考点专项集训04 指数函数的图象与性质-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学考点专项集训04 指数函数的图象与性质 考点一 指数式的运算与求值 1．（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 2．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 4．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 . 7．（2024·广东·模拟预测）若，则 ． 8．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 考点二 根据指数型函数奇偶性求值 9．（2025·四川成都·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 10．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．（2025·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 12．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）定义在R上的函数是周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·甘肃金昌·期末）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C．25 D．15 16．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知函数是偶函数，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 18．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）已知为常数，且非常数函数是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D．4 考点三 指数型函数的图象判断 19．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．  B．  C．   D．   20．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A．B．C．D． 21．（2026高三·全国·专题练习）函数图象的大致形状是（    ） A．  B．  C．  D．   22．（2025·河南·三模）函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 23．（2025高三·全国·专题练习）函数的大致图象为（    ） A．  B．  C．  D．   24．（24-25高一上·江西·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A．B．C．D． 25．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 26．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 考点四 根据指数型函数图象求参数范围 28．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 30．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 31．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 32．（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 34．（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 考点五 指数幂的大小比较 35．（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 36．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 37．（25-26高三上·重庆·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 38．（2025高三·全国·专题练习）已知正实数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 39．（2025高三·全国·专题练习）记，，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，则下列不等关系正确的有（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高二下·河南焦作·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 42．（2025高三下·全国·专题练习）已知，，则，的大小关系为 ． 43．（24-25高三上·全国·单元测试）实数从小到大排列为 ． 44．（2023高三·全国·专题练习）与的大小关系为 ． 45．（2023高三·全国·专题练习）已知，， ，则、、的大小关系为 考点六 根据指数函数的单调性解不等式 46．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 47．（2025高三·全国·专题练习）设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数则的解集为（   ） A． B． C． D． 49．（24-25高一下·浙江杭州·期末）设是定义在R上的偶函数，当时，．若对任意，均有，则（    ） A． B． C． D． 50．（2025·河南·模拟预测）已知对任意的，不等式恒成立，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．-1 51．（24-25高一上·河南·期末）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·天津·期末）已知函数，若实数a满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．（2025·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·江西·期末）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 55．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为 . 56．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，则不等式成立的实数m的取值范围为 ． 57．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 58．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则不等式的解集为 59．（24-25高一上·广东·期末）已知函数，若，则的取值范围为 ，若恒成立，则的最大值为 . 考点七 含参指数的最值与范围 60．（24-25高一下·云南临沧·阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数．若的最小值为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 61．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数，若对任意的使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 62．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知，函数在上的最大值不超过4，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 63．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，函数有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 64．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 65．（22-23高一上·北京西城·期末）已知函数，若，则的解集为 ；若，则a的取值范围为 ． 66．（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 67．（2025高三·全国·专题练习）设函数，则当时，的最小值为 ；若方程恰有两个不相等的实数根，则实数所在的区间是 . 68．（24-25高一上·上海·阶段练习）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是 . 69．（23-24高一上·湖南张家界·期末）设函数，若方程有3个不等的实根，则实数的取值范围是 . 70．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，若存在实数、b、，满足且，则 ． 71．（24-25高三上·北京·阶段练习）若函数，当时，有最小值，则实数a的取值范围是 ， 考点八 指数函数模型的应用 72．（24-25高三上·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 73．（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 74．（2024·山东枣庄·模拟预测）对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 75．（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 76．（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月（参考数据：） A． B． C． D． 77．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明.《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每月的“进步”率和“退步”率都是，那么大约经过（    ）月后“进步”的是“退步”的一万倍. A．20 B．21 C．22 D．23 78．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 79．（2023·陕西商洛·模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 80．（23-24高三上·河北保定·开学考试）在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：，）（    ）      A．28 B．38 C．60 D．100 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学考点专项集训04 指数函数的图象与性质 考点一 指数式的运算与求值 1．（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】应用指数幂运算的性质化简求值. 【详解】由. 故选：A 2．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】将根式表示为分数指数幂，得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】，所以， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 4．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数运算可得，再由二次函数可得的最大值. 【详解】因为，所以，即， 故，即，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 5．（多选）（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用指数运算逐项计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，于是，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 6．（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 . 【答案】/0.5 【分析】由指数的运算性质即可得解. 【详解】由题意，所以. 故答案为： 7．（2024·广东·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】分和两种情况分类计算. 【详解】当时，， 当时，. 故答案为： 8．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值. 故答案为： 考点二 根据指数型函数奇偶性求值 9．（2025·四川成都·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性知，代入相应解析式计算即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数，且当时，， . 故选：C. 10．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性求出a的值，可得的解析式，继而代入求值，即得答案. 【详解】由题意知函数（且）的定义域为， 因为是奇函数，则，即， 得，即， 故，解得或（舍去）， 故，故， 故选：C 11．（2025·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，根据函数和的奇偶性，可求得，，代入化简即可求解. 【详解】∵，∴. ∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， ∴，，∴， ∴，. ∴. 故选：D. 12．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由奇函数定义可得答案. 【详解】当时，，则，所以，. 故选：C． 13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据，得到方程，求出；方法二：根据得到方程，求出，经检验，满足，故. 【详解】方法一：， 令，解得，故定义域为， 则， 因为是奇函数，所以，即， 故，因此； 方法二：，故， 即，故，解得， 故， 令，解得，故定义域为， 所以，故为奇函数. 故选：A. 14．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）定义在R上的函数是周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数奇偶性和周期性求值. 【详解】函数是周期为的偶函数，当时，， 则. 故选：B. 15．（24-25高二下·甘肃金昌·期末）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C．25 D．15 【答案】A 【分析】利用偶函数性质可得，即可求得，从而可求解. 【详解】由偶函数的性质可知，，得， 即时，，则，故A正确. 故选：A． 16．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知函数是偶函数，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由偶函数的定义列出等式并化简即可求出. 【详解】的定义域为关于原点对称, 是偶函数 ， 即 化简得 解得， 故选：B 17．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】首先要判断函数在处是否有定义，然后根据奇函数性质列出等式求解. 【详解】函数，分母恒大于，所以函数在处有定义. 因为是奇函数，所以. 可得：，即，解得. 时，，经检验满足题意. 故选：B. 18．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）已知为常数，且非常数函数是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，建立方程求得参数，分别代入检验，可得答案. 【详解】依题意可得，得，由，得或5， 当时，为常数函数，不符合题意， 当时，，由，则该函数为奇函数， 所以. 故选：A 考点三 指数型函数的图象判断 19．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】先求出时函数的单调性和值域，再求出时函数的单调性和值域，从而采用排除法即可得到答案． 【详解】设， 当时，， ∴时，单调递增， 由，得， ， ∴选项C，D错误． 当时，， ∴时，单调递增， 由，得，即， ∴函数图象在轴下方，排除B选项，则选项A符合要求． 故选：A． 20．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 21．（2026高三·全国·专题练习）函数图象的大致形状是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】由题意可知当时，；当时，，结合指数函数的图象与性质即可判断. 【详解】函数定义域为，且 当时，函数是一个指数函数，因为， 所以函数在上是减函数；故排除A，C； 当时，函数图象与指数函数的图象关于轴对称， 在上是增函数．故排除B． 故选：D. 22．（2025·河南·三模）函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，故可得正确的选项. 【详解】的定义域为，排除D； 因为，所以为偶函数， 图象关于y轴对称，排除C； 当时，，排除A． 故选：B. 23．（2025高三·全国·专题练习）函数的大致图象为（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】根据函数图象的奇偶性和特殊位置的函数值排除、求解即可． 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，∴函数为奇函数，故C错误； 又∵，故D错误； 当时，，故B错误,A正确. 故选：A． 24．（24-25高一上·江西·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性以及特殊值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数，排除AB选项， 因为，，则，则函数在上不单调递增，排除D选项. 故选：C. 25．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 26．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数时，排除A、D；再利用 函数不可能一直单调递减排除C即可得解. 【详解】当时，∵， ∴当时，，故排除A、D； ， 因为，所以，即， 所以函数不可能一直单调递减，故排除C. 故选：B. 27．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，并判断函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，由，可得， 故函数的定义域为，排除BD选项； 因为， 故函数为奇函数，排除A选项， 故选：C. 考点四 根据指数型函数图象求参数范围 28．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 29．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】分别对进行讨论分析，得到相应的函数图象，与已知图象进行对比，可得正确答案. 【详解】解：函数 因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 30．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图像经过的象限，列出关于和的不等式组，进而求解和的取值范围. 【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即 综上分析，可得 故选：C. 31．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由指数型函数图象得性质，根据性质求得参数即可. 【详解】由于关于直线对称，由图可知对称轴在之间，即， 且在处函数值在之间，即． 故选：A． 32．（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 33．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【详解】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 34．（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得且，求出a，即可求解. 【详解】因为函数图象过原点，所以， 得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交， 所以，则， 所以. 故选：C 考点五 指数幂的大小比较 35．（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得的范围，结合，化简即可得到结果． 【详解】，其图象如图所示， 由图可知，在上单调递减，在上单调递增， 要使，且成立，则有且，故必有且， 又，即为，整理得， 故选：A． 36．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 函数是减函数， 所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B. 37．（25-26高三上·重庆·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先变形得到，构造函数，求导得到其在上的单调性，从而得到，. 【详解】因为，所以. 设函数，则，当时，单调递减， 所以，所以，故. 故选：B 38．