a4，　 　，　 　； （2）试写出第2017个和第2018个单项式； （3）试写出第n个单项式； （4）当a＝﹣1时，求代数式a+2a2+3a3+4a4+…+99a99+100a100+101a101的值． 【答案】（1），；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据规律找出系数和次数的规律即可； （2）根据（1）的规律即可求得第2017个和第2018个单项式； （3）根据（1）的规律写出第n个单项式； （4）将代入求值即可 【详解】（1）根据规律第5个单项式为，第6个单项式为 故答案为：， （2）第2017个和第2018个单项式分别为， （3）系数的规律：第n个对应的系数是， 指数的规律：第n个对应的指数是， ∴第n个单项式是， （4）当a＝﹣1时， a+2a2+3a3+4a4+…+99a99+100a100+101a101 【点睛】此题考查单项式的规律探索，分别找出单项式的系数和指数的规律是解决此类问题的关键． 【经典例题十一 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例11】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）如果单项式与是同类项，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）若与是同类项，则、的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了同类项，熟记同类项的定义（如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，那么这两个单项式叫做同类项）是解题关键．利用同类项的定义列式求解即可． 【详解】解：由同类项的定义得：，且， 解得：，， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）若与是同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，乘方，根据同类项的定义得到，，求出m，n的值后代入求值即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期末）单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查根据同类项求代数式的值，根据同类项的定义，得到，进而得到，再求和即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：4． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同的字母的指数也相同； （1）根据同类项相同的字母的指数相同列出方程即可求解； （2）根据同类项合并为0，得出系数和为0，求出字母的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵与是关于x、y的单项式，且它们是同类项， ∴ 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 【经典例题十二 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例12】（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先分清多项式的各项，然后按多项式中x的降幂排列即可，解题的关键是掌握多项式的降幂排列的方法，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列，要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式的各项为：，，，， 按的降幂排列为：， 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南常德·期末）关于多项式3x2﹣y﹣3xy3+x5﹣1，下列说法错误的是（　　） A．这个多项式是五次五项式 B．常数项是﹣1 C．四次项的系数是3 D．按x降幂排列为x5+3x2﹣3xy3﹣y﹣1 【答案】C 【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式；单项式和多项式合称为整式进行分析即可． 【详解】解：A、这个多项式是五次五项式，故原题说法正确； B、常数项是-1，故原题说法正确； C、四次项的系数是−3，故原题说法错误； D、按x降幂排列为x5+3x2﹣3xy3﹣y﹣1，说法正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式的相关定义与特点． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）把多项式按x的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式．按x的系数从大到小排列即可． 【详解】解：多项式按x的降幂排列为． 故答案为：． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知多项式（，为正整数）是按的降幂排列（的指数不相同）的四次三项式，则的值为 ． 【答案】或4/4或 【分析】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式及降幂排列的定义可得，，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解． 【详解】解：由题意，得，， ∴，或，． 当，时，； 当，时，． 故答案为：或4． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于、的多项式是一个四次三项式，试确定、的值，并指出这个多项式是按哪个字母升幂或降幂排列的？ 【答案】，．多项式为，是按的升幂排列的． 【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列，直接利用多项式的定义得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵在多项式中，是常数项，的次数是，的次数是，的次数是，的次数是， ∴最高次数是m， 又多项式是一个四次多项式， ∴， ∴多项式为， 又多项式是一个三项式， ∴． ∴． ∴多项式为，是按的升幂排列的． 【经典例题十三 数字类规律探索】 【例13】（24-25七年级上·湖南常德·开学考试）给出的数字之间存在一定的规律23，56，1130，5330，则下一个数字为（    ）． A．6780 B．11300 C．83150 D．11590 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律的探究能力，解题的关键是将已知数字拆分为对应的两部分，通过计算每部分的数字和与数字积，确定组合生成下一个数字的规律． 先将第一个数 拆为2和3，计算其数字和、数字积，组合得第二个数；再将拆为5和6，计算数字和、数字积，组合得第三个数；接着将拆为和，分别计算两部分的数字和并相加得5，结合数字积相关结果得3，组合前半部分且保留后半部分，得第四个数；最后将拆为和，计算的数字和与的数字和并相加得的数字积与的数字积组合得，最终组合和得到下一个数． 【详解】解：通过拆分数字、计算数字和与积探究规律： 拆为2和3：，组合得(第二个数)； 拆为5和6：，组合得(第三个数)； 拆为和30：11的数字和的数字和的数字积，结合的十位3得3，组合前半、保留后半，得(第四个数)； 拆为和30：的数字和的数字和的数字积的数字积，组合，最终与组合得． 故选：C． 1．（2025·湖南株洲·模拟预测）对于一个正整数，若这个数的位数为，各数位数字中奇数的个数为，偶数的个数为，记，称为一次“归位变换”．例如，则，，，，同理，可再对进行“归位变换”，称为二次“归位变换”，以此类推，则下列说法： 若，进行两次“归位变换”后，得到的数为； 对于一个正整数，若，则进行一次“归位变换”后，将得到一个三位数； 对于任意一个四位正整数，连续进行“归位变换”后，一定会得到一个定值． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，根据题中所给“归位变换”的定义，依次对所给说法进行判断即可，理解题中所给“归位变换”的定义及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 【详解】解：由题知当时， ，，， ∴第一次“归位变换”后，得到的数字为， ∴，，， ∴第二次“归位变换”后，得到的数字为，故正确； 对于一个正整数，当时，且， ∴，，都是一位整数 ∴进行一次“归位变换”后，将得到一个三位数，故正确； 当为四位正整数时，有以下五种情况 第一种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，，， 由此可见，最后得到定值； 第二种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，， 由此可见，最后得到定值； 第三种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，，， 由此可见，最后得到定值； 第四种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，， 由此可见，最后得到定值； 第五种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，，， 由此可见，最后得到定值； 所以对于任意一个四位正整数，连续进行“归位变换”后，一定会得到一个定值，且这个定值为，故正确； 综上可知：正确，共个， 故选：． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知整数，，，，，满足下列条件：，，，，依次类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质以及数的递推关系，属于规律探索题． 本题通过计算后发现规律为：当是奇数时，；当是偶数时，，即可解决问题． 【详解】解：解：， ， ， ， ， ， ， 当是奇数时，； 当是偶数时，， 是偶数， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）古希腊数学家把数，，，，，，叫做三角形数，如图，因为这些数能表示成三角形，它有一定规律性，若把第一个三角形数记为，第二个数记为，第个三角形数记为，则的值是 ． 【答案】121 【分析】本题考查了数字类规律探索，通过从数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．根据题意，可以写出前几个三角形数的组成，得到，， ，，，即三角形数为从到它的序号数之间所有整数的和，即，进而得出，从而可以计算出的值． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）观察下面的变形规律： ，； 解答下面的问题： (1)若n为正整数，请你猜想 ； (2)求和：． (3)求 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）根据题目中的式子，可以将所求式子拆项，然后计算即可； （2）根据（1）中规律拆项计算解答； （3）根据题目中的式子，可以将所求式子拆项，根据（1）中规律即可得出结果． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【经典例题十四 图形类规律探索】 【例14】（2025七年级上·湖南常德·模拟预测）如图所示，图①由1个棱长为1的小正方体堆成，图②由5个棱长为1的小正方体堆成，图③由14个棱长为1的小正方体堆成，按照此规律，则图⑦由（   ）个棱长为1的小正方体堆成． A．91 B．140 C．150 D．250 【答案】B 【分析】本题考查了找规律，解决本题的关键是由小正方体的个数找出规律． 根据这三个图可发现规律是平方和，即，，，，由此可求解图⑦的小正方体的个数． 【详解】解：图①中小正方体的个数是1个，而， 图②中小正方体的个数是5个，而， 图③中小正方体的个数是14个，而， 图④中小正方体的个数是30个，而，， 以此类推，图⑦中小正方体的个数是：． 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图是用摆成的图形，按照下面这种摆法，第ⓝ个图形中的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探究，观察已有图形，得到第ⓝ个图形中的个数为，判断即可． 【详解】解：观察可知：第①个图形中的个数是：个； 第②个图形中的个数是：个； 第③个图形中的个数是：个； 第④个图形中的个数是：个； ∴第ⓝ个图形中的个数是； 故选C． 2．（25-26七年级上·湖南娄底·开学考试）找规律填一填： 依次摆下去，第个图形需要 根小棒，摆个图形需要 根小棒． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由已知图形可得第个图需要根小棒，进而即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个图需要根小棒，； 第个图需要根小棒，； 第个图需要根小棒，， 第个图需要根小棒，， ， ∴第个图需要根小棒， 当时，， ∴第个图形需要根小棒， 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第8个图案中有 个涂有阴影的小正方形，第n个图案中有 个阴影小正方形（用含有n的代数式表示）． 【答案】 26 【分析】本题考查了用代数式表示图形的规律，掌握知识点是解题的关键． 观察可知，后一个图案比前一个图案多3个涂有阴影的小正方形，然后写出第8个，第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可得， 第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为， … 第8个图案涂有阴影的小正方形的个数为， … 第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为． 故答案为：26，． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）． (1)如图1所示，图中共有_____对对顶角； (2)如图2所示，图中共有_____对对顶角； (3)如图3所示，图中共有_____对对顶角； (4)研究（1）（3）题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有条直线相较于一点，则可形成_____对对顶角； (5)若有2020条直线相交于一点，则可形成_____对对顶角． 【答案】(1)2 (2)6 (3)12 (4) (5)4078380 【分析】本题考查对顶角，解答的关键是明确若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 由图示可得，（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角， （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； （4）依次可找出规律，若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角； （5）将代入，可得2020条直线相交于一点可形成的对顶角的对数． 【详解】（1）解：如图1，图中共有对对顶角， 故答案为：2； （2）解：如图2，图中共有对对顶角， 故答案为：6； （3）解：如图3，图中共有对对顶角， 故答案为：12； （4）解：研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系， 若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角， 故答案为：； （5）解：若有2020条直线相交于一点，则可形成对对顶角， 故答案为：4078380． 【拓展训练一 杨辉三角问题】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．若用有序数对表示第行，从左往右数第个位置上的分数．如表示分数，则表示的分数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图表寻找规律：是第几行就有几个分数；每行每个分数的分子都是1；每行第一个分数的分母为行号，第n行的第一个分数为，第二个分数为；每行首尾对称．据此规律解答． 【详解】解：观察图表可知以下规律：①是第几行就有几个分数； ②每行每个分数的分子都是1； ③每行从左往右第一个分数的分母为行号，即第n行的第一个分数为，第二个分数为， ④每行首尾对称． 故（8，7）表示第8行，从右到左第2个数，即． 故选：B 【点睛】本题属于规律型，考查数字的规律，观察图表寻找规律是解题的关键． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期 【答案】五 【分析】根据…，其中m、n、…、q等都是系数，可知除以7的余数为1，从而可得答案． 【详解】∵…，其中m、n、…、q等都是系数， ∴除以7的余数为1， ∴假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期五， 故答案为：五． 【点睛】本题考查了探索规律，把8拆成，变成杨辉三角的形式是解题的关键． 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”： 仔细观察上表，根据你发现的规律，解答下列问题： (1)从上往下数第6行，左边第二个数是__________，右边最后一个数是__________； (2)该数表中是否存在数255？并说明理由． 【答案】(1)64，68 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意可知可以得到第n行第1个数为，由此可得第n行第n个数为，据此求解即可； （2）假设存在数255，则，由此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，，， ∴可以得到第n行第1个数为， ∴第n行第n个数为， ∴第6行第2个数为，第6行最后一个数为； （2）解：∵第n行第n个数为， ∴假设存在数255，则， ∵， ∴当时，， ∴255即为第8行第一个数， ∴存在数255． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律题，正确找到规律是解题的关键． 【拓展训练二 差倒数问题】 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）定义：是不为的有理数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据规定的运算方法，依次计算出，，、，即可发现每3个数为一个周期依次循环，然后用2017除以3，根据规律，即可得出答案． 【详解】解：，，，， ， ∴这列数以，，3三个数依次不断循环出现； ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查数字的变化规律，利用规定的运算方法，得出数字之间的循环规律，利用规律解决问题． 2．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）有若干个数，第一个数记为，第二个数记为，…，第n个数记为．若，从第二个数起，每个数都等于“1与前面那个数的差的倒数”，则 ． 【答案】3 【分析】先利用倒数的定义计算出，，，，则可判断数据为，，3的循环排列，由于，所以． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∴可知这一列数从第2个数开始每3个数一个循环， ∵， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型、数字的变化类，解题的关键是认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习） a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，．．． （1）求a2，a3，a4的值； （2）根据（1）的计算结果，请猜想并求出的值； （3）计算：a1•a2•a3•…•a2018•a2019． 【答案】（1）a2，a3，a4的值分别为2，-1，；（2）-1；（3）-1． 【分析】（1）根据题意，可以分别计算出a2，a3，a4的值； （2）根据（1）中式子的值，可以发现数字的变化特点，从而可以求得a2009•a2010•a2011的值； （3）根据前面发现的数字的特点，可以求得所求式子的值． 【详解】解：（1）∵a1=， ∴a2==2， a3==-1， a4==， 即a2，a3，a4的值分别为2，-1，； （2）由（1）可知，每三个数一循环， ∵2009÷3=669…2， ∴a2009•a2010•a2011 =2×（-1）× =-1； （3）∵2019÷3=673， ∵a1•a2•a3=a4•a5•a6=…=a2017•a2018•a2019=×2×（-1）=-1， ∴a1•a2•a3•…•a2018•a2019 =(-1)673 =-1． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 【拓展训练三 新定义问题】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解题的关键是先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：根据题意，得 当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算，， 第五次运算：， 第六次运算：， …… 规律：从第三次开始，结果就只是，两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是，次数是奇数时，结果是， ∵次是偶数， ∴第次“运算”的结果是． 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）定义：是不为1的有理数，我们称为的差倒数.如3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，分别计算出前几个数，即可发现每3个数依次循环，然后用2024除以3，根据规律，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴； ； ； ⋯⋯， ∴这列数以4，，三个数依次不断循环出现； ∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）将个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，，…都取0或1，称是一个元完美数组（且为整数）. 例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组，但不是任何完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于和，， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，，例如：对于3元完美数组和，有. (1)在，，，中是3元完美数组的有：______； (2)设，，则 (3)已知完美数组求出所有4元完美数组，使得. 【答案】(1)， (2)2 (3)，，，，， 【分析】本题考查的是数字的变化规律、有理数的混合运算等有关内容． （1）根据定义可直接得到答案； （2）根据新运算2的定义，进行计算即可； （3）对于新运算1，若x和y只能取0或1，则x和y的组合有4种，分别为：，，，；根据题意，的计算式中有4组新运算1，其中有2组为，另外2组是其他三种组合中的任意一种；写出N的所以可能的情况即可． 【详解】（1）根据n元完美数组的定义，是3元完美数组的有：，； 故答案为：，； （2）； 故答案为：2； （3）对于新运算1，若x和y只能取0或1，则x和y的组合有4种，分别计算如下： ，，，； ∵， ∴的计算式中有4组新运算1，其中有2组为1*1，另外2组是其他三种组合中的任意一种； 因此，满足条件的4元完美数组N，有以下6种情况：，，，，，． 1．（24-25七年级上·湖南常德·期末）下列说法正确的是（    ） A．是整式 B．0是单项式 C．的系数是 D．是一次三项式 【答案】B 【分析】本题考查单项式，多项式，整式的定义及系数次数的判断，根据单项式，多项式的定义，系数，次数的概念直接逐个判断即可得到答案 【详解】解：不是整式，故A错误，不符合题意， 0是单项式，故B正确，符合题意， 的系数是，故C错误，不符合题意， 是二次三项式，故D错误，不符合题意， 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键．根据运算法则进行判断即可． 【详解】解：，选项A正确； 和不是同类项，无法计算，选项B错误； 和不是同类项，无法计算，选项C错误； 和不是同类项，无法计算，选项D错误； 故选A． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）为关于的三次二项式的条件是（   ） A． B．，n为任意数 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．根据三次二项式的定义，多项式需满足最高次数为3且仅有2个非零项。 【详解】解：为关于的三次二项式的条件是， ． 故选D． 4．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式按的升幂排列为． 故选：C． 5．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）已知整式：，其中，，，为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，， 满足条件的整式有：，，， 当时，则， ∴，，， 满足条件的整式有：，，； 当时，， 满足条件的整式有：4； ∴满足条件的单项式有：，，，4，共4个，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有2个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 综上分析可知：正确的有3个． 故选：D． 6．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）请写出的一个同类项 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同类项的定义，解题的关键是熟练掌握同类项定义； 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，只需含字母x、y并且x的指数是2，y的指数是1即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知：的同类项可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）若多项式是按字母x降幂排列的，则m的值是 ． 【答案】4或3或2 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据多项式是按字母x降幂排列求解即可． 【详解】解：∵多项式是按字母x降幂排列， ∴或5或4， ∴或3或2． 故答案为：4或3或2． 8．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）若关于的多项式●的各项系数之和是7，则“●”代表的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的系数，根据题意直接列式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·湖南常德·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，代数式求值，掌握两个多项式恒等，相同项的系数相等是解题的关键． 根据题意，得出，由相同项的系数相等得出a，b，c，d的值，然后再分别代入计算即可． 【详解】解：∵（a、b是常数）与恒等， ∴ ∴，，，， ∴． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 【答案】 1350 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，单项式的规律探究，通过观察输出结果，得到当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即可求解． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… ∴当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数， ∵， ∴从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1350个， 故答案为：，1350． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1)与是同类项，与是同类项，1与是同类项． (2)与是同类项，与是同类项 【分析】本题考查多项式中的同类项，注意掌握多项式中同类项的特征是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，以及常数项也是同类项． （1）由题意直接利用多项式中的同类项的特征进行分析判断即可； （2）根据题意直接利用多项式中的同类项的特征进行分析判断即可． 【详解】（1）解：， 与是同类项，与是同类项，1与是同类项； （2）解：， 与是同类项，与是同类项． 12．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）有下列三个代数式：． (1)单项式的个数是______． (2)2024的次数是______，的系数是______． (3)写出的二次项、常数项． (4)是______次______项式． 【答案】(1)2； (2)0；； (3)二次项为；常数项为：； (4)6；5 【分析】题目主要考查单项式及多项式的基本定义和相关概念， （1）根据单项式的定义判断即可； （2）根据单项式的次数及系数的定义即可求解； （3）由多项式的相关定义求解即可； （4）根据多项式的次数为单项式的最高次数，项数为单项式的个数即可求解． 【详解】（1）解：三个单项式中，是单项式， 故答案为：2； （2）2024的次数是0，的系数是； 故答案为：0；； （3）中， 二次项为；常数项为：； （4）是6次5项式， 故答案为：6；5． 13．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）已知多项式是六次四项式． (1)求m的值； (2)将该多项式按照x的降幂顺序排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列，熟练掌握多项式的相关定义是解题的关键． （1）根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，利用多项式是六次四项式，求出m的值即可； （2）根据降幂排列的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴； （2）解：多项式按照x的降幂顺序排列为． 14．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）已知关于的二次多项式． (1)直接写出的值； (2)若当时，该多项式的值是2，求的值．（其中表示不超过的最大整数，例如．） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式次数，代数式求值，绝对值意义，解题的关键在于掌握多项式的定义，理解题意． （1）根据已知的多项式为二次多项式可得多项式不含项，且包含项，得到且，进行求解，即可解题； （2）根据当时，该多项式的值是2，代入式子变形得到，再结合代入中求解，即可解题． 【详解】（1）解：是关于的二次多项式， 且， 解得且， 综上所述，； （2）解：当时，该多项式的值是2， ，即， 整理得， ． 15．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，是我们发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略——归纳．请试用这个策略解决下面的问题． 如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段．如此剪下去…… (1)剪11刀，绳子变为多少段？ (2)剪n刀，绳子变为多少段？ (3)有可能正好剪得2025段吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)段； (3)能，见解析 【分析】此题主要考查了图形的变化类，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． （1）将一根绳子折成3段剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此类推，可得规律 （2）根据（1）的规律可得剪刀，绳子变为段； （3）结合图形，由（1）的规律即可得出答案． 【详解】（1）解：剪1刀，绳子变为5段，； 剪2刀，绳子变为9段， ； 由此可得，剪3刀，绳子变为段， 剪4刀，绳子变为段， …… ∴剪11刀，绳子变为段 （2）解：由（1）可得，剪刀，绳子变为段； （3）解：能正好剪得2025段 ∵ ∴剪刀，正好剪得2025段 学科网（北京）股份有限公司 $