专题03 整式加减重难点题型专训（3个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 整式加减重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 同类项的判断 题型二 合并同类项 题型三 去括号 题型四 添括号 题型五 整式的加减运算 题型六 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型七 整式的加减中的化简求值 题型八 整式加减中的无关型问题 题型九 带有字母的绝对值化简问题 题型十 多项式的升幂、降幂排列 题型十一 整式加减的应用 拓展训练一 整式加减的破损、遮盖问题 拓展训练二 整式加减无关型问题与图形结合 拓展训练三 整式加减的数字类规律探索 拓展训练四 整式加减的图形类规律探索 拓展训练五 整式加减的新定义计算 知识点一：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即时训练】 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）计算的值，正确的是（　　） A．3 B．2 C． D． 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）计算： ． 知识点二：去括号、添括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽滁州期末）式子去括号应为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点三：整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）若，则m与n的差是 （用含a，b的式子表示）． 【经典例题一 同类项的判断】 【例1】（24-25七年级上·安徽池州·期末）下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）与 是同类项． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）写出单项式的同类项 （写出一个即可）． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）已知下列式子： ，，，，，． （1）写出这些式子中的同类项； （2）求（1）中同类项的和. 【经典例题二 合并同类项】 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽池州·期中）已知，则下列求值计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）若总成立，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：）： 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 做这两个纸盒共用料 平方厘米． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【经典例题三 去括号】 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳 ·期末）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）下列各式去括号后，结果不是的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若，则= . 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）去括号得 ，合并同类项得 ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【经典例题四 添括号】 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下列等式中，一定能成立的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列代数式添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）在等式的括号内填上恰当的项， (_____________）. 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）不改变多项式﹣3x+2y﹣4+xy﹣x2﹣y2的值，把二次项放在带“﹣”的括号内，﹣次项放在带“+”的括号内，常数项单独放，得 ． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）阅读材料： 已知代数式，求的值． 解：由， 得， 即， 因此，所以． 根据以上材料，解答下列题目： 已知代数式，求的值． 【经典例题五 整式的加减运算】 【例5】（24-25七年级上·全国·阶段练习）小明把错写成，所得的结果与正确答案相比（　　） A．多 B．多 C．少 D．少 1．（24-25七年级上·全国·阶段练习）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图中，图（　　）能正确地表示出“”的数量关系． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）已知多项式A、B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为，则多顶式A为 ． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．已知多项式（a为常数），，M是N的“雅常式”，则M关于N的“雅常值”为 ． 4．（24-25七年级上·全国·期中）化简 (1) (2)已知：，，求：． 【经典例题六 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例6】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如果与是同类项，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D．12 1．（24-25七年级上·全国·阶段练习）若与的和仍为单项式，那么（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若单项式与是同类项，那么的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）下列四个结论中： ①若与是同类项，则： ②若关于x的多项式的运算结果中不含项，则常数项为： ③若，则： ④若，，则的结果只有一种． 其中正确的是 （填序号） 4．（2025七年级上·全国·专题练习）已知与是同类项． (1)求的值． (2)在中，哪些是同类项？ 【经典例题七 整式的加减中的化简求值】 【例7】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）已知，，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）定义一种新运算：，则当时，的值（    ） A．5 B．8 C．7 D．6 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）若，则化简并代入后的结果是 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，那么 即，模仿上述求和过程， 设，则 ， ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）李老师在黑板上布置了一道题，小明和小丽展开了下面的讨论． 已知，求代数式的值    只知道x的值，没有告诉y值，求不出答案 这道题与y值无关，是可以解的    根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？ 【经典例题八 整式加减中的无关型问题】 【例8】（24-25七年级上·全国·单元测试）关于x，y的代数式中不含有二次项，则k的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若代数式的值与x的取值无关，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）多项式，，如果中不含项，则a的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与 (k为常数)始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 的“平衡数”． 4．（2025·安徽阜阳·模拟预测）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【经典例题九 带有字母的绝对值化简问题】 【例9】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）下列说法正确的有（   ） ①已知是有理数，，，则的值为； ②若为非零有理数，且，则的值为或； ③已知，则的最大值是，最小值是； ④若且，则式子． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知，，，则代数式的值为 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简： ． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）我们知道|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，表示 x 与 a 在数轴上对应的点之间的距离．例：表示数x与1在数轴上表示的点的距离是2个单位长度，如图所示，即可得出x的值为或3． 根据以上材料，解答下列问题： (1)若，则x的值为__________； (2)若数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间，则求的计算结果； (3)已知有理数b，则的计算结果是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说出理由． 【经典例题十 多项式的升幂、降幂排列】 【例10】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）代数式是（   ） A．按x降幂排列 B．按x升幂排列 C．按y降幂排列 D．按y升幂排列 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）把整式按字母x的降幂排列是 3．（25-26七年级上·安徽池州·开学考试）给出下列整式：，，，观察这些整式的字母的幂的排列情况，根据它们的共同特征，可以将其命名为“把一个多项式按照某个字母的 排列”这个名称可以给出的定义为 ． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 【经典例题十一 整式加减的应用】 【例11】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，长方形的长为，宽为，则这个长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（　　） A．只需知道③号正方形的边长即可 B．只需知道④号正方形的边长即可 C．只需知道⑤号长方形的周长即可 D．只需知道图1中大长方形的周长即可 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）某班有名学生，学校将一批图书分给该班的学生阅览，若每人分3本，则剩余50本，若每人分4本（有剩余），则剩余 本．（用含的代数式表示） 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是学校劳动基地的平面示意图，则图中阴影部分的面积是 ．    4．（24-25七年级上·安徽池州·期中）一建筑物的地面结构如图所示（图中各图形均为长方形或正方形），请根图中的数（据单位：米），解答下列问题： (1)用含x，y的代数式表示地面总面积， (2)图中阴影部分需要铺设地砖，铺地砖每平方米的平均费用为80元，若，，则铺地砖的总费用为多少元？ 【拓展训练一 整式加减的破损、遮盖问题】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）下面是一道整式运算过程，部分代数式在破损处看不见了（代表破损部分）． 【解】原式． (1)求破损部分的代数式； (2)当，，求多项式的值．                                                     2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）某教辅书中一道整式运算的参考答案，部分答案在破损处看不见了，形式如图： 解：原式〇 (1)求破损部分的整式； (2)若，求破损部分整式的值． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有已化为最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则实验成功．甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片有一部分被遮挡了． （1）计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功； （2）小亮发现丙减甲可以使实验成功，请求出丙的代数式． 【拓展训练二 整式加减无关型问题与图形结合】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1) ； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点；设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示） (2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积； (3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图1，这是某年11月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为A，B，C，D，E．这五个数的和能被5整除吗？为什么？ (1)甲同学说：“设，用x依次表示出B，C，D，E，再求和”，请通过计算得出结论； (2)乙同学说：“如果设，运算过程会更简单”，请你也来试一试； (3)小明受到启发，改编了下面一道题目：请判断代数式的值是否为定值．若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【拓展训练三 整式加减的数字类规律探索】 1．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： (1)直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：________； (2)猜想：________； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； 3．（2025·安徽·模拟预测）数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵，21能被3整除，∴615 432能被3整除． 对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明： （i）星星同学对三位数进行了证明： 设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c． ∵， ∴若能被3整除，则该三位数能被3整除． （ii）宁宁同学对四位数进行了证明： 设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d． ∵ ， ∴若能被3整除，则该四位数能被3整除． (1)请写出横线上所缺内容． (2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下： …… 请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件． 【拓展训练四 整式加减的图形类规律探索】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图是某月的日历，在图中圈出来的五花型图案． (1)图中圈出来的五个数字的和与中间的数字有怎样的关系； (2)日历中任意一个这样的图案中的数字是否都有（1）的规律？ 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5个图形中有______颗黑色棋子；第8个图形比第6个图形多______颗黑色棋子；（填数字） (2)第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗黑色棋子． 3．（2025·安徽·模拟预测）【观察思考】 如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．． 【规律发现】 第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由． 【拓展训练五 整式加减的新定义计算】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）新定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)则3与______是关于2的平衡数； (2)______与是关于2的平衡数；（用含的代数式表示） (3)若，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）定义一种新运算．观察下列算式： ； ； ； ． (1)填一填：______，______； (2)若，则______（填“”或“”）； (3)若，求的值． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）定义新运算“”，即对任意的有理数，满足． （下列运算结果均不含新运算符号“*”） (1)分别计算和； (2)计算，并用含的代数式表示的运算结果； (3)判断定义的新运算是否满足运算律： ①先计算，再判断交换律是否成立？ ②先计算，再判断结合律是否成立？ 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若单项式与是同类项，则(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）在某月的日历上用矩形圈到a、b、c、d四个数（如图），如果d=18，那么a+b+c=（ ） A．38 B．40 C．48 D．58 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下面是小彬同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．   ①   ②   ③ 小彬开始出现错误的一步，以及原题化简的正确结果是（   ） A．①， B．①， C．②， D．③， 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，大长方形地面是由两个相同的长方形和两个相同的大正方形以及两个相同的小正方形地砖铺成的（既不重叠也无缝隙）．小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为，若阴影部分的面积为S，则大长方形的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知3x2ym和-4xny4是同类项，则m+n的值是 ． 7．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）若关于，的代数式为单项式，则有理数 ． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）小亮在计算的值时，把的值看错了，其结果等于，细心的小敏把正确的的值代入计算，其结果也是．为了探究明白，她又把代入，结果还是．则的值为 ． 10．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌都是比漫灌节水的灌溉方式．灌溉三块同样大的田地，第一块用漫灌方式，第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式．后两种方式用水量分别是漫灌的和，若第一块田地用水量为吨，则这三块田地共用水 吨． 11．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）化简： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·全国·期中）整式加减综合题： (1)计算：； (2)已知，求的值． 13．（24-25七年级上·安徽池州·期末）计算： (1)，；若，，且，求的值； (2)已知m的相反数是－1，n是绝对值最小的有理数，且与是同类项，化简多项式，并求出此多项式的值． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：已知，求代数式的值． 解：因为，所以原式． 仿照以上解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 15．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）综合与实践 现有三个边长分别为3，4，5的正方形卡片（如图1），分别记为，，，还有一个两边长分别为的长方形． 数学思考 （1）如图2，将放入长方形中，用含的代数式表示阴影部分的面积：___________．当，时，阴影部分的面积为___________． 深入探究 （2）将，两张卡片按图3所示的方式（和部分重叠）放置在长方形中，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． （3）将，，三张卡片按图4所示的方式（和II不重叠，和部分重叠，）放置在长方形中，求左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差，勤学小组成员认为缺少与的值无法计算，善思小组成员则认为不需要与的值也能计算，哪一个小组成员的说法正确？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式加减重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 同类项的判断 题型二 合并同类项 题型三 去括号 题型四 添括号 题型五 整式的加减运算 题型六 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型七 整式的加减中的化简求值 题型八 整式加减中的无关型问题 题型九 带有字母的绝对值化简问题 题型十 多项式的升幂、降幂排列 题型十一 整式加减的应用 拓展训练一 整式加减的破损、遮盖问题 拓展训练二 整式加减无关型问题与图形结合 拓展训练三 整式加减的数字类规律探索 拓展训练四 整式加减的图形类规律探索 拓展训练五 整式加减的新定义计算 知识点一：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即时训练】 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）计算的值，正确的是（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项法则：把同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变． 【详解】解：， 故选：C． 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 根据合并同类项法则合并即可． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点二：去括号、添括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽滁州期末）式子去括号应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号，解题的关键在于能够熟练掌握去括号的法则：去括号时，若括号前是“”，去括号后，各项都不改变符号；若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．直接根据去括号的计算法则进行求解即可． 【详解】解：． 故选：C 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用添括号法则进而计算得出答案. 【详解】解：A：，正确； B：，错误； C：，错误； D：，错误， 故选A. 【点睛】此题主要考查了添括号法则，正确掌握添括号法则是解题关键． 知识点三：整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：A.无法合并，故此选项不合题意； B.，故此选项不合题意； C.，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了整式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）若，则m与n的差是 （用含a，b的式子表示）． 【答案】/ 【分析】根据整式减法运算法则计算即可． 【详解】解：由题意可知： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，灵活运用整式的减法运算法则和去括号法则是解答本题的关键． 【经典例题一 同类项的判断】 【例1】（24-25七年级上·安徽池州·期末）下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．据此解答即可． 【详解】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、字母不相同，不是同类项； 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项，合并同类项．解题的关键是熟练掌握同类项的定义及合并同类项法则． 根据同类项：所含字母相同，且相同字母的指数相同，再由合并同类项法则计算即可得出答案． 【详解】A. 与不是同类项，不能合并，运算不正确； B. 与不是同类项，不能合并，运算不正确； C. ，运算正确； D. ，运算不正确． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）与 是同类项． 【答案】（不唯一）． 【分析】利用同类项概念，所含字母相同，相同字母的指数也相同即可写出． 【详解】利用同类项定义知，与是同类项． 故答案：（不唯一）． 【点睛】本题考查同类项问题，掌握同类项定义是解题关键． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）写出单项式的同类项 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，写出单项式的同类项即可． 【详解】解：的同类项，例如 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了同类项的定义，理解同类项的定义是解题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）已知下列式子： ，，，，，． （1）写出这些式子中的同类项； （2）求（1）中同类项的和. 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，即可作出判断；（2）将同类项进行合并即可. 【详解】解：（1）同类项是，，； （2）这些同类项的和是：   【点睛】本题考查的是同类项的定义，解答此类题目时要注意判断同类项的依据： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【经典例题二 合并同类项】 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，合并同类项时先确定是否为同类项，如是同类项再根据字母和字母的指数不变，系数相加合并同类项． 先确定各项是否为同类项，如为同类项根据合并同类项法则合并同类项即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 1．（24-25七年级上·安徽池州·期中）已知，则下列求值计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活地根据公式进行变形是解此题的关键． 逐项分析，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，，， 故A，B错误； 则， ∴， 即， 故D错误； ， 即 ， 故C正确． 故选C． 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）若总成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则得到、、的值，进而代入求解即可． 【详解】解：总成立， ，，， ． 【点睛】本题考查了合并同类项，合并同类项是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：）： 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 做这两个纸盒共用料 平方厘米． 【答案】 【分析】根据长方体表面积计算公式计算出两个长方体的表面积，再相加化简即可． 【详解】解：由题意可得， ， ∴做这两个纸盒共用料（平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式及合并同类项，理解题意，根据长方体的表面积公式列代数式是解题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式的求值、合并同类项等知识点，掌握运用整体代入法求解代数式的值是解题的关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可解答； （2）把写成，然后将整体代入即可解答； （3）将和相加可得，写成，然后将整体代入即可解答． 【详解】（1）解： ． 故答案为：2． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【经典例题三 去括号】 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳 ·期末）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了去括号法则的应用能力，运用去括号法则对各选项进行逐一计算、辨别． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C符合题意； ， 选项D不符合题意， 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）下列各式去括号后，结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了去括号，当括号前面是“＋”号时，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里的各项都不改变符号，当括号前面是“－”号时，把括号和前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号，根据去括号法则逐项进行判断即可，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】、，不符合题意， 、，不符合题意， 、，符合题意， 、，不符合题意， 故选：． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若，则= . 【答案】-108 【分析】先去括号，再合并同类项,再整体代入计算即可求解. 【详解】, 解:原式=， =， 将代入上式可得: 原式==. 【点睛】本题主要考查整式的化简求值,解决本题的关键是要熟练掌握整式化简求值的方法. 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）去括号得 ，合并同类项得 ． 【答案】 b2 【分析】根据去括号的方法进行计算即可，合并同类项时，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【详解】， 去括号得 ， 合并同类项得 ． 故答案是：；. 【点睛】本题考查的知识点是整式的加减，解题关键是注意合并同类项． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算．解决本题的关键是根据去括号的法则去括号，然后再根据合并同类项的法则合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【经典例题四 添括号】 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下列等式中，一定能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号和添括号的方法．根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．进行分析即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列代数式添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号法则和添括号法则即可判断． 【详解】A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选D． 【点睛】此题考查添括号，解题关键在于掌握添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）在等式的括号内填上恰当的项， (_____________）. 【答案】 【分析】根据添括号的法则括号前为负号，括号内各项改变符号，即可得出答案． 【详解】解：x2-y2+8y=x2-（y2-8y）． 故答案为y2-8y． 【点睛】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）不改变多项式﹣3x+2y﹣4+xy﹣x2﹣y2的值，把二次项放在带“﹣”的括号内，﹣次项放在带“+”的括号内，常数项单独放，得 ． 【答案】﹣（x2+y2﹣xy）+（﹣3x+2y）﹣4 【分析】根据题意列出相应的式子即可． 【详解】据题意得：−(x²+y²−xy)+(−3x+2y)−4. 故答案为﹣（x2+y2﹣xy）+（﹣3x+2y）﹣4. 【点睛】本题考查了去括号与添括号，掌握括号前是“+”号,添括号时括号内各项不变号;括号前是“-”号,添括号后括号内各项都要变号是解题的关键. 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）阅读材料： 已知代数式，求的值． 解：由， 得， 即， 因此，所以． 根据以上材料，解答下列题目： 已知代数式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值．利用整体代入法求值，是解题的关键． 【详解】解：由， 得：， 即：， 因此， 所以． 【经典例题五 整式的加减运算】 【例5】（24-25七年级上·全国·阶段练习）小明把错写成，所得的结果与正确答案相比（　　） A．多 B．多 C．少 D．少 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减，计算错误写法与正确写法的差值，即可得到两者的差异． 【详解】解：正确算式为：， 错误算式为：， 计算两者的差值： ， 错误结果比正确答案多， 故选：B． 1．（24-25七年级上·全国·阶段练习）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图中，图（　　）能正确地表示出“”的数量关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，根据各个选项列示表示出来即可得出答案． 【详解】解：根据加法的意义，表示的是，故该选项不符合题意； ．根据加法的意义，表示的是，故该选项符合题意； ．根据长方形的周长：，故该选项不符合题意； ．大长方形的面积： ，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）已知多项式A、B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为，则多顶式A为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据题意可得，然后将代入并求解即可． 【详解】解：根据题意，， 即， ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．已知多项式（a为常数），，M是N的“雅常式”，则M关于N的“雅常值”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可．计算，令含未知数的项的系数为零即可求解． 【详解】解： ， M是N的“雅常式”， ， ， ， ∴M是N的“雅常式”是4． 故答案为：4． 4．（24-25七年级上·全国·期中）化简 (1) (2)已知：，，求：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先去括号，然后根据合并同类项法则化简即可； （2）把A、B整体代入，然后去括号，最后根据合并同类项法则化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵，， ∴ ． 【经典例题六 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例6】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如果与是同类项，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，解题的关键是理解． 【详解】解：与是同类项， ， ， ， 故选：B． 1．（24-25七年级上·全国·阶段练习）若与的和仍为单项式，那么（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的概念和代数式求值，同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同．根据同类项的概念求得m和n的值，再代入求解即可． 【详解】解：与的和仍为单项式， 与是同类项， ，， ，， ， 故选C． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若单项式与是同类项，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义及有理数的乘法，掌握同类项的定义是解答本题的关键． 先根据同类项的定义可求出、的值，再根据有理数的乘法法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ，， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）下列四个结论中： ①若与是同类项，则： ②若关于x的多项式的运算结果中不含项，则常数项为： ③若，则： ④若，，则的结果只有一种． 其中正确的是 （填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查整式的加减和绝对值，根据同类项的定义可判断①；根据整式的加减可判断②；根据化简绝对值可判断③④． 【详解】解：①∵与是同类项， ∴ ∴ ∴，故①正确； ② ∵运算结果中不含项， ∴， 解得，， 此时，常数项为，故②正确； ③∵， ∴ ∴ ； 故③错误； ④∵，， ∴中至少有一个是负数， 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ =0； 当时，，， ∴ 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 综上，若，，则的结果只有一种． 故④正确， ∴正确的说法是①②④， 故答案为：①②④． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）已知与是同类项． (1)求的值． (2)在中，哪些是同类项？ 【答案】(1) (2)是同类项 【分析】（1）根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值； （2）先把、的值代入计算，再根据同类项的定义判断即可. 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由（1）知，， 所以， ， ， 所以是同类项． 【点睛】本题考查了同类项，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 【经典例题七 整式的加减中的化简求值】 【例7】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）已知，，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据,,将已知两个整式相减可求出,然后整体代入代数式进行计算求解. 【详解】解:,, , , , , , . 故选C. 【点睛】本题主要考查整式的减法和代数式求值,解决本题的关键是要熟练掌握整式的减法法则和代数式求值方法. 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）定义一种新运算：，则当时，的值（    ） A．5 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】当时，原式，计算即可得出结论. 【详解】解：∵， ∴当时，原式， 故答案为B. 【点睛】本题考查了整式的加减—化简求值.解题的关键是理解并运用新运算法则，将要求整式转化为熟悉的整式加减运算. 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）若，则化简并代入后的结果是 ． 【答案】 【分析】先求出，然后化简原式，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键在于能够把当成一个整体． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，那么 即，模仿上述求和过程， 设，则 ， ． 【答案】 2 338350 【分析】根据题意进行运算可得，即可求得a=2，再根据此规律即可求得的值． 【详解】解：∵ ， ∴a=2时等式成立． ∴ ． ， 故答案为：2，338350． 【点睛】本题考查了等式的性质及恒等变式，根据规律进行运算是解决本题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）李老师在黑板上布置了一道题，小明和小丽展开了下面的讨论． 已知，求代数式的值    只知道x的值，没有告诉y值，求不出答案 这道题与y值无关，是可以解的    根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？ 【答案】小丽说得对，理由见解析 【分析】首先对多项式进行化简，根据平方差公式，多项式相乘，单项式乘多项式计算，然后去括号合并同类项，确定结果中的项不含字母y，即可作出判断． 本题主要考查了整式的混合运算—化简求值的无关型问题，熟练掌握平方差公式，多项式相乘的法则，单项式乘多项式法则，去括号法则，合并同类项法则，是解决问题的关键． 【详解】解：小丽说得对． ． 因为这个式子化简的结果与y值无关，所以只要知道了x的值就可以求解，故小丽说得对． 【经典例题八 整式加减中的无关型问题】 【例8】（24-25七年级上·全国·单元测试）关于x，y的代数式中不含有二次项，则k的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】直接利用合并同类项法则得出关于k的等式，进而得出答案． 【详解】解： 关于x，y的代数式中不含有二次项， ， 解得， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了合并同类项，正确得出是解题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若代数式的值与x的取值无关，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代数式去括号，合并为关于x的代数式，令含有字母x的项的系数为零，可求出m，n的值，从而求出的值． 【详解】解： ∵代数式的值与x的取值无关 ∴， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，关键是正确理解题意：代数式的值与x无关，即合并同类项后的系数为0． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）多项式，，如果中不含项，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减运算，理解不含某项的条件是系数为0是解题关键． 先计算，然后整理，令项的系数为0求解即可． 【详解】解：，， ， 中不含项， ， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与 (k为常数)始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 的“平衡数”． 【答案】3 【分析】根据题干定义，直接建立等式，然后根据始终是有理数n的“平衡数”，可得到与的取值无关，从而求出，即可得出结论． 【详解】解： 由题意： ， ∵与（为常数）始终是数的“平衡数”， ∴的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查新定义问题，涉及到整式的加减计算以及取值无关型问题，理解题意，掌握整式的加减运算法则是解题关键． 4．（2025·安徽阜阳·模拟预测）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 【经典例题九 带有字母的绝对值化简问题】 【例9】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值，整式的加减运算；由数轴上，，对应的点可得，，，即可得出，，再根据绝对值的性质进行化简即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ，， 则，， ． 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）下列说法正确的有（   ） ①已知是有理数，，，则的值为； ②若为非零有理数，且，则的值为或； ③已知，则的最大值是，最小值是； ④若且，则式子． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，由可得同时为正数或两负一正，进而由，，代入计算即可判断①；由得同时为负数或两正一负，分别计算即可判断②；分和化简代数式，进而求出最大值和最小值即可判断③；由得或，再分别计算可判断④，综上即可求解，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 【详解】解：①∵， ∴，，， 又∵， ∴同时为正数或两负一正， 当同时为正数时， ； 当两负一正时， ； ∴的值为或，故①错误； ②∵， ∴同时为负数或两正一负， 当同时为负数时， ； 当两正一负时， ， ∴的值为或，故②正确； ③当时， ， 此时最大值为，最小值为； 当时， ； ∴时，的最大值是，最小值是，故③正确； ④当时，则或， 当时，，与矛盾，不合题意； 当时，，， ∴，或，， ∴，， ∴，故④正确； 综上，说法正确的有个， 故选：． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知，，，则代数式的值为 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的应用，熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 由已知条件得出，，，再化简式子，再分四种情况讨论：当，，时，当、、中有一正两负时，当、、中有两正一负时，当，，时，分别化简即可． 【详解】解：，， ，，， 当，，时，原式 当、、中有一正两负时，不妨设，，， 原式 当、、中有两正一负时，不妨设，，， 原式 当，，时， 原式 综上，原式的值是或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数与数轴，整式的加减，由数轴可得，即得，，再根据绝对值的性质化简即可，由数轴得到、是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， ∴原式， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）我们知道|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，表示 x 与 a 在数轴上对应的点之间的距离．例：表示数x与1在数轴上表示的点的距离是2个单位长度，如图所示，即可得出x的值为或3． 根据以上材料，解答下列问题： (1)若，则x的值为__________； (2)若数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间，则求的计算结果； (3)已知有理数b，则的计算结果是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说出理由． 【答案】(1)或6； (2)5 (3)有最小值，最小值为8． 【分析】本题考查数轴，绝对值，掌握数轴的应用是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意知表示在数轴上表示数a的点到表示与的点的距离之和，即可解答； （3）根据题意知表示在数轴上表示数的点到表示与的点的距离之和，当时，这个距离之和最小，最小值就是表示与的两点之间的距离，为个单位长度，即可解答． 【详解】（1）(1) 如图，在数轴上与对应的点的距离为个单位长度的点表示的数为或． 故答案为：或； （2）表示在数轴上表示数的点到表示与的点的距离之和， 表示数的点位于表示与的两点之间，如图， 即的计算结果为； （3）的计算结果有最小值， 表示在数轴上表示数的点到表示与的点的距离之和， 当时，这个距离之和最小，最小值就是表示与的两点之间的距离，为个单位长度， 即的计算结果有最小值为． 【经典例题十 多项式的升幂、降幂排列】 【例10】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）代数式是（   ） A．按x降幂排列 B．按x升幂排列 C．按y降幂排列 D．按y升幂排列 【答案】A 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式降幂，升幂排序的定义． 根据降幂排序和升幂排列的定义，依据不同的字母进行排列． 【详解】解：按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂则相反，常数项应该放在最前面， ∵多项式中，的指数为：，y的指数为：， ∴按x降幂排列， 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个多项式按照某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按照这个字母降幂排列．本题考查多项式的降幂排列，掌握方法并注意符号不变才能正确求解． 【详解】解：依题意，按字母的降幂排列为 故选：C 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）把整式按字母x的降幂排列是 【答案】 【分析】本题主要考查多项式按某个字母降幂排列的意义，把该多项式的各项按照x的指数从大到小的顺序排列，即可得解． 【详解】解：把整式按字母x的降幂排列是， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·安徽池州·开学考试）给出下列整式：，，，观察这些整式的字母的幂的排列情况，根据它们的共同特征，可以将其命名为“把一个多项式按照某个字母的 排列”这个名称可以给出的定义为 ． 【答案】 降幂 把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这一字母的降幂排列 【分析】本题考查的是按照多项式中某一字母降幂排列的含义，根据定义作答即可． 【详解】解：是按照字母作的降幂排列； 是按照字母作的降幂排列； 是按照字母作的降幂排列； 是按照字母作的降幂排列； 根据它们的共同特征，可以将其命名为“把一个多项式按照某个字母的降幂排列”这个名称可以给出的定义为：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这一字母的降幂排列． 故答案为：降幂，把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这一字母的降幂排列 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的有关知识，关键是掌握多项式降幂或升幂排列的概念． （1）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母降幂排列，由此即可得到答案． （2）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母升幂排列，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：多项式按的降幂排列为： （2）解：多项式按的升幂排列： 【经典例题十一 整式加减的应用】 【例11】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，长方形的长为，宽为，则这个长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式加减的应用，解题的关键在于掌握整式加减的运算法则．根据长方形的周长公式列式计算，即可解题． 【详解】解：这个长方形的周长为 ， 故选：D． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（　　） A．只需知道③号正方形的边长即可 B．只需知道④号正方形的边长即可 C．只需知道⑤号长方形的周长即可 D．只需知道图1中大长方形的周长即可 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，则③号正方形的边长为，④号正方形的边长为，⑤号长方形的长为，宽为，根据图2得没有覆盖的阴影部分的周长，计算即可得到结果． 【详解】 解：设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，则③号正方形的边长为，④号正方形的边长为，⑤号长方形的长为，宽为，，， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长 ， ③号正方形的边长为， ④号正方形的边长为， ⑤号长方形的周长； 图1中大长方形的周长； 选项A，C，D说法正确，不符合题意，选项说法错误，符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）某班有名学生，学校将一批图书分给该班的学生阅览，若每人分3本，则剩余50本，若每人分4本（有剩余），则剩余 本．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，读懂题意，找准等量故乡你，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，可知这批图书一共有本，若每人分4本（有剩余），那么共需要分出去本，然后表示出剩余的即可． 【详解】解：某班有名学生，若每人分3本，则剩余50本，那么一共有本，若每人分4本（有剩余），那么剩余本． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是学校劳动基地的平面示意图，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了列代数式，以及整式的加减，解答本题的关键是掌握长方形的面积公式和合并同类项的方法． 用整个大长方形的面积减去两个空白长方形的面积，再进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期中）一建筑物的地面结构如图所示（图中各图形均为长方形或正方形），请根图中的数（据单位：米），解答下列问题： (1)用含x，y的代数式表示地面总面积， (2)图中阴影部分需要铺设地砖，铺地砖每平方米的平均费用为80元，若，，则铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)3520元 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值、整式的加减． （1）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出四个图形的面积，再相加即可； （2）利用代数式分别表示出两部分阴影面积之和，将，代入计算得出阴影部分的面积，再乘以铺地砖每平方米的平均费用80元，即可得出结论． 【详解】（1）解：地面的面积为： 平方米； （2）解：当，时， 阴影部分的面积为：（平方米）， ∴铺地砖的总费用为：（元）， 答：铺地砖的总费用为3520元． 【拓展训练一 整式加减的破损、遮盖问题】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）下面是一道整式运算过程，部分代数式在破损处看不见了（代表破损部分）． 【解】原式． (1)求破损部分的代数式； (2)当，，求多项式的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）设破损的整式为A，由原式确定出关系式，去括号合并得到结果； （2）将x与y的值，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意，设破损部分的整式为A，                                                           （2）解：把，，代入多项式得 ． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）某教辅书中一道整式运算的参考答案，部分答案在破损处看不见了，形式如图： 解：原式〇 (1)求破损部分的整式； (2)若，求破损部分整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）设破损的整式为，由原式确定出关系式，去括号合并得到结果； （2）利用非负数的性质求出与的值，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）解：设破损的整式为， 根据题意得： ； （2）解：∵， ，， 解得：，， 则原式． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有已化为最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则实验成功．甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片有一部分被遮挡了． （1）计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功； （2）小亮发现丙减甲可以使实验成功，请求出丙的代数式． 【答案】（1）甲-乙，不成功；（2） 【分析】（1）化简甲-乙的整式，比较其常数项与丙的常数项即可做出判断； （2）由题意丙=甲+乙，化简整式即可解答． 【详解】解：（1）甲-乙， 因为常数项是-4，而乙的常数项为2，所以实验不成功； （2）由题意，丙-甲=乙，则丙=甲+乙=． 【点睛】本题考查整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键． 【拓展训练二 整式加减无关型问题与图形结合】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1) ； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点；设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题主要考查了多项式的定义、绝对值方程、两点间距离、无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据三次二项式列方程求解即可求得a的值； （2）设点C对应数为c，然后列绝对值方程求解即可； （3）设运动时间为t秒，先表示出点M、N，再表示出P、Q，然后用绝对值表示出、,进而确定m的值，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵关于x、y的三次二项式， ∴， ∴． （2）解：设点C对应数为c， ∵点A对应的数记为，点B对应的数记为12，， ∴， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：，符合题意； 当时，有，解得：，符合题意． 综上，设点C对应数为或． （3）解：设运动时间为t秒，则点M表示，点N表示， P、Q为、的中点 点P表示，点Q表示， ， ， 的长度与t无关， ， ∴当时，． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示） (2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积； (3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差． 【答案】(1) (2)阴影部分A的面积为：，阴影部分B的面积为： (3)当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关，此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差为 【分析】本题主要考查整式的运算与几何图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据图示列代数式求解即可； （2）根据图示，分别得到阴影部分A，B的边长，结合面积的计算公式求解即可； （3）根据整式混合运算求解即可． 【详解】（1）解：根据图示中长方形的长边得到，每个小长方形较长一边长为； （2）解：大长方形的面积为：， 阴影部分A的长为：，宽为：， ∴阴影部分A的面积为：， 阴影部分B的长为：，宽为：， ∴阴影部分B的面积为：； （3）解：阴影部分A与阴影部分B的面积之差： ， ∵面积之差与x的值无关， ∴， 解得，， ∴当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关， ∴阴影部分A与阴影部分B的面积之差为：． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图1，这是某年11月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为A，B，C，D，E．这五个数的和能被5整除吗？为什么？ (1)甲同学说：“设，用x依次表示出B，C，D，E，再求和”，请通过计算得出结论； (2)乙同学说：“如果设，运算过程会更简单”，请你也来试一试； (3)小明受到启发，改编了下面一道题目：请判断代数式的值是否为定值．若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)这五个数的和能被5整除；理由见解析 (2)这五个数的和能被5整除；理由见解析 (3)代数式的值为定值 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）甲同学：设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，即可求解； （2）乙同学：设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，即可求解； （3）设，则，，，，根据整式的加减计算，即可求解． 【详解】（1）解：甲同学：设， 则，，，， 则 ， 能被5整除， 这五个数的和能被5整除； （2）解：乙同学：设， 则，，，， ， 能被5整除， 这五个数的和能被5整除； （3）解：代数式的值为定值．理由如下： 设，则，，，， 则 ， 代数式的值为定值． 【拓展训练三 整式加减的数字类规律探索】 1．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： (1)直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 【答案】(1)当能被5整除时，即或5时，能被5整除 (2)当能被4整除时，能被4整除．理由见解析 【分析】本题考查了整死加减的运用．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用． （1）把四位数化为，根据整除的性质得出结论； （2）把四位数化为，根据整除的性质得出结论． 【详解】（1）解：当能被5整除时，即或5时，能被5整除，理由如下： ， 能被5整除， 当或5时，能被5整除； （2）解：当能被4整除时，能被4整除．理由： ， 能被4整除， 当能被4整除时，能被4整除． 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：________； (2)猜想：________； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； 【答案】(1)20 (2)20 (3)见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，数式规律问题，理解题意并总结出规律是解题的关键． （1）先算乘法，再算减法即可； （2）根据表格中的数据及（1）中求得的结果总结规律即可； （3）由图表可得，，，然后列得算式并计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：20； （2）猜想：， 故答案为：20； （3）解：由图表可得，，， 则 ， ∴，正确． 3．（2025·安徽·模拟预测）数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵，21能被3整除，∴615 432能被3整除． 对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明： （i）星星同学对三位数进行了证明： 设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c． ∵， ∴若能被3整除，则该三位数能被3整除． （ii）宁宁同学对四位数进行了证明： 设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d． ∵ ， ∴若能被3整除，则该四位数能被3整除． (1)请写出横线上所缺内容． (2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下： …… 请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件． 【答案】(1)（i），；（ii）， (2)补充证明过程见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用， (1)仿照题干给定的方法填空即可；仿照题干给定的方法填空即可； (2)仿照题干给定的方法，将表示为的形式，即可得证； 熟练掌握整式加减的运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：星星同学对三位数进行了证明： 设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c， ， 若能被3整除，则该三位数能被3整除； 故答案为：，； 宁宁同学对四位数讲行了证明： 设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是， ∵ ， 故答案为：，， 若能被3整除，则该四位数能被3整除； （2）解：补充推理讨程如下： ， 若能被11整除，则该四位数能被11整除． 【拓展训练四 整式加减的图形类规律探索】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图是某月的日历，在图中圈出来的五花型图案． (1)图中圈出来的五个数字的和与中间的数字有怎样的关系； (2)日历中任意一个这样的图案中的数字是否都有（1）的规律？ 【答案】(1)这五个数字的和是中间的数字的5倍 (2)有，见解析 【详解】（1）解： ∴这五个数的和是五花型图案中间数字的5倍． （2）解：日历中任意一个这样的图案中的数字都有（1）的规律，理由如下： 设五花型图案中的5个数字的最小数为a，则另外4个数为，，，． ， ． 故这五个数的和是五花型图案中间数字的5倍． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5个图形中有______颗黑色棋子；第8个图形比第6个图形多______颗黑色棋子；（填数字） (2)第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗黑色棋子． 【答案】(1)19，17 (2) 【分析】本题考查了图形规律的探索，整式加减的应用，找到变化规律是解题的关键． （1）按规律数黑色棋子的个数，找到规律，代入求解即可； （2）根据（1）中的规律，列整式求解即可． 【详解】（1）第1个图形中有1颗黑色棋子； 第2个图形中有颗黑色棋子； 第3个图形中有颗黑色棋子； 第4个图形中有颗黑色棋子； 则第5个图形中有颗黑色棋子； 故答案为：19； 第6个图形中有颗黑色棋子； 第8个图形中有颗黑色棋子； 所以第8个图形比第6个图形多颗黑色棋子； 故答案为：17． （2）由（1）得，第n个图形中有黑色棋子 颗， 第个图形中有黑色棋子 颗， ， 所以第个图形比第n个图形中多颗黑色棋子． 故答案为：． 3．（2025·安徽·模拟预测）【观察思考】 如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．． 【规律发现】 第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多，理由见解析 【分析】本题主要考查了根据图形的变换通过归纳总结得规律： （1）结合基础图形个数进行归纳总结，寻找规律，即可； （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律作差比较即可． 【详解】解：（1）第1个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 第2个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 第3个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； …… 第n个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 故答案为：；． （2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多． 理由：第个图案中三角形个数与长为1的线段条数之差为． 为正整数， ， 每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多． 【拓展训练五 整式加减的新定义计算】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）新定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)则3与______是关于2的平衡数； (2)______与是关于2的平衡数；（用含的代数式表示） (3)若，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与不是关于2的平衡数，理由见解析 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，关键是能根据题目定义列式并计算． （1）根据关于2的平衡数的定义列式计算即可； （2）根据关于2的平衡数的定义列式计算即可； （3）通过计算的计算结果即可进行判断． 【详解】（1）∵， ∴， 由题意得，， 故答案为：； （2）∵， ∴， 由题意得，， 故答案为：； （3）若a与b不是关于2的平衡数， 则． ∵ ， ∴a与b不是关于2的平衡数． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）定义一种新运算．观察下列算式： ； ； ； ． (1)填一填：______，______； (2)若，则______（填“”或“”）； (3)若，求的值． 【答案】(1)0； (2) (3)9 【分析】（1）根据题干中提供的信息，列式计算即可； （2）根据题意求出和，即可得出答案； （3）先根据求出a与b的关系，然后把化简后用整体代入法计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0；． （2）解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，整式加减运算，以及有理数的混合运算，掌握新运算的运算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）定义新运算“”，即对任意的有理数，满足． （下列运算结果均不含新运算符号“*”） (1)分别计算和； (2)计算，并用含的代数式表示的运算结果； (3)判断定义的新运算是否满足运算律： ①先计算，再判断交换律是否成立？ ②先计算，再判断结合律是否成立？ 【答案】(1) (2)， (3)①，交换律不成立；②，结合律不成立. 【分析】本题考查的是新定义下的有理数的运算及整式加减运算； （1）根据新运算法则计算即可； （2）根据新运算法则计算即可； （3）①计算进而得出结论；②计算，，进而得出结论； 【详解】（1）解： ， ． （2）由（1）得原式 ． ； （3）①， 所以交换律不成立． ②， ， ， 所以结合律不成立． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若单项式与是同类项，则(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了同类项，熟记定义是解答本题的关键．根据同类项是字母相同，且相同的字母的指数也相同，可得、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项及去括号法则依次计算判断即可．本题考查合并同类项及去括号法则，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. 不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）在某月的日历上用矩形圈到a、b、c、d四个数（如图），如果d=18，那么a+b+c=（ ） A．38 B．40 C．48 D．58 【答案】A 【详解】试题分析：根据日历上的数据排列可以得到a+1=b，c+1=d，c=a+7，d=7+b，而d=18，利用这些关系即可求解． 解：依题意得 a+1=b，c+1=d，c=a+7，d=7+b， 而d=18， ∴b=11，c=17，a=10， ∴a+b+c=38． 故选A． 考点：整式的加减；列代数式． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下面是小彬同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．   ①   ②   ③ 小彬开始出现错误的一步，以及原题化简的正确结果是（   ） A．①， B．①， C．②， D．③， 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟练掌握去括号，合并同类项法则，是解题的关键．观察计算过程可知，第二步开始出现错误，原因是去括号时这一项没有变号，根据去括号合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，大长方形地面是由两个相同的长方形和两个相同的大正方形以及两个相同的小正方形地砖铺成的（既不重叠也无缝隙）．小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为，若阴影部分的面积为S，则大长方形的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则，，，依题意得，则，进而得，，再由，继而可求出长方形的面积． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，如图所示： ∴，，，，， ∴，， ∴小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵阴影部分的面积为S， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知3x2ym和-4xny4是同类项，则m+n的值是 ． 【答案】6 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出，的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 则． 故答案是：6． 【点睛】本题考查了同类项的定义，熟悉相关性质是解题的关键． 7．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）若关于，的代数式为单项式，则有理数 ． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，单项式的定义等知识点．由题意可知，求值即可． 【详解】解：， ∵代数式为单项式， ∴， ∴． 故答案为：1． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了代数式求值，求代数式的值可以直接代入、计算，如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．准确熟练地进行计算是解题的关键． 先令计算出然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：令 ， 故答案为：8． 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）小亮在计算的值时，把的值看错了，其结果等于，细心的小敏把正确的的值代入计算，其结果也是．为了探究明白，她又把代入，结果还是．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据整式混合运算的法则化简原式，得出这个结果与n的取值无关，进一步即可求出m． 【详解】解： ， 所以这个结果与n的取值无关，是25， ∵， ∴； 故答案为：． 10．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌都是比漫灌节水的灌溉方式．灌溉三块同样大的田地，第一块用漫灌方式，第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式．后两种方式用水量分别是漫灌的和，若第一块田地用水量为吨，则这三块田地共用水 吨． 【答案】 【分析】本题考查代数式表示式，以及整式的加减运算，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据题意分别表示出第二块田地用水量，以及第三块田地用水量，再求和计算，即可解题． 【详解】解：第一块田地用水量为吨，则第二块田地用水量为吨，第三块田地用水量为吨， 所以这三块田地共用水（吨）． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 本题主要考查整式的加减计算，合并同类项，去括号，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（25-26七年级上·全国·期中）整式加减综合题： (1)计算：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． （1）先去小括号、再去中括号，然后合并同类项即可； （2）先化简，然后将代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．（24-25七年级上·安徽池州·期末）计算： (1)，；若，，且，求的值； (2)已知m的相反数是－1，n是绝对值最小的有理数，且与是同类项，化简多项式，并求出此多项式的值． 【答案】(1)21或-21 (2)，6 【分析】（1）先化简，再根据，，分两种情况讨论：当，时，当，，即可求解． （2）先根据m，n满足的条件求出m，n的值，与是同类项，可求得，，再利用整式合并同类项的方法化简多项式，代入，的值即可求解． 【详解】（1）解：∵A=，， ∴2A-3B - - ， ∵，， ∴，， ∵， ， ∴，或，， 当，时，原式； 当，，原式； 综上所述，2A−3B的值为-21或21． （2）∵m的相反数是-1，n是绝对值最小的有理数， ∴，， ∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴ ， 把，代入得：． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算及化简求值，熟练掌握整式的加减法运算法则及同类项的定义和绝对值的意义是解题的关键． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：已知，求代数式的值． 解：因为，所以原式． 仿照以上解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题，可得，将，整体代入求解即可； （2）仿照例题，可得，将，，，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以原式 ． （2）解：因为，， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． 15．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）综合与实践 现有三个边长分别为3，4，5的正方形卡片（如图1），分别记为，，，还有一个两边长分别为的长方形． 数学思考 （1）如图2，将放入长方形中，用含的代数式表示阴影部分的面积：___________．当，时，阴影部分的面积为___________． 深入探究 （2）将，两张卡片按图3所示的方式（和部分重叠）放置在长方形中，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． （3）将，，三张卡片按图4所示的方式（和II不重叠，和部分重叠，）放置在长方形中，求左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差，勤学小组成员认为缺少与的值无法计算，善思小组成员则认为不需要与的值也能计算，哪一个小组成员的说法正确？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）善思小组成员说法正确，理由见解析 【分析】此题考查了列代数式及求值和整式加减运算，熟记长方形、正方形的面积、周长公式求解即可． （1）根据长方形、正方形的面积公式列代数式并求值即可； （2）根据长方形、正方形的面积公式列代数式求解即可； （3）根据长方形、正方形的周长公式列代数式求解即可． 【详解】解：（1）， 当时，； 故答案为：，； （2）； （3）善思小组成员说法正确，理由如下： 周长之差为： ． 则左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差为8， 故善思小组成员说法正确． 学科网（北京）股份有限公司 $