精品解析：甘肃省武威市 2024-2025 学年下第三阶段评估试卷 九年级 数 学

2024－2025学年度第二学期第三阶段评估试卷 九年级数学 一、选择题：每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 9的平方根是3 B. 的平方根是 C. 9的算术平方根是3 D. 9的算术平方根是 3. 据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在大圆柱体中挖去一个小圆柱体，那么这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 如图，，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（ ） A. B. C. D. 9. “双减”政策实施后，中小学生家庭作业明显减少．如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业（作业相同）所花费时间的折线统计图，下列说法正确的是 （ ） A. 甲完成家庭作业所花费时间最长为小时 B. 乙完成家庭作业所花费时间最长为2小时 C. 这一周乙完成家庭作业的平均效率比甲高 D. 同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多了1小时 10. 如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为（ ） A. 42 B. 46 C. 48 D. 50 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 把多项式因式分解结果是______． 12. 已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____． 13. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为________． 14. 如图，在中，，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接，则的度数为______． 15. 如图，菱形的顶点是坐标原点，点在反比例函数的图象上，点在轴上．若菱形的面积是6，则的值为___________． 16. 如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题：本题共72分． 17 计算： 18. 解不等式组，并在数轴上把解集表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，当时，求作直线l上一点P，使。 小高的做法为： ①作出的外接圆，圆心为M； ②作出线段的垂直平分线，与的交点为O； ③以O为圆心，的长为半径画圆，与直线l交点就是使的点P． 老师说小高的做法是正确的． 根据小高设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，， ∵是的外接圆，又在中， ∴． ∵是垂直平分线 ∴（______）（填写推理的依据）， ∴点B也在以O为圆心，以为半径的圆上， 对于， ∴（______）（填写推理依据）． 21. 随着中考的临近，为了给即将参加中考的学生加油鼓励，九年级（1）班的班长制作了一个如图所示质地均匀的转盘（转盘被平均分成四等份），再将“中考加油”四个字分别写在每个扇形上，让班上的每个同学自由转动两次转盘，转盘停止后，指针所指扇形区域内的字即为转出的字（若指针指向分割线，则不计次数，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）． （1）该班小敏同学转动一次转盘，转出的字为“考”属于______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） （2）该班的小凡同学转动转盘两次，利用列表或画树状图的方法求小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的概率． 22. 甘肃黄河楼，耸立在黄河之滨，见证了母亲河的壮丽与传奇，是弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，小军想利用无人机测量黄河楼的高度BC，无人机在点A处测得黄河楼顶部点B的俯角为，黄河楼底端点C的俯角为，此时无人机与黄河楼的水平距离为，点D、B、C在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求黄河楼的高度BC．（参考数据：，，） 23. 为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是________度； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 24. 甘加草原拥有壮丽的高原风光，蓝天白云下，广阔的草原上牛羊成群，风景如画．夏季是游览甘加草原的最佳季节，此时草原上野花烂漫，景色宜人．暑假期间，王超一家自驾前往该景区游玩，经过服务区时，休息一段时间后继续驶往目的地，如图表示王超离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： （1）王超一家到达服务区之前车速为______千米/小时，在服务区休息时长为______小时； （2）求图中段y与x之间的函数关系式； （3）王超离开家多久，离家的距离恰好为160千米？ 25. 如图，是的直径，点A，点D在上，且位于的两侧，点C在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. （1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰中，，点在边上，以为边作正方形，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，．以点为对称中心，画出关于点对称的图形，并直接写出与的位置及大小关系 　　； （2）【类比探究】在等边中，、分别是、边上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形，如图2，连接，点为线段的中点，连接、，判断与的位置及大小关系，并证明你的结论； （3）【迁移运用】在（2）的条件下，若，，菱形在旋转过程中，当最小时，直接写出的值 　　． 27. 如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点. （1）求A、B、C的坐标； （2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求△AEM的面积； （3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG=DQ，求点F的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期第三阶段评估试卷 九年级数学 一、选择题：每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义．根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 9的平方根是3 B. 的平方根是 C. 9的算术平方根是3 D. 9的算术平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根和算术平方根的定义判断即可． 【详解】解：非负数a的平方根是，算术平方根是， 因此9的平方根是，算术平方根是3． A．9的平方根是，故错误，不符合题意； B．没有平方根，故错误，不符合题意； C．9的算术平方根是3，故正确，符合题意； D．9的算术平方根是3，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的判断，解题关键是熟悉相关概念．平方根，又叫二次方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根． 3. 据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：； 故答案为：D． 4. 如图，在大圆柱体中挖去一个小圆柱体，那么这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的定义， 理解 “从正面看几何体，所看到的视图是主视图．”，理解画轮廓线时，看见的轮廓线线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键． 【详解】解：从正面看到的平面图形是， 故选：B． 5. 如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．过P作于H，根据角平分线的性质得到，，根据平行线的性质和三角形的外角性质求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过P作于H， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是关键． 根据相似三角形对应角相等即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， 故选：B ． 7. 《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程解实际问题．根据总人数不变，分别表示出每3人乘一车，每2人共乘一车时的总人数即可求解． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：B． 8. 如图，，，是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小正方形边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F，由勾股定理可求AC，BC的长，由三角形的面积公式可求BD的长，即可求sin∠ACB的值． 【详解】解：设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F， ∵S△ABC=2×7-×1×3−×1×7−×2×4=5， 由勾股定理可知：AC= ， ∵AC•BD=5， ∴BD=， 由勾股定理可知：BC= ， ∴sin∠ACB= = . 故选A． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是运用面积法求BD的长． 9. “双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业（作业相同）所花费时间的折线统计图，下列说法正确的是 （ ） A. 甲完成家庭作业所花费时间最长为小时 B. 乙完成家庭作业所花费时间最长为2小时 C. 这一周乙完成家庭作业的平均效率比甲高 D. 同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多了1小时 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图中的信息依次判断即可． 【详解】解：由统计图可知，甲完成家庭作业所花费时间最长为2小时， 乙完成家庭作业所花费时间最长为小时，故选项A，B中的说法错误，不合题意． 这一周甲每天完成家庭作业平均花费的时间为（小时）， 乙每天完成家庭作业平均花费的时间为1.8（小时）， ∵甲、乙两名同学每天的作业是相同的， ∴这一周甲完成家庭作业的平均效率比乙高，故选项C中的说法错误，不合题意． 由统计图可知，同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多1小时，故选项D中的说法正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了平均数，从折线图中获取有用信息是解题的关键． 10. 如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为（ ） A. 42 B. 46 C. 48 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、函数的图象、勾股定理，从函数的图象获取信息是解题的关键．连接交于点O，由图象可知，当时，，利用菱形的性质计算出菱形的边长，再计算出当时的长，即可得出a的值． 【详解】解：如图，连接交于点O， 四边形是菱形， ，，， 由图象可知，当时，， 此时，， ， 当时，， ， ， ． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 把多项式因式分解的结果是______． 【答案】（2m+n）（2m-n） 【解析】 【分析】把写成（2m）2的形式，然后利用平方差公式分解即可 【详解】解：原式=（2m）2- n2=（2m+n）（2m-n）， 故答案为（2m+n）（2m-n） 【点睛】此题考查了用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的情况是解题的关键，由于，是方程的两个实数根，可得，，代入可得，进而得到，，代入原式验证后，即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，原方程为， ∴，不符合题意舍去， 当时，原方程为， ∴，符合题意舍去， 综上所述：， 故答案为：． 13. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及二次函数的一般式化为顶点式，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．先将化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式． 【详解】解：， ∵先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的表达式为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接，则的度数为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，证明，，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：在中，，，将绕着点C顺时针旋转得到， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 15. 如图，菱形的顶点是坐标原点，点在反比例函数的图象上，点在轴上．若菱形的面积是6，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据反比例函数值几何意义解答结构． 【详解】解：连接交于点D， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， 又∵双曲线位于第二象限， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由，，求得，由得，由得，根据三角形内角和求得，进而求得，最后根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 三、解答题：本题共72分． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 先计算零次幂、二次根式、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算加减． 【详解】解： ． 18. 解不等式组，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】无解，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组并在数轴上表示解集. 分别求出两不等式的解集，进而求出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可. 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组无解， 数轴上表示如下： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 20. 如图，当时，求作直线l上一点P，使。 小高的做法为： ①作出的外接圆，圆心为M； ②作出线段的垂直平分线，与的交点为O； ③以O为圆心，的长为半径画圆，与直线l交点就是使的点P． 老师说小高的做法是正确的． 根据小高设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，， ∵是的外接圆，又在中， ∴． ∵是的垂直平分线 ∴（______）（填写推理的依据）， ∴点B也在以O为圆心，以为半径的圆上， 对于， ∴（______）（填写推理依据）． 【答案】（1）见详解 （2），垂直平分线的性质，圆周角定理 【解析】 【分析】本题主要考查垂线的尺规作图，圆周角定理等知识， （1）先作线段的垂直平分线，再作的外接圆，再根据题意完成作图即可； （2）依据题干给出的思路作答即可． 【小问1详解】 作图如下： 点P即为所求； 【小问2详解】 连接，，如图， ∵是的外接圆，又在中，， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴（垂直平分线的性质）， ∴点B也在以O为圆心，以为半径的圆上， 对于，， ∴（圆周角定理）． 故答案为：，垂直平分线的性质，圆周角定理． 21. 随着中考的临近，为了给即将参加中考的学生加油鼓励，九年级（1）班的班长制作了一个如图所示质地均匀的转盘（转盘被平均分成四等份），再将“中考加油”四个字分别写在每个扇形上，让班上的每个同学自由转动两次转盘，转盘停止后，指针所指扇形区域内的字即为转出的字（若指针指向分割线，则不计次数，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）． （1）该班的小敏同学转动一次转盘，转出的字为“考”属于______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） （2）该班的小凡同学转动转盘两次，利用列表或画树状图的方法求小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，利用列表或画树状图求概率等知识点，解题的关键是熟练掌握事件的分类和求概率的方法． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）画树状图进行求概率即可． 【小问1详解】 解：该事件属于随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，其中两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的结果有4种， ∴P（小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”． 22. 甘肃黄河楼，耸立在黄河之滨，见证了母亲河的壮丽与传奇，是弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，小军想利用无人机测量黄河楼的高度BC，无人机在点A处测得黄河楼顶部点B的俯角为，黄河楼底端点C的俯角为，此时无人机与黄河楼的水平距离为，点D、B、C在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求黄河楼的高度BC．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在和中，分别利用锐角三角函数求出的长，即可得的长． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 中，， ， 解得， ． ∴黄河楼的高度为． 23. 为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是________度； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）100，见解析 （2）72 （3）1710人 【解析】 【分析】（1）根据C组人数及所占比例得出总人数，确定D组的人数即可补全统计图； （2）用360度乘以B组人数所占的比例即可； （3）总人数乘以不超过90分钟学生的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：人， ∴D组的人数为： ， 补全的条形统计图如下图所示： 【小问2详解】 ， 故答案为：； 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【点睛】题目主要考查扇形统计图与条形统计图，用样本估计总体及求扇形的圆心角等，理解题意，根据扇形统计图与条形统计图获取相关信息是解题关键． 24. 甘加草原拥有壮丽的高原风光，蓝天白云下，广阔的草原上牛羊成群，风景如画．夏季是游览甘加草原的最佳季节，此时草原上野花烂漫，景色宜人．暑假期间，王超一家自驾前往该景区游玩，经过服务区时，休息一段时间后继续驶往目的地，如图表示王超离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： （1）王超一家到达服务区之前车速为______千米/小时，在服务区休息时长为______小时； （2）求图中段y与x之间的函数关系式； （3）王超离开家多久，离家的距离恰好为160千米？ 【答案】（1）100；1 （2） （3）3小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据图象获得信息求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据图象，先判断对应的函数关系式，再将代入对应的函数关系式并求出x的值即可． 【小问1详解】 解：王超一家到达服务区之前车速为千米/小时， 在服务区休息时长为小时； 故答案为：100；1； 【小问2详解】 解：设段y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将和分别代入， 得， 解得， ∴段y与x之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：∵， ∴根据图象可知，对应x为， ∴， 解得． 答：王超离开家3小时后，离家的距离恰好为160千米． 25. 如图，是的直径，点A，点D在上，且位于的两侧，点C在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形判定和性质定理得到，求得． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ∴， 即的半径为6． 26. （1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰中，，点在边上，以为边作正方形，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，．以点为对称中心，画出关于点对称的图形，并直接写出与的位置及大小关系 　　； （2）【类比探究】在等边中，、分别是、边上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形，如图2，连接，点为线段的中点，连接、，判断与的位置及大小关系，并证明你的结论； （3）【迁移运用】在（2）的条件下，若，，菱形在旋转过程中，当最小时，直接写出的值 　　． 【答案】（1），，证明见解析（2），，证明见解析（3） 【解析】 【分析】（1）延长至，使，连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，，得出，再证得，即可得出答案； （2）作关于点成中心对称的，连接、，则，，，进而可得，再结合等边三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质即可求得答案； （3）过点作于点，连接、，交于点，利用三角形中位线定理可得，又点是定点，得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，可求得的最小值，再利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】解：（1）如图1，延长至，使，连接， 则与关于点对称，即为所求作的图形． 四边形是正方形， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， ，点为线段的中点， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）结论：，；证明如下： 如图2，作关于点成中心对称的，连接、， 则，，， ， ，， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ，即， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，； （3）如图3，过点作于点，连接、，交于点， 由旋转得，， 四边形是菱形，， ， 是等边三角形，，， 是的中点，， 又点为线段的中点， 是的中位线， ， 点是定点， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 设交于点，当点与点重合时，为最小值， 此时，， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，正方形和菱形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，利用圆的性质求最值，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 27. 如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点. （1）求A、B、C的坐标； （2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求△AEM的面积； （3）在（2）条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG=DQ，求点F的坐标. 【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）； （2）；（3）或（1，0）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标； （2）设M点横坐标为m，则PM=，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长d=，将配方，由二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积； （3）设F（n，），由已知若FG=DQ，即可求得． 试题解析：解：（1）由抛物线可知，C（0，3），令y=0，则，解得x=﹣3或x=1，∴A（﹣3，0），B（1，0）； （2）由抛物线可知，对称轴为x=﹣1，设M点的横坐标为m，则PM=，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（）×2==，∴当m=﹣2时矩形的周长最大．∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，解得k=1，b=3，∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S=AM•EM=； （3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入，解得y=4，∴D（﹣1，4），∴DQ=DC=，∵FG=DQ，∴FG=4，设F（n，），则G（n，n+3），∵点G在点F的上方，∴=4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）． 考点：1．二次函数综合题；2．代数几何综合题；3．压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $