精品解析： 浙江省金华市义乌市义亭初级中学2025-2026学年九年级上学期数学期开学考试试题

2025学年第一学期期初独立作业 九年级数学 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2.全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在“答题卷”相应位置上． 3.本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 抛物线的顶点在（ ） A. 轴上 B. 轴上 C. 原点 D. 第二象限 4. 将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知二次函数的图象（）如下图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法中正确的是（　　） A. 有最小值，有最大值 B. 有最小值，有最大值 C. 有最小值，有最大值 D. 有最小值，无最大值 7. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（ ） A. 2 B. 12 C. 15 D. 17 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达式：_______． 12. 已知点，在抛物线（为常数）上，则，的大小关系是______． 13. 若抛物线经过和两点，则______． 14. 已知抛物线经过点，则代数式的值为______． 15. 如图，在相距的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高的小妹距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______m． 16. 二次函数，当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是_____． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式． 18. 已知二次函数，当时，，时，． （1）求a，c的值． （2）当时，求函数y的值． 19. 已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． （1）求函数解析式． （2）求函数图像与坐标轴交点坐标． 20. 如图，抛物线和直线交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）根据图象，写出当x取何值时，． 21. 某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用周长为的篱笆围成，已知墙a长为，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（），种植园面积为y（）． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为，求篱笆的长． 22. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线的解析式； （2）第二象限内的点在该抛物线上，求面积的最大值． 23. 为了增加趣味性，万岁山旅游城把传统的抛绣球项目进行改良，他们定制了一种器械，类似中国古代一种投石器，为了解发射平台高度对绣球飞行轨迹的影响，我们可以设定不同的发射平台高度，并分别记录绣球在不同水平距离上的飞行高度．分析不同发射平台高度下绣球的飞行轨迹．通过比较不同高度下绣球的飞行高度和飞行距离，我们可以得出发射平台高度对绣球飞行轨迹的具体影响．从而有目的地调整发射高度，通过实验发现绣球运动轨迹是抛物线的一部分，并且在离发射点水平距离米处达到距地面最大高度米；在离发射点水平距离米处，距地面高度米． 问题解决： 任务：确定函数表达式．设绣球离发射点水平距离为，距地面高度为．求出关于的函数表达式； 任务：探究飞行距离，当绣球从地面发出到落地（高度为）时，飞行的水平距离是多少； 任务：如图，工作人员在水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，绣球被弹出后的飞行轨迹形状不变，可视为抛物线上下平移得到，点、、在一条直线上，已知，，游客小李站在线段（包括点、）上，为了确保他能抢到绣球，请直接写出发射台的变化范围：______． 24. 已知二次函数（a为常数且）． （1）当函数图象经过，求该二次函数的表达式． （2）若，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明． （3）若该函数图象上有两点，其中，若，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期初独立作业 九年级数学 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2.全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在“答题卷”相应位置上． 3.本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数进行判断即可． 【详解】解：A、最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、原函数化简为：是一次函数，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 2. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式为是解题关键．根据二次函数的对称轴公式为，代入二次函数解析式系数的值求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴是直线． 故选：A ． 3. 抛物线的顶点在（ ） A. 轴上 B. 轴上 C. 原点 D. 第二象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据，得到顶点坐标为，即可得出结果． 【详解】解：∵的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点在轴上； 故选B． 4. 将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，根据“左加右减，上加下减”的平移规则求解． 【详解】解：将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后， 所得图象的函数表达式是． 故选：C． 5. 二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点，， 关于x的方程的解为，， 故选：D． 6. 已知二次函数的图象（）如下图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法中正确的是（　　） A. 有最小值，有最大值 B. 有最小值，有最大值 C. 有最小值，有最大值 D. 有最小值，无最大值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象，解题关键是能从函数图象中得出正确信息． 根据二次函数的图象即可得解． 【详解】解：由图可得：当时，函数取最小值； 当时，函数取最大值． 故选：． 7. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 8. 如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解题的关键是根据反比例函数的性质确定的正负．首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和与轴交点位置，即可选出答案． 【详解】解：选项A：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项B：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与轴交点应在原点下方，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项C：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项D：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与轴交点应在原点上方，与所示图象相符，本选项符合题意； 故选D． 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点位置，即可得到、、的正负性，从而判断A选项；把代入二次函数解析式中，即可判断B选项；根据二次函数图象的对称轴可判断C选项的正确性；根据二次函数图象与轴有个交点，从而判断D选项． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴， ，，故C选项正确； 二次函数图象与轴的交点在轴上方， ， ，故A选项错误； 当时，， ，即，故B选项错误； 二次函数图象与轴有个交点， ，故D选项错误； 故选：C ． 10. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（ ） A. 2 B. 12 C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分段函数的图象与性质，一次函数和二次函数图像的交点问题，一元二次方程的判别式等知识，结合图象求出的最值是解决该题的关键． 根据题意可知，当直线经过时，直线与该图像有公共点，可得出的最大值是15；当直线与抛物线只有一个交点时，，最小值是2，即可求解． 【详解】解：当直线经过时，， 解得； 当直线与抛物线只有一个交点时， ， 即， ∴ ∴或（舍去）， 的最大值是15，最小值是2，， ∴的最大值与最小值的和为17． 故选：D． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数开口向上，那么二次项系数为正，对称轴为y轴，则一次项系数为0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，符合题意的抛物线表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知点，在抛物线（为常数）上，则，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．根据解析式求得开口方向和对称轴，然后二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， ， ． 故答案为：． 13. 若抛物线经过和两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．根据题意，易知对称轴是直线，抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点，根据二次函数图象上对称点的坐标特征进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点， ，解得． 故答案为： ． 14. 已知抛物线经过点，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点和代数式求值，掌握二次函数图象上的点满足函数解析式以及整体思想的运用成为解答本题的关键．将点 代入抛物线中，得到 的值，然后整体代入代数式求解即可． 【详解】解：抛物线经过点 ， ，即， ． 故答案为：． 15. 如图，在相距的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高的小妹距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______m． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 根据题意，运用待定系数法，建立适当的平面直角坐标系，求得函数解析式，代入求值即可解答． 【详解】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为轴，左边树为轴建立平面直角坐标系， 由题意可得，， 设函数解析式为 把、、三点分别代入得： 解得． ． 当时，米． 故答案为：． 16. 二次函数，当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用； 记，则得对称轴为直线．分；两种情况，结合二次函数z在时的增减情况即可求解． 【详解】解：， 记，则对称轴为直线． 当时，如图1．当时，随的增大而增大． 当时，．则，成立． 即．解得． ． 当时，如图2．当时，随的增大而减小． 当时，，则成立． 即．而恒成立． 综上，或时，始终成立． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的定义求出参数的值，根据二次函数的定义得到，且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 解方程，可得， 解不等式，可得， 综上所述，可知， ∴． 18. 已知二次函数，当时，，时，． （1）求a，c的值． （2）当时，求函数y的值． 【答案】（1） （2）21 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值； （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出函数y的值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴， ∴当时，． 19. 已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． （1）求函数解析式． （2）求函数图像与坐标轴交点坐标． 【答案】（1） （2）函数图像与x轴交点坐标为，，与y轴的交点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将点代入求出，即得答案； （2）令，得，求解方程得，，即得函数图像与x轴交点坐标，令，则，图像与y轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为， 将点代入中，得， 解得， 函数解析式解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 得，， 函数图像与x轴交点坐标为，； 令，则， 函数图像与y轴的交点坐标为． 20. 如图，抛物线和直线交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）根据图象，写出当x取何值时，． 【答案】（1）A的坐标是，点B的坐标是 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与方程组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）联立两函数解析式，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得或， ∴A的坐标是，点B的坐标是； 【小问2详解】 解：根据图象，时，的图象在的图象上方， 此时． 21. 某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用周长为的篱笆围成，已知墙a长为，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（），种植园面积为y（）． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为，求篱笆的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可知，则，再利用长方形的面积公式求出与的函数关系式，再结合题意可得，即可求出自变量的取值范围； （2）根据题意，代入到（1）中的函数关系式，求出的值，再结合的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， 则， ∴， 由题意得，， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， 由（1）得，， ∴， 答：篱笆的长为． 22. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线的解析式； （2）第二象限内的点在该抛物线上，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）把、两点的坐标代入抛物线的解析式可得和的值，即可求得抛物线的解析式； （2）当时，解方程得到点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，过点作垂直于轴交于点，设点坐标为，则，，得到关于的二次函数解析式，进而根据二次函数的性质可得面积的最大值． 【小问1详解】 解：将点，代入中， 得到，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，即，解得，， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 如图所示，过点作垂直于轴交于点， 设点的坐标为，则， ， ， ， 抛物线的开口向下， 当时，， 即面积的最大值为． 23. 为了增加趣味性，万岁山旅游城把传统的抛绣球项目进行改良，他们定制了一种器械，类似中国古代一种投石器，为了解发射平台高度对绣球飞行轨迹的影响，我们可以设定不同的发射平台高度，并分别记录绣球在不同水平距离上的飞行高度．分析不同发射平台高度下绣球的飞行轨迹．通过比较不同高度下绣球的飞行高度和飞行距离，我们可以得出发射平台高度对绣球飞行轨迹的具体影响．从而有目的地调整发射高度，通过实验发现绣球运动轨迹是抛物线的一部分，并且在离发射点水平距离米处达到距地面最大高度米；在离发射点水平距离米处，距地面高度米． 问题解决： 任务：确定函数表达式．设绣球离发射点水平距离为，距地面高度为．求出关于的函数表达式； 任务：探究飞行距离，当绣球从地面发出到落地（高度为）时，飞行的水平距离是多少； 任务：如图，工作人员在水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，绣球被弹出后的飞行轨迹形状不变，可视为抛物线上下平移得到，点、、在一条直线上，已知，，游客小李站在线段（包括点、）上，为了确保他能抢到绣球，请直接写出发射台的变化范围：______． 【答案】 任务1： 任务2：m 任务3： 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式． 任务：用待定系数法求函数解析式即可； 任务：令，解方程求出的值即可； 任务：设出平移后的解析式，再把，分别代入解析式，结合题意求出的取值范围． 【详解】解：任务：依题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入解析式得：． 解得， ∴抛物线解析式为； 任务：令， 则， 解得，（舍）， 答：水平距离为； 任务：设抛物线向上平移个单位，则平移后的抛物线解析式为， ∵，， ∴当抛物线经过时，， 解得； 当抛物线经过时，， 解得， ∴发射台的变化范围为：， 故答案为：． 24. 已知二次函数（a为常数且）． （1）当函数图象经过，求该二次函数的表达式． （2）若，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明． （3）若该函数图象上有两点，其中，若，．求证：． 【答案】（1） （2）该二次函数图象与x轴无交点，见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）令，可得，则方程无实数解，即该二次函数图象与x轴无交点． （3）由题意得，，则可得，即可得． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：该二次函数图象与x轴无交点． 证明：令， ∵， ∴， ∴方程无实数解， ∴该二次函数图象与x轴无交点． 【小问3详解】 证明：∵该函数图象上有两点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $