精品解析：江西省赣州市2021年初中九年级数学研学活动考核试题

赣州市2021年初中数学研学活动考核试题 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若均为实数，且满足，则的取值情况是（ ） A. 全为正数 B. 全为负数 C. 至少有一个为零 D. 有且只有一个为零 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，多项式乘以多项式，由可得，已知条件去分母得：，化简得，从而求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由可得， ∴， ， ∴， ∴中至少有一个为零，若中有两个或三个为零，则，，中至少有一个为零，等式无意义， ∴中有且仅有一个为零， 故选：． 2. 如图，、、为钝角的三条高，为钝角．则B为的（ ） A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内心，外心，重心的定义，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．设H为的垂心，显然、、交于点H，证明A、D、B、E和B、E、C、F分别四点共圆，得出，，证明A、D、F、C四点共圆，得出，说明平分，同理得：平分，即可得出答案． 【详解】解：设H为的垂心，显然、、交于点H，如图所示： 根据题意可得：， ∴A、D、B、E和B、E、C、F分别四点共圆， ∴，， ∵， ∴A、D、F、C四点共圆， ∴， ∴， ∴平分， 同理得：平分， ∴点B为的内心． 故选：C． 3. 设，，，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是通过先求其倒数再进一步求解． 要求的值，可先求出其倒数的值，根据，，，分别取其倒数即可求解． 【详解】解：，，， ，，． ． ． ． ． 故选：B． 4. 在中，，，点D是边的中点，且．若内切圆的半径为2，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】这道题主要考查了三角形的内切圆性质、解直角三角形以及等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用． 先根据已知条件判断出的形状，求出，把，看作是一元二次方程的两个根，求出，，再结合三角函数的定义求出的值． 【详解】解：由是的中线，，，如图， ∴，， ∴与是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ， 设内切圆的半径为r，圆心为O， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵在直角中，， ∴， ∴直角三角形内切圆的半径， 依题意得，①，又②， ①式两边平方得，， ，是一元二次方程的两个根， 又因为， 所以，， 故． 故选：C． 5. 设，若二次函数的图像上有两点，，则当b取得最大值时，m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 先求出二次函数的对称轴，根据，的纵坐标相同得到，即可求出b的最大值即此时的值，得到，把代入即可求出． 【详解】解：二次函数图像的对称轴为， 因为，的纵坐标相同， 所以， 从而有（当时取“”）， 所以， 把代入得． 故选：D． 6. 如图，是圆的直径，C，D在上且在的两侧．若，且能构成以为斜边的直角三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等边对等角，三角形内角和定理，连接，设的半径为r，由勾股定理可得，那么解可得，再由垂线的定义和等边对等角得到的度数，进而可得的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：连接，设的半径为r， ∵， ∴， ∵能构成以为斜边的直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 在四边形中，，，．延长至点E，使．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过连接，利用相似三角形的性质证明，再利用相似三角形的性质和已知条件求出的长度，利用勾股定理在中求出的长度，从而求出的长度，利用勾股定理在中求出的长度，最后在中求出的长度． 【详解】解：连接，， ， ， 又，， ， ∴，， ， ， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 在中，， 在中， ∵，， ∴， 解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股定理和相似三角形的性质，关键是通过连接辅助线，利用相似三角形的性质以及勾股定理来求解的长度． 8. 若a，b，c能构成三角形的三条边长，则称为“三角形数组”．已知是“三角形数组”，其中a，b均是大于1的整数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是根据三角形三边关系得出不等式，进而分析得出a、b的关系． 先根据判断出与的大小，再依据三角形三边关系列出不等式，推导出，结合、是大于的整数，得出，从而求出答案． 【详解】解：因为， 所以， 根据三角形三边关系得： ①， ②， 由①得，， 由②得，， 所以， 又因为a，b均是大于1的整数， 所以， 即． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知函数（），且a，b（）是方程的两根．则实数a，b，m，n的大小可能情况是__________（用“”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点的问题，理解函数与x轴的交点与对应的方程的解之间的关系是关键． 根据二次函数与x轴的交点以及与直线的交点进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 函数是二次函数，它的图像是一条开口向上的抛物线，与x轴两交点分别为，， 当或时，， 故． 故答案为：． 10. 已知是正内一点，，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理．把绕点B顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，，可判断为等边三角形，所以，，而，则，然后在中根据勾股定理计算，从而得到的长． 【详解】解：为等边三角形， ，， 如图，把绕点B顺时针旋转得到，连接， ，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在中，，， ， ， 故答案为：． 11. 设α是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、整式的化简求值，根据题意得，，进行整体代入求值即可． 【详解】解：∵α是方程的一个根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12. 从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求解概率，常用方法有：树状图法、列表法和列举法，本题即为列举法．掌握求解概率的方法是解本题的关键． 列出所有的三位渐升数，然后找出能被9整除的数，从而得出概率． 【详解】解：所有的渐升数为123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个， 其中126，135，234能被9整除， 故所求概率为． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标中，菱形的对角线交于点，曲线（）经过两点，若，则菱形的面积的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，再由点，可得，从而得到，再由，可得，然后根据菱形的面积为，即可求解． 【详解】解：因为四边形是菱形， 所以，， 因为点， 所以，点C的纵坐标为， 所以， 所以， 因为， 所以， 解得：， 所以菱形的面积为， ∴当时，S随的增大而增大， ∴当时，S取得最大值，最大值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握菱形的性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质是解题的关键． 14. 已知x，y是实数，且满足，则的最大值与最小值的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】这道题主要考查了二次函数与不等式的综合应用，以及利用代数变形结合判别式法求代数式的最值． 通过设，然后结合已知条件，通过消元法得到关于的不等式，进而求出最大值与最小值． 【详解】解：记，，则， 题中的条件变为， 从而（），， 所以， 故的最大值与最小值的和为． 故答案为：． 三、解答题：共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 已知二次函数的图像经过点，，且，满足． （1）证明：函数的图像必与x轴有两个交点； （2）若关于x的不等式的解为或（），解关于x的不等式． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了函数与方程的综合运用能力，以及一元二次方程根与系数关系的灵活运用，不等式取得解集方法的运用能力． （1）讨论，函数为开口向上的抛物线，时函数图像开口向下，由图像上的点A、B的纵坐标大于小于0得到与x轴有两个交点即可； （2）根据已知不等式的解集得到a的符号且可得的两根为，然后利用根与系数的关系化简不等式求出解集即可． 【小问1详解】 由得或， ①当时，二次函数的图像开口向上，图像上的点的纵坐标至少有一个为，所以图像与x轴有两个交点； ②当时，二次函数的图像开口向下，图像上的点的纵坐标至少有一个为，所以函数图像与x轴有两个交点； 【小问2详解】 的解为或（）， 根据一元二次不等式大于0取两边，从而可判定 由此可得的两根为， 由韦达定理可得， ， 而则， 即， ， 又， ， 或， 故不等式的解为或． 16. 已知非负整数，，，满足，试求出符合条件的所有，，，的值． 【答案】，，，或，，，或，，，或，，， 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解二元一次方程和一元二次方程，掌握分类讨论思想是解本题的关键． 由题干得，进而可得，当时，分别求出符合条件的值即可． 【详解】解：由得， ， ， ，于是． （1）当时，，因为没有两个整数的平方和等于6，故不成立； （2）当时，，由此得，或，； ①若，，则，，代入方程②得，该式右边须是3的倍数，故只有，解得，，． ②若，，同理可得，，． （3）当时，，由此得，，代入方程②得，只能是或，解得或，故，，，或，，，； 综上所述，，，，或，，，或，，，或，，，． 17. 已知A，B，C，D是上四点，满足，平分，点F是弦的中点，延长交于E．求证：． 【答案】 证明：设与的交点为H，连接， ∵平分， ∴点H是的中点， ∵F和H分别是与的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴C，D，F，H四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，三角形中位线定理，90度的圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，设与的交点为H，连接，由三角形中位线定理可得，则可证明，进而得到C，D，F，H四点共圆，进一步可证明，再证明是的直径，则由垂径定理的推论可得． 【详解】略 18. 设二次函数．若是质数，其中a，b，c均为不超过9的非负整数．试判断该二次函数的图象与x轴的交点是否为有理点（即纵、横坐标均为有理数的点）？并说明理由（注：表示十进制中的数）． 【答案】不是，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与二次方程的根．可以假设该二次函数的图象与x轴的交点是有理点，得到为完全平方数，利用求根公式表示出两个根，并判断根的范围．设，（其中p为质数），并变形得到，根据p为质数可判断p必为和中某个的因数，从而可求或的范围，判断该范围与假设是否符合，从而得到结论． 【详解】解：∵是质数，a，b，c均为不超过9的非负整数， ∴c可能取值为1，3，7，9，， 假设该二次函数的图象与x轴的交点是有理点，则为完全平方数， 的两个根为，， ∵c可能取值为1，3，7，9，， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，（其中p为质数）， 则， 将上式变形为， ∵，为整数， ∴和均为正整数， 又∵p为质数， ∴p必为和中某个的因数， 不妨设p是的因数， 则， 从而，即，这与矛盾， 故该二次函数的图象与x轴的交点不可能是有理点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州市2021年初中数学研学活动考核试题 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若均为实数，且满足，则的取值情况是（ ） A. 全为正数 B. 全为负数 C. 至少有一个为零 D. 有且只有一个为零 2. 如图，、、为钝角的三条高，为钝角．则B为的（ ） A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 3. 设，，，则值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，点D是边的中点，且．若内切圆的半径为2，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 5. 设，若二次函数的图像上有两点，，则当b取得最大值时，m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 如图，是圆的直径，C，D在上且在的两侧．若，且能构成以为斜边的直角三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在四边形中，，，．延长至点E，使．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 若a，b，c能构成三角形的三条边长，则称为“三角形数组”．已知是“三角形数组”，其中a，b均是大于1的整数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知函数（），且a，b（）是方程的两根．则实数a，b，m，n的大小可能情况是__________（用“”号连接）． 10. 已知是正内一点，，，，则___________． 11. 设α是方程的一个根，则的值为__________． 12. 从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为__________． 13. 如图，在平面直角坐标中，菱形的对角线交于点，曲线（）经过两点，若，则菱形的面积的最大值是___________． 14. 已知x，y是实数，且满足，则的最大值与最小值的和为__________． 三、解答题：共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 已知二次函数的图像经过点，，且，满足． （1）证明：函数的图像必与x轴有两个交点； （2）若关于x的不等式的解为或（），解关于x的不等式． 16. 已知非负整数，，，满足，试求出符合条件的所有，，，的值． 17. 已知A，B，C，D是上四点，满足，平分，点F是弦的中点，延长交于E．求证：． 18. 设二次函数．若是质数，其中a，b，c均为不超过9的非负整数．试判断该二次函数的图象与x轴的交点是否为有理点（即纵、横坐标均为有理数的点）？并说明理由（注：表示十进制中的数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $