精品解析：四川省成都市石室天府中学2025-2026学年高三上学摸底考试数学试题

石室天府中学高2023级高三上期摸底考试 数 学 命题人：田苏妹 审题人：屈强 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，可求交集，进而可得结论. 【详解】由，可得， 所以. 故的元素个数为3. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法求出复数，再由模的公式计算即得. 【详解】因，则，则. 故选：B 3. 已知向量与的夹角为，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的模长公式及向量数量积的运算即可求解. 【详解】， 即，即， 解得或（舍）. 故选：. 4. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ， 即，可得， ，即， 所以， 所以. 故选：. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质可推断，再通过举反例即可得出结论. 【详解】因为，由，根据传递性可知， 因此“”能推出“”，因此充分性成立； 不妨取，满足，但不成立，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知（其中），将图象向左平移个单位后得到的图象，若的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到的解析式，从而根据原点对称得到方程，求出答案. 【详解】， 的图象关于原点对称，则，， 解得，， 又，故当时，，满足要求，其他均不满足. 故选：B 7. 已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形为等边三角形确定点的坐标，然后可求出的中点的坐标，然后将其代入双曲线中解得离心率. 【详解】因为，所以正三角形的边长为. 所以点在轴上，且，所以. 所以的中点. 因为的中点在双曲线上，所以. 化简得，继续化简得， 解得. 所以解得. 故选：C. 8. 水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设要使半球形容器内壁的半径的最小，保证小球与球各面（含球面部分）都相切，进而求半径最小值. 【详解】要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与球各面（含球面部分）都相切， 此时，如上图示，为半球的球心，为其中一个小球球心，则是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与共线， 所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与长度之和，即, 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式中没有常数项 C. 展开式所有二项式系数和为1024 D. 展开式所有项的系数和为256 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质可求的值及展开式所有二项式系数和；根据二项式定理可求常数项；令可求展开式中所有项的系数和. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为，所以，A错误； 因为， ，因为，所以展开式中没有常数项，B正确； 展开式所有二项式系数和为，C错误； 令，可得展开式所有项的系数和为256，D正确． 故选：BD. 10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. C. 的前项和 D. 的前项和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式，判断数列单调性，根据分组求和法，裂项求和法，求出数列前项和；逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由得，化简得，即， 所以，因为，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，A正确； 由是以2为首项，以2为公比的等比数列，可得， 求得，， 可知恒正，且随着的增大而增大，所以随着的增大而减小，所以B错误； 由可得，所以C正确； 由， 得， 所以D正确； 故选：ACD. 11. 某同学在学习了双曲线的定义后受到启发，研究平面上到点距离的倒数之差的绝对值等于1的点的轨迹，设点为曲线上一点（即满足），则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 点的横坐标的取值范围是 C. 当点不在坐标轴上时，点在椭圆的内部 D. 设点的坐标为，则随着的增大而增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，列出关系式，易得曲线关于原点对称；对于B，当时，即可判断；对于C，不妨设，根据关系式可得，再由三边关系得，解得，结合对称性即可判断；对于D，把点代入曲线，整理化简得，即，结合进行单调性分析即可判断． 【详解】对于A，设点，则， 点代入得， 所以点也在曲线C上，故A正确； 对于B，当时，，所以，故B错误； 对于C，由对称性，不妨设，则， 即，则， 又，所以，又点不在坐标轴上， 所以，即， 解得， 而椭圆，其右焦点为，半焦距为1，长半轴长为， 则对于椭圆上任意一点到的距离， 所以当时，点在椭圆的内部， 由对称性知点不在坐标轴上时，点在椭圆的内部，故C正确； 对于D，不妨设，则，即， 又 ， 即， 即， 则， 又， 所以在上单调递增，且大于0， 又， 所以在上单调递增，且大于0， 即增大时，增大，又增大，也增大， 所以随着的增大而增大，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】对条件等式利用基本不等式再结合一元二次不等式即可求解. 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 故答案为： 13. 已知，函数，若恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为在上恒成立，且在上恒成立，设，，分，两种情况利用导数研究函数的单调性，由此可得，设，，当时，利用导数研究函数的单调性，由此证明满足条件，当时，由说明其不满足条件，由此可得结论. 【详解】因为，所以不等式可化为， 当时，，所以， 由已知在上恒成立， 所以，其中， 设，， 则， 若，则，函数在上单调递增， 所以，满足条件， 若，令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，，与条件矛盾， 所以， 当时，，所以， 由已知在上恒成立， 所以，其中， 设，， 则， 若，则，函数在上单调递减， 又当，且时，， 所以当时，在上恒成立， 当时， ，， 与条件在上恒成立矛盾， 所以， 所以， 所以的取值范围是， 故答案为： 14. 某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况得到满足题意的排列数，再结合古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】情况一：前四次摸球中只有白球和红球，第五次摸到黄球，有种； 情况二：前四次摸球中只有白球和黄球，第五次摸到红球，有种； 情况三：前四次摸球中只有红球和黄球，第五次摸到白球，有种； 所以总共满足题意的有， 而， 故所求为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过85分的人数 得分超过85分的人数 男生 20 100 女生 30 50 （1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？ 附：参考公式，其中． 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）我们认为性别与了解安全知识的程度有关 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样性质求出得分超过85分的学生中男生和女生人数，利用对立事件概率公式及古典概型概率公式求3名学生中有至少一名女生的概率； （2）根据列联表求，将所得值与临界值比较大小，确定是否接受假设. 【小问1详解】 200名学生中得分超过85分的人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人， 因此按性别进行分层抽样得： 样本中男生人数为：人， 样本中女生人数为：人， 设这3名学生中有至少一名女生为事件，则 ； 【小问2详解】 根据列联表可：， 根据小概率值的独立性检验， 我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001． 16. 如图，已知正方形的边长为4，E，F分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，M为线段上一点． （1）若M为线段中点，设直线与直线的交点为O，证明：平面； （2）是否存在点M，使得直线与平面所成的角为?若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）分别为中点，，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形，为中点， 是的中点，为中点，， 又平面，平面， 平面； （2），，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角， ； 取中点，连接，如图， ，，， ，， ，，， 又平面，，平面， 平面，， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则，令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为. 【解析】 【分析】（1）由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 乒乓球台被球网分成甲、乙两部分，如图，甲被划分为两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，并规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在D上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为. （1）假设每次来球都等可能地落在上.现已知小明某次回球落在乙上，求他此次回球得3分的概率； （2）假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列如下： 0 1 2 3 4 6 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算小明回球落在乙上的概率和小明回球得3分的概率，最后结合条件概率公式即可； （2）根据题意得出的可能取值，依次计算出每个可能取值对应的概率，得到分布列，最后用期望公式计算即可. 【小问1详解】 设事件表示来球落在上，事件表示来球落在上，事件表示小明回球落在乙上，事件表示小明回球得3分，由题意得：， ，，， ，， 由全概率公式，， ， 因此， 故小明此次回球得3分的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为，由两次回球结果相互独立可得 ，，， ，， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 4 6 . 18. 已知拋物线的焦点是，点是拋物线上一点（异于坐标原点），当时，． （1）求抛物线的方程； （2）若是以为直径的圆，证明：与轴只有一个公共点，且直线与抛物线只有一个公共点； （3）设，过的直线与交于另一点，交轴于点，过作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值． 【答案】（1） （2）由题意知，，设中点为，则. 而的半径，因此到轴的距离等于的半径，说明与轴相切， 有唯一公共点. 直线的斜率，因此. . 故直线与抛物线相切，只有一个公共点. （3） 【解析】 【分析】（1）先确定点的坐标，然后根据两点距离公式求出，进而求出抛物线方程. （2）先求出圆的方程，确定该圆与轴只有一个公共点，然后求出直线的方程，联立直线与抛物线方程组可求得公共点. （3）设，先求出的斜率，进而求出直线的方程，进而得到点的中点，根据已知条件求出最小值即可. 【小问1详解】 根据题意，当时，，此时点. 而，所以. 化简得，解得. 继续化简得，因为， 所以. 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，的斜率. 同理斜率. 由于，有. 直线的方程为，令. 因此，由（2）可得，若是抛物线的切线，有. 即，整理得. 由可得，因此. 故的最小值为. 19. 已知函数． （1）若函数在处的切线经过，求的值； （2）若函数存在两个极值点，求的取值范围； （3）若满足，证明：． 【答案】（1） （2） （3）由（2）知，时，， 即，则在上单调递减， 又，所以，， 则要证不等式等价于证， 令，， 又，不妨设，则， 又在上单调递减，所以， 当时，，即， 所以， 令，， 所以当时，，单调递增， 时，，单调递减，则， 即时，，单调递减， 又，所以，即，故； 当时，由（2）知有两个极值点，且， 则在单调递减，在单调递增，在单调递减， 又为极值点，所以，即， 则， 又， 所以， 则时，，又，， 所以，即， 综上，若满足，． 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义得到切线方程为，再代点求即可； （2）根据有两个极值点，即有两个解，即有两个解，令，求导分析函数单调性及最值即可确定的取值范围； （3）当时，单调递减，得到，结合，不等式转化为证，令，求导，再取，则，故当时，，即，可得，令，利用导数证明，即可得到，单调递减，从而得证；当时，由（2）知有两个极值点，可证得极大值点，从而得到，即可证得． 【小问1详解】 ，，， 所以切线方程为，又切线过，所以， 解得． 【小问2详解】 由题知函数定义为，， 又函数存在两个极值点，所以在有两个解， 即在有两个解，令， ， 所以当时，，单调递增， 时，，单调递减， 则，又时，时， 所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石室天府中学高2023级高三上期摸底考试 数 学 命题人：田苏妹 审题人：屈强 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与的夹角为，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知（其中），将图象向左平移个单位后得到的图象，若的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式中没有常数项 C. 展开式所有二项式系数和为1024 D. 展开式所有项的系数和为256 10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. C. 的前项和 D. 的前项和 11. 某同学在学习了双曲线的定义后受到启发，研究平面上到点距离的倒数之差的绝对值等于1的点的轨迹，设点为曲线上一点（即满足），则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 点的横坐标的取值范围是 C. 当点不在坐标轴上时，点在椭圆的内部 D. 设点的坐标为，则随着的增大而增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则的最大值为______. 13. 已知，函数，若恒成立，则的取值范围是______. 14. 某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过85分的人数 得分超过85分的人数 男生 20 100 女生 30 50 （1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？ 附：参考公式，其中． 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，已知正方形的边长为4，E，F分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，M为线段上一点． （1）若M为线段中点，设直线与直线的交点为O，证明：平面； （2）是否存在点M，使得直线与平面所成的角为?若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由． 17. 乒乓球台被球网分成甲、乙两部分，如图，甲被划分为两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，并规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在D上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为. （1）假设每次来球都等可能地落在上.现已知小明某次回球落在乙上，求他此次回球得3分的概率； （2）假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望. 18. 已知拋物线的焦点是，点是拋物线上一点（异于坐标原点），当时，． （1）求抛物线的方程； （2）若是以为直径的圆，证明：与轴只有一个公共点，且直线与抛物线只有一个公共点； （3）设，过的直线与交于另一点，交轴于点，过作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值． 19. 已知函数． （1）若函数在处的切线经过，求的值； （2）若函数存在两个极值点，求的取值范围； （3）若满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $