精品解析：黑龙江省实验中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段考试数学试题

黑龙江省实验中学高三学年上学期第一次阶段考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 若​是​的必要不充分条件，则实数​的取值范围（ ） A. B. ​ C. ​ D. 3. 化简（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知函数为偶函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知对任意，（且）均有意义，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为（    ）（已知） A. 64 B. 65 C. 66 D. 67 7. 已知 是正实数，若函数 的图象与 的图象相切，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知函数，若方程有两个实数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则是第一象限角 C. 若，且，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 10. 已知，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为奇函数 D. 方程仅有5个不同实数解 三、填空题：本小题共3道小题，每小题5分，共15分． 12. __________. 13. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______． 14. 已知函数 在 上单调递增，则 的最小值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且. （1）求的值； （2）将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值. 16. 已知幂函数是定义在上的偶函数. （1）求函数的解析式； （2）当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 17. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围． 18. 已知，，且，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求． 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程; （2）讨论的单调性; （3）证明: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省实验中学高三学年上学期第一次阶段考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式得集合，再根据交集的定义即可求得结果. 【详解】由且，解得， 即，因， 则. 故选：B. 2. 若​是​的必要不充分条件，则实数​的取值范围（ ） A. B. ​ C. ​ D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据前者是后者得必要不充分条件，得到，再利用数轴得到不等式，得到的范围. 【详解】是的必要不充分条件，， ，解得. 故选 ：B. 3. 化简（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式化简所求代数式，可得结果. 【详解】 . 故选：C. 4. 已知函数为偶函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由偶函数定义待定，再将自变量取值由对称性转化至，然后由指对函数性质比较自变量取值的大小，借助函数单调性可比较大小. 【详解】因为函数为偶函数， 则即， 即对于恒成立，所以，即． 当时，. 而， 因为在内单调递增，则， 又在定义域内单调递增，则， 在上单调递增，又， ，即． 故选：A． 5. 已知对任意，（且）均有意义，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，然后得出函数是偶函数且在上单调递减即可选出答案. 【详解】因为当时，均有意义，所以，所以， 当时， 令，可得在上单调递减，单调递增， 所以在上单调递减， 设函数，则， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故A符合题意. 故选：A. 6. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为（    ）（已知） A. 64 B. 65 C. 66 D. 67 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求，再由解不等式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 即， 所以学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为次， 故选：D. 7. 已知 是正实数，若函数 的图象与 的图象相切，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为，根据导数的几何意义建立方程组，化简推得，利用基本不等式“1”的妙用即可求得答案. 【详解】由求导得， 设切点为，则， 由① ③ 联立可得代入② ，可得，又， 故，当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值为. 故选：B. 8. 已知函数，若方程有两个实数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，令，由的单调性可得，令，求得的最小值，可得a的取值范围. 【详解】方程等价于，即， 设，所以， 又在上单调递增，所以，即， 令，则，所以在单调递减，在单调递增， 所以，又当时，，当时，， 所以要使有两个解，只需，故a的取值范围是． 故选：B. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则是第一象限角 C. 若，且，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由终边上一点即可求其余弦值，即可对A判断；由角为锐角，则可对B判断；若，则，再结合题意求得，从而可对C判断；利用弧长及扇形面积公式即可求解D. 【详解】A：若终边上一点的坐标为，则，故A错误； B：若角为锐角，则是第一象限角，故B正确； C：若，则，又因为且，所以， 解得，则，故C正确； D：圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为，故D错误. 故选：BC. 10. 已知，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数取值范围、二倍角公式、两角和差公式、同角三角函数关系等知识，即可得出结果. 【详解】对于A，因为，， 所以，所以， 所以，即，故A正确； 对于B，又，，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，， . 故选：ABD. 11. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为奇函数 D. 方程仅有5个不同实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抽象函数所满足的性质，可以推出的对称中心和对称轴，进一步求出其周期，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再结合图象可逐项判断解决问题. 【详解】因为为奇函数，所以，根据图象变换，则关于点成中心对称， 又因为为偶函数，所以，根据图象变换，则关于直线成轴对称， 将函数的对称中心和对称轴进行多次变换可得到如图所示的图象， 由图象可知，函数是周期为8的周期函数，所以函数的对称轴为直线，对称中心为， 对A，，故选项A正确； 对B，当，由图象可知是单调递减的函数，故选B错误； 对C，由图象知，的图象的对称中心为点，当时，其对称中心为，又将函数往右平移5个单位可得，所以的对称中心为，所以为奇函数，故选项C正确； 对D，如图所示，因为，，，又两函数均过点，再根据图象，可知函数与函数有5个交点，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题求出的对称中心和对称轴，并求出其周期是关键，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再利用数形结合即可结果. 三、填空题：本小题共3道小题，每小题5分，共15分． 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用切化弦，再利用两角和正弦公式即可求解. 【详解】 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数得到单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】，， ，的每一项都除以不等号方向不变，即， ，设，则， ，，， 为R上的减函数，， 等价于，为R上的减函数， 的解为，等价于， 的解集为. 故答案为： 14. 已知函数 在 上单调递增，则 的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由在上单调递增，得到，将转化为变量的函数，求导求最值. 【详解】因为在上单调递增， 所以在恒成立. 若，则，所以恒成立，显然不成立； 若，则在恒成立等价于在上恒成立， 所以，所以. 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，取得最小值，即的最小值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且. （1）求的值； （2）将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义列方程求出点P的坐标，然后再求出、，最后利用诱导公式化简求值； （2）由题意知，根据两角差的正弦、余弦公式求出，再利用两角和的正弦公式求. 【小问1详解】 由三角函数定义可得，得， 则， ，， 【小问2详解】 因为，， 所以，， 所以. 16. 已知幂函数是定义在上的偶函数. （1）求函数的解析式； （2）当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为幂函数，列式求出m的值，结合函数为偶函数，即可求得答案. （2）将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，结合换元法以及二次函数性质，即可求得答案. 【小问1详解】 是幂函数，故， 解得或2， 当时，，其定义域为，且， 即函数为奇函数，不符合题意； 当时，，函数为偶函数，符合题意， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知， 则，， 函数有两个不同的零点， 即的图象与直线在时有两个不同的交点， 令，，令， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， ， 故要使得的图象与直线在时有两个不同的交点， 需满足， 即. 17. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令，根据导数求得最小值后可得，即可求得的单调区间； （2）求导，要使当时，成立，则，再分，，三种情况，结合导数证明即可. 【小问1详解】 当时，的定义域为， ，显然， 令，， 则，令，则， 当时，，所以在区间上单调递减； 当时，，所以在区间上单调递增， 所以，即， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． 【小问2详解】 由，， 则，因为， 所以要使当时，，则必须满足，即． 下面证明：． 当时，， 令，， 由（1）知，在上单调递增， 所以，即当时，； 而当时，令，， 则，故在上单调递增， （ⅰ）当时，，， 所以存在，使得， 又在上单调递增， 所以当时， 即在上单调递减，所以； （ⅱ）当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 18. 已知，，且，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用差角的正切公式计算即可. （2）利用二倍角的正余弦公式化简得解. （3）确定角的范围，再利用和角的正切公式求解. 【小问1详解】 由，，得. 【小问2详解】 由，得. 【小问3详解】 由，，得，由（1）知， 则，，， 所以. 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程; （2）讨论的单调性; （3）证明: 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 令，， 则， 由可知，令，． 因为，在上单调递增，则在上单调递增， 且，， 可知在上存在唯一零点，， 当，则，即； 当，则，即， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，，， 可得， 即，所以. 故可证明. 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后分及讨论即可得； （3）令，则，构造函数，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，则可得单调性，即可得其最小值，即可得证. 【小问1详解】 ，，则， 又在处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意可得：的定义域为，， 当时，则在上恒成立，可知在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $