安徽省太和中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 2．若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则1 B. 若，则2 C. 若，则 D. 若，则 3．在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 6．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列给出的命题正确的是（   ） A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点为平面上的一点，且，则 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则或 D．两个不重合的平面的法向量分别是，，则 10．已知四面体满足，则（    ） A．直线与垂直 B．二面角平面角的余弦值为 C．向量在向量上的投影为 D．四面体的体积为 11．已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则（    ） A．直线与所成的角为 B． C．二面角的余弦值为 D．点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为 ． 13．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 14．在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知向量，，． （1）若，求； （2）若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 16.（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的余弦值． 17.（15分）如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． (1)求证：平面． (2)线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 18.（17分）如图，在四棱锥中，底面，，，. (1)求证：平面平面. (2)若为的中点，且， （ⅰ）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径； （ⅱ）求二面角的余弦值. 19.（17分）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A B C C A C CD AD ACD 6.   如图所示，为的中点，则，，又， ，，，点E到直线DF的距离为． 7.【解析】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则，故， 又，则，所以. 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量，所以. 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值.所以. 8.【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，所以，，． 设A关于平面的对称点为，，则，． 设平面的法向量，则，令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即        ①．又，所以，即        ②． 由①②得，由可得，，， 所以，所以， 当且仅当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为． 10.【详解】如图，构造长方体，因， 则可得，此时四面体符合题目条件. 建立空间直角坐标系，则， 对于A，由长方体的特征可知，又底面为正方形，即， 所以，故A正确； 对于B，易知， 设平面和平面的法向量分别为， 则故可取； 则，故可取. 设锐二面角的平面角为，则，故B错误； 对于C，易知， 则在上的投影为，故C错误； 对于D，由图易知四面体的体积等于长方体的体积减去四个大小相同的小三棱锥的体积， 即，故D正确. 故选：AD 11.对于A，如图（1），连接分别为棱的中点，， 则直线与所成的角为，而为等边三角形，则， 故直线与所成的角为，故A正确. 对于B，设为的中点，连接，如图（1），由于，而与相交， 直线异面，故B错误；对于C，如图（2），记，则，连接， .又四边形为正方形，， 故为二面角的平面角，又，在中，，故C正确.对于D，平面即平面，显然⊥平面，又平面，所以平面平面， 故点到平面的距离等于点到的距离，即， 在正方形中易得此距离为，故D正确. 12.，由点到平面的距离公式，可知． 13. 14.【详解】由题意可知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为，设直线的方向向量为，则， 故，即，取，则，设直线与平面所成角为，则，故答案为： 15.（13分）【解析】（1）已知，，可得,解得. 所以，则. 根据向量模的计算公式可得. （2）已知，，, 先求出. 因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面. 即存在实数，使得，. 由此可得方程组由可得，将其代入中，得到，解得. 把代入，可得. 再把，代入，可得，解得. 16.【详解】（1）取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且， 又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以//平面． （2）底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积，     又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以，又，，，所以，故， 又，，所以，平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面，故. （3）因为平面平面，且其交线为，又平面，， 所以平面，取的中点，连接，在中，，分别为，的中点， 所以，,则平面，过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角，    在直角梯形中，，，所以，所以，又，所以，在中，，所以，即二面角的余弦值为． 17.【详解】（1）证明：∵，∴． ∵在等腰梯形中，，∴在四棱锥中，．又，平面，∴平面．又∵平面，∴．∵在等腰梯形中，，，且，∴，，，由勾股定理得，故，∴，∴由勾股定理逆定理得．∵，平面，∴平面． （2）∵，平面，∴． （3）线段上存在一点，使得平面，为的中点，证明如下： 证明：取的中点，的中点，连结，，． ∵，分别为，的中点，∴且． ∵且，∴且， ∴且，∴四边形为平行四边形， ∴．又∵平面，平面，∴平面． 18.【详解】（1）证明：因为，所以. 因为底面，平面，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）（ⅰ）证明：连接，，因为平面，平面，所以，因为为的中点，所以，同理，有，因为底面，平面，所以，因为为的中点，所以，因此，所以为四棱锥的外接球的球心.按如图所示建立空间直角坐标系，取的中点，连接，易知为底面四边形外接圆的圆心.则，设，则，，，，， 由，得，即，得，故，. 故四棱锥的外接球半径为.    （ⅱ）解：由（ⅰ）知，， 设平面的法向量为，由得 则，取，，得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，，，由得解得，令，得，故. 设二面角的平面角为，则. 故二面角的余弦值为. 19.【详解】（1）如图，取的中点，连接，因为侧面为菱形，， 所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因为是的中点，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.又平面，所以平面平面. （2）连接，因为为等边三角形，则.  所以两两垂直.则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为AB=2，所以.故，.设，则，即.，.设平面的一个法向量为，则则，取，则，. 故平面的一个法向量为.又由（1）可知平面的一个法向量为，由题意可得，即. 解得.又，所以，线段CF的长为2. 学科网（北京）股份有限公司 $