（2025高三·全国·专题练习）已知正实数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形得，由，进而判断与的大小，又得，即，进而求解. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以，所以， 即，所以； 又，结合， 可得，而， 所以，即， 两边同时取对数得，即， 则必有， 所以． 故选：A． 39．（2025高三·全国·专题练习）记，，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对，进行转换，，．构建，求导判断函数单调性得出，从而得到，再结合指数函数的性质判断大小的关系. 【详解】已知， 所以，． 设，求导得， 由于，故为零点， 时，，在上为增函数； 时，，在上为减函数. 因为， 所以. 所以． 所以，即，得，． 由于幂函数，在均为单调递增函数， 所以，， 所以，. 故选：A． 40．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，则下列不等关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可构造函数，利用导数法研究其单调性，即可判断A，根据幂函数单调性和指数函数单调性比较a，d大小判断B，根据指数函数单调性比较b，d大小判断C，比较b，c的大小，即比较与的大小，构造函数，利用导数法研究其单调性比较大小判断D. 【详解】对于A，由已知得，设，则， 当时，单调递减，所以，即， 所以，所以A错误． 对于B，根据幂函数在上单调递增可知，所以， 所以，所以B错误． 对于C，根据指数函数在上单调递增可知， 所以，所以，所以C错误． 对于D，设，则，由于 （证明如下：设，则，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即），则，所以， 从而，所以， 从而在上单调递减，所以，即，所以，所以D正确． 故选：D 41．（24-25高二下·河南焦作·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，求导确定函数的单调性，再根据单调性与对数运算性质转化为函数值大小即可得的大小. 【详解】设， 由，，， 得，，， 又，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，所以，所以. 故选：D. 42．（2025高三下·全国·专题练习）已知，，则，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】法一：利用作差法比较；法二：构造函数，利用其单调性判断. 【详解】法一：， ， ， ． 法二：令， 显然是上的减函数， ，即． 故答案为： 43．（24-25高三上·全国·单元测试）实数从小到大排列为 ． 【答案】 【分析】运用指数函数幂函数单调性，结合指数幂性质可解. 【详解】因为，则由在上单调递增， 在上单调递增，知，故， 又由函数为增函数， 得，则． 又． 故答案为：. 44．（2023高三·全国·专题练习）与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据作商法和指数函数的性质即可求解. 【详解】因为， 又，0<π－e<1， ∴， 即， 即. 故答案为：. 45．（2023高三·全国·专题练习）已知，， ，则、、的大小关系为 【答案】 【分析】根据指数幂的运算，先比较的大小关系，然后再比较的大小关系，即可得到结果. 【详解】由题意可知， ，故； 又，， 因为，故， 综合可得. 故答案为: 考点六 根据指数函数的单调性解不等式 46．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数单调性分类讨论即可求解不等式的解集. 【详解】作出的图象如图所示. 当时，，， 所以，， 所以，符合题意； 当时，，， 所以，， 所以，符合题意； 当时，，， ， 令得，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：C. 47．（2025高三·全国·专题练习）设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数得到性质，再将转化为，由函数的单调性解得. 【详解】由题意可列，得. 即关于点对称． 因为，所以是增函数，为减函数，为增函数， 故单调递增． 所以，， 即需满足，解得或. 故选：D． 48．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数与的图象，利用数形结合即可求解. 【详解】作出函数与的图象，如图， 由图象可知，当时，恒成立，则的解集为； 当时，， 图象的交点坐标为、，结合图象知，的解集为. 所以不等式的解集为. 故选：C. 49．（24-25高一下·浙江杭州·期末）设是定义在R上的偶函数，当时，．若对任意，均有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的性质可得函数的解析式，利用分类讨论思想，根据分段函数的取值，化简不等式，可得答案. 【详解】由函数是偶函数，则， 当时，，可得， 所以， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，由，则，由，则， 由函数在上单调递增，则不等式显然不成立； 当，即时，由，则， 由，则，由函数在上单调递减，则不等式显然成立； 当，即时， ①当时，，由，则， 由，则，由函数在上单调递减，则不等式显然成立； ②当且时，由，则， 由，则，由函数在上单调递增，则， 化简可得，解得； 当且时，由，则， 由，则，由函数在上单调递增，则不等式显然不成立. 综上所述，. 故选：D. 50．（2025·河南·模拟预测）已知对任意的，不等式恒成立，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．-1 【答案】B 【分析】分、和分别求解即可. 【详解】解：当时，， 则对于任意的恒成立， 时，， 故， 故，即; 时，，故， 故，即， 综上. 验证时，符合题意. 故选:B. 51．（24-25高一上·河南·期末）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分， 和讨论求解. 【详解】解：当时，， 则在时无解； 当时，在R上单调递增； 当时，，则的解集为； 当时，， 则在时恒成立， 综上，不等式的解集为． 故选：B 52．（24-25高一上·天津·期末）已知函数，若实数a满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为定义在上的偶函数，且在内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为， 若，则，可得， 若，则，可得， 可知为定义在上的偶函数，可得， 又因为当时，在内单调递增，且， 可得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C. 53．（2025·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑，函数的值域，结合时，若，不合要求，若，在上单调递减，进而得到不等式，及时代入判断即可. 【详解】当时， ， 当时，， 若，在上单调递增，此时没有最大值， 若，在上单调递减， 要想函数有最大值，则，解得； 若，，函数有最大值1，符合题意； 故实数的取值范围为. 故选：A. 54．（24-25高一上·江西·期末）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定定义，把问题转化为两个函数在区间同增或同减列出恒成立的不等式，再借助指数函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增， 若区间为函数的“稳定区间”，令， 则函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 于是，解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 于是，不等式组无解， 所以实数的取值范围为 故选：A 55．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为 . 【答案】 【分析】由函数解析式可知，函数为奇函数，然后利用函数性质将不等式进行转化，最后解不等式即可. 【详解】已知函数,其定义域为,关于原点对称， 计算， 而， 所以，所以函数是上的奇函数， 对求导，根据求导公式得， ，所以在上单调递增， 由于是奇函数，可得， 等价于， 又因为在上单调递增，所以， 移项得，即， 解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为： 56．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，则不等式成立的实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性和奇偶性解抽象函数不等式可得. 【详解】，定义域为关于原点对称，所以为偶函数， 又当时，为增函数；当时，为减函数， 所以即， 两边平方整理可得，解得， 所以不等式成立的实数m的取值范围为. 故答案为：. 57．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 【答案】 【分析】根据给定的分段函数，探讨其奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】当时，，，； 当时，，，；当时，， 因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递减，则， 于是，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 58．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则不等式的解集为 【答案】 【分析】由奇函数定义可得，由此变形给定不等式，再利用换元法，结合指数函数性质求得解集. 【详解】函数的定义域为，由是奇函数，得， 即，则不等式化为， 令，则有，即，因此或， 由，得，即，解得； 由，得，即，解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 59．（24-25高一上·广东·期末）已知函数，若，则的取值范围为 ，若恒成立，则的最大值为 . 【答案】 6 【分析】探讨函数的奇偶性及单调性，再利用此性质解不等式求出的范围；换元并利用基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数是偶函数， 当时，令， 由于函数在上单调递增，而函数是增函数， 所以函数在上单调递增， 由于， 所以， 所以，整理得，解得或， 所以的取值范围为； 又，当且仅当，即时取等号， 所以， 不等式可化为， 所以恒成立， 而， 当且仅当，即时取等号， 因此，所以的最大值为6. 故答案为：；6 考点七 含参指数的最值与范围 60．（24-25高一下·云南临沧·阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数．若的最小值为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论并分段求出函数的最小值，再按最小值的大小关系分段求解即可. 【详解】当时，，仅当时取等号，若，则， 若，则； 当时，，若，则， 若，则，当且仅当时取等号 若，则，其最小值为， 当时，，，解得，因此； 当时，，，符合题意，因此； 当时，，函数无最小值； 当时，，，解得，因此； 当时，，，解得，矛盾， 所以的取值范围为. 故选：D 61．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数，若对任意的使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意转化成恒成立，结合函数单调性即可求解. 【详解】若对任意的使得成立， 即，得，， 由于函数在上为增函数，函数在上为减函数， 所以，函数在上为增函数， ， ，即， 因此，实数的取值范围是． 故选：D 62．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知，函数在上的最大值不超过4，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的范围可求得；分别在、和的情况下求得，利用构造不等式求得结果. 【详解】当时， ①当，即时， ，满足题意 ②当，即时，令, 当时，单调递减；当时，单调递增 又， 若最大值不超过，则，即 ③当，即时， ，解得：（舍） 综上所述：. 故选：C. 【点睛】关键点点睛；关键是能够得到绝对值内的函数的值域，进而通过分类讨论的方式去除绝对值符号，根据单调性求得最值. 63．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，函数有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、、三种情况讨论，分析函数在区间和上的单调性，结合题可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】①当时，二次函数的对称轴为直线， 此时函数在区间上单调递减，此时， 函数在区间上单调递减，此时， 若使得函数有最小值，则，解得，不合乎题意； ②当时，二次函数的对称轴为直线， 此时函数在区间上的最小值为， 函数在区间上单调递减，此时， 若使得函数有最小值， 则，解得，不合乎题意； ③当时，二次函数的对称轴为直线， 此时函数在区间上的最小值为， 函数在区间上单调递增，此时， 若使得函数有最小值，则，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 64．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，利用的不同取值范围，结合分段函数的单调性，分析函数的最小值情况，即可求得实数的取值范围． 【详解】， 当时，， 若，当时，为减函数，此时， 当时，为增函数，且此时，要使有最小值， 则，即，，则； 若，当时为减函数，此时， 当时，为减函数，且，要使有最小值， 则，即，则． 综上所述，或． 实数的取值范围是． 故选：D． 65．（22-23高一上·北京西城·期末）已知函数，若，则的解集为 ；若，则a的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】代入，分和两种情况，分别求解，最后取并集即可得出的解集；原题等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足，分别求出a的取值范围，最后取公共部分即可得解. 【详解】当时，. 当时，由可得，解得； 当时，由可得，解得. 综上所述，的解集为或. “若，”等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足. 当时，恒成立，因为当时，单调递增， 所以应满足，即； 当时，恒成立，则. 则，即a的取值范围为. 故答案为：或；. 66．（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 【答案】 2（答案不唯一，即可） 4 【分析】分别研究和时函数的最小值情况，确保两个区间内的最小值都不小于，且是整体的最小值，结合两段函数的性质，求解的取值. 【详解】由题意知，原函数中为最小值， ①当时，令，则，函数变为， 求导得，令，则， i）当，即时，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； ii）当，即时，在上单调递增， 最小值. ②当时，，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； 综上所述， . 故答案为：2（答案不唯一，即可）；4 67．（2025高三·全国·专题练习）设函数，则当时，的最小值为 ；若方程恰有两个不相等的实数根，则实数所在的区间是 . 【答案】 【分析】当时，，利用单调性定义证得函数在上单调递减，借助单调性求出的最小值；分别求出与的实数根，根据恰有两个不等实数根，即可求出的取值范围. 【详解】当时，， 当时，， 设且， 则 ， 由，得，则，于是， 函数在上单调递减，， 函数在上单调递增，，而， 所以的最小值为； 对于，令，得，解得， 对于，令，得，解得或或， 由恰有两个不等实数根，得0和2为方程的根，3不为方程的根，则， 所以实数所在的区间是. 故答案为：； 68．（24-25高一上·上海·阶段练习）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据和分类讨论，作出函数的图象与直线，由它们有两个交点得出的范围． 【详解】时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意； 时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 若与函数的图象有两个交点，则，解得． 综上所述，. 故答案为：. 69．（23-24高一上·湖南张家界·期末）设函数，若方程有3个不等的实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用换元法将方程化简成一元二次方程，原方程要有3个不等的实根，需要一元二次方程应该有两个不相等的实根，再数形结合分情况讨论即可求得实数的取值范围. 【详解】令，则，即， 可得， 作出函数的图象如下图所示：    若方程有3个不等的实根， 由图可知方程必有两根，， 当，时，可得，解得，，不合题意； 当，时，需满足， 解得，即. 当，时，可得，解得，，满足题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用换元法将原方程转化为方程必有两根的问题，再利用函数与方程的思想由二次函数根的分布情况即可求得结果. 70．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，若存在实数、b、，满足且，则 ． 【答案】/ 【分析】作出函数的图象，当时，方程的解分别为、、、，根据题意可知，、、对应的数为、、或、、，不妨取、、为对应的、、，可得出，进而得出，令，则，构造函数，结合函数的单调性求出的值，可得出、的值，即可得解. 【详解】函数， 函数的图象是保留函数在上的图象，并去除函数在上的图象， 再将函数在上的图象关于轴翻折，可得到函数的图象， 作出函数的图象如下图所示： 当时，方程的解分别为、、、， 由，得、、为、、、中的三个数， 而，且，则、、对应的数为、、或、、， 根据对称性，不妨取、、为对应的、、， 由，得，又，则， 而，因此，令，则， 函数为减函数，且， 则方程的解为，即，解得，，所以. 故答案为： 71．（24-25高三上·北京·阶段练习）若函数，当时，有最小值，则实数a的取值范围是 ， 【答案】 【分析】作出在的图象，通过分析的位置可确定何时有最小值，从而确定的范围. 【详解】由指数函数和二次函数图象可得在上的图象如下图所示， 显然当时，，此时有最小值； 当时，，没有最小值， 实数的取值范围为. 故答案为：. 考点八 指数函数模型的应用 72．（24-25高三上·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入函数解析式可得，将代入函数解析式可求出的值，根据污染物减少，可得出，解出即可得解. 【详解】由可知，当时，； 当时，，解得，那么. 因为污染物减少，所以，所以， 所以． 所以污染物减少大约需要花费． 故选：B． 73．（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】分析可知，小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为， 根据题意可得，即，解得. 因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时. 故选：B. 74．（2024·山东枣庄·模拟预测）对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】设所对应的极径为，所对应的极径为，根据所给表达式及指数幂的运算法则计算可得. 【详解】设所对应的极径为，则， 则所对应的极径为，所以， 故每增加个单位，则变为原来的倍. 故选：B 75．（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：， 由题意可得， 所以． 故选：B． 76．（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可得出关于、的等式组，解出这两个量的值，可得出的表达式，然后解方程，求出的值即可. 【详解】由题意，可得，解得，则， 这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以， 所以，则． 故选：B. 77．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明.《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每月的“进步”率和“退步”率都是，那么大约经过（    ）月后“进步”的是“退步”的一万倍. A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】根据题意可列出方程，求解即可， 【详解】设经过个月“进步“的值是“退步”的值的10000倍, 则， 即， , 故选：D． 78．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据指数式的运算求解. 【详解】由题可知，所以， 经过天，数量变为原来的16倍，即， 则有，解得， 故选:C. 79．（2023·陕西商洛·模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】首先由条件抽象出经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量的函数，再结合指对运算，解不等式. 【详解】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为，则， 令，解得，两边取常用对数得，即 即，因为，， 所以，解得，因为，所以的最小值为9． 故选：A 80．（23-24高三上·河北保定·开学考试）在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：，）（    ）      A．28 B．38 C．60 D．100 【答案】B 【分析】根据题意建立指数方程，指数式化对数式求解方程，再利用换底公式，转化为常用对数运算即可. 【详解】设要经过天，“进步"的值是“迟步”的值的10倍， 则，即， 则 . 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $