上海市杨浦高级中学2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

2026届杨浦高级中学高三上开学摸底考数学试卷 一、填空题 1.不等式 3之-1的解集为 x-2 2.己知幂函数了)的图象经过点(3，兮》， 求f(-3)= 3.已知：=1-3i,则2-i= 4.已知s-引月那么o2r= 5.双曲线花-少=1的两条渐近线的夹角为 6.已知p:x2-2x-8≤0，g:a<x<2a+9,若p是g的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 7.已知点(，5分别是椭圆号+y=1的左右焦点，过作顿斜角为子的直线交椭圆于AB两点，则△心8 的面积为 8.设圆C:(x-1)+y2=1,过原点O作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程为 9.己知一组数据为：4,7,2,15,8,19,21,3,78,22,47,63,33,76,83，则这组数据的第80百分位数为 10.关于x的方程g(x-1)+lg(3-x)=lg(1-ax)有两解，则实数a的取值范围是 11.我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进 行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从 今年起第n年绿洲面积为an万平方千米.则第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an-1(n≥2)的关系 是 12.平面内互不重合的点4、4、4、B、B2、B、B,若4B+AE+4B=i,i=1,2,3,4,则 |B,B,+B,B+BB,的取值范围是一· 二、单选题 13.事件A与B独立，A、B分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是( A.P(AUB)=P(4)P(B) B.P(AUB)=P(A)+P(B) C.P(4B)P(A)P(B) D.P(AUB)=P(A)+1-P(B) 第1页共4页 14.己知集合M、P都是非空集合，若命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，则下列必定为真命题 的是( ) A.M∩P=☑ B.M中至多有一个元素不属于P C.P中有不属于M的元素 D.M中有不属于P的元素 15.盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.己知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4 个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是( ). A、27 4 B、司 c.g D.g 16.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，P为棱AA上的定点，动点Q在正方体表面上运动，满足 PO·PC=0,如果动点9的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是( A.等腰三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 三、解答题 I7.在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,PA=AC=CP=2,AB=BC=√2， (1)若O是棱AC的中点，证明：BO⊥平面PAC，并求三棱锥B-OPA的体积； (2)求二面角B-PC-A的大小. 18.已知(1+3x)”(n为正整数)的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67； （1)记(1+3x)”=a+ax+…+anx”，则a+a2+…+an的值是多少； (2)求展开式中系数最大的项； 第2页共4页 19.己知f(x)=x2+2x-d,a为常数. (1)若y=f(x)为偶函数，求a的值： (2)设a>0,g)=回，若函数y=g(,x∈(0，a为减函数，求实数a的取值范围 20已蜘椭圆c若+发=0o>6>0)的右焦点为F,点P反 .y2 在C上，且PF⊥x轴， (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(4W5,0)及点A(0,3)的直线与椭圆C交于另一点B,N为线段FM的中点，直线NB与直线PF 交于点Q,求直线AQ的方程： (3)设过点M4V3,O)的直线I与椭圆C交于A、B两点，N为线段FM的中点，直线NB与直线PF交于 点Q,直线AQ与椭圆交于另一点E,求△AEF面积的最大值 第3页共4页 21.已知函数f()=ear2ama>0. (1)求曲线y=f(x)在点(0，(0)处的切线方程： (2)若∫()的极大值为1-，求a的值： (3)当a>上时，若任意x∈[山，+w),存在：∈(-∞，0使得f(s)+∫(x,)=0,求a的取值范围. 第4页共4页 2026届杨浦高级中学高三上开学摸底考数学试卷 一、填空题 1不等式，品1的解笑为 【答案】(-0，-U(2,+∞ 解折心220，即20，-20 x-2 0x+(x-2)20,解得：x>2或x≤-1， 所以不等式的解集为(-0，-U(2,+∞). 2。已知邪通数)的图象经过点(3兮》， 求f(-3)= 【答案】时 【解析】设（创=，a为常数，因为f)=3=),所以a=2,即了）=， 所以f3列=(-3)°可9 。11 3.已知：=1-3，则-= 【答案】5 【解析】因为：=1-3i,所以-=1+3i-=1+2i=P+22=√5. 4.已知smx-）号郑么co2x= 【答案】号 【解折1由诱号公式可得如(-引-cs= 因此，cos2x=2cos2x-1 2-1 5.双曲线y=1的两条渐近线的夹角为 【答案】60 【解析】由题意，双曲线 3-少=1，可得两条渐近线方程为y=± 3, 设直线y=5x的倾斜角为a,则ama- 3,a∈[0,180)，解得x=30, 第1页共11页 根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为2α=60° 6.己知p:x2-2x-8≤0，q:a<x<2a+9,若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 【答案】(-2 【解析】解不等式x2-2x-8≤0得-2≤x≤4，记A={x|-2≤x≤4，B={x|a<x<2a+9} 因为P是9的充分不必要条件，所以A是B的真子集， a<-2 所以 4<2a+9'解得- -<a<-2,所以a的取值范围为(3-2 7.已知点耳，￡分别是椭圆 +y'=1的左、右焦点，过E,作倾斜角为严的直线交椭圆于A、B两点，则△5AB 2 的面积为 【答案】 【解析】由椭圆二+y=1可得椭圆的左焦点(~1,0)、右焦点E,Q0,∴直线4B的方程为y=x-1, 2 y=x-1 设A(x,乃)，B(x2,2),联立 化为32-4x=0,x+5=g, F3’95=0, 点到直线AB的距离d=-)×10--5, 2 8=分d8=xx5- 3-3 8.设圆C:(x-1)+y2=1,过原点0作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程为 【容案】(x-+户=0<xs) 【解析】设弦中点为M(x,y),弦的另一个端点记作C(x。%)（≠0)， 由题意可得，x=,y=,即=2x,⅓=2y, 2 带入圆C的方程可得，所求点的轨迹方程为：-+y广-0<xs). 9.己知一组数据为：4,7,2,15,8,19,21,3,78,22,47,63,33,76,83，则这组数据的第80百分位数为 【答案】69.5 第2页共11页 【解析】该组数据从小到大排列为2、3、4、7、8、15、19、21、22、33、47、63、76、78、 83,共15个数据，所以15×80%=12，所以这组数据的第80百分位数为63+76=69.5 2 10.关于x的方程g(x-1)+lg(3-x)=lg(1-ax)有两解，则实数a的取值范围是 【塔案(0 【解析】原方程可化为：(x-1)(3-x)=1-ar,(1<x<3), 即x2-(a+4)x+4=0(1<x<3),令f(x)=x2-(a+4)x+4, △>0 f(1)>0 解得，0<a<3 1 如要函数y=∫(x)在1<x<3有两个零点，则需： f(3)>0 ， a+4 <3 2 11.我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进 行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从 今年起第n年绿洲面积为an万平方千米.则第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积am-1(n≥2)的关系 是 【答案】a-号a+芳aeNn≥2) 4 【解析】由题意得an=(1-4%)a-1+(1-anm-1)×16%=0.96a-1+0.16-0.16am1 =0.8an1+0.16=4 +若所以a0+aeNn≥2刘. 12.平面内互不重合的点4、4、4、B、B2、B、B,若4B+4,B+4B=i,i=1,2,3,4,则 B,B,+B2B+BB的取值范围是 【答案】[山，5] 【解析】设0为△AA,4的重心，则A0+A0+A,0=0, A4,B+AB,+4,B,=40+OB,+4,0+OB,+4,0+0B,=30B, 因为48+4B+4=i,所以o丽-，设0丽=， 则B在以点0为圆心，=号为半径的圆上，以点0为坐标原点建立平面直角坐标系， 第3页共11页 41 则BB,+B,B+8B2-万=331， 当且仅当B,B2,B都在线段OB上时，等号成立， 4 凤BB+BB+B,Bs万+5+5+5+5+=3+×2+1×2+3于 =5, 当且仅当B、O、B2在线段B,B上，且B,在线段OB上， B2在线段OB,上时，等号成立， 综上所述，BB2+BB,+B,B,的取值范围是[1,5]. 二、单选题 13.事件A与B独立，A、B分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是( A.P(AUB)=P(A)P(B) B.P(AUB)=P(4)+P(B) C.P(AB)=P(4)P(B) D.P(AUB)=P(A)+1-P(B) 【答案】C 【解析】事件A与B独立，A、B分别是A、B的对立事件，故P(AUB)=P()+P(B)-P()P(B),故A、B 错误；P(AB)=P()P(B),故C正确； P(AU)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=P(4)+1-P(B)-P(A)1-P(B)=1-P(B)+P()P(B),故D错误. 故选：C 14.己知集合M、P都是非空集合，若命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，则下列必定为真命题 的是( ) A.M∩P=o B.M中至多有一个元素不属于P C.P中有不属于M的元素 D.M中有不属于P的元素 【答案】D 【解析】因为命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，则命题的否定“存在M中的元素，不是P中的 元素”是真命题，即M中有不属于P的元素，故选D 15.盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4 个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是( A言 B、 9 9 【答案】C 第4页共11页 【解析】小明购买4个盲盒的试验有个基本事件，它们等可能，能集齐3种玩偶的事件A含有的基本事 件数为：CP,所以能集齐3种玩偶的概率是P(d=C3-4, =。,故选C 349 16.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，P为棱A4上的定点，动点Q在正方体表面上运动，满足 PO.PC=0,如果动点Q的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是( ) A.等腰三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 【答案】A 【解析】如图，在平面ACCA中过点P作PM⊥PC交AC于点M, (当P在A时M恰为A点，当P在A点时点M也恰为A点，满足点2（即A)使得PO·PC=0), 在平面ABCD中过M作EF∥BD,连接PE、PF, 由正方体的性质可得BD⊥AC,AA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以AA⊥BD, A AC∩AA,=A,AC,AAC平面ACC,A,所以BDI平面ACC,A, PC,C平面ACCA,所以PC⊥BD,所以PC⊥EF, EF∩PM=M,EF,PMC平面PEF,所以PC1⊥平面PEF, M C D 因为Pg·PC=0,所以Pg⊥PC, B 又动点Q在正方体表面上运动，所以2在△PEF的边上， 显然AE=AF,所以PE=PF,，所以△PEF为等腰三角形， D 又∠EPF<90°，所以△PEF不可能为直角三角形或钝角三角形： M C 故选：A 三、解答题 17.在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,PA=AC=CP=2,AB=BC=√2， (1)若O是棱AC的中点，证明：BO⊥平面PAC,并求三棱锥B-OPA的体积； (2)求二面角B-PC-A的大小. 【答案】I)体积为9,2)acos > 【解析】(1)连接BO,因为AB=BC=√2，所以BO⊥AC, 因为平面PAC⊥平面ABC,交线为AC, 第5页共11页 BOC平面ABC, 所以BO⊥平面PAC, 因为PA=AC=CP=2,所以P0⊥AC,A0=1,P0=√AP2-AO=√5， 故S.m-OP-40=x5x1= 2 2 AB=√2，由勾股定理得B0=√AB2-A02=√2-1=1， 又BO⊥平面PAC, 三核锥B-OP1的体积-9omB0-x51=5, 32 6 (2)由(1)知，B0⊥平面PAC,OC,OPC平面PAC, 所以B0⊥OC,B0⊥OP,又PO⊥AC,故OB,OC,OP两两垂直， 以O为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则B(1,00),P0,0,5),C(01,0,A(0-1,0), B即=（-1,05)，P元=(0,1，-5)， 设平面BPC的一个法向量为m=（x,y,z), m.B=(x,y,z(-1,0,5)=-x+V5z=0 m-PC=(x,y,z)01,-5)=y-5z=01 令z=1得x=y=√5，故m=(V5,V5,), 又平面PCA的一个法向量为方=(1,0,0)， 故cosm,i= m万_(55，小-0,0).52 网·同 V3+3+1 7 由图可知，二面角B-PC-A为锐角， 故二面角B-PC-A的大小为ac 18.已知(1+3x)”(n为正整数)的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67； (1)记(1+3x)”=a。+ax+…+anx”,则a,+a2+…+an的值是多少； (2)求展开式中系数最大的项； 【答案】(1)4-1；(2)T,=C3x或T。=C39x2 第6页共11页