2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷（提高篇）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】利用两点斜率公式计算即可. 【解答过程】点所在直线的斜率为. 故选：A. 2．（5分）在机器人车间里，有一台负责搬运零件的机械臂，其运动结构可抽象为：底座是一个矩形平台，机械臂的主杆垂直于平台所在平面（即平面），现要将一零件从点搬运到点，已知，若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【解答过程】由题意可知，即，则， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 故. 故选：D. 3．（5分）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的方程，可得a，c值，根据双曲线定义，可得，分别检验，分析即可得答案. 【解答过程】由双曲线的方程可得，则， 解得， 由双曲线的定义可知， 因为，所以或13. 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 故选：C. 4．（5分）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】应用向量共面的充要条件存在满足，列式计算求解. 【解答过程】由题意得，，， 若，，三个向量共面，则存在满足， 则，所以， 故选：B. 5．（5分）已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立a、c关系求解离心率． 【解答过程】设椭圆左焦点为，连接，    由A、B关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率． 故选：C. 6．（5分）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，若，则（   ） A．12 B．10.5 C．9 D．7.5 【答案】C 【解题思路】根据抛物线的定义，结合，利用梯形中位线建立方程求解. 【解答过程】抛物线的焦点为，准线为.如图， 取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，则. 设，则，，又，， 所以， 又，即，解得. 所以. 故选：C. 7．（5分）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出曲线的图象，数形结合可得解． 【解答过程】直线恒过定点， 由，得到 ， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示：    当直线经过点时，与曲线有两个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线有两个公共点， 故选：D. 8．（5分）如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，把线面距转化为点面距，利用点面距的公式可得答案. 【解答过程】以点D为坐标原点，直线分别为x轴､y轴､z轴建 立空间直角坐标系，如图所示. 则， ， ，则， 又平面平面平面EFGH， 到平面EFGH的距离，即为点到平面EFGH的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则， 又点到平面EFGH的距离， ∴直线到平面EFGH的距离为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法中，正确的有（   ） A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点，且倾斜角为的直线方程为 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】AB 【解题思路】运用截距概念判断A；根据斜率和截距可判断B；求出直线方程判断C；分情况求出直线方程即可判断D． 【解答过程】对于A，令，求得，则直线在y轴上的截距为，故A正确； 对于B，令，得；令，得；所以直线 在轴上的截距为，在轴上的截距为，直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，倾斜角为的直线斜率为0，则过点并且倾斜角为的直线方程为，故C不正确； 对于D，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为； 当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得， 此时直线方程为，故D不正确. 故选：AB. 10．（6分）如图，已知正方体的棱长为2，点，在正方体的面内（包括边界），若，，则下述结论正确的是（   ）    A．二面角的平面角的正切值为2 B． C．点的轨迹长度为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】BD 【解题思路】根据二面角的几何法可得其平面角为，即可求解；根据勾股定理可得，即可求解C；建立空间坐标系，根据向量垂直判断B；根据向量的夹角即可得 ，求解D. 【解答过程】对于A：连接相交于，连接, 由于，且，故， 因此为二面角的平面角， 故，故A错误； 对于C：在正方体中， 平面，平面， 所以，故，则有， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以轨迹长为，故C错误； 对于B：在正方体中，平面平面，且两平面交线为, 平面，故平面， 因为，则平面，故在上， 建立如图所示的空间直角坐标系，    因为点的轨迹是线段，所以可设，， 则， ， 则,,， 所以,,，， 故， 进而可得，故，故B正确； 对于：，，， 设平面的一个法向量为， 则有，即，令，则，， 故平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 则， 当时，有最大值， 故与平面所成角的正弦值的最大值，故D正确． 故选：BD． 11．（6分）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于 两点，交于，交于，则（   ） A． B．以为直径的圆过原点 C．的最小值为 D．与的面积之比为定值 【答案】ABD 【解题思路】设过的直线为，联立抛物线方程，由韦达定理可判断A，利用判断B，利用两点间距离公式及二次函数配方求最值判断C， 设直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理可得点坐标与点坐标的关系，求直线与轴交点的横坐标，再由三角形面积公式计算即可判断D. 【解答过程】如图， 设过的直线为，联立， 消元可得，则，故A正确； 因为， ， 所以以为直径的圆过原点，故B正确； 因为， ，故当时，有最小值，即的最小值为，故C错误； 由抛物线可知，设直线的方程为， ，联立，消元可得， 所以，即，， 同理可得，，设与轴交点为，则， 即，可得，可得， 解得，所以， ，所以，为定值，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知空间向量，若，则实数__________. 【答案】 【解题思路】根据坐标计算即可. 【解答过程】由题意可得，，得. 故答案为：. 13．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为________. 【答案】/ 【解题思路】设右焦点为，过作轴于，根据长度关系求出，最后根据双曲线的定义即可求出. 【解答过程】设右焦点为，连接，过作轴于， 因为双曲线关于轴对称，四边形为菱形，所以， 则，则，所以， 则为等边三角形，则，所以，所以， 根据双曲线的定义可知，所以. 故答案为：. 14．（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹是圆.已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为______. 【答案】 【解题思路】令，应用两点距离公式列方程求轨迹，结合已知圆的方程求出及点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【解答过程】设，依题意，，即， 整理得，则，解得，即， 点到直线的距离为， 由得， 当且仅当三点共线时取等号， 此时直线的斜率为，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，故存在点使得三点共线， 所以的最小值为.    故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【答案】(1). (2)或. (3)或. 【解题思路】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【解答过程】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 16．（15分）已知圆，点. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求该直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【解题思路】（1）求出圆的圆心及半径，再利用切线的性质，并按切线的斜率是否存在分类求解. （2）根据给定条件，求出圆心到直线的距离，再设出方程，利用点到直线的距离公式列式求解. 【解答过程】（1）圆的圆心，半径， 点到直线的距离为3，则直线可为过点与圆相切的直线； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，得，即， 解得，切线方程为，所以切线方程为或. （2）由过点的直线与圆相交于两点，且，得点到直线的距离， 由（1）知，直线的斜率存在，设其方程为，即， 于是，即，整理得，解得或， 所以所求直线的方程为或. 17．（15分）双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点． ①证明：； ②若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ② 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线及焦点到渐近线距离列等式求解即可； （2）对于①，设直线l为，，，联立直线l与双曲线、渐近线的方程，解出A、M、N、B四点的坐标关于斜率k的等式，化简证明即可；对于②，结合弦长公式，将转化为关于k的等式，解出该等式即可． 【解答过程】（1）因为双曲线C的渐近线为， 由双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线， 渐近线的方程为，焦点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）①证明：双曲线如图所示， 由（1）知双曲线的方程为， 其渐近线的方程为，直线与双曲线左右两支均相交，所以斜率一定存在， 设直线l为， 因为直线l交双曲线的左右两支分别于A、B，所以， 设，，联立，可得， 所以，， 联立，解得，，则， 联立，解得，，则， 所以，， 所以 ， 所以． ②由A、M、N、B共线，可得， 由①可得， ， 所以， 解得，所以符合题意，所以直线l的方程为． 18．（17分）如图，四棱锥中，平面，， ，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【解题思路】（1）过点作直线平行于直线，且交于点，连接，结合题目已知条件即可证明. （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，用两平面的法向量去求其所成角的余弦值. （3）设 ，求出点坐标，利用点到平面的距离公式列出方程即可求出答案. 【解答过程】（1）证明：如图所示，过点作直线平行于直线，且交于点，连接. 是的中点，且， 又且，与平行且相等， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系； 由题知点、点、点的坐标分别为、、， ，. 设平面与平面的法向量分别为，. 由于平面在坐标平面上，令. ，令 ，， . 设平面与平面夹角为， . 平面与平面夹角的余弦值为. （3）由（2）知点、点的坐标分别为、 ，. 设点的坐标为， ， ， ，点的坐标为， . 设平面的法向量为， ， 令 . 由点到平面的距离公式可得 ， 或（舍去）. ，满足条件. 存在点，且. 19．（17分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，该椭圆的左右顶点分别为，过作直线交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为． (1)求椭圆的方程； (2)若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由； (3)设直线过点，分别记和的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)直线过定点 (3) 【解题思路】（1）根据离心率可得，结合短轴长可得，，即可得椭圆方程； （2）设直线，与椭圆方程联立可得韦达定理，可得，，代入结合韦达定理分析求解即可； （3）可得，，整理可得，进而求的取值范围即可. 【解答过程】（1）由题意可知：，可得， 且，即，可得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知：，， 因为直线的斜率可能不存在，但不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则， 可得， 因为点在椭圆上，则，即 设直线的斜率为，则， 即， 又因为，即，可得， 即，可得， 整理可得， 即， 因为，则， 可得，整理可得， 则直线过定点， 且点在椭圆内，直线与椭圆必相交，符合题意， 所以直线过定点. （3）若直线过点，点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 因为， 则，可得， 则，整理可得， 设，则，解得， 即，则，可得， 所以的取值范围为. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷（提高篇） 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册全册：第一章~第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 2．（5分）在机器人车间里，有一台负责搬运零件的机械臂，其运动结构可抽象为：底座是一个矩形平台，机械臂的主杆垂直于平台所在平面（即平面），现要将一零件从点搬运到点，已知，若，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 4．（5分）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（5分）已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，若，则（   ） A．12 B．10.5 C．9 D．7.5 7．（5分）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法中，正确的有（   ） A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点，且倾斜角为的直线方程为 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10．（6分）如图，已知正方体的棱长为2，点，在正方体的面内（包括边界），若，，则下述结论正确的是（   ）    A．二面角的平面角的正切值为2 B． C．点的轨迹长度为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11．（6分）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于 两点，交于，交于，则（   ） A． B．以为直径的圆过原点 C．的最小值为 D．与的面积之比为定值 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知空间向量，若，则实数__________. 13．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为________. 14．（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹是圆.已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 16．（15分）已知圆，点. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求该直线的方程. 17．（15分）双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点． ①证明：； ②若，求直线的方程． 18．（17分）如图，四棱锥中，平面，， ，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，该椭圆的左右顶点分别为，过作直线交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为． (1)求椭圆的方程； (2)若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由； (3)设直线过点，分别记和的面积为，求的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $