精品解析：海南省海南华侨中学美丽沙分校2025－2026学年九年级上学期开学测试数学试题

2025年海南华侨中学美丽沙分校九年级开学测数学科试题 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义； 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、x的最高次数为1，不是关于x的一元二次方程，故本选项错误； D、当时，是一元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 2. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义 ∴，解得： 故选：B 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 3. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是1.2，1.1，0.6，0.9，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方差的实际应用，掌握方差的意义是解题的关键； 方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．据此分析求解即可． 【详解】由题知，甲、乙、丙、丁四人的平均成绩相同，丙的方差最小，所以丙的射击成绩最稳定． 故选：C． 4. 四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ∥，∥ C. ， D. ∥， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、，， 四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 5. 如图，矩形的对角线交于点，则边长为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，进而利用等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， 故选： C． 【点睛】本题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出解答． 6. 反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数图象分布在第一、三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可． 【详解】将点（2,1）代入中，解得：k=2， A．k=2，此说法正确，不符合题意； B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意； C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意； D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键． 7. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 8. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． 一次函数的图象经过第一、三、四象限时，需满足且，根据这两个条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴且， 即且， ∴， 故选：C． 9. 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案． 【详解】解：∵∠BAC=∠D， ∴△ABC∽△ADE． 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为（　　） A. 2 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵在Rt△ABC中, ∴BC=2. 故选A. 11. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算抛物线的对称轴，在计算各点与对称轴的水平距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值也越大比较即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，且， ∵，，， ∴点A到对称轴直线的距离为， 点B到对称轴直线的距离为， 点C到对称轴直线的距离为， ∵， ∴， 根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小是解题的关键． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是( ) ①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=3∠AEF; A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD．∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确； ②延长EF，交CD延长线于M．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中，∵∠A=∠FDM，AF=DF，∠AFE=∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．∵FM=EF，∴FC=EF，故②正确； ③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误； ④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确． 故选C． 点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 手机屏幕下方的“触控感应层”里，有无数根极细的导电金属丝，每根金属丝的直径大约就是米，这个数用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 在中，，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：在中，，且，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 16. 如图，在矩形中，，点分别在上，且．，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，__________，此时的长为__________． 【答案】 ①. ②. 或10 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，当点在矩形内部时，由矩形的性质得到，根据已知条件得到，推出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得到，，根据勾股定理得到，根据矩形的判定和性质得到，再由勾股定理即可得到结论；同理，当点在矩形外部时，方法同上可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∵， ∴， 如图，在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 解得：． 如图，在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 解得：， 故答案为：，或10． 三、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算或解方程： （1）计算 （2）解方程 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握实数的混合运算顺序，一元二次方程的解法是解题的关键； （1）先利用整数指数幂，根式的运算法则和性质，完全平方公式化简，再进行计算； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ． 【小问2详解】 解：由， 得， 或， 解得，． 18. 如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若，的周长是10，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ∴， ． （2）20 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质： （1）根据平行四边形的性质得出，，推出，证出即可； （2）由平行四边形的性质得出，，，由线段垂直平分线的性质得出，由已知条件得出，即可得出的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ∵的周长是10， ， ∴的周长． 19. 如图，点、分别在的边、上，且． （1）求证：； （2）已知，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ，， ． （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明； （2）根据可得，根据题中条件代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 由，， 可得，即， ， ． 20. 某校初中二年级组建篮球队，对甲、乙两名备选同学进行定位投篮测试，每次投10个球，共投10次．甲、乙两名同学测试情况如图所示： 平均数 众数 方差 甲 7 1.2 乙 2.2 （1）根据图中所提供的信息把右侧表格填写完整； （2）乙同学在投篮测试中投中个数的中位数是______； （3）如果你是学生会文体委员，会选择哪名同学进入篮球队？请说明理由． 【答案】（1） 故填表如下： 平均数 众数 方差 甲 7 6 1.2 乙 7 8 2.2 （2） （3） 选甲，理由：因为平均数与乙一样，甲的方差小于乙的方差，甲的成绩较乙的成绩稳定，所以选甲． 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数的求法及方差的意义，能够从折线图中获取必要信息是解题关键． （1）根据平均数和众数的定义求解； （2）根据中位数的含义求解即可； （3）根据折线图分析：平均数一样，而乙的众数大，甲的方差小，成绩稳定；故选甲或乙均有道理，只要说理正确即可． 【小问1详解】 解：据折线图的数据，甲的数据中，6出现的次数最多，故众数是6； 乙的数据中，8出现的次数最多，故众数是8； 平均数为：； 【小问2详解】 解：乙的数据从小到大排序如下：； ∴中位数为：； 【小问3详解】 略 21. 已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求抛物线顶点的坐标，对称轴，并求出的面积； （3）如图，点是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为． ①当为何值时，的面积最大？并求出最大面积； ②当为何值时，是直角三角形？（直接写出答案） 【答案】（1） （2）抛物线顶点的坐标为，对称轴为，的面积等于3 （3）①当时，的面积最大，最大面积是；②或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识， 并作出适当的辅助线是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，过点E作y轴的平行线交于点D， 利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求点D的坐标，再利用“铅锤法”求的面积； （3）①设故，过点P作y轴的平行线交于点Q，则，利用“铅锤法”表示出的面积，再求的最大面积； ②先确定，分两种情况，当时，过点P作轴于点F，构造“一线三垂直”，证明， 可得，代入解方程可求出t的值；当时，一样的构造“一线三垂直证三角形相似”，同理可求出t的值． 【小问1详解】 将点和点代入抛物线解析式可得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 抛物线，顶点，对称轴为 如图1，连接，，过点E作y轴的平行线交于点D，则， 当时，，故， 设直线的解析式为， 代入点，可得， 解得， 直线的解析式为． 当时，，故， ， ， 的面积为3． 综上可知，抛物线顶点的坐标为，对称轴为，的面积等于3． 【小问3详解】 ①当时，，故， 如图2，过点P作y轴的平行线交于点Q，则， ， ． ， 当时，取得最大值． ， 当时，取得最大值，的面积取得最大值． 当时，的面积最大，最大面积是． ②由①知，， 点P是第一象限内抛物线上一动点， ， 当时，如图3所示，过点P作轴于点F，则， ， ，， 又， ， 又， ， ，即， ， 解得，（舍去）， ． 当时，如图4所示，过点P作轴于点G，过点B作，交反向延长线于点H，则， ，， ， 又， ， ，即， ， 又， 整理得， 解得，（舍去）， ． 综上可知，当或时，是直角三角形． 22. 如图，四边形是正方形，为等腰直角三角形，，点在上，点在上，为的中点，连结，以为邻边作平行四边形．连结，将绕点顺时针方向旋转，旋转角为． （1）如图1，当旋转角时 ①连接，证明≌ ②试证明与的数量关系及位置关系． （2）如图2，当时，（1）中②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）在旋转的过程中，当平行四边形的顶点落在正方形的边上，且，时，连结，请直接写出的长． 【答案】（1）①见解析；② （2）（1）中②的结论成立，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）①连接，由四边形是正方形，得到，结合，推出，即可证明；②如图1中，证明，推出，，推出，可得结论； （2）如图2中，作直线交于J，交于K，连接．证明，推出，，推出，可得结论； （3）分两种情形：如图中，当点G落在上时，如图中，当点G落在上时，分别利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：如图1中，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴A，N，C共线， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（1）中②的结论成立． 理由：如图2中，作直线交于J，交于K，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图中，当点G落在上时， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图中，当点G落在上时， 同法可证，， ∵， ∴， ∴， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年海南华侨中学美丽沙分校九年级开学测数学科试题 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是1.2，1.1，0.6，0.9，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ∥，∥ C. ， D. ∥， 5. 如图，矩形的对角线交于点，则边长为（　　） A. B. C. 1 D. 2 6. 反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数图象分布在第一、三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 7. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 8. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为（　　） A. 2 B. 8 C. D. 11. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是( ) ①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=3∠AEF; A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 手机屏幕下方的“触控感应层”里，有无数根极细的导电金属丝，每根金属丝的直径大约就是米，这个数用科学记数法表示为__________． 14. 在中，，则的值是__________． 15. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 16. 如图，在矩形中，，点分别在上，且．，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，__________，此时的长为__________． 三、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算或解方程： （1）计算 （2）解方程 18. 如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若，的周长是10，求四边形的周长． 19. 如图，点、分别在的边、上，且． （1）求证：； （2）已知，，，求的长． 20. 某校初中二年级组建篮球队，对甲、乙两名备选同学进行定位投篮测试，每次投10个球，共投10次．甲、乙两名同学测试情况如图所示： 平均数 众数 方差 甲 7 1.2 乙 2.2 （1）根据图中所提供的信息把右侧表格填写完整； （2）乙同学在投篮测试中投中个数的中位数是______； （3）如果你是学生会文体委员，会选择哪名同学进入篮球队？请说明理由． 21. 已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求抛物线顶点的坐标，对称轴，并求出的面积； （3）如图，点是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为． ①当为何值时，的面积最大？并求出最大面积； ②当为何值时，是直角三角形？（直接写出答案） 22. 如图，四边形是正方形，为等腰直角三角形，，点在上，点在上，为的中点，连结，以为邻边作平行四边形．连结，将绕点顺时针方向旋转，旋转角为． （1）如图1，当旋转角时 ①连接，证明≌ ②试证明与的数量关系及位置关系． （2）如图2，当时，（1）中②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）在旋转的过程中，当平行四边形的顶点落在正方形的边上，且，时，连结，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $