专题06 整式及其加减章末54道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2024）

该初中数学讲义围绕整式及其加减单元，构建了“规律探索—运算能力—综合应用—创新思维”的知识体系，通过思维导图清晰呈现九类核心题型的逻辑脉络，用表格对比归纳数字类与图形类规律的解题策略，借助典型例题拆解无关型问题和新定义问题的突破口，突出重难点之间的内在联系。 讲义的亮点在于融合“抽象能力”“推理意识”和“模型观念”三大核心素养，如第1题数字规律探索引导学生从具体到抽象提炼代数表达，第25题无关型问题训练学生通过系数分析实现恒等变形，第47题数轴与绝对值综合题则强化几何直观与代数建模的双向迁移。每类题型均配方法指导与易错警示，基础薄弱生可依模板规范作答，优等生能拓展探究，教师据此精准定位学情，高效实施分层教学。

专题06 整式及其加减章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 数字类规律探索 题型二 图形类规律探索 题型三 整式的加减运算压轴题 题型四 整式加减中的化简求值压轴题 题型五 整式加减中的无关型问题 题型六 整式加减的综合应用 题型七 整式加减的新定义问题 题型八 代数式与数轴综合 题型九 代数式与绝对值综合 【经典例题一 数字类规律探索】 1．（24-25七年级上·安徽池州·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)用含（其中为正整数）的代数式表达上式规律为：______． (2)利用规律计算：． (3)探究并计算：． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题： ， ， ， …… (1)请另外写出一个符合上述规律的算式； (2)设算式中第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a和b的式子表示你所发现的规律； 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）观察下列三行数： ，，，，，……；① ，，，，，……；② ，，，，，……；③ (1)第①行的第个数为___________（用含有的式子表示） (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)取每行的第8个数，求这三个数的和． 4．（2025·安徽滁州·模拟预测）【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 【规律应用】 (1)写出第4个等式：____________；写出你猜想的第个等式：_____________（用含的等式表示）； (2)根据以上的规律计算出结果：． 5．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）数学活动课上，老师设计了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每组相邻的两个数字之间插入这两个数字的和，形成一列新的有序数字．老师列出的初始数字为2，5，第1次构造后得到2，7，5，第2次构造后得到2，9，7，12，5……依次类推．设第次构造后得到，并定义为所有数字的和，即． (1)老师将部分信息整理如下表，请根据表中规律回答下列问题： 构造次数 构造后的有序数字 的值 0 2，5 7 1 2，7，5 14 2 2，9，7，12，5 35 3 2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5 98 （ⅰ）第3次构造后的有序数字为2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5； （ⅱ）第4次构造后的的值为_____． (2)兴趣小组猜测当时，与存在等量关系（，为常数）．老师给出部分分析过程，请你阅读内容，完成未完成的解答，并求出，的值． 假设第次构造后的数字为“”（其中，），， 则， 即 …… 6．（2025·安徽阜阳·模拟预测）在数学探究课上，老师带着大家-起探究（n为正整数）的结果，如图1，2，3所示． (1)通过观察，得出的结果为_________． (2)在接下来的探究中，小明提出了探究（n为正整数）的结果的方案，如图4，5，6所示． 由图5可以写出，由图6可以写出． ①推算_________． ②根据以上结果，求解的值． 【经典例题二 图形类规律探索】 7．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，观察图形回答下列问题： (1)第4个图形要用多少枚棋子？ (2)用代数式表示第n个图形所用棋子的枚数； (3)第2023个图形要用多少枚棋子？ 8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)2节链条长______； (2)n节链条长______； (3)如果一辆22型自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？ 9．（24-25七年级上·安徽池州·期末）下图是1个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图①，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图②；再继续连结最中心三角形三边的中点将它分割得到图③． (1)图②中的大三角形被分割成_______个三角形；图③中的大三角形被分割成_______个三角形． (2)按上面的方法继续分割下去，第10个图形被分割成几个三角形？第个图形呢？（用含的代数式表示结论） 10．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图所示的图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸． （1）第1个图案中所贴剪纸“○”的个数为　　　　，第2个图案中所贴剪纸“○”的个数为　　　　，第3个图案中所贴剪纸“○”的个数为　　　　； （2）用代数式表示第n个图案中所贴剪纸“○”的个数； （3）求当n=100时，所贴剪纸“○”的个数． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个图形都由同样大小的小正方形按照一定的规律组成，每个小正方形的面积是1．根据图形与等式的关系解答下列问题： (1)直接写出图⑩所反映的算式； (2)猜想并直接写出图n所反映的算式； (3)根据（2）的结论计算：． 12．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的棍棒，每日取它的一半，永远也截不完．如果将一根一尺长的棍棒看成单位“1”，每天截取一半，裁取5次，则截取的棍棒总长度是多少？ (2)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则； 以此类推，如图3，； …… _________； 应用：计算． 【经典例题三 整式的加减运算压轴题】 13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）（1）与一个多项式的和是，求这个多项式． （2）多项式减去一个多项式后结果是，求这个多项式． 14．（24-25七年级上·全国·期末）已知． (1)化简：； (2)已知与是同类项，求的值． 15．（2025·安徽六安·模拟预测）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：________； (2)猜想：________； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； 16．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）一位同学在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号错抄为“”号，结果求得的结果为，若，求的正确结果．请分别按照下面的两种思路解答： (1)先求出多项式B，再求的结果． (2)淇淇想不求B，利用已知条件，直接求的结果，经过思考，她写出了如下不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以_______（用含的式子表示）． 方框中应填空的内容为_______，请将解题过程补充完整． 17．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）阅读材料：我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如，类似地，我们把看成一个整体，则． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)把看成一个整体，合并=_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 18．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）数学课上，李老师推荐了“创新”小组的“三用法”数学笔记： 【用数学的眼光观察】 （1）任意写一个两位数： （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个新的两位数： （3）这个新的两位数与原来两位数的和一定能被11整除． 【用数学的思维思考】 举例：例①；例②；例③▲； 【用数学的语言表达】 设一个两位数的十位上的数是a，个位上的数是b， 根据题意得： ∵ ∴这个两位数与得到的新数的和能被11整除． 请仔细阅读并完成相应的任务： (1)将【用数学的思维思考】中例③▲补充完整，举一个不同于前边的例子__________； (2)请参照笔记中的分析与解答过程，解答下面问题：一个三位数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，若把它的百位数字与个位数字对调，将得到一个新的三位数．计算原数与新数的差，这个差能被哪些整数（除了1和它本身外）整除？试列举出来，并说明原因． 【经典例题四 整式加减中的化简求值压轴题】 19．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）求下列代数式的值： (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知：，求的值． 20．（25-26七年级上·全国·期中）先化简，再求值． (1)已知多项式，，求的值，其中． (2)若有理数a、b满足求多项式． 21．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)求； (3)当时，求的值． 22．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． (1)请你想想： ； (2)若那么 （填“”或“”）； (3)先化简，再求值：，其中 23．（25-26七年级上·全国·期中）阅读理解：如图式子，求式子的值，小花同学提出了一种解法如下：原式，把整体代入得到原式．仿照小花的方法，完成下面各题． (1)如果那么 ． (2)已知，求的值． (3)已知，，求的值． 24．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第页的部分内容． 已知代数式：的值为，则代数式的值为． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下，（∵表示“因为”，∴表示“所以”） ， ． 原式，   ∴代数式的值为． 【方法运用】 (1)若．则________； (2)若代数式的值为．求代数式的值； (3)【拓展应用】若，，则代数式的值为________． 【经典例题五 整式加减中的无关型问题】 25．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）已知：关于的多项式的值与的取值无关． (1)求，的值； (2)求的值． 26．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知，， (1)当的值与x的取值无关，求m，n的值； (2)先化简多项式，再在（1）的条件下的值． 27．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）小华准备完成题目： 化简：． 但她发现系数“△”印刷不清楚． (1)若她把“△”猜成3，请你化简：； (2)她妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的标准答案的结果是常数．”请你通过计算说明原题中“△”是几？ 28．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）课堂上数学老师写出一个关于的整式（其中、为常数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了，，请按照甲同学给出的数值化简整式； (2)乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为，求此时、的值； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请求出丙同学给出的、的值并算出整式的最后结果． 29．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）老师写出一个整式（其中，为常数，且表示为系数），然后让同学给，赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了一组，的数值，算得结果为，则甲同学给出，的值分别是　　　，　　　； (2)乙同学给出，的一组数值，计算后发现结果与的取值无关，请确定乙同学的给出，的值以及他的计算结果，并说明理由． 30．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知数轴上两点对应的数分别为，且满足． (1)求点A、两点对应的有理数是______、______； (2)若点到点A的距离正好是5，则点所表示的数为__________； (3)若点所表示的数为9，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，若运动的时间为秒 ①点运动秒后所在位置的点表示的数为________； ②点运动秒后，；（用含的式子表示） ③若的值不随时间的变化而改变，求的值． 【经典例题六 整式加减的综合应用】 31．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 32．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）一个三位数，它的个位数字是，十位数字是个位数字的倍多，百位数字比个位数字大． (1)用含的式子表示这个三位数是______； (2)若交换个位数字和百位数字，其余不变，则新得到的三位数比原来的三位数减少了多少？ 33．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）为探究哪些四位数能被11整除，小红列举了一些能被11整除的数值：1023，1232，2145，．其中“”的十位数字被墨水污染． (1)请问被墨水污染的数字为多少，并计算“”除以11的商； (2)小红进一步探究发现，当四位数中的与满足一定条件时，该四位数可以被11整除．请写出与应满足的条件（答案不唯一，写出一种即可），并说明理由． 34．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的长方形小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为______平方米，种花的面积为______平方米，种草的面积为______平方米；（结果保留π） (2)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3.14，结果精确到十分位）． 35．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，某学校操场边的三层观众台，建于地面，背面靠围墙，每层的宽度相等，高度一致．现对这个观众台的表面进行刷漆维护（包括两个侧面）． (1)请用含a，b，c的代数式表示观众台需要剧漆的面积； (2)当，，时，求观众台需要刷漆的面积． 36．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）数学中的逻辑推理主要包括归纳推理、类比推理和演绎推理．小明尝试探索能被整除的整数的规律． 观察： ，，； ，，； ，，； ，，． 猜想： （1）请你判断__________被整除（填“能”或“不能”）； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于的整数能否被整除，只需要看这个数的后__________位数能否被整除．请说说你的判断方法． 应用： （3）如果一个整数能被整除，那么这个整数的特征是__________． （4）某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，已知：①这个数能被整除；②十位数字比个位数字大；③百位数字是十位数字的一半；④千位数字是最小的正整数．这个房间号是多少？说说你的理由． 【经典例题七 整式加减的新定义问题】 37．（24-25七年级上·安徽池州·期中）定义：若，则称a与b是关于m的平衡数． 例如：若，则称a与b是关于3的平衡数． (1)①与______是关于3的平衡数； ②与______是关于3的平衡数．（用含x的代数式表示）． (2)若，，判断a与b是否是关于0的平衡数，并说明理由． 38．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）定义一种对应关系：，如，． 解答下列问题： (1)求的值． (2)写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)求的值． 39．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）定义新运算“”，即对任意的有理数，满足． （下列运算结果均不含新运算符号“*”） (1)分别计算和； (2)计算，并用含的代数式表示的运算结果； (3)判断定义的新运算是否满足运算律： ①先计算，再判断交换律是否成立？ ②先计算，再判断结合律是否成立？ 40．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）【定义】一个多元多项式（这里的“元”指的是多项式中的字母），如果把其中任意两个元互换，所得的结果都与原多项式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式．如、都是关于元、、的对称多项式． 【理解】 (1)请根据上述对称多项式的概念，写出一个新的对称多项式___________． 【应用】 (2)请判断是否是对称多项式？并说明理由． 【拓展】 (3)两个任意的对称多项式的和或差一定是对称多项式吗？若是，请说明理由；若不是，请举出一个反例． 41．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，． (1)分别求出 ，的值； (2)若，求代数式 的值； (3)若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值． 42．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）【知识背景】 定义 1：一个关于x，y多项式 如果把其中x，y互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于x，y的二元对称多项式． 如 ，都是关于x，y的二元对称多项式. 定义2: 若多项式组 (A，B，C是关于x，y的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式C是二元对称多项式； ②整式A，B通过已学过的整式加减运算后可得到多项式 C，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：  ，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 （1）若 是“二元对称关联式”， 写出所有符合条件的多项式A，并说明理由； （2）已知是关于 x，y多项式组(m，n为常数，)，这个多项式组能否为“二元对称关联式”?若可以，分别求出m，n的值；若不能，说明理由． 【经典例题八 代数式与数轴综合】 43．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知的值是整数． (1)求整数a的值，并在数轴上表示； (2)代数式的大小随a的大小变化而变化． ①直接写出代数式的大小是怎样随着a的大小变化而变化的； ②应用代数式的大小与a的大小的关系求代数式的最小值． 44．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为，A在B的右边，且A与B的距离是10，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点A表示的数是______，2秒后点P表示的数是______． (2)点P表示的数是______（用含t的代数式表示），点Q表示的数是______（用含t的代数式表示）； (3)当时，点P与点Q之间的距离为多少？ 45．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数，且、、分别是点、、在数轴上对应的数． (1)求、、的值，并在数轴上标出点、、． (2)若动点、分别从、同时出发沿数轴正半轴运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点?并求出点追上点时，它们在数轴上表示的数； (3)在数轴上找一个点，使点到、、三点的距离之和等于，请直接写出所有点对应的数． 46．（24-25七年级上·安徽池州·期中）【问题背景】 已知两点在数轴上，点在数轴的负半轴上，距离原点2个单位长度，点在点的右侧，从点到点要经过6个单位长度，点表示的数为，点表示的数为． 【初步探究】 （1）填空：________，________； 【拓展延伸】 （2）点在数轴上表示的数为，且点到点、点的距离相等，求的值； （3）若点是数轴上一点，点与点之间的距离用来表示，点与点之间的距离用来表示，，求点与点之间的距离． 47．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）定义：在数轴上，若点P到点A的距离是2，则称点P为点A的“开心点”；若点P到点M、N的距离之和为5，则称点P为点M、N的“高兴点”． 【初步应用】 （1）若点P为点A的“开心点”，点A表示的数是3，则点P表示的数是_________； （2）若点P为点M、N的“高兴点”，点M表示的数是，点N表示的数是3，则点P表示的数可以是________（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】 （3）若点A表示的数是，点B表示的数是3，点C表示的数是，一只电子蚂蚁P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求经过多少时间电子蚂蚁P是点A、B的“高兴点”？ 48．（24-25七年级上·全国·单元测试）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点表示的数分别为，观察数轴，与点之间的距离为3的点表示的数是_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数； (3)在（2）的情况下，若此数轴上两点间的距离为在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求出两点表示的数； (4)若数轴上两点间的距离为在左侧），表示数的点到两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点与点重合时，两点表示的数分别为_____，______（用含的式子表示这两个数）． 【经典例题九 代数式与绝对值综合】 49．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）请根据图示的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是3，，且的绝对值是6，与的和是．” 求： (1)，，的值； (2)的值． 50．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）请根据对话，解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是2，，且的绝对值是5，与的和是．” (1)分别求出，，的值． (2)求的值． 51．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知a、b互为相反数且，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求的值． 解：因为a、b互为相反数且，所以 ， ； 又因为c、d互为倒数，所以 ； 又因为m的绝对值是最小的正整数，所以 ； 所以原式 ． 52．（24-25七年级上·安徽池州·期中）学习了绝对值的概念后，我们可以总结：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，．根据以上资料完成下面的问题： (1)若有理数，则________；（用含有，的式子表示） (2)，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 53．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类： 当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则_____；当时，则_____． (2)当时，则_____；当时，则_____． (3)你可以再找些数字代入，通过计算找到规律(不用写出规律)，并解决下列问题：已知，是有理数，当时，试求值． 54．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若一个四位自然数N的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好为11，个位数字为千位数字与百位数字之差的绝对值，且这个四位数N能被11整除，那么称这个数N为“双11数”．例如：，∵，，且，∴1463是“双11数”；又如，∵，∴，但，6412不是“双11数”． (1)判断2092，9207是否是“双11数”，并说明理由； (2)一个“双11数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，当为整数时，求出所有满足条件的N． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 整式及其加减章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 数字类规律探索 题型二 图形类规律探索 题型三 整式的加减运算压轴题 题型四 整式加减中的化简求值压轴题 题型五 整式加减中的无关型问题 题型六 整式加减的综合应用 题型七 整式加减的新定义问题 题型八 代数式与数轴综合 题型九 代数式与绝对值综合 【经典例题一 数字类规律探索】 1．（24-25七年级上·安徽池州·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)用含（其中为正整数）的代数式表达上式规律为：______． (2)利用规律计算：． (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字规律，有理数的混合运算，理解数字规律的计算，掌握有理数的混合运算法则是关键． （1）根据材料提示的计算方法即可求解； （2）根据材料提示方法展开，再根据有理数的混合运算法则计算即可； （3）根据材料提示方法展开，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：；；；；… ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题： ， ， ， …… (1)请另外写出一个符合上述规律的算式； (2)设算式中第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a和b的式子表示你所发现的规律； 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查数字的变化规律，整式的加减； （1）仿照所给的等式，写出符合条件的等式即可； （2）总结以上式子的规律求解即可． 【详解】（1）解：；（答案不唯一） （2）解： ． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）观察下列三行数： ，，，，，……；① ，，，，，……；② ，，，，，……；③ (1)第①行的第个数为___________（用含有的式子表示） (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)取每行的第8个数，求这三个数的和． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数的乘方，整式的知识，解题的关键是根据题意，得到第①行，第②行，第③行数字的规律，根据规律，进行解答，即可． （1）通过观察第①行数字，得到规律，即可； （2）通过观察第②行，第③行数字，得到规律，进行解答，即可； （3）根据上述得到的规律，分别求出第①行，第②行，第③行的第个数字，进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第个数为． 故答案为：． （2）解：∵， ， ， ， ∴第②行第个数为； ∴第②行的数是第①行对应数的倍； ∵， ， ， ， 第③行第个数为， ∴第③行的数比第①行对应数小． （3）解：∵第①行第个数为 ∴第①行第个数为； ∵第②行第个数为， ∴第②行第个数为； ∵第③行第个数为， ∴第③行第个数为； ∴这三个数的和为：． 4．（2025·安徽滁州·模拟预测）【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 【规律应用】 (1)写出第4个等式：____________；写出你猜想的第个等式：_____________（用含的等式表示）； (2)根据以上的规律计算出结果：． 【答案】(1)； (2)7125 【分析】本题主要考查整式数字类规律探索； （1）根据题意，总结出规律即可求出； （2）根据总结出的规律进行运算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，第4个等式为：， 第个等式为：； 故答案为：；． （2）解： 5．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）数学活动课上，老师设计了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每组相邻的两个数字之间插入这两个数字的和，形成一列新的有序数字．老师列出的初始数字为2，5，第1次构造后得到2，7，5，第2次构造后得到2，9，7，12，5……依次类推．设第次构造后得到，并定义为所有数字的和，即． (1)老师将部分信息整理如下表，请根据表中规律回答下列问题： 构造次数 构造后的有序数字 的值 0 2，5 7 1 2，7，5 14 2 2，9，7，12，5 35 3 2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5 98 （ⅰ）第3次构造后的有序数字为2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5； （ⅱ）第4次构造后的的值为_____． (2)兴趣小组猜测当时，与存在等量关系（，为常数）．老师给出部分分析过程，请你阅读内容，完成未完成的解答，并求出，的值． 假设第次构造后的数字为“”（其中，），， 则， 即 …… 【答案】(1)（ⅰ）11，16，19，17 ；（ⅱ）287 (2)过程见解析，， 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的加法计算，整式的加法计算等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）（i）根据题干即可求解； （ii）按照同样分式构造，那么第四次构造后的数，再相加即可； （2）仔细观察，整体代入，替换求解即可． 【详解】（1）解：（i）， 故答案为：11，16，19，17 ； （ii）第三次构造后的数为：2，11，9，16，7，19，12，17，5， 按照同样分式构造，那么第四次构造后的数为：2，13，11，20，9，25，16，23，7，26，19，31，12，29，17，22，5， ∴第四次构造后， 故答案为：287； （2）解：假设第次构造后的数字为“”（其中，），， 则， 即 ， ∴． 6．（2025·安徽阜阳·模拟预测）在数学探究课上，老师带着大家-起探究（n为正整数）的结果，如图1，2，3所示． (1)通过观察，得出的结果为_________． (2)在接下来的探究中，小明提出了探究（n为正整数）的结果的方案，如图4，5，6所示． 由图5可以写出，由图6可以写出． ①推算_________． ②根据以上结果，求解的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察图象可得连续的正整数之和等于最大的数乘以最大的数加1后除以2，据此规律求解即可； （2）①观察图象可知，连续的正整数的立方和等于这些正整数的和的平方，据此规律求解即可；②根据前面总结的规律计算求解即可． 【详解】（1）解：由图1可得， 由图2可得， 由图3可得， ……， 以此类推可得，； （2）解：①由图4可知，， 由图5可知， 由图6可知，， ……， 以此类推可得，； ② ． 【经典例题二 图形类规律探索】 7．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，观察图形回答下列问题： (1)第4个图形要用多少枚棋子？ (2)用代数式表示第n个图形所用棋子的枚数； (3)第2023个图形要用多少枚棋子？ 【答案】(1)第4个图形要用13枚棋子 (2)第n个图形要用枚棋子； (3)第2023个图形要用枚棋子． 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）观察图形，后一个图形的棋子数比前一个多3枚，据此求解即可； （2）由（1）的规律即可求解； （3）把代入（2）所得式子计算即可求解． 【详解】（1）解：第1个图形用枚棋子； 第2个图形用枚棋子； 第3个图形用枚棋子； 第4个图形用枚棋子； 答：第4个图形要用13枚棋子； （2）解：由（1）的规律得，第n个图形所用棋子的枚数为： （枚） 答：第n个图形要用枚棋子； （3）解：第2023个图形所用棋子数为：（枚）． 答：第2023个图形要用枚棋子． 8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)2节链条长______； (2)n节链条长______； (3)如果一辆22型自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察图形，可知2节链条有1处交叉重叠的圆，总长减去重叠部分即为所求． （2）观察图形，可知n节链条有处交叉重叠，总长减去重叠部分即为所求． （3）根据（2）中得出的结论，代入50求解即可，由于首尾环形相连，总长还需再减去． 【详解】（1）解：由题意得，2节链条的长度； 故答案为：； （2）解：由题意得，n节链条的长； 故答案为： （3）解：当时，链条拉直的长度为， 又∵自行车链条首尾环形相连， ∴这辆自行车上链条总长度是． 【点睛】本题考查图形的变化规律问题，解决本题的关键是求出n节链条与每节链条长度之间的关系． 9．（24-25七年级上·安徽池州·期末）下图是1个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图①，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图②；再继续连结最中心三角形三边的中点将它分割得到图③． (1)图②中的大三角形被分割成_______个三角形；图③中的大三角形被分割成_______个三角形． (2)按上面的方法继续分割下去，第10个图形被分割成几个三角形？第个图形呢？（用含的代数式表示结论） 【答案】(1)7，10 (2)第10个图形被分割成个三角形，第个图形共有个三角形 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确观察图形找到规律是解题的关键： （1）根据图形数出对应图形中三角形个数即可； （2）观察图形可得规律第n个图形中的大三角形被分割成个三角形，据此求出第10个图形的三角形个数即可． 【详解】（1）解：由题意得，图②中的大三角形被分割成个三角形，图③中的大三角形被分割成个三角形； 故答案为：7；10； （2）解：图①中的大三角形被分割成个三角形， 图②中的大三角形被分割成个三角形， 图③中的大三角形被分割成个三角形； ……， 以此类推可知，第n个图形中的大三角形被分割成个三角形， ∴当时，个三角形． 10．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图所示的图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸． （1）第1个图案中所贴剪纸“○”的个数为　　　　，第2个图案中所贴剪纸“○”的个数为　　　　，第3个图案中所贴剪纸“○”的个数为　　　　； （2）用代数式表示第n个图案中所贴剪纸“○”的个数； （3）求当n=100时，所贴剪纸“○”的个数． 【答案】（1）5，8，11；（2）3n+2；（3）所贴剪纸“○”的个数为302个 【分析】（1）第一个图中所贴剪纸“○”的个数为3+2=5；第二个图中所贴剪纸“○”的个数为2×3+2=8；第三个图中所贴剪纸“○”的个数为3×3+2=11；…从而可以得出第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（3n+2）； （2）利用（1）中的规律代入求得答案即可． 【详解】解：（1）第一个图中所贴剪纸“○”的个数为3+2=5； 第二个图中所贴剪纸“○”的个数为2×3+2=8； 第三个图中所贴剪纸“○”的个数为3×3+2=11； …， 第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（3n+2）； （2）当n=100时，所贴剪纸“○”的个数为100×3+2=302． 【点睛】本题考查了图形的变化规律．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，得出规律解决问题． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个图形都由同样大小的小正方形按照一定的规律组成，每个小正方形的面积是1．根据图形与等式的关系解答下列问题： (1)直接写出图⑩所反映的算式； (2)猜想并直接写出图n所反映的算式； (3)根据（2）的结论计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的加法运算： （1）根据已知等式，写出图⑩所反映的算式即可； （2）根据已知等式，写出图n所反映的算式即可； （3）将算式转化为：，利用（2）中结论计算即可． 【详解】（1）解：由已知可知，图⑩所反映的算式为：； （2）图n所反映的算式为：； （3） ． 12．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的棍棒，每日取它的一半，永远也截不完．如果将一根一尺长的棍棒看成单位“1”，每天截取一半，裁取5次，则截取的棍棒总长度是多少？ (2)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则； 以此类推，如图3，； …… _________； 应用：计算． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，图形类规律探索，含乘方的有理数混合运算等知识点，通过观察发现一般规律并应用该规律进行计算是解题的关键． （1）按照有理数的加法运算法则进行计算即可； （2）通过观察可以发现一般规律，从而得出答案，然后应用该规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，截取的棍棒总长度为： ， 答：截取的棍棒总长度是； （2）解：通过观察可以发现： ， 故答案为：； ． 【经典例题三 整式的加减运算压轴题】 13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）（1）与一个多项式的和是，求这个多项式． （2）多项式减去一个多项式后结果是，求这个多项式． 【答案】（1）；（2） 【分析】该题考查了整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减运算法则． （1）根据题意计算即可； （2）根据题意计算即可； 【详解】解：（1）， 即这个多项式是． （2）， 即这个多项式是． 14．（24-25七年级上·全国·期末）已知． (1)化简：； (2)已知与是同类项，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】本题考查了多项式的加减运算、同类项的概念及其应用等知识点，解题的关键在于准确进行多项式的化简与合并同类项，同时正确理解并运用同类项的定义来确定未知数的具体值，从而完成代数表达式的具体计算． （1）化简时，需先展开括号并合并同类项。注意符号的变化。 （2）已知与是同类项，需确定x和y的值，再代入化简后的多项式求值。 解：因为 ，， 所以 ； 解：因为 与 是同类项， 所以 ， ， 所以原式 ． 15．（2025·安徽六安·模拟预测）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：________； (2)猜想：________； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； 【答案】(1)20 (2)20 (3)见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，数式规律问题，理解题意并总结出规律是解题的关键． （1）先算乘法，再算减法即可； （2）根据表格中的数据及（1）中求得的结果总结规律即可； （3）由图表可得，，，然后列得算式并计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：20； （2）猜想：， 故答案为：20； （3）解：由图表可得，，， 则 ， ∴，正确． 16．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）一位同学在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号错抄为“”号，结果求得的结果为，若，求的正确结果．请分别按照下面的两种思路解答： (1)先求出多项式B，再求的结果． (2)淇淇想不求B，利用已知条件，直接求的结果，经过思考，她写出了如下不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以_______（用含的式子表示）． 方框中应填空的内容为_______，请将解题过程补充完整． 【答案】(1)， (2)，见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是利用的关系推导B的表达式或直接转化的形式，再进行化简． （1）由求出B，再计算； （2）将转化为，直接代入计算． 【详解】（1）∵，，， ∴ ． ∴ ． （2）∵， ∴， ∴方框中应填空的内容为． 完整的解题过程为： ∵，， ∴ ． 17．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）阅读材料：我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如，类似地，我们把看成一个整体，则． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)把看成一个整体，合并=_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查了整式的加减，求代数式的值，掌握整体的思想是解本题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）把变形为，整体代入进行计算即可得到答案； （3）把先去括号，再变形为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，，， ∴ ． 18．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）数学课上，李老师推荐了“创新”小组的“三用法”数学笔记： 【用数学的眼光观察】 （1）任意写一个两位数： （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个新的两位数： （3）这个新的两位数与原来两位数的和一定能被11整除． 【用数学的思维思考】 举例：例①；例②；例③▲； 【用数学的语言表达】 设一个两位数的十位上的数是a，个位上的数是b， 根据题意得： ∵ ∴这个两位数与得到的新数的和能被11整除． 请仔细阅读并完成相应的任务： (1)将【用数学的思维思考】中例③▲补充完整，举一个不同于前边的例子__________； (2)请参照笔记中的分析与解答过程，解答下面问题：一个三位数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，若把它的百位数字与个位数字对调，将得到一个新的三位数．计算原数与新数的差，这个差能被哪些整数（除了1和它本身外）整除？试列举出来，并说明原因． 【答案】(1) (2)能被3、9、11、33、99整除，见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，有理数加法和除法计算，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）原数为，新数为，计算出原数新数的结果即可得到结论． 【详解】（1）解：； （2）解：能被3、9、11、33整除，理由如下： 原数新数 ， ∵的因数除1和本身外还有因数3、9、11，33，99， ∴这个三位数与得到的新数的差能被3、9、11、33、99整除． 【经典例题四 整式加减中的化简求值压轴题】 19．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）求下列代数式的值： (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知：，求的值． 【答案】(1)，18 (2)8 【分析】本题主要考查了整式的加减——化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键． 对于（1），先去括号，再合并同类项，然后代入求值； 对于（2），先合并同类项，再整体代入求值． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式； （2）解：原式 ∵， ∴， 则原式． 20．（25-26七年级上·全国·期中）先化简，再求值． (1)已知多项式，，求的值，其中． (2)若有理数a、b满足求多项式． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式的化简求值： （1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）先求出字母的值，再去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： 当时， 原式 （2）∵ ∴ ∴ 21．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)求； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． （1）根据可求出A； （2）依题意，，，根据整式的加法计算，即可求解； （2）将代入（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ， （3）当时，． 22．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． (1)请你想想： ； (2)若那么 （填“”或“”）； (3)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2) (3)，9 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子，直接作答即可． （2）先分别表示，，再列式，结合，进行作答即可． （3）先整理得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干各式，得 故答案为：； （2）解：依题意，，， 则， ∵ ∴， 即， ∴； 故答案为： （3）解：依题意， 当，时，原式． 23．（25-26七年级上·全国·期中）阅读理解：如图式子，求式子的值，小花同学提出了一种解法如下：原式，把整体代入得到原式．仿照小花的方法，完成下面各题． (1)如果那么 ． (2)已知，求的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1)1 (2)11 (3) 【分析】本题考查了整式的加减，求代数式的值，注意整体代入法的运用． （1）由已知可得，然后整体代入即可； （2）原式化简后，整体代入即可； （3）可化为 ，然后整体代入即可求得值． 【详解】（1）由得 所以 故答案为：1 （2）    把代入得：原式= （3） 24．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第页的部分内容． 已知代数式：的值为，则代数式的值为． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下，（∵表示“因为”，∴表示“所以”） ， ． 原式，   ∴代数式的值为． 【方法运用】 (1)若．则________； (2)若代数式的值为．求代数式的值； (3)【拓展应用】若，，则代数式的值为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）由已知可得，再整体代入计算即可； （2）由已知可得，把代数式转化为，再整体代入计算即可； （3）把代数式转化为，再整体代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【经典例题五 整式加减中的无关型问题】 25．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）已知：关于的多项式的值与的取值无关． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减的运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可化简，再根据多项式的值与的取值无关得出，，进行计算即可求解； （2）先去括号，再合并同类项即可化简，再代入，进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式， 关于的多项式的值与的取值无关， ，， ，； （2）解：原式， 当，时，原式． 26．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知，， (1)当的值与x的取值无关，求m，n的值； (2)先化简多项式，再在（1）的条件下的值． 【答案】(1)， (2)，1 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）先把已知条件中的，代入，然后利用去括号法则和合并同类项法则进行化简，最后根据的值与的取值无关，列出关于，的方程，求出，即可； （2）先利用去括号法则和合并同类项法则把所求多项式进行化简，然后再把（1）中所求，代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的值与的取值无关， ，， 解得：，； （2）解： ， 当，时， 原式 ． 27．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）小华准备完成题目： 化简：． 但她发现系数“△”印刷不清楚． (1)若她把“△”猜成3，请你化简：； (2)她妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的标准答案的结果是常数．”请你通过计算说明原题中“△”是几？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题： （1）先去括号，然后合并同类项化简即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项化简，再根据化简的结果为常数，得到含未知数的项的系数为0列式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）设△是a，则原式 ． 因为标准答案的结果是常数，所以．解得． 答：原题中“△”是8 28．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）课堂上数学老师写出一个关于的整式（其中、为常数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了，，请按照甲同学给出的数值化简整式； (2)乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为，求此时、的值； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请求出丙同学给出的、的值并算出整式的最后结果． 【答案】(1) (2)， (3)，，原式 【分析】（）把的值代入，再去括号、合并同类项即可； （）由题意可得，即得，进而根据多项式相等的条件即可求解； （）先化简整式，再根据计算的最后结果与的取值无关， 可得含项的系数为，进而求出的值及整式的最后结果； 本题考查了整式的加减，整式的加减无关型问题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入式子得， 原式 ； （2）解：由题意得，， ∴， 即， ∴，； （3）解：， ∵计算的最后结果与的取值无关， ∴，， ∴，， 此时原式． 29．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）老师写出一个整式（其中，为常数，且表示为系数），然后让同学给，赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了一组，的数值，算得结果为，则甲同学给出，的值分别是　　　，　　　； (2)乙同学给出，的一组数值，计算后发现结果与的取值无关，请确定乙同学的给出，的值以及他的计算结果，并说明理由． 【答案】(1)6，0 (2)，，，理由见解析 【分析】（1）将所求式子化简，然后根据计算的结果为，即可得到a、b的值； （2）根据（1）中化简后的结果和题意得到，，进而求解即可． 本题考查了整式的加减中的无关型问题，掌握去括号、合并同类项法则是解决本题的关键． 【详解】（1）解：∵ 根据题意得，， ∴，； （2）解：∵乙同学给出，的一组数值，计算后发现结果与的取值无关， ∴， ∴，， ∴原式． 30．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知数轴上两点对应的数分别为，且满足． (1)求点A、两点对应的有理数是______、______； (2)若点到点A的距离正好是5，则点所表示的数为__________； (3)若点所表示的数为9，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，若运动的时间为秒 ①点运动秒后所在位置的点表示的数为________； ②点运动秒后，；（用含的式子表示） ③若的值不随时间的变化而改变，求的值． 【答案】(1)、3 (2)4或 (3)①；②；③ 【分析】（1）非负性求出a、b的值，即可求出答案； （2）设点C所表示的数是x，再建立方程，解方程即可得到答案； （3）①若运动的时间为秒，则运动后点所在位置的点表示的数为；②点运动秒后，；③，进而得到，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， 解得， 点A、两点对应的有理数分别是、3， 故答案为：、3； （2）设点C所表示的数是x， 根据题意得，， 即或， 解得：或， 点所表示的数为4或， 故答案为：4或； （3）①点运动秒后所在位置的点表示的数为， 故答案为：； ②点运动秒后，， ， 故答案为：； ③， 的值不随时间的变化而改变， ， 解得， 的值为2． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点的距离求法，非负数的性质，整式加减中无关型问题，绝对值方程，理解非负数的性质，掌握数轴上动点问题的解法是解题的关键． 【经典例题六 整式加减的综合应用】 31．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，即可作答． （2）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，得，最后结合为正整数，则为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解：能，理由如下： 依题意， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴能被6整除， 即当和为正整数时，减去的差能被6整除． 32．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）一个三位数，它的个位数字是，十位数字是个位数字的倍多，百位数字比个位数字大． (1)用含的式子表示这个三位数是______； (2)若交换个位数字和百位数字，其余不变，则新得到的三位数比原来的三位数减少了多少？ 【答案】(1) (2)新得到的三位数比原来的三位数减少了 【分析】本题主要考查代数式的运用，掌握代数式表示数或数量关系的方法是关键． （1）根据题意，运用字母表示数即可求解； （2）运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：个位数字是， 十位数字是个位数字的倍多，则十位数字为：， 百位数字比个位数字大，则百位数字为：， ∴这个三位数字表示为：， 整理得，， 故答案为：； （2）解：交换个位数字和百位数字，其余不变，则新数字为：， 整理得，， ∴， ∴新得到的三位数比原来的三位数减少了． 33．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）为探究哪些四位数能被11整除，小红列举了一些能被11整除的数值：1023，1232，2145，．其中“”的十位数字被墨水污染． (1)请问被墨水污染的数字为多少，并计算“”除以11的商； (2)小红进一步探究发现，当四位数中的与满足一定条件时，该四位数可以被11整除．请写出与应满足的条件（答案不唯一，写出一种即可），并说明理由． 【答案】(1)被墨水污染的数字是5，商为214 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查整式加减运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）观察所给的数字，从前三个数发现，能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小 数）能被11整除，由此方法进行求解即可； （2）由（1）及题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：对于1023，， 对于1232，， 对于2145，， 对于，的结果只能为0或11， 当时，，此时被墨水污染的数字是5， ； 当时，或（均不合题意，舍去）， 综上，被墨水污染的数字为5，2354除以11的商为214； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 设， ∴． ∵ ， ∴当时，可以被11整除． 34．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的长方形小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为______平方米，种花的面积为______平方米，种草的面积为______平方米；（结果保留π） (2)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3.14，结果精确到十分位）． 【答案】(1)，， (2)长方形场地上种草的面积为27.4平方米 【分析】本题考查整式加减的应用，列代数式，代数式求值，准确识图，弄清题意是解题的关键； （1）根据长方形的面积公式求小路的面积，根据图形可知，种花的面积为半径为a的圆的面积，种草的面积等于两个小长方形的面积和减去圆的面积，列出代数式即可； （2）把当，代入（1）中的代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：小路的面积为平方米，种花的面积为平方米，种草的面积为平方米， 故答案为：，，； （2）解：当，时， 平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27.4平方米． 35．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，某学校操场边的三层观众台，建于地面，背面靠围墙，每层的宽度相等，高度一致．现对这个观众台的表面进行刷漆维护（包括两个侧面）． (1)请用含a，b，c的代数式表示观众台需要剧漆的面积； (2)当，，时，求观众台需要刷漆的面积． 【答案】(1)观众台需要刷漆的面积为： (2) 【分析】本题考查的是整式加减的应用，代数式求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键； （1）根据观众台需要刷漆的面积等于两个侧面的面积加上台阶的面积即可得到答案； （2）把，，代入（1）中所列代数式，再计算即可． 【详解】（1）解：如图，把侧面分为三个长方形， 由题意可得：2个侧面面积和为：， 台阶面积为：， ∴观众台需要刷漆的面积为：； （2）解：当当，，时， ． 36．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）数学中的逻辑推理主要包括归纳推理、类比推理和演绎推理．小明尝试探索能被整除的整数的规律． 观察： ，，； ，，； ，，； ，，． 猜想： （1）请你判断__________被整除（填“能”或“不能”）； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于的整数能否被整除，只需要看这个数的后__________位数能否被整除．请说说你的判断方法． 应用： （3）如果一个整数能被整除，那么这个整数的特征是__________． （4）某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，已知：①这个数能被整除；②十位数字比个位数字大；③百位数字是十位数字的一半；④千位数字是最小的正整数．这个房间号是多少？说说你的理由． 【答案】（1）能；（2）三，理由见解析；（3）末两位必须是或或或；（4），理由见解析 【分析】本题考查整式的加减运算的应用，数字类规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）通过计算判断即可； （2）观察题干中的数据总结规律即可，然后根据整除的性质求解即可； （3）同（2）的方法求解即可； （4）根据题意设设这个四位数的百位数字是x，则十位数字是，个位数字是，表示出这个四位数，然后求出，得到或或或，然后分别代入求解判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴能被整除， 故答案为：能； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于的整数能否被整除，只需要看这个数的后三位数能否被整除， 故答案为：三； 理由：∵， ∴能被整除 ∴个位，十位，百位都是的大于的数都能被整除 ∴如果一个大于的整数的后三位能被整除， ∴这个大于的整数就能被整除； （3）∵， ∴能被整除 ∴个位，十位都是的大于的数都能被整除， ∴如果一个大于的整数的末两位能被整除， ∴这个大于的整数就能被整除 ∵，，，， ∴如果一个整数能被整除，那么这个整数的特征是末两位必须是或或或， 故答案为：末两位必须是或或或； （4）这个房间号是，理由如下： ∵某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，十位数字比个位数字大；百位数字是十位数字的一半； 设这个四位数的百位数字是x，则十位数字是，个位数字是， ∵千位数字是最小的正整数， ∴这个四位数可以表示为， ∵这个数能被整除， ∴能被8整除， 根据题意得，， ∴解得：， ∵x是正整数 ∴或或或， 当时，，能被整除，符合题意． ∴当时，，不能被整除，不符合题意； 当时，，不能被整除，不符合题意； 当时，，不能被整除，不符合题意； ∴，，， ∴这个房间号是． 【经典例题七 整式加减的新定义问题】 37．（24-25七年级上·安徽池州·期中）定义：若，则称a与b是关于m的平衡数． 例如：若，则称a与b是关于3的平衡数． (1)①与______是关于3的平衡数； ②与______是关于3的平衡数．（用含x的代数式表示）． (2)若，，判断a与b是否是关于0的平衡数，并说明理由． 【答案】(1)①5  ② (2)a与b不是关于0的平衡数． 【分析】（1）①根据平衡数的定义列式计算即可；②根据平衡数的定义列式计算即可； （2）首先去括号，合并同类项化简a，b，然后计算的值即可进行判断． 【详解】（1）解：①∵， ∴与5是关于3的平衡数； ②∵， ∴与是关于3的平衡数； 故答案为：5，； （2）解：， ， ∴ ， ∵， ∴a与b不是关于0的平衡数． 【点睛】本题考查了整式加减的实际应用，正确理解平衡数的定义是解题关键． 38．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）定义一种对应关系：，如，． 解答下列问题： (1)求的值． (2)写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)求的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义的运算，数字规律． （1）直接根据题干计算即可； （2）计算的值，进而判断即可； （3）根据（2）的结论作答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意可知， ， ， ； （3）解：， ． 39．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）定义新运算“”，即对任意的有理数，满足． （下列运算结果均不含新运算符号“*”） (1)分别计算和； (2)计算，并用含的代数式表示的运算结果； (3)判断定义的新运算是否满足运算律： ①先计算，再判断交换律是否成立？ ②先计算，再判断结合律是否成立？ 【答案】(1) (2)， (3)①，交换律不成立；②，结合律不成立. 【分析】本题考查的是新定义下的有理数的运算及整式加减运算； （1）根据新运算法则计算即可； （2）根据新运算法则计算即可； （3）①计算进而得出结论；②计算，，进而得出结论； 【详解】（1）解： ， ． （2）由（1）得原式 ． ； （3）①， 所以交换律不成立． ②， ， ， 所以结合律不成立． 40．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）【定义】一个多元多项式（这里的“元”指的是多项式中的字母），如果把其中任意两个元互换，所得的结果都与原多项式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式．如、都是关于元、、的对称多项式． 【理解】 (1)请根据上述对称多项式的概念，写出一个新的对称多项式___________． 【应用】 (2)请判断是否是对称多项式？并说明理由． 【拓展】 (3)两个任意的对称多项式的和或差一定是对称多项式吗？若是，请说明理由；若不是，请举出一个反例． 【答案】(1) (2)不是，见解析 (3)不是，见解析 【分析】（1）根据对称多项式的概念求解即可； （2）根据题意将x和y互换，然后根据对称多项式的概念求解即可； （3）根据题意举例求解即可． 【详解】（1）根据对称多项式的概念可得， 写出一个新的对称多项式为：， 故答案为：． （2）解：不是对称多项式， 理由如下：因为将原多项式中的与互换，新的多项式为： 所以 所以不是对称多项式； （3）不是， 如是关于元、的对称多项式，是关于元、、的对称多项式， ∴ ∵不是对称多项式 ∴两个任意的对称多项式的和或差不一定是对称多项式． 【点睛】此题考查了列代数式，整式的加减运算，解题的关键是读懂题意． 41．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，． (1)分别求出 ，的值； (2)若，求代数式 的值； (3)若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的加减，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算得到，再将代数式去括号合并化简后，将整体代入计算即可解答； （3）根据定义的新运算列出的式子，代入已知数据利用整式加减法则化简，根据的运算结果与n 的 取值无关，先求出的值，然后代入m的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：∵， ∴，即， ∵ ； ∴原式； （3）解： ； ∵ ， ∴ ； ∵的运算结果与n 的 取值无关， ∴中， 解得：， ∴的值为． 42．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）【知识背景】 定义 1：一个关于x，y多项式 如果把其中x，y互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于x，y的二元对称多项式． 如 ，都是关于x，y的二元对称多项式. 定义2: 若多项式组 (A，B，C是关于x，y的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式C是二元对称多项式； ②整式A，B通过已学过的整式加减运算后可得到多项式 C，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：  ，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 （1）若 是“二元对称关联式”， 写出所有符合条件的多项式A，并说明理由； （2）已知是关于 x，y多项式组(m，n为常数，)，这个多项式组能否为“二元对称关联式”?若可以，分别求出m，n的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）多项式A可以是；；；（2）这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时， 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． （1）根据题干信息分三种情况进行讨论，进行解答即可； （2）根据“二元对称关联式”的定义分三种情况进行讨论，进行计算即可． 【详解】解：（1）若，则： ； 若，则： ； 若，则： ； 综上分析可知，多项式A可以是；；． （2）若，则： ， ∴， 由得：， 由得：， ∴， ∴舍去， ∴； 若，则： ， ∵， ∴， ∴此情况不可能成立； 若，则： ， ∵， ∴， ∴此情况不可能成立； 综上分析可知，这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时，． 【经典例题八 代数式与数轴综合】 43．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知的值是整数． (1)求整数a的值，并在数轴上表示； (2)代数式的大小随a的大小变化而变化． ①直接写出代数式的大小是怎样随着a的大小变化而变化的； ②应用代数式的大小与a的大小的关系求代数式的最小值． 【答案】(1)可以取6，或，或3，或，或2，或，或1，或；见解析 (2)①随a的增大而增大；② 【分析】本题考查数轴，列代数式，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）根据整数和有理数除法的运算法则，确定整数a的值，再在数轴上表示出来即可； （2）①结合随a的增大而增大作答即可；②根据当a的取值最小时，代数式取得最小值，将代入计算即可． 【详解】（1）解：因为的值是整数， 所以整数a可以取6，或，或3，或，或2，或，或1，或． 在数轴上分别表示为： （2）①代数式的大小随a的增大而增大； ②因为代数式的大小随a的增大而增大， 所以当a的取值最小时，代数式取得最小值， 由（1）知，a可以取6，或，或3，或，或2，或，或1，或， 所以的最小值为， 此时， 所以代数式的最小值为． 答：代数式的最小值为． 44．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为，A在B的右边，且A与B的距离是10，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点A表示的数是______，2秒后点P表示的数是______． (2)点P表示的数是______（用含t的代数式表示），点Q表示的数是______（用含t的代数式表示）； (3)当时，点P与点Q之间的距离为多少？ 【答案】(1)7；1 (2)； (3)点P与点Q之间的距离为5． 【分析】本题考查了列代数式，数轴上两点之间的距离． （1）由的长结合点A所在的位置可得出点A表示的数，计算可求得2秒后点P表示的数； （2）由点P，Q的出发点、速度及运动时间，可用含t的代数式表示出点P，Q表示的数； （3）先求得由点P与点Q表示的数，利用两点之间的距离公式计算即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点B表示的数为，A在B的右边，且A与B的距离是10， ∴点A表示的数为， 2秒后点P表示的数是， 故答案为：7；1； （2）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：；； （3）解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 点P与点Q之间的距离为， 答：点P与点Q之间的距离为5． 45．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数，且、、分别是点、、在数轴上对应的数． (1)求、、的值，并在数轴上标出点、、． (2)若动点、分别从、同时出发沿数轴正半轴运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点?并求出点追上点时，它们在数轴上表示的数； (3)在数轴上找一个点，使点到、、三点的距离之和等于，请直接写出所有点对应的数． 【答案】(1)，，，在数轴上标出点、、见解析 (2)运动秒后，点可以追上点；此时它们在数轴上表示的数为 (3)点对应的数为或 【分析】（1）根据单项式的系数、多项式的次数及负整数，得出、、的值，在数轴上标出点、、的位置即可； （2）根据，，动点、分别从、同时出发沿数轴正半轴运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，结合“追及时间路程差速度差”计算求解即可； （3）根据题意分“当点在点、之间时”、“当点在点左边时”、“当点在点右边”三种情况讨论列式求解即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数， ∴，，， 如图，在数轴上标出点、、， ； （2）解：∵，，动点、分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴（秒）， ∴运动秒后，点可以追上点，点追上点时，它们在数轴上表示的数为； （3）解：情况一：当点在点、之间时， 又∵，，， ∴， ∴， ∴点对应的数； 情况二：当点在点左边时， ∵，， ∴， ∴点对应的数． 情况三：当点在点右边时， ∵ ∴此情形不存在点， 综上所述，点对应的数为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题、单项式的系数和多项式的次数，有理数的除法，根据题意分类讨论、数形结合是解题的关键． 46．（24-25七年级上·安徽池州·期中）【问题背景】 已知两点在数轴上，点在数轴的负半轴上，距离原点2个单位长度，点在点的右侧，从点到点要经过6个单位长度，点表示的数为，点表示的数为． 【初步探究】 （1）填空：________，________； 【拓展延伸】 （2）点在数轴上表示的数为，且点到点、点的距离相等，求的值； （3）若点是数轴上一点，点与点之间的距离用来表示，点与点之间的距离用来表示，，求点与点之间的距离． 【答案】（1），4（2）（3）1或11 【分析】本题考查数轴以及代数式的求值． （1）由点在数轴的负半轴上，距离原点2个单位长度，点在点的右侧，从点到点要经过6个单位长度，即可得表示的数为，表示的数为4； （2）根据点，到点的距离相等，可得，代入即可； （3）先求出，则，即可表示D的数或，即可点与点之间的距离． 【详解】解：（1）在数轴的负半轴上，距离原点2个单位长度， 表示的数为 点在点的右侧，从点到点要经过6个单位长度， 表示的数为，表示的数为4； （2）点，到点的距离相等，表示的数为，表示的数为4 ， （3）表示的数为，表示的数为4 ∴ ∴点在数轴上表示的数为或， 当点在数轴上表示的数为时， 点与点之间的距离为1， 点在数轴上表示的数为时， 点与点之间的距离为11， 综上所述，点与点之间的距离为1或11． 47．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）定义：在数轴上，若点P到点A的距离是2，则称点P为点A的“开心点”；若点P到点M、N的距离之和为5，则称点P为点M、N的“高兴点”． 【初步应用】 （1）若点P为点A的“开心点”，点A表示的数是3，则点P表示的数是_________； （2）若点P为点M、N的“高兴点”，点M表示的数是，点N表示的数是3，则点P表示的数可以是________（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】 （3）若点A表示的数是，点B表示的数是3，点C表示的数是，一只电子蚂蚁P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求经过多少时间电子蚂蚁P是点A、B的“高兴点”？ 【答案】（1）1或5；（2）；（3）或秒 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，绝对值的意义等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离的表示方法． （1）根据两点间距离求解即可； （2）根据题意得到点P到点M、N的距离之和为5，然后求出点M到点N的距离为，得到点P在点M和点N之间，进而求解即可； （3）首先得到点P表示的数为，然后根据题意得到，整理得到，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵点P为点A的“开心点”，点A表示的数是3， ∴点P表示的数是或， 故答案为：1或5； （2）∵点P为点M、N的“高兴点”， ∴点P到点M、N的距离之和为5， ∵点M表示的数是，点N表示的数是3， ∴点M到点N的距离为 ∴当点P在点M和点N之间时，点P到点M、N的距离之和为5， ∴点P可以为（答案不唯一）； （3）根据题意得，点P表示的数为 ∵P是点A、B的“高兴点” ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 综上所述，经过秒或秒电子蚂蚁P是点A、B的“高兴点”． 48．（24-25七年级上·全国·单元测试）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点表示的数分别为，观察数轴，与点之间的距离为3的点表示的数是_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数； (3)在（2）的情况下，若此数轴上两点间的距离为在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求出两点表示的数； (4)若数轴上两点间的距离为在左侧），表示数的点到两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点与点重合时，两点表示的数分别为_____，______（用含的式子表示这两个数）． 【答案】(1)4或 (2)0.5 (3)点表示的数为点表示的数为 (4) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，列代数式，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离，进行求解即可； （2）根据对称中心到两点之间的距离相等，先求出对称中心，进而求出另一个数即可； （3）同法（2）计算即可； （4）同法（2）列出代数式即可． 【详解】（1）解：观察可知，点之间的距离为3的点表示的数是4或； 故答案为：4或； （2）因为点与点重合， 所以在表示的数为的点处折叠， 所以与点重合的点表示的数是 （3）由（2）得在表示的数为的点处折叠， 所以点表示的数为点表示的数为． （4）因为表示数的点到两点的距离相等，将数轴折叠，使得点与点重合， 所以对称中心为表示的数即为：， 因为两点间的距离为在左侧）， 所以两点表示的数分别为． 【经典例题九 代数式与绝对值综合】 49．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）请根据图示的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是3，，且的绝对值是6，与的和是．” 求： (1)，，的值； (2)的值． 【答案】(1)，， (2)7 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值和相反数，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据绝对值和相反数的定义进行求解即可； （2）将，，代入计算即可． 【详解】（1）解：根据的相反数是，，且的绝对值是与的和是， 可得，，； （2）解：由（1）知，，． 所以． 50．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）请根据对话，解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是2，，且的绝对值是5，与的和是．” (1)分别求出，，的值． (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接利用相反数、绝对值的定义分别得出，，的值即可； （2）将，，的值代入原式计算即可． 【详解】（1）解：的相反数是2， ； ，且的绝对值是5， ； 与的和是，即， ． （2）解：由（1）知，，，， 原式 51．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知a、b互为相反数且，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求的值． 解：因为a、b互为相反数且，所以 ， ； 又因为c、d互为倒数，所以 ； 又因为m的绝对值是最小的正整数，所以 ； 所以原式 ． 【答案】0；；1；； 【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数,绝对值,以及倒数,熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据互为相反数两数之和为0得到的值，除0外之商为，互为倒数两数之积为1，绝对值最小的正整数为1或，确定出m的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：因为a、b互为相反数且，所以，； 又因为c、d互为倒数，所以； 又因为m的绝对值是最小的正整数，所以， 所以； 当时， ； 当时， ． 52．（24-25七年级上·安徽池州·期中）学习了绝对值的概念后，我们可以总结：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，．根据以上资料完成下面的问题： (1)若有理数，则________；（用含有，的式子表示） (2)，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】(1) (2)结论正确，证明见详解 【分析】本题主要考查了绝对值、数字类规律探索等知识，理解并掌握绝对值的概念和性质是解题关键． （1）由可知，结合绝对值的性质即可获得答案； （2）结合绝对值的性质可得，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）结论正确，证明如下： ∵ ， ∵， ∴． 53．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类： 当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则_____；当时，则_____． (2)当时，则_____；当时，则_____． (3)你可以再找些数字代入，通过计算找到规律(不用写出规律)，并解决下列问题：已知，是有理数，当时，试求值． 【答案】(1)1， (2)1， (3)2或 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的四则混合运算等知识点，掌握分类讨论并正确求解是解答的关键． （1）直接将、代入求出答案； （2）直接将、代入求出答案； （3）分a、b同为正和同为负两种情况，分别化简绝对值求解即可． 【详解】（1）解：当时，则；当时，则． 故答案为1，． （2）解：当时，则；当时，则． 故答案为1，． （3）解：由知，分两种情况： 当时，； 当时，． ∴当时，的值为2或． 54．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若一个四位自然数N的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好为11，个位数字为千位数字与百位数字之差的绝对值，且这个四位数N能被11整除，那么称这个数N为“双11数”．例如：，∵，，且，∴1463是“双11数”；又如，∵，∴，但，6412不是“双11数”． (1)判断2092，9207是否是“双11数”，并说明理由； (2)一个“双11数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，当为整数时，求出所有满足条件的N． 【答案】(1)2092不是“双11数”， 9207是“双11数”，理由见解析 (2)6501或4521 【分析】（1）根据“双11数”的定义对两个数进行运算验证即可； （2）用代数式的形式表示出来N和，再分组讨论出符合的情况． 【详解】（1）∵，，且， ∴2092不是“双11数”； ∵，，， ∴9207是“双11数”． （2）∵，，， ∴①时，， ，， 时，，N不是11的倍数； 时，，N不是11的倍数； 时，，N不是11的倍数； 时，，N不是11的倍数； 时，，N不是11的倍数； 时，，N是11的倍数，N为6501． ②时，， ，， 时，，N不是11的倍数； 时，，N不是11的倍数； 时，，N不是11的倍数； 时，，N是11的倍数，N为4521； 时，或，N均不是11的倍数； ∴N为：6501或4521． 【点睛】本题考查了列代数式及求代数式的值，关键找到符合题意的所有情况． 学科网（北京）股份有限公司 $