平面向量——等和线 培优讲义-2025届高三数学三轮复习

红河州第一中学数学培优教材 红河州第一中学数学培优教材 第二讲 平面向量——等和线 向量的等和线巧妙地将代数问题转化为几何关系问题，将系数和的代数式运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效直接的体现. 向量的等和线法将复杂的不等式问题、范围问题、数量积问题转化为简单、直接、操作方便的点到直线距离问题，很多时候用相似就可迅速解决. 因此，等和线在解决平面向量中双变量代数式求取值范围或最值问题时，具有得天独厚的优势. (1)三点共线充要条件 平面内一组基底及任一向量，，若，则三点共线；反之亦然. (2) 由三点共线结论推导等和线定理： 如图，由三点共线结论可知，若，则，由与相似，必存在一个常数，使得，则，；反之也成立． （3）等和线定理 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； ⑥定值的变化与等和线到点的距离成正比． 题型一 三点共线的应用 1.在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（     ） A． B． C． D．1 解： 因为，所以， 则. 因为A，P，D三点共线，所以. 因为，所以. 因为E是边AB的中点， 所以.因为E，P，F三点共线， 所以， 则，解得，从而，，故. 故选：A 2.如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为 . 解：由题意知， 又因，，所以，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 故选：C 3.如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．2 解：设，，，， 则，，，，. 所以， 当且仅当，时等号成立. 所以的最小值是. 故选：B 4.如图，在中，与的交点为，则（   ） A． B． C． D． 解：因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 题型二 等和线的应用 1.如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 解：如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，不失一般性可假设正六边形边长为2， 则，，设， 则， 因为，即， 即， 则，解得， 则，因为，则 故答案为：. 2. 如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点， 因为与的面积之比为2，则， 当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为； 当点与点重合时，可得， 此时，即，此时为最大值为， 所以的取值范围为. 故选：C.    3.如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ． ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 解：当在边上时，如图，取中点，连接，则 设，， ， 又， ，， ，， 当在边上时，，，， 当在边上时，设，， ， ，， ，，； ①当时，，此时点就是点；或，此时点在上，故错误； ②当时，有或，这样的点有两个，故正确； ③的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故错误； ④的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确. 故答案为：②④. 4.在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 解： 法一：系数和 分析：如图 ，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时 故选 . 法二：坐标法 如图所示，建立平面直角坐标系. 设, 易得圆的半径，即圆C的方程是， ，若满足， 则，，所以， 设，即，点在圆上， 所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A. 5.如图，在扇形中，，，点为的中点，点为曲边区域内任一点（含边界），若，则的最大值为 ． 解：建立平面直角坐标系如图所示， 设，则，； ，； 由是区间内的任意点，且， ，，， ，；，， ，设，即， 用线性区域的方法，平移直到于圆弧相切，与轴相交于, 此时直线截距最大，切点就是满足条件的点； 由于此时切线的斜率为 此时,由此， 故,因此此时， 即的最大值为， 故答案为：. 6.设点在以为圆心，半径为1的圆弧BC上运动(包含B，C两个端点)， 且，则的最大值为 . 解：建立如图所示的直角坐标系， 则，设， 所以，因此有， 因为，， 所以有， 于是有，其中， 因为，即，当时取得最大值， 故答案为： 7.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆为圆上任一点，若，则的最大值为 . 解：作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，    设，则， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为，当点P为切点时, ， ∵，∴设，则，当点P为切点时, 有最大值, ，， ∴，，∴. 即2x＋2y的最大值为. 故答案为： 8.已知是的外心，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：如图，，所以， 因为，所以，，即， 如图可知，点在优弧上，所以、不能都是正数， 所以设，，，可得， 即. 故选：B. 9.已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 解：设与 交点为，设，圆的半径为，为中点，如图所示： 则，设，因为三点共线，则 所以，故 因为，则所以 则 ，故 所以的最小值为2 故选：D 10.在如图所示的直角梯形中，，为梯形内一动点，且，若，则的最大值为 . 解：如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则， 且，可知点在标准单位圆上，可设， 可得， 若， 可得，解得， 则， 其中， 当且仅当，即，时， ，此时为第四象限角，符合题意，取到最大值 故答案为：. 11.如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 结合已知得，，， 半圆弧的方程为：， 设，则，，， 由得：， 解得：， 所以， 因为在上，所以， 又， 则可设，，， 将，代入整理得： ， 由得， 所以，， 故的取值范围是. 故选：D. 12.（多选题）如图，圆O是边长为2的等边三角形的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，，则可以的取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，， 等边三角形的内切圆的半径为， 故可设，其中， 故，而，， 结合可得， 故，故， 因为，故， 因为，，， ，，， 故， 故选：BCD. 13.如图,已知为锐角三角形的外心,,且,则的取值范围是 . 解：作圆的直径,则点在劣弧上运动.于是.其中. 考虑到问题涉及的代数式为,为了利用向量分解的系数和的几何意义, 将条件转化为. 此时可知连接向量的终点与向量的终点的直线即等系数和线,于是. 依次作出其余等系数和线,可得的取值范围是. 14.如图，四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上，且，点是(含边界)的动点，设，则的最大值为 ． 解：当点P位于B点时，过点B作，交的延长线于G，H， 则，且， ，， 所以. 故答案为：. 15.如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 解：    当点在四边形的点处时，有， 对应，可知，此时有，故AC错误； 当点在四边形的点处时，有， 对应，可知，此时有，故D错误； 故选：B. 16.已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 解： 因为，所以， 整理得，所以P为的重心， 取AC的中点D，则. 因为，所以， 所以当点M在线段BP上时，取得最小值1， 当点M与C重合时，取得最大值2， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 17.如图，已知点为等边外接圆上一点，点是该三角形内切圆上的一点，若，则的最大值为________. 解：如图，取中点，交外接圆于，交内切圆于， 此时为外接圆劣弧的中点，取得最大； 为内切圆劣弧的中点，取得最小， 记的最大值为，的最小值为， 而，， 故的最大值为， 故选C. 18.如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 解：设扇形所在圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系， 设，则，由题意可得 令 则在上不是单调函数，从而在上一定有零点 即在时有解，可得 解得，经检验此时取得最大值 故答案选 19.如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为 . 解：取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图： 则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点） 当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知. 20.如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解： 如图，， 点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动， 且.， 由向量加法的平行四边形法则， 为平行四边形的对角线， 该四边形应是以与的反向延长线为两邻边， 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上， ， 的取值范围为. 故选：B 21.在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 解：如图所示， △ABC中，， ∴（）， 又点E在线段AD（不含端点）上移动， 设k，0＜k＜1， ∴， 又， ∴， ∴． ∵在（0，1）上单调递减， ∴λ的取值范围为（，+∞）， 故选C． 22.已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $红河州第一中学数学培优教材 红河州第一中学数学培优教材 第二讲 平面向量——等和线 向量的等和线巧妙地将代数问题转化为几何关系问题，将系数和的代数式运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效直接的体现. 向量的等和线法将复杂的不等式问题、范围问题、数量积问题转化为简单、直接、操作方便的点到直线距离问题. 因此，等和线在解决平面向量中双变量代数式求取值范围或最值问题时，具有得天独厚的优势. (1)三点共线充要条件 平面内一组基底及任一向量，，若，则三点共线；反之亦然. (2) 由三点共线结论推导等和线定理： 如图，由三点共线结论可知，若，则，由与相似，必存在一个常数，使得，则，；反之也成立． （3）等和线定理 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； ⑥定值的变化与等和线到点的距离成正比． 题型一 三点共线的应用 1.在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（     ） A． B． C． D．1 2.如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为 . 3.如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．2 4.如图，在中，与的交点为，则（   ） A． B． C． D． 题型二 等和线的应用 1.如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 2. 如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是 A． B． C． D． 3.如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ． ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 4.在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 5.如图，在扇形中，，，点为的中点，点为曲边区域内任一点（含边界），若，则的最大值为 ． 6.设点在以为圆心，半径为1的圆弧BC上运动(包含B，C两个端点)， 且，则的最大值为 . 7.边长为2的等边三角形的外接圆为圆为圆上任一点，若，则的最大值为 . 8.已知是的外心，，，则的取值范围是 A． B． C． D． 9.已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 10.在如图所示的直角梯形中，，为梯形内一动点，且，若，则的最大值为 . 11.如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12.（多选题）如图，圆O是边长为2的等边三角形的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，，则可以的取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13.如图,已知为锐角三角形的外心,,且,则的取值范围是 . 14.如图，四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上，且，点是(含边界)的动点，设，则的最大值为 ． 15.如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16.已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 . 17.如图，已知点为等边外接圆上一点，点是该三角形内切圆上的一点，若，则的最大值为________. 18.如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为 A． B． C． D． 19.如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为 . 20.如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21.在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 22.已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $