精品解析：湖南省永州市冠一高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025年下期永州市冠一高级中学高三开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　) A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2 4. 如果的终边过点，那么（ ） A. B. C. D. 5. 棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各对事件中，为相互独立事件的是（ ） A. 掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点” B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球” C. 袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球” D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生” 10. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. ，，，四点共面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 11. 已知菱形的边长为2，．将沿着对角线折起至，连结．设二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. 若四面体为正四面体，则 B. 四面体的体积最大值为1 C. 四面体的表面积最大值为 D. 当时，四面体的外接球的半径为 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则的取值范围是__________. 13. 在的展开式中，常数项是______．（用数字作答） 14. 若圆C与抛物线在公共点B处有相同的切线，且C与y轴切于的焦点A，则_________． 四.解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，． （1）求数列与的通项公式； （2）记，设，求． 16. 如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，、交于点. （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥与四棱锥的体积之比. 17. 已知椭圆的焦距为，短轴长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆C交于A､B两点. （1）求椭圆C的方程； （2）求弦AB的长. 18. 国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区． 垃圾量 频数 5 6 9 12 8 6 4 （1）估计该市类社区这一天垃圾量的平均值； （2）若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为50个样本社区的平均值（精确到0.1吨），估计该市类社区中“超标”社区的个数； （3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望． 附：若服从正态分布，则；；． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的，都有成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期永州市冠一高级中学高三开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解一元二次不等式化简集合，利用交集的定义计算得出答案． 【详解】∵，∴， 又，所以， 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，又， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C 3. 下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　) A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2 【答案】B 【解析】 【详解】y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－+2在区间（－∞,0）上单调递增; y=－x2－2x－1在区间（－∞,0）上有增有减; y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B. 4. 如果的终边过点，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到角的终边过点，结合三角函数的定义，即可求解. 【详解】由题意知，角的终边过点，即点，则， 根据三角函数的定义，可得. 故选: D. 5. 棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量法求点到直线的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得，，， ，，设向量与的夹角为， ， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 6. 已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到是等比数列，利用等比数列的通项公式得到，利用是递减数列列出关于的不等式，进而求出的取值范围. 【详解】将整理得， 又，易知当时,，不满足是递减数列，故， 因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 故，因此， 由于是递减数列，故恒成立，得， 化简得，故， 因此，解得， 故选：B． 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等价变形不等式，放缩并构造函数，用导数探讨函数单调性，求得，再逐项分析判断即可. 【详解】不等式， 令函数，求导得，令，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， ，即，因此函数在R上递增， 原不等式等价于，于是， 对于AB，取，有，AB错误； 对于CD，，即，C错误，D正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用的图象关于点对称，可知函数为奇函数，结合可得是周期函数，再由选项去逐一分析. 【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，即函数为奇函数，则，又， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即，所以3是的一个周期. 因为，故C正确； 取符合题意的函数，则 所以，又，故2不是的一个周期，所以不恒成立，故B不正确； 因为不是函数的最值，所以函数的图象不关于直线对称， 所以，故A不正确； 因为，故D不正确； 故选：C. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各对事件中，为相互独立事件的是（ ） A. 掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点” B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球” C. 袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球” D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生” 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相互独立事件的定义一一验证即可. 【详解】在A中，样本空间，事件，事件，事件， ∴，，， 即，故事件M与N相互独立，A正确. 在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确； 在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误； 在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确. 故选：ABD. 【点睛】判断两个事件是否相互独立的方法： （1）直接法：利用生活常识进行判断；（2）定义法：利用判断. 10. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. ，，，四点共面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可； 【详解】解：在正方体中，为的中点，直线交平面于点， 在选项中，直线交平面于点， 平面，直线，又平面，平面， 为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点， 平面，且平面， 又平面，且平面， ，，三点共线，故选项正确； 在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确； 在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确； 在选项中，直线，， ，，，四点不共面，故错误． 故选：． 11. 已知菱形的边长为2，．将沿着对角线折起至，连结．设二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. 若四面体为正四面体，则 B. 四面体的体积最大值为1 C. 四面体的表面积最大值为 D. 当时，四面体的外接球的半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取中点，连接，证得为二面角的平面角，即． 然后根据的大小判断ABC，D中需要找到外接球球心，求出半径判断． 【详解】如图，取中点，连接，则，，为二面角的平面角，即． 若是正四面体，则，不是正三角形，，A错； 四面体的体积最大时，平面，此时到平面的距离最大为，而，所以，B正确； ， 易得，， 未折叠时，折叠到重合时，，中间存在一个位置，使得，则，，此时取得最大值2， 所以四面体的表面积最大值为，C正确； 当时，如图，设分别是和的外心，在平面内作，作，，则是三棱锥外接球的球心， 由上面证明过程知平面与平面、平面垂直，即四点共面， ，则，，， 为球半径，D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题考查已知二面角，四面体的体积，表面积，外接球等等．解题关键是确定二面角的平面角，利用二面角判断．对外接球关键是找到球心，而三棱锥的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上． 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解. 【详解】由，得,解得， 所以. 因为， 所以或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 在的展开式中，常数项是______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式即得. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 令，可得， 所以展开式中常数项为， 故答案为：. 14. 若圆C与抛物线在公共点B处有相同的切线，且C与y轴切于的焦点A，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用几何关系设出圆的方程，再根据导数的几何意义和直线与圆相切的几何性质，列式求交点的坐标，再根据直线与圆相切的几何性质和图形，求的值. 【详解】抛物线的焦点为，准线l为，依题意不妨令C在第一象限，， 则圆C的半径，设，则圆C的方程为， 由，则，所以抛物线在点B处的切线m的斜率， 因为圆C与抛物线在公共点B处有相同的切线，所以直线CB与m垂直， 所以，则①， 又点B在圆C上，所以，则②， 所以，整理可得，解得，或（舍去）， 所以，所以， 所以． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用公切线的性质，求得点的坐标，即可利用直线与圆相切的性质求解. 四.解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，． （1）求数列与的通项公式； （2）记，设，求． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由求得，再验证是否满足的表达式，可得出数列的通项公式，设等差数列的公差为，根据题意求得，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，可得，分和两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得的表达式. 【详解】（1），当时，， 满足，. 设等差数列的公差为，则， ； （2）由（1）知，，． 当时，； 当时，． 综上所述，. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，利用求，同时也考查了含绝对值的等差数列求和，考查计算能力，属于中等题. 16. 如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，、交于点. （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥与四棱锥的体积之比. 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，、为、的中点，、交于点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面， 又是的中位线，∴， 又平面，平面， ∴平面， ∵平面，平面，， ∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，平面，则平面平面即得证； （2）先证明，再求三棱锥与四棱锥的体积之比. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵、、为、、的中点， ∴，， ∴， 又，∴. 【点睛】方法点睛：空间几何中研究体积的问题常用方法有： （1）公式法：一般是规则的几何体； （2）割补法：一般是非规则的几何体； （3）转化法：根据几何体的关系，转化为和它有比例关系的几何体. 17. 已知椭圆的焦距为，短轴长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆C交于A､B两点. （1）求椭圆C的方程； （2）求弦AB的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）结合已知条件求得，由此求得椭圆方程. （2）求得直线的方程并与椭圆方程联立，求得两点的坐标，由此求得的长. 【详解】（1）已知椭圆焦距为，短轴长为2，即， 结合a2=b2+c2，解得a=3，b=1，. 故C：. （2）直线方程为： 直线与椭圆方程联立为 得，， 解得或. 不妨设， 所以. 18. 国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区． 垃圾量 频数 5 6 9 12 8 6 4 （1）估计该市类社区这一天垃圾量的平均值； （2）若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为50个样本社区的平均值（精确到0.1吨），估计该市类社区中“超标”社区的个数； （3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望． 附：若服从正态分布，则；；． 【答案】（1）22.76吨； （2）51个； （3）的分布列为： 1 2 3 4 . 【解析】 【分析】（1）样本数据各组的中点值分别乘以各组的频数求和后再除以样本容量可得答案； （2）据题意计算出 ，由. 进而可以求出这320个社区中超标社区的个数； （3）算出的可能取值及对应的概率列出分布列计算出变量的期望即可. 【详解】（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则 . 估计该市类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨. （2）据题意，，，即，则. 因为，估计该市类社区中“超标”社区约51个. （3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在内的“超标”社区也有4个，则的可能取值为1，2，3，4. ，，，. 则的分布列为： 1 2 3 4 所以. 【点睛】本题考查了正态分布、随机变量X的分布列及数学期望，关键点是求出所有可能取值对应的概率，意在考查学生对数据的分析处理能力，计算能力. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的，都有成立，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）当时，函数的递增区间为 当时，函数的递增区间为，递减区间为 （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数的单调区间； （3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数的取值范围． 【小问1详解】 时，，， ， 曲线在点处的切线方程 【小问2详解】 ①当时，恒成立，函数的递增区间为 ； ②当时，令，解得或 x - + 减 增 所以函数的递增区间为，递减区间为 【小问3详解】 对任意的，使成立，只需任意的， ①当时，在上是增函数，所以只需 而 所以满足题意； ②当时，，在上是增函数， 所以只需 而 所以满足题意； ③当时，，在上是减函数，上是增函数， 所以只需即可 而 从而不满足题意； 综合①②③实数的取值范围为. 【点睛】本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $