5.3 一元一次方程的应用（工程问题）教学设计 2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

2025-09-16

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教学设计

教学课题	5.3 一元一次方程的应用（工程问题）
教学背景分析	工程问题是北师大版七年级上册 “一元一次方程应用” 的重要题型，承接前序 “方程解法”“简单三量关系（路程 = 速度 × 时间）” 知识，聚焦 “工程场景下的数学建模” 能力，实现 “从具象场景到抽象模型” 的过渡。教材以 “‘具体总量’（如修一段路、加工零件）” 和 “‘整体 1 总量’（如完成一项任务）” 为双主线，通过 “甲单独做需 5 天，乙单独做需 3 天，两人合作需几天完成” 等案例，示范 “设工作总量为 1→效率 = 1 / 时间→合作效率 = 效率和→列方程” 的解题流程（简化为具体总量避免分数，如设总量为 15，则甲效率 3、乙效率 5，合作时间 t 满足 (3+5) t=15）；在教材体系中，本课不仅是 “方程应用” 的巩固课，更是 “三量关系模型迁移” 的训练课，帮助学生将 “路程问题三量关系” 迁移到 “工程问题”，为后续 “利润问题、浓度问题” 铺垫 “找不变量 — 设元 — 列方程” 的思维基础。
教学目标	理解工程问题三量关系（工作总量 = 工作效率 × 工作时间，工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间），能识别 “单独完成、合作完成、中途退出” 三种基本场景；掌握 “设具体工作总量（如 120、600）” 的解题方法，能独立解决不含分数的工程问题（如 “3 人 1 小时搬 60 本书，1 人 1 小时搬多少本（效率）”“甲 4 小时修 200 米路，乙 5 小时修 250 米路，两人合作 1 小时修多少米”），求解准确率达 80% 以上；能根据场景设元（如设合作时间为 t，设效率为 x），避免 “效率与时间混淆” 的错误。感受工程问题与生活的紧密联系（如班级大扫除、校园修路），激发用数学解决实际问题的兴趣；在克服 “三量关系混淆、等量关系难找” 的障碍中，增强用方程建模的信心；培养 “分工合作、高效完成任务” 的意识，体会 “数学模型对实际工作的指导价值”，提升数学应用意识。
重难点	教学重点：①理解工程问题三量关系（总量 = 效率 × 时间），能根据具体场景计算效率（如 “4 人 2 小时搬 80 本书，1 人 1 小时搬 10 本”）；②掌握 “设具体工作总量” 的解题方法，能建立 “单独完成总量 = 合作完成总量”“部分完成量 + 部分完成量 = 总总量” 的等量关系（如 “甲搬 3 小时 + 乙搬 2 小时 = 120 本书”）。教学难点：①准确处理 “合作效率” 与 “单独效率” 的关系（如 “甲效

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率 20 本 / 小时，乙效率 15 本 / 小时，合作效率 = 20+15=35 本 / 小时”，避免 “合作效率 = 效率平均值” 的错误）；②理解 “工作总量默认整体 1” 的抽象场景（简化为具体总量，如设总量为各单独时间的公倍数，避免分数），克服 “无具体总量时不知如何设元” 的困境。

教学活动设计

教学过程	时长	老师活动	学生活动	设计意图
一、场景导入：唤醒工程三量认知	12 分钟	1. 生活化场景模拟： - 组织 “分组搬书活动”：每组 3 人，限时 2 分钟搬书，记录 “每组搬书总数”（如 A 组搬 60 本，B 组搬 48 本），提问：“1 人 1 分钟能搬多少本书？这个‘1 人 1 分钟搬书量’在数学里叫什么？”；2. 三量关系提炼： - 结合活动数据，明确 “工作总量（搬书总数）、工作效率（1 人 1 分钟搬书量）、工作时间（2 分钟）”，推导三量关系：效率 = 总量 ÷（人数 × 时间），总量 = 效率 × 人数 × 时间； - 举例验证：A 组效率 = 60÷（3×2）=10 本 /（人・分钟），若 1 人搬 5 分钟，总量 = 10×1×5=50 本；3. 明确目标：“今天用一元一次方程解决	1. 积极参与搬书活动，记录本组搬书总数，计算 “我们组搬 54 本，1 人 1 分钟搬 54÷（3×2）=9 本”，理解 “效率是单位时间的工作量”；2. 跟随推导三量关系，记录 “总量 = 效率 × 人数 × 时间”，用 A 组数据验证，确认 “1 人搬 5 分钟能搬 50 本”；3. 明确学习目标，激发 “用方程解决合作搬书、修路等问题” 的兴趣。	搬书活动将抽象三量关系具象化，让学生在实操中理解 “效率” 概念；数据推导与举例验证帮助学生夯实三量关系基础，为后续解题铺垫。

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		工程问题，重点学会‘找三量关系、算合作效率、列方程求解’”。
二、探究新知：拆解工程问题解法	22 分钟	1. 单独完成问题（基础场景）： - 案例：“学校要搬 120 本图书，甲同学单独搬需 6 分钟，甲的效率是多少？”； - 示范：设甲效率为 x 本 / 分钟，根据 “总量 = 效率 × 时间”，列方程 6x=120→x=20，检验：20×6=120，符合总量；2. 合作完成问题（核心场景）： - 案例：“甲效率 20 本 / 分钟，乙效率 15 本 / 分钟，两人合作搬 120 本，需几分钟？”； - 分步引导： ①合作效率 = 甲效率 + 乙效率 = 20+15=35 本 / 分钟； ②设合作时间为 t 分钟，列方程 35t=120→t=？（调整总量为 140 本，使 t=4，避免分数）； ③求解：35t=140→t=4，检验：35×4=140，符合总量；3. 中途退出问题（拓展场景）： - 案例：“甲效率 20 本 / 分钟，乙效率 15 本 / 分钟，两人合作搬 140 本，甲先搬 2 分钟，	1. 跟随示范解决单独问题，记录 “设效率为 x，用总量 = 效率 × 时间列方程”；2. 分析合作问题时，理解 “合作效率是两人效率相加，不是平均”，用调整后的总量计算 “t=4 分钟”，避免分数干扰；3. 自主完成中途退出问题，小组内检查 “是否先算甲单独完成的量，再算合作量”，修正 “漏加甲先搬总量” 的错误；4. 整理解题三步，在笔记本上标注 “合作效率 = 各效率之和，中途退出要分阶段算总量”。	从单独到合作再到中途退出，梯度推进难度，符合学生认知规律；调整总量规避分数，让学生聚焦解题逻辑；方法总结帮助学生建立系统化解题思维。

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