专题02 整式重难点题型专训（3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义围绕整式单元构建了清晰的知识体系，通过“知识点梳理+题型分类+拓展训练”的三维结构，系统呈现单项式、多项式与整式的定义、特征及相互关系。讲义以框架图明确三者逻辑层级，用对比表格归纳系数、次数、项数等易混概念，并辅以思维导图梳理常见题型的解题路径，突出“判断—计算—应用”三大重难点的内在联系。 讲义的亮点在于“问题导向+方法提炼”的练习设计，如经典例题中通过“单项式规律探索”引导学生从数字序列中抽象出代数表达式，培养抽象能力和创新意识；在“差倒数问题”中借助周期性规律破解复杂递推，强化逻辑推理和运算能力。每类题型均配有典型错因分析和解题模板，基础薄弱学生可掌握规范步骤，学有余力者能挑战综合拓展题。教师可据此精准定位教学难点，实现分层指导与高效复习。

专题02 整式重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 多项式的判断 题型五 多项式的项、项数或次数 题型六 多项式的系数、指数中字母求值 题型七 单项式规律题 题型八 整式的判断 题型九 数字类规律探索 题型十 图形类规律探索 拓展训练一 杨辉三角问题 拓展训练二 天干地支规律题 拓展训练三 差倒数问题 知识点一：单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）单项式的系数是（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．根据单项式的概念求解． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案为：D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【详解】解：的系数是． 故答案为：． 知识点二：多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）多项式的次数是（    ） A． B．1 C．6 D．3 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式的次数，正确把握多项式次数确定方法是解题关键．根据最高次项为，从而可得答案． 【详解】解：多项式的次数是次， 故选：C 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）写出一个次数为3的多项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查多项式定义．根据题意直接写出一个多项式次数为3即可． 【详解】解：∵是次数为3的多项式， 故答案为：（答案不唯一）． 知识点三：整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）下列代数式中，整式共有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查整式的概念，熟记整式的概念，区分整式和分式是解题的关键．单项式和多项式统称为整式，整式和分式区别在于分母中是否有字母，逐一判断即可． 【详解】解：①是多项式，所以①也是整式； ②是多项式，所以②也是整式； ③是单项式，即③也是整式； ④中分母中有字母，是分式，所以④不是整式； 所以整式有3个． 故选C． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列式子0，，，，中，其中整式有 个． 【答案】3 【分析】根据单项式和多项式统称整式，可得答案． 【详解】解：0，，是整式，共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列选项中的代数式属于单项式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式．根据单项式是数与字母的乘积的代数式逐项判断即可． 【详解】解：根据单项式的定义是单项式； ，，都不是单项式， 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·课后作业）在式子，，，，，，，中，单项式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义逐一判断即可，解题的关键是正确理解表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【详解】解：式子，，，，，是单项式，共个， 故选：． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）在代数式：，0，，，中，单项式有 个． 【答案】4 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．本题考查单项式的定义，较为简单，要准确掌握定义． 【详解】解：式子，0，，，符合单项式的定义，是单项式；式子，是多项式． ∴单项式有4个． 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）下列各式中是单项式的有： ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧c． 【答案】②③④⑥⑦⑧ 【分析】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题关键．直接根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式解答即可． 【详解】解：①不是单项式； ②是单项式； ③是单项式； ④是单项式； ⑤不是单项式， ⑥是单项式； ⑦是单项式； ⑧是单项式； 故答案为：②③④⑥⑦⑧． 4．（24-25七年级上·全国·阶段练习）观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 【答案】都是单项式 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察可发现以上式子都为单项式， 故它们的共同点为都是单项式． 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】（24-25七年级上·安徽六安·期中）单项式的系数是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的概念．单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号． 【详解】解：单项式的系数是． 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，5 B．，6 C．，7 D．，5 【答案】B 【分析】本题考查单项式的系数和次数的定义．根据单项式中的数字因式是单项式的系数，据此可知系数为，根据所有字母的次数之和是单项式的次数，据此可知次数为6，据此可选出选项． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是，6． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式系数的定义．根据单项式系数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数． 【详解】解：根据单项式的系数的定义可知：的系数是． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）已知多项式是关于、的五次四项式，单项式的次数为，是最小的正整数，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了多项式、单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式、多项式的定义．根据多项式是五次四项式，可得，，由单项式的次数为，是最小的正整数，得出，，代入即可得出答案． 【详解】解：多项式是关于、的五次四项式， ， ， 单项式的次数为，是最小的正整数， ，， ． 的值为16． 故答案为：16 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知多项式是五次四项式． (1)求出m的值． (2)单项式的次数与已知多项式的次数相同，求n的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数和单项式的次数，关键是根据多项式的次数和单项式的次数解答． （1）根据多项式的次数得出m的值． （2）由（1）可知：，把代入单项式，再根据单项式的次数也是5即可得出，进而可求出n的值． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式， ∴， （2）解：由（1）可知：， ∴单项式为， ∵单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴， ∴ 【经典例题三 写出满足某些特征的单项式】 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）在下列代数式中，次数为4的单项式是（　　） A．xy3 B．x4+y4 C．x2y D．4xy 【答案】A 【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案． 【详解】A、xy3，是次数为4的单项式，故此选项符合题意； B、x4+y4，是多项式，不合题意； C、x2y，是次数为3的单项式，故此选项不合题意； D、4xy，是次数为2的单项式，故此选项不合题意； 故选A． 【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握其定义. 1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）系数为－且只含有 x、y 的三次单项式（不需要包含每个字母），可以写出(   )  ． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】根据单项式的概念求解． 【详解】这样的单项式为：xy2，x2y，，，共4个． 故选C． 【点睛】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）请写出一个系数是负数，次数是5的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式定义直接求解即可得到答案． 【详解】解：由单项式定义可得满足条件的一个单项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查单项式定义，熟记单项式定义是解决问题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）请写出一个系数为2023，次数为5，所含字母为m，n的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用单项式的次数与系数概念，即可得出答案． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了单项式的概念，掌握单项式的次数与系数概念是解题关键． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 【经典例题四 多项式的判断】 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下列代数式中，不是多项式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多项式是几个单项式的和去判断即可． 【详解】A. 是多项式，不符合题意； B. 是多项式，不符合题意；     C. 不是多项式，符合题意；     D. 是多项式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握定义是解题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）在代数式，下列结论正确的是（   ） A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式 C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式 【答案】A 【分析】根据多项式和单项式概念，逐个分析判断即可．本题考查了多项式和单项式的概念，看清两个分式是关键． 【详解】解：在代数式中， 多项式有：，，共计个， 单项式有：，，，共计个， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）下列式子：，，，，其中多项式有 个． 【答案】 【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，结合各式进行判断即可． 【详解】解：，，，，中， ，是多项式，共个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式，解答本题的关键是理解多项式的定义． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）在式子①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中是整式的有 ，其中是单项式的有 ，是多项式的有 ． 【答案】 ①②③④⑥⑦⑧ ②④ ①③⑥⑦⑧ 【分析】根据整式、单项式、多项式的定义，结合所给各式进行判断即可. 【详解】解：所给式子中整式有：①②③④⑥⑦⑧； 单项式有：②④⑦； 多项式有：①③⑥⑧． 故答案为①②③④⑥⑦⑧、②④、①③⑥⑦⑧． 【点睛】本题考查了多项式、单项式及整式的知识，掌握三者的定义是解题的关键，属于基础知识考察类题目. 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ (1)单项式有________，多项式有_______． (2)利用上面的部分代数式写出一个三次五项式． 【答案】(1)③⑤⑦；①② (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据单项式，多项式的定义即可求解． （2）根据三次五项式的定义即可求解 【详解】（1）解：单项式有：③；⑤；⑦； 多项式有：①；②； 故答案为：③⑤⑦；①②； （2）解：选①②， 则是三次五项式．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，三次五项式的定义． 【经典例题五 多项式的项、项数或次数】 【例5】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）若代数式关于，的五次三项式，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式，解题的关键是掌握：多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号），次数最高的项的次数即为该多项式的次数，多项式通常说成几次几项式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵代数式关于，的五次三项式， ∴且， 解得：， ∴的值为． 故选：D． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）已知整式，其中是正整数，，，，，是自然数，若，．下列说法：若，，则满足条件的整式有且仅有个；若，则满足条件的整式中有个五次四项式；若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的有关概念，根据，进行逐一判断即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵是正整数，，，，，是自然数，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴只有个，为，故正确； 当，则， ∵要满足五次四项式， ∴，，，，中有两个为，其余为， ∴，，，，，，共个，故正确； ∵，， ∴， ∵，且为自然数， ∴，解得：， ∴，， ∴当，，，，，中有一个为，其余为，满足条件的整式有个； 当，，，，，中有一个为，其余为，满足条件的整式有个； 当，，，，，中有一个为，其余为，满足条件的整式有个； ∴满足条件的整式共有个，故正确； 综上可知：正确的个数是个， 故选：． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）多项式有 项，是 次式，所以该多项式是 次 项式．该多项式的二次项系数是 ，三次项的系数是 ，常数项是 . 【答案】 四 四 四 四 4 -2 1 【分析】根据多项式的定义即可得到答案． 【详解】解：∵总共由四项， ∵是四次项， ∴是四次式， ∴该多项式是四次四项式， ∵该多项式的二次项， ∴该多项式的二次项系数是4， ∵该多项式的三次项， ∴该多项式的三次项系数是， 该多项式的常数项是1， 故答案为：四，四，四，四，4，，1． 【点睛】本题考查多项式的定义，解题的关键是熟练掌握多项式的概念． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）下列语句：①没有绝对值为的数；②不一定是一个负数；③倒数等于它本身的数是；④单项式的系数是；⑤是二次三项式．其中正确的有 ． 【答案】①②⑤ 【分析】根据绝对值的性质、负数与倒数的定义、单项式系数的定义、多项式的定义逐个判断即可得． 【详解】①没有绝对值为的数，正确； ②不一定是一个负数，正确； ③倒数等于它本身的数是，错误； ④单项式的系数是，错误； ⑤是二次三项式，正确； 综上，正确的有①②⑤， 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查了绝对值、倒数、单项式与多项式等知识点，熟练掌握各定义与性质是解题关键． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期中）已知关于的整式． (1)若该整式是二次多项式，求的值； (2)若该整式是二项式，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项数问题： （1）根据该整式是二次多项式，则三次项系数为0，二次项系数不为0，据此求出k的值，再代值计算即可； （2）该整式是二项式，则二次项系数，一次项系数和常数项中有一个为0，另外两个不为0，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的整式是二次多项式， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵关于的整式是二项式， ∴或或 ∴或． 【经典例题六 多项式的系数、指数中字母求值】 【例6】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中） 是关于x的二次多项式，则k的值是（　　） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据多项式的定义即可求解．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：∵ 是关于x的二次多项式， ∴，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义求得的值是解题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于，的多项式与的差不含三次项，则数的值为（　　） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】计算两个多项式的差并合并同类项，根据两个多项式的差不含三次项可得，即可求解出的值． 【详解】 ∵这两个多项式的差不含三次项 ∴ 解得 故答案为：D． 【点睛】本题考查了多项式的加减运算，掌握多项式的性质以及加减运算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如果多项式与多项式（其中a，b，c是常数）相等，则 ， ， ． 【答案】 -3 1 2 【分析】先化简多项式，然后再根据两个多项式相等得到对应项的系数相等，从而求出a、b、c的值． 【详解】解：， ∵与多项式相等， ∴， ∴a=-3，b=1，c=2， 故答案为：-3；1；2． 【点睛】本题考查多项式的化简，理解两个多项式相等的含义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知，，若代数式的结果与b无关，则 . 【答案】-2 【分析】（1）将A、B代入，然后去括号、合并同类项求解； （2）与b的取值无关说明b的系数为0，据此求出m的值 【详解】 ； ∵代数式的结果与b无关，∴-8-4m=0，∴m=-2. 【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）以下关于的各个多项式中，均为常数． （1）根据计算结果填写下表： 二次项系数 一次项系数 常数项 2 2 6 （2）已知既不含二次项，也不含一次项，求的值． （3）多项式与多项式的乘积为，则的值为________． 【答案】（1）5，，；（2）1；（3）． 【分析】（1）根据多项式乘以多项式即可求解； （2）先用完全平方公式展开第一项，再进行多项式乘以多项式，合并同类项后使二次项系数和一次项系数为0即可求解； （3）根据多项式乘以多项式的结果可以设多项式 M，再根据恒等式的意义即可求解； 【详解】（1） ∴一次项系数是5， ∴一次项系数是， ∴一次项系数是． （2） 即不含二次项，也不含一次项， ， 解得， ． （3）设，则 ， ． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式， 解决本题的关键是准确进行计算，同时理解恒等变形； 【经典例题七 单项式规律题】 【例7】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察下列单项式：，根据你发现的规律，第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先观察系数的绝对值分别为：，，，，再观察字母的指数，结合符号，从而可得规律，进而可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴归纳得到第个单项式为：， ∴第8个单项式是， 故选D． 【点睛】本题考查的是数字及数字的变化规律；得到各个单项式符号，系数，字母及字母指数的规律是解决本题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第2024个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据整式的特点找规律问题，根据所给示例，分别找出系数及字母次数的规律，即可解题． 【详解】解：第1个单项式，系数为，次数为1次， 第2个单项式，系数为，次数为2次， 第3个单项式，系数为，次数为3次， 第4个单项式，系数为，次数为4次， 第5个单项式，系数为，次数为5次， 第6个单项式，系数为，次数为6次， 综上所述，第个单项式，为奇数，系数为，为偶数，系数为，次数为次， 第2024个单项式是， 故选：D． 2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）有一组单项式：，，，，，请你观察它们的排列规律，用你发现的规律写出第（n为正整数）个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的构成规律，通过观察分别发现分子、分母和符号的规律，可得结果． 【详解】解：由题意可得：分子部分为，分母部分为n，奇数项为正，偶数项为负， ∴第个单项式为：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 【答案】 1350 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，单项式的规律探究，通过观察输出结果，得到当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即可求解． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… ∴当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数， ∵， ∴从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1350个， 故答案为：，1350． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，． 解决下列问题： (1)这组单项式中的第个单项式是什么？第个单项式是什么？ (2)请你根据中的结论，写出第个、第个单项式． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了探索单项式的变化规律，解决本题的关键是根据所给出的单项式的变化规律列出代数式． 根据前三个单项式可知：单项式的符号是正、负间隔出现，第个单项式的系数是，字母的指数是，按照规律写出第个和第个单项式； 由中得到的单项式的符号、系数、指数的变化规律可得结果． 【详解】（1）解：根据前三个单项式的系数和指数的变化规律可得： 第个单项式是， 第个单项式是； （2）由可知： 第个单项式是， 第个单项式是． 【经典例题八 整式的判断】 【例8】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在代数式 0， ，，，中，整式有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断． 【详解】整式有：-xy，0，−，8y2，x＋3y共有5个． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的整式共有12个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握根据条件对取值分类讨论并计算满足条件的整式个数是解题的关键．根据已知条件（为自然数，为正整数 ），对的可能取值进行分类讨论，分别计算不同值下满足条件的整式的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】解：当时， ，为正整数，，此时整式为单项式（，整式只有常数项 ），则，，有个单项式． 当时，，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为；共个整式． 当时，，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，整式为； ，，整式为； ，，整式为； 时，： ，，整式为； ，，整式为； 时，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，，整式为； ，，，整式为； ，，，整式为； 时，，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 则，，整式为，共个整式． 对于说法①，满足条件的单项式有时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ），共个单项式，说法①正确． 对于说法②，当时，满足条件的整式有个，所以“不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个”说法②错误． 对于说法③，满足条件的整式个数为，说法③错误． 综上，只有说法①正确， 故选：． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列式子：，，，，，中，整式有 个 【答案】 【分析】根据整式的定义分析判断各个式子，从而得到正确选项． 【详解】解：式子，0，，符合整式的定义，都是整式； 这两个式子的分母中都含有字母，不是整式． 含有根号，不是整式 故答案为：3． 【点睛】本题考查的知识点是整式的定义，解题关键是注意整式的几种形式. 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）在“整式”章节复习时，某学习小组绘制了如图知识结构图，其中知识点A是 ． 【答案】单项式 【分析】根据整式的分类解答即可． 【详解】解：整式分为单项式和多项式， 所以A指的是单项式， 故答案为：单项式． 【点睛】此题考查整式的概念，关键是根据整式的分类解答． 4．（24-25七年级·全国·单元测试）下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ ，，，0，，，，，，． 【答案】单项式：，，0，，，． 多项式：，． 整式：，，0，，，，，． 【分析】根据整式、单项式、多项式的定义判断后选出即可． 【详解】解：，，0，，，是单项式； ，，0，，，，，是整式； ，是多项式． 【点睛】本题考查了整式的概念，掌握整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法是解题的关键． 【经典例题九 数字类规律探索】 【例9】（25-26七年级上·全国·课后作业）以下是一组按规律排列的数：，4，，16，，…．第2025个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了学生观察分析发现规律的能力，难度适中. 观察数列的规律，发现每个数的绝对值都是的次方，由此得出通项公式为，代入即可求解。 【详解】观察数列发现：数列的通项公式为， 代入计算：当时，. 故选：A. 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）观察下列各组等式： （1）； （2）； （3）； … 根据上述规律，第2018个式子的值是（   ） A．8068 B．8069 C．8070 D．8071 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，观察等式结构，左边为，右边为，其中为式子的序号，代入即可得第2018个式子的值． 【详解】规律分析：每个式子的左边为，右边为，其中为式子的序号． 第1个式子：； 第2个式子：； 展开左边验证：，与右边一致，规律成立。 第2018个式子中，，因此值为：； 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）有一列数2，，8，，32，，…，其中第n个数是，如果这列数中，某四个相邻数的和为80，那么这四个数中的最小数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到相邻数字之间的关系，进而列出方程求解是解题的关键．从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律，后面的是它前面的数与的乘积．设所求四个数中的第一个数是x，则后三个数分别是，，，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设所求四个数中的第一个数是x，则后三个数分别是，，， 由四个数的和是，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． ∴第一个数是，则后三个数分别是，，， ∵， ∴这四个数中的最小数为． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…以此类推，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数字的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律． 由，可得，，，……，可推导一般性规律为：每3个循环一次，由，可得，求解即可． 【详解】解：由题意知，∵， ∴，，，…… ∴可推导一般性规律为：每3个循环一次， ∵， ∴， 故答案为：3． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）观察下列三行数： ，4，，，，， 0，6，，，，， 1，，4，，， (1)第一行的第7个数是______，第二行的第7个数是______． (2)第二、三行数与第一行数分别有什么关系？ (3)取每行的第8个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2)第二行数是第一行相应位置的数加2，第三行数是第一行数相应位置的数乘 (3) 【分析】本题考查了数字规律探究．找出数字规律是解题的关键． （1）观察符号（奇负偶正）和绝对值（后2项是前项2倍），归纳出第项为，代入即可；通过同一位置数字对比，得出第二行是第一行对应项，即可求解； （2）通过对比第二行与第一行，可知第二行是第一行对应项；通过对比第三行与第一行，可知第三行是第一行对应项乘； （3）根据归纳出的规律求出每一行的第8项数然后相加即可． 【详解】（1）解：观察第一行数可以发现： 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用来表示符号，表示项数； 绝对值规律：后一个数的绝对值是前一个数绝对值的2倍，第二个数的绝对值是，第三个数的绝对值是，以此类推，第个数的绝对值为． 那么第一行第个数的规律为： ， 当时，， 所以第一行的第7个数是； 观察第二行数与第一行数，可以发现： 第二行数是第一行相应数加2得到的，即第二行第个数为：， 当时，， 所以第二行的第7个数是． 故答案为：：，． （2）解：由（1）可知第二行数是第一行相应数加2得到的； 观察第三行数与第一行数，可以发现： ，，，，， 所以第三行的数是第一行数相应位置的数乘，即第三行第个数为：． （3）解：第一项第8个数：当时，， 第二项第8个数：当时，， 第三项第8个数：当时，， 所以这三个数的和为：． 【经典例题十 图形类规律探索】 【例10】（24-25七年级上·全国·阶段练习）正方形纸片按规律拼成如下的图案，第（　　）个图案中恰好有365个纸片． A．73 B．81 C．91 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索、一元一次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据第个图案，归纳类推出一般规律是第个图案中有个纸片，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图案中有纸片的个数：， 第2个图案中有纸片的个数：， 第3个图案中有纸片的个数：， 归纳类推得：第个图案中有纸片的个数：，其中为正整数， 则， 解得， 即第91个图案中恰好有365个纸片， 故选：C． 1．（24-25七年级上·全国·阶段练习）用小棒搭房子，搭一间用根，搭三间用根，如图，照这样子搭间房子要用（　　）根小棒． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了探索数字与图形的规律，解决本题的关键是写出前个图形房间的数量与火柴棒的根数之间的规律，根据规律计算间房子需要的小木棒的根数． 【详解】解：搭间房子用根小棒，即， 搭间房子用根小棒，即， 搭间房子用根小棒，即， ， 搭间房子用的小棒数为：， （根）， 故答案为：C． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·开学考试）下列几何体都是用小正方体堆放而成的．照这样的规律，第个几何体是用 个小正方体堆放而成的：第个几何体是用 个小正方体堆放而成的． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化类问题，根据各图形中小正方体的个数，找到小正方体排列的规律，再利用规律解决问题即可．找到小正方体排列的规律是解题的关键． 【详解】解：第个几何体中的小正方体的个数为：， 第个几何体中的小正方体的个数为：， 第个几何体中的小正方体的个数为：， ∴第个几何体中的小正方体的个数为：， …… ∴第个几何体中的小正方体的个数为：． 故答案为：；． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号(1，2，3，……6)，且每组相对面上的编号和为7，将其按顺时针方向滚动(如图)，每滚动算一次，则滚动第2025次后，正方体朝下一面的数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查数字类规律探索，根据图示找出朝下一面的数字的变化规律，即可求解． 【详解】解：由题意知，每滚动4次为一个循环，正方体朝上一面的数字分别为：2，3，5，4， 又正方体每组相对面上的编号和为7， 则朝下一面的数字分别为：5，4，2，3， ， 所以滚动第2025次后，正方体朝下一面的数字是5， 故答案为：5． 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【答案】(1)； (2)分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 【拓展训练一 杨辉三角问题】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）我国南末时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． 第一行：     1 第二行：    1    1 第三行：   1    2      1 第四行：  1    3      3     1 第五行： 1    4     6      4   1 第六行：1    5    10     10    5   1 （1）第8行的第4个数为 　 　； （2）观察从第二行起每一行的第2个数的特点写出第n行的第2个数为 　 　（用含有n的式子表示）； （3）观察每行数的和，并归纳出第n行数的和为 　 　（用含有n的式子表示）． 【答案】（1）35；（2）n-1；（3）2n﹣1 【分析】（1）根据题意把第八行的写出，即可求出第8行的第4个数； （2）根据前几行数的规律，后一个数是前一个数加1，即可求得第n行的第2个数； （3）根据前几行数的和的规律，后一个数是前一个数的2倍，即可求得第n行数的和； 【详解】解：（1）由题意得： 第一行：       1 第二行：      1    1 第三行：     1    2      1 第四行：    1    3      3     1 第五行：   1    4     6      4   1 第六行：  1    5    10     10    5   1 第七行： 1    6    15    20    15    6   1 第八行：1    7   21    35   35  21  7    1 所以第8行的第4个数为：35； 故答案为：35． （2）∵第二行数的第2个数为1，第三行数的第2个数为2，第四行数的第2个数为3， 第五行数的第2个数为4，第六行数的第2个数为5，… ∴第n行数的第2个数为n-1． 故答案为：n-1． （3）∵第一行数的和为1＝20，第二行数的和为2＝21，第三行数的和为4＝22， 第四行数的和为8＝23，第五行数的和为16＝24，… ∴第n行数的和为2n﹣1． 故答案为2n﹣1． 【点睛】本题考查了数字的几种变化规律，解题关键是通过规律列出代数式． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数（1、2、1）恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2的系数；第四行的四个数恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系数，根据数表中前五行的数字所反映的规律，回答： （1）图中第六行括号里的数字分别是　 　；（请按从左到右的顺序填写） （2）（a+b）4＝　 　； （3）利用上面的规律计算求值：（）4﹣4×（）3+6×（）2﹣4×+1． （4）若（2x﹣1）2018＝a1x2018+a2x2017+a3x2016+……+a2017x2+a2018x+a2019，求a1+a2+a3+……+a2017+a2018的值． 【答案】(1) 5，10，10，5；(2) ；(3) ；(4)0 【分析】（1）根据“杨辉三角”规律确定出第六行括号里的数字即可； （2）根据“杨辉三角”中的系数确定出原式展开结果即可； （3）原式逆用“杨辉三角”系数规律变形，计算即可得到结果． （4）当x=0，先求出，当x=1时，代入原式计算，即可求出答案. 【详解】解：（1）根据图中规律：第六行括号里的数字分别为：5，10，10，5； （2）； （3）原式＝； （4）当x＝0时，， 当x＝1时，， ∴； 【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及“杨辉三角”的认识，熟练掌握整式混合运算的运算法则是解本题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为__________． （2）将展开后，各项的系数和为__________． （3）__________． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： （4）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是__________． 【答案】（1）32；（2）2n；（3）a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（4）． 【分析】（1）根据规律可知：将（a+b）5展开后，各项的系数和为25； （2）根据规律可得结论； （3）把（a+b）n展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是 ，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， 1+5+10+10+5+1=32， 故答案为：32； （2）第二行：（a+b）1=a+b，1+1=2，各项系数和为2=21， 第三行：（a+b）2=a2+2ab+b2，各项系数和为4=22， … 第n+1行：（a+b）n展开后各项系数和为2n； 故答案为：2n； （3）由（2）得：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6， 故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是， ∴（6，2）表示第六行第二个数，是， 故答案：． 【点睛】此题考查完全平方式的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角和“莱布尼茨三角形”得出规律是解此题的关键． 【拓展训练二 天干地支规律题】 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测．推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2024年是“甲辰”年，正值北京二中建校300周年，那么据此推算，当北京二中500周年校庆时，对应的年份是（    ）    A．甲子年 B．乙丑年 C．丙寅年 D．丁卯年 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律，分别得到天干，地支的周期是解题的关键． 由题意可知天干 10 年为一周期，地支十二年为一周期，分别用200 除以两个周期得到余数，再根据余数判断即可． 【详解】解：由题意可知天干 10 年为一周期，地支十二年为一周期， 当北京二中500周年校庆时，经过200年，且北京二中建校300周年即2024年是“甲辰”年， 则 ，则 北京二中500周年校庆时的天干为甲， 余8 ，则北京二中500周年校庆时的地支为子， 则北京二中500周年校庆时是甲子年， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）天干地支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥在天干地支纪年法中，对应的规律如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 …… 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戊 亥 子 …… 干支 纪年 甲 子 年 乙 丑 年 丙 寅 年 丁 卯 年 戊 辰 年 己 巳 年 庚 午 年 辛 未 年 壬 申 年 癸 酉 年 甲 戊 年 乙 亥 年 丙 子 年 …… 2049年是新中国成立100周年这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴使用天干地支纪年法，2021年是辛丑年，那么可以推知2049年是（　　）年 A．乙已 B．己巳 C．己酉 D．乙亥 【答案】B 【分析】根据题意，分析干支纪年法的规律，可得天干地支的对应顺序，据此可得2049年是已卯年，即可得答案． 【详解】根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、 巳、午、未、申、酉、戊、亥；其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、...癸酉，甲戊、乙亥、丙子、...癸未，甲申、乙酉、丙戊、...癸巳，... 若2021年是辛丑年，从2021年往后数28年，可得2049年是己巳年． 故选：B． 【点睛】本题考查合情推理的应用，解题的关键是掌握“干支纪年法"的规律，属于基础题． 3．（2025·安徽池州·模拟预测）天干地支纪年法是我国的文化瑰宝．其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2024年是“甲辰”年，那么据此推算，2224年用天干地支纪年法对应的年份是 年 【答案】甲子 【分析】本题考查了数字类规律探究．由题意可知天干10年为一周期，地支十二年为一周期，分别用200除以两个周期得到余数，再根据余数判断即可． 【详解】解：由题意可知天干10年为一周期，地支十二年为一周期， ， 则，则2224年的天干为甲， 余8 ，则2224年的地支为子， 则2224年是甲子年， 故选：甲子． 【拓展训练三 差倒数问题】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一列数满足，之后每一个数都是前一个数的差倒数，即，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数，便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，再根据规律求出a2020与a2018，然后将它们相减即可得解． 【详解】解：∵a1=3， ∴， a3==， a4==3， a5==−， …， 所以这列数每3个为一个循环组依次循环， ∵2020÷3=673…1，2018÷3=672…2， ∴a2020=3，a2018=−， ∴a2020−a2018=3−(−)=． 故选：D． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 根据差倒数的定义求出的值，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 则这列数是以，，循环出现的， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如的差倒数是 ． (1)已知，则a的差倒数为______； (2)已知，求x的差倒数y的值，y的差倒数z的值； (3)若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，是的差倒数，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律． （1）根据差倒数的定义直接代入求解即可； （2）根据差倒数的定义直接代入求解即可； （3）通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，则与的值相同，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，x的差倒数， 当时，y的差倒数； （3）解：， ，，，， 每3次运算结果循环出现一次， ∵， ∴与的值相同， ∴的值为． 1．（25-26七年级上·全国·期中）下列说法正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数是1 C．多项式的常数项是1 D．多项式的次数是3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式，多项式的相关概念，熟练掌握单项式与多项式的系数和次数概念是解题的关键． 根据单项式与多项式的系数和次数定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，故本选项错误； B、单项式a的系数是1，次数是1，故本选项错误； C、多项式的常数项是，故本选项错误； D、多项式的次数是3，故本选项正确； 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）式子，，7，，，中整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】整式是指分母中不含字母的式子.包括单项式和多项式,单项式是单独的数字或单独的字母或数字与字母乘积的形式;多项式是几个单项式和的形式. 【详解】根据整式的定义可得: ,,7, ,属于整式, 不是整式,故选C． 【点睛】本题主要考查整式的定义,解决本题的关键是要熟练掌握整式的定义. 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解，代数式求值，根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：多项式是关于的三次三项式， ，， ，， ． 故选：B． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期末）观察下列单项式：，根据你发现的规律，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式规律题，先确定前几个单项式的系数、指数的变化特点，即可得出答案． 【详解】解：第一个单项式为：； 第二个单项式为：； 第三个单项式为：， 第四个单项式为：， 第n个单项式为： 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D， A对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转次后，数轴上数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的数与正方形的四个顶点的对应关系，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键．正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定2019所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次，第一次翻转A对应1，第二次翻转B对应2，第三次翻转C对应3，第四次D对应4，…四次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是点C． 故选：C． 6．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的相关概念，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，由此即可得解． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）多项式的最高次项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和系数，多项式的次数：次数最高的项的次数即为该多项式的次数． 先找出多项式的最高次项，再找出最高次项的系数即可． 【详解】多项式的最高次项的系数是． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类． ①依据单项式的定义找出单项式； ②依据多项式的定义找出多项式； ③根据整式包含单项式和多项式确定整式． 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， 是单独的数，是数与字母的积，是单独的数，是数5与字母x，y的积，是数2与字母x，y的积，所以单项式是； ②几个单项式的和叫做多项式，是单项式与的和，所以多项式是，故（2）处填； ③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是， 故答案为：① ② ③ 9．（2025·安徽滁州·模拟预测）南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将表格称为“杨辉三角”． … 则展开式中所有项的系数和是 ． 【答案】 【分析】由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式的项系数和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，掌握展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解是关键． 10．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第1个图形中有8个“●”和1个“★”，第2个图形中有16个“●”和4个“★”，第3个图形中有24个“●”和9个“★”，……则第 个图形中“●”的个数是“★”的个数的2倍． 【答案】4 【分析】本题考查了图形类规律探索，找到图形中圆点和五角星的数量变化规律是解题的关键．根据题意可知第个图形中“●”的个数是，“★”的个数是，设第个图形中“●”的个数是“★”的个数的2倍，从而得到关于的方程，求解方程即可得出答案． 【详解】解：第1个图形中“●”的个数是，“★”的个数是， 第2个图形中“●”的个数是，“★”的个数是， 第3个图形中“●”的个数是，“★”的个数是， …… ∴第个图形中“●”的个数是，“★”的个数是， 设第个图形中“●”的个数是“★”的个数的2倍， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴第4个图形中“●”的个数是“★”的个数的2倍． 故答案为：4． 11．（2025七年级上·安徽马鞍山·专题练习）找出下列代数式中的一次式： 、、． 【答案】、 【分析】本题考查了单项式及多项式的次数，根据单项式及多项式的次数的概念求解即可． 【详解】解：在、、中，一次式有、、 12．（2025七年级上·全国·专题练习）至少写两个只含有字母x，y的多项式，且满足下列条件：①六次三项式；②每一项的系数均为1或；③不含常数项；④每一项必须同时含字母x，y，但不能含有其他字母． 【答案】答案不唯一，， 【分析】本题考查了多项式．多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，满足条件①即最高项的次数为6，满足条件②即每项的系数是1或，满足条件③即多项式没有常数项，满足条件④即多项式中每项都含x、y，不能有其它字母． 【详解】解：答案不唯一，只要满足题目要求的条件即可，如：，等， 故答案为：，． 13．（24-25七年级上·安徽淮北南·阶段练习）回顾多项式的有关概念，解决下列问题 (1)求多项式中各项的系数和次数;   (2)若多项式的次数是7,求a的值. 【答案】(1) 的系数是，次数是6；的系数是，次数是5；(2) a=4. 【详解】试题分析：单项式的系数指的是单项式的数字因数，单项式的次数指的是单项式中所有的字母的指数的和. 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 试题解析：的系数是次数是.的系数是次数是 由多项式的次数是可知的次数是即解得 14．（24-25七年级上·安徽池州·期中）多项式． (1)填写多项式各项及其系数和次数： 项 次数 系数 (2)若多项式是七次多项式，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据多项式的项的定义、单项式系数、次数的定义来求解．多项式中每个单项式叫做多项式的项，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．掌握相关定义是解题的关键． （2）根据多项式的次数的定义“多项式次数是多项式中次数最高的项的次数”，得到关于m的一元一次方程，解方程即可，掌握相关定义是解题的关键． 【详解】（1）解： 项 次数 4 6 系数 4 （2）解：多项式是七次多项式， ， ． 15．（2025·安徽合肥·模拟预测）将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科赫曲线或雪花曲线． (1)每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 ； (2)第n次分形后所得图形的边数是多少？周长为多少？写出过程．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)， (2)，，见解析 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形找出规律是解题的关键． （1）根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为，即可得出答案； （2）先根据（1）得出第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，边长为，再求出周长即可． 【详解】（1）解：原等边三角形的边数为3，边长为1， 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为， ， 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来的， 故答案为：4，； （2）解：原等边三角形的边数为3，边长为1， 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为， ， 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来的， ∴第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，边长为， ∴周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 多项式的判断 题型五 多项式的项、项数或次数 题型六 多项式的系数、指数中字母求值 题型七 单项式规律题 题型八 整式的判断 题型九 数字类规律探索 题型十 图形类规律探索 拓展训练一 杨辉三角问题 拓展训练二 天干地支规律题 拓展训练三 差倒数问题 知识点一：单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）单项式的系数是（   ） A．5 B． C．2 D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）的系数是 ． 知识点二：多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）多项式的次数是（    ） A． B．1 C．6 D．3 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）写出一个次数为3的多项式 ． 知识点三：整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）下列代数式中，整式共有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列式子0，，，，中，其中整式有 个． 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列选项中的代数式属于单项式的是（      ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·课后作业）在式子，，，，，，，中，单项式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）在代数式：，0，，，中，单项式有 个． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）下列各式中是单项式的有： ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧c． 4．（24-25七年级上·全国·阶段练习）观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】（24-25七年级上·安徽六安·期中）单项式的系数是（   ） A． B． C．3 D． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，5 B．，6 C．，7 D．，5 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）单项式的系数是 ． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）已知多项式是关于、的五次四项式，单项式的次数为，是最小的正整数，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知多项式是五次四项式． (1)求出m的值． (2)单项式的次数与已知多项式的次数相同，求n的值． 【经典例题三 写出满足某些特征的单项式】 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）在下列代数式中，次数为4的单项式是（　　） A．xy3 B．x4+y4 C．x2y D．4xy 1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）系数为－且只含有 x、y 的三次单项式（不需要包含每个字母），可以写出(   )  ． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）请写出一个系数是负数，次数是5的单项式： ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）请写出一个系数为2023，次数为5，所含字母为m，n的单项式 ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【经典例题四 多项式的判断】 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下列代数式中，不是多项式的是（    ）． A． B． C． D．  1．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）在代数式，下列结论正确的是（   ） A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式 C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）下列式子：，，，，其中多项式有 个． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）在式子①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中是整式的有 ，其中是单项式的有 ，是多项式的有 ． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ (1)单项式有________，多项式有_______． (2)利用上面的部分代数式写出一个三次五项式． 【经典例题五 多项式的项、项数或次数】 【例5】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）若代数式关于，的五次三项式，则的值为 （    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）已知整式，其中是正整数，，，，，是自然数，若，．下列说法：若，，则满足条件的整式有且仅有个；若，则满足条件的整式中有个五次四项式；若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）多项式有 项，是 次式，所以该多项式是 次 项式．该多项式的二次项系数是 ，三次项的系数是 ，常数项是 . 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）下列语句：①没有绝对值为的数；②不一定是一个负数；③倒数等于它本身的数是；④单项式的系数是；⑤是二次三项式．其中正确的有 ． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期中）已知关于的整式． (1)若该整式是二次多项式，求的值； (2)若该整式是二项式，求的值． 【经典例题六 多项式的系数、指数中字母求值】 【例6】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中） 是关于x的二次多项式，则k的值是（　　） A．2 B． C．0 D． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于，的多项式与的差不含三次项，则数的值为（　　） A． B． C． D．9 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如果多项式与多项式（其中a，b，c是常数）相等，则 ， ， ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知，，若代数式的结果与b无关，则 . 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）以下关于的各个多项式中，均为常数． （1）根据计算结果填写下表： 二次项系数 一次项系数 常数项 2 2 6 （2）已知既不含二次项，也不含一次项，求的值． （3）多项式与多项式的乘积为，则的值为________． 【经典例题七 单项式规律题】 【例7】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察下列单项式：，根据你发现的规律，第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第2024个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）有一组单项式：，，，，，请你观察它们的排列规律，用你发现的规律写出第（n为正整数）个单项式为 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，． 解决下列问题： (1)这组单项式中的第个单项式是什么？第个单项式是什么？ (2)请你根据中的结论，写出第个、第个单项式． 【经典例题八 整式的判断】 【例8】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在代数式 0， ，，，中，整式有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的整式共有12个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列式子：，，，，，中，整式有 个 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）在“整式”章节复习时，某学习小组绘制了如图知识结构图，其中知识点A是 ． 4．（24-25七年级·全国·单元测试）下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ ，，，0，，，，，，． 【经典例题九 数字类规律探索】 【例9】（25-26七年级上·全国·课后作业）以下是一组按规律排列的数：，4，，16，，…．第2025个数是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）观察下列各组等式： （1）； （2）； （3）； … 根据上述规律，第2018个式子的值是（   ） A．8068 B．8069 C．8070 D．8071 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）有一列数2，，8，，32，，…，其中第n个数是，如果这列数中，某四个相邻数的和为80，那么这四个数中的最小数为 ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…以此类推，则 ． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）观察下列三行数： ，4，，，，， 0，6，，，，， 1，，4，，， (1)第一行的第7个数是______，第二行的第7个数是______． (2)第二、三行数与第一行数分别有什么关系？ (3)取每行的第8个数，计算这三个数的和． 【经典例题十 图形类规律探索】 【例10】（24-25七年级上·全国·阶段练习）正方形纸片按规律拼成如下的图案，第（　　）个图案中恰好有365个纸片． A．73 B．81 C．91 1．（24-25七年级上·全国·阶段练习）用小棒搭房子，搭一间用根，搭三间用根，如图，照这样子搭间房子要用（　　）根小棒． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·开学考试）下列几何体都是用小正方体堆放而成的．照这样的规律，第个几何体是用 个小正方体堆放而成的：第个几何体是用 个小正方体堆放而成的． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号(1，2，3，……6)，且每组相对面上的编号和为7，将其按顺时针方向滚动(如图)，每滚动算一次，则滚动第2025次后，正方体朝下一面的数字是 ． 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【拓展训练一 杨辉三角问题】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）我国南末时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． 第一行：     1 第二行：    1    1 第三行：   1    2      1 第四行：  1    3      3     1 第五行： 1    4     6      4   1 第六行：1    5    10     10    5   1 （1）第8行的第4个数为 　 　； （2）观察从第二行起每一行的第2个数的特点写出第n行的第2个数为 　 　（用含有n的式子表示）； （3）观察每行数的和，并归纳出第n行数的和为 　 　（用含有n的式子表示）． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数（1、2、1）恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2的系数；第四行的四个数恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系数，根据数表中前五行的数字所反映的规律，回答： （1）图中第六行括号里的数字分别是　 　；（请按从左到右的顺序填写） （2）（a+b）4＝　 　； （3）利用上面的规律计算求值：（）4﹣4×（）3+6×（）2﹣4×+1． （4）若（2x﹣1）2018＝a1x2018+a2x2017+a3x2016+……+a2017x2+a2018x+a2019，求a1+a2+a3+……+a2017+a2018的值． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为__________． （2）将展开后，各项的系数和为__________． （3）__________． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： （4）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是__________． 【拓展训练二 天干地支规律题】 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测．推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2024年是“甲辰”年，正值北京二中建校300周年，那么据此推算，当北京二中500周年校庆时，对应的年份是（    ）    A．甲子年 B．乙丑年 C．丙寅年 D．丁卯年 2．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）天干地支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥在天干地支纪年法中，对应的规律如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 …… 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戊 亥 子 …… 干支 纪年 甲 子 年 乙 丑 年 丙 寅 年 丁 卯 年 戊 辰 年 己 巳 年 庚 午 年 辛 未 年 壬 申 年 癸 酉 年 甲 戊 年 乙 亥 年 丙 子 年 …… 2049年是新中国成立100周年这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴使用天干地支纪年法，2021年是辛丑年，那么可以推知2049年是（　　）年 A．乙已 B．己巳 C．己酉 D．乙亥 3．（2025·安徽池州·模拟预测）天干地支纪年法是我国的文化瑰宝．其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2024年是“甲辰”年，那么据此推算，2224年用天干地支纪年法对应的年份是 年 【拓展训练三 差倒数问题】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一列数满足，之后每一个数都是前一个数的差倒数，即，（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如的差倒数是 ． (1)已知，则a的差倒数为______； (2)已知，求x的差倒数y的值，y的差倒数z的值； (3)若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，是的差倒数，求的值． 1．（25-26七年级上·全国·期中）下列说法正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数是1 C．多项式的常数项是1 D．多项式的次数是3 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）式子，，7，，，中整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期末）观察下列单项式：，根据你发现的规律，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D， A对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转次后，数轴上数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）单项式的系数是 ． 7．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）多项式的最高次项的系数是 ． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 9．（2025·安徽滁州·模拟预测）南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将表格称为“杨辉三角”． … 则展开式中所有项的系数和是 ． 10．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第1个图形中有8个“●”和1个“★”，第2个图形中有16个“●”和4个“★”，第3个图形中有24个“●”和9个“★”，……则第 个图形中“●”的个数是“★”的个数的2倍． 11．（2025七年级上·安徽马鞍山·专题练习）找出下列代数式中的一次式： 、、． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）至少写两个只含有字母x，y的多项式，且满足下列条件：①六次三项式；②每一项的系数均为1或；③不含常数项；④每一项必须同时含字母x，y，但不能含有其他字母． 13．（24-25七年级上·安徽淮北南·阶段练习）回顾多项式的有关概念，解决下列问题 (1)求多项式中各项的系数和次数;   (2)若多项式的次数是7,求a的值. 14．（24-25七年级上·安徽池州·期中）多项式． (1)填写多项式各项及其系数和次数： 项 次数 系数 (2)若多项式是七次多项式，求m的值． 15．（2025·安徽合肥·模拟预测）将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科赫曲线或雪花曲线． (1)每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 ； (2)第n次分形后所得图形的边数是多少？周长为多少？写出过程．（用含n的代数式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $