精品解析：江苏省南京市金陵中学2025-2026学年高三上学期数学9月月考数学试题

2026届9月月考 2025/9/10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位，复数 A. 1＋i B. 5＋5i C. -5-5i D. -1－i 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，由于，故可知答案为1＋i，选A. 考点：复数的基本运算 点评：本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题． 2. 某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5,25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 A. 56 B. 60 C. 140 D. 120 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的人数为，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用． 3. 已知，则（ ） A. B. 16 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D 4. 已知正整数满足，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数和排列的定义化简后解方程． 【详解】即为，所以， 是正整数且，因此解得， 故选：C． 5. 已知，则在上的投影向量的模为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据在方向上的投影向量公式求出投影向量，从而求出向量的模即可求解． 【详解】因为， 所以，， 则在上的投影向量为， 其模为. 故选：B. 6. 如果实数、满足，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将题干方程转化为圆的标准方程，则是圆上一点与所在直线的斜率，当直线越陡，斜率越大，即当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，由此可算出的最大值. 【详解】将满足的方程转化为，发现其是一个圆心在，半径为的圆， 而可看作是圆上一点与所在直线的斜率， 易知当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，设切线所在直线的倾斜角为， 则，由同角的三角函数关系可得，即斜率最大为， 所以的最大值为. 故选：D. 7. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合两角和余弦公式可得，两边平方可求，根据同角三角函数关系可得，由此可得结论. 【详解】因为，， 所以，故， 两边平方，可得，又， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列为递减数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可求出等比数列的首项和公比，即可求出其通项公式以及前n项和公式，分别判断各选项，即可求得答案. 【详解】设正项等比数列公比为， 对于A，由题意得， 结合，解得或（舍去），故A正确； 对于B和C，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确； 对于D，，则，故D正确， 故选：ACD． 10. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为 D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【答案】AB 【解析】 【分析】直接求出两曲线的渐近线方程即可判断A，求出，再根据双曲线的定义求出，，即可判断B，设，利用勾股定理求出，再由面积公式计算即可判断C，根据渐近线的斜率判断D. 【详解】对于A：双曲线，则，，故渐近线方程为，即， 双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确； 对于B：由题意得，，，由双曲线的定义得，， ，，，故的周长为，B正确； 对于C：对称性不妨设在右支上，设，则，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以的面积为，故C错误； 对于D：若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即，D错误， 故选：AB． 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 当，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的性质，结合对称性、周期性质单调性及基本不等式依次判断. 【详解】对于A， ， 故函数的图象关于点对称，A正确； 对于B，由， 得是的周期， 且函数的最小正周期均为， 因此的最小正周期为，B正确； 对于C，函数在区间，上单调递减， 且函数与在区间上均单调递减， 则函数与在区间上均单调递增， 因此在区间上单调递增，C错误； 对于D，当时，，则 ， 当且仅当时取等号， 因此，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式和立方和公式对已知条件变形化简计算求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 因为，所以， 因为， 所以. 故答案为：. 13. 3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据超几何分布的求概率公式求出不同取值情况下的概率值，利用求期望和求方差公式求出的期望和方差，再利用求方差性质求得的方差即可. 【详解】由题意，满足超几何分布，且的取值为0，1，2， 则，，， ， ， 所以. 故答案为： 14. 已知椭圆，抛物线，点是与在第一象限的交点，是的左顶点，直线交于点，若点恰为线段的中点，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到点的坐标，进而代入抛物线方程得到，再由点在椭圆上得到与的关系，从而得解. 【详解】易知，设，如下图所示： 因为点为线段的中点，可得， 且在上，即，解得， 又在上，则，解得， 因为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式，求出数列的通项，结合为等差数列列方程求，由此可得结论； （2）由（1），利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 因为数列为等差数列，且，所以数列的公差为 所以，即， 所以，故， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， . 16. 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，. （1）求的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得，结合正弦定理得 得，计算得到的大小. （2）法一：由（1）知，代入求得，结合余弦定理求得或，最后利用三角形面积公式计算结果；法二：求出的大小，再利用三角形面积公式即可. 【小问1详解】 由已知得，由正弦定理得 得 ， 得 【小问2详解】 法一：由（1）知，代入得， 由余弦定理 得 得或 ①当时， ②当时， 法二：代入得 ∵，∴，或 ①时， ②时， 17. 如图，在四面体ABCD中，两两垂直，是线段AD的中点，是线段BM的中点，点在线段AC上，且. （1）求证:平面BCD; （2）若点G在平面ABC内，且平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值. 【答案】（1） 作，交于点，作，交于点， 因为是线段的中点，是线段的中点，， 所以且， ，，所以且， 且，所以四边形为平行四边形， ，又平面，平面，平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作，交于点，作，交于点，证明四边形为平行四边形，然后证明平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，根据平面，可设，，即可表示出点坐标，再由平面，由求出，从而确定点坐标，再由空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 设，则，，， 平面，可设，， 即， 则，即，则， 平面，又，， ，即，解得， 所以点坐标为， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 18. 已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C. （i）求证：直线过定点； （ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）证明：方法一：设，则， 因为三点共线，所以. 当轴时，三点不共线，所以斜率不为0， 设的方程为. 联立双曲线，得， 所以， 又，所以， 即， ，化简得. 显然，，所以，直线恒经过定点. 方法二：设，则，直线， 联立双曲线， 得， ， 且， 由，则直线， 整理得， 又， ，显然直线过定点，得证； （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式以及点的坐标，联立方程即可求解， （2）（i）联立直线与双曲线的方程，可得韦达定理，根据斜率公式以及三点共线，即可求解，（ii）根据弦长公式以及三角形的面积公式，利用导数求解函数的单调性即可得最值求解. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为， 所以，所以， 所以的方程为，代入点，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0， 可设，联立双曲线， 整理得， 则. 与的右支交于两点，其中一条渐近线的斜率为，所以， . 令，则， 令，则， 在上单调递减， 则，此时，即， 的面积的最小值为. 19. 已知函数. （1）若曲线在处的切线的斜率为2，求切点的坐标； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求证：. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增， 当时，在 和上单调递增， 在上单调递减. （3） 要证，只需要证明，其中， 设， 设 因为函数在上均为减函数， 则在区间内单调递减， 因为， 所以，，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减 又因为，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减. 因为， 故内恒成立，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分，，三种情况讨论单调性； （3）构造函数，利用导数分析在上的单调性， 证明出，进而说明原不等式成立. 【小问1详解】 由于， 所以，所以. 所以，所以切点的坐标为. 【小问2详解】 函数的定义域为. （i）当，即时，. （ii）当，即，或时， 方程的两根为. ①当时，由于， 所以， 令，解得，或； 令，解得； ②当时，由于， 所以， 令，解得. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在 和上单调递增， 在上单调递减. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届9月月考 2025/9/10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位，复数 A. 1＋i B. 5＋5i C. -5-5i D. -1－i 2. 某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5,25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 A. 56 B. 60 C. 140 D. 120 3. 已知，则（ ） A. B. 16 C. 4 D. 4. 已知正整数满足，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 已知，则在上的投影向量的模为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如果实数、满足，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列为递减数列 D. 10. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为 D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 当，的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______. 14. 已知椭圆，抛物线，点是与在第一象限的交点，是的左顶点，直线交于点，若点恰为线段的中点，则的值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，. （1）求的大小； （2）若，求的面积. 17. 如图，在四面体ABCD中，两两垂直，是线段AD的中点，是线段BM的中点，点在线段AC上，且. （1）求证:平面BCD; （2）若点G在平面ABC内，且平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值. 18. 已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C. （i）求证：直线过定点； （ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值. 19. 已知函数. （1）若曲线在处的切线的斜率为2，求切点的坐标； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $