专题1.6 线段垂直平分线的性质九大题型（一课一讲）2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

专题1.6线段垂直平分线的性质九大题型（一课一讲） 线段垂直平分线的定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 如图所示，直线l⊥ AB于点D，且AD ＝BD，直线l就是线段AB的垂直平分线。 垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 题型一：利用垂直平分线的性质求周长 【例题1】如图，在中，垂直平分，连接，的周长为20，的周长比四边形的周长多10，则线段的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练1-1】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期末)如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，则的周长为（   ）cm． A．8 B．2 C．4 D．1 【变式训练1-2】(2025·湖北省荆州市沙市·三模)如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-3】(23-24八上·山东菏泽曹县·期中)如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】(24-25八下·湖南长沙·模拟)如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，则的长为 ． 【变式训练1-5】(24-25七下·陕西咸阳渭城区底张镇·期末)如图，在中，点在上，连接，过点作交于点，．的周长为5，则的周长是 ． 题型二：利用垂直平分线的性质求线段长度 【例题2】如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，，则的长为 ． 【变式训练2-1】(24-25七下·河南郑州莲湖外国语学校·月考)如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ． 【变式训练2-2】如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，，，则 ． 【变式训练2-3】如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，则 ． 【变式训练2-4】如图，已知，点D，E分别在的垂直平分线上，且D，A，E三点共线，若四边形的周长为20，，则的长为 ． 【变式训练2-5】(24-25七下·广东深圳坪山区·期末)如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 题型三：垂直平分线的性质综合（解答题） 【例题3】如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【变式训练3-1】(24-25八上·河北邢台信都区·月考)如图，在中，，是的平分线，交于点，垂足为．求证： (1)是线段的垂直平分线； (2)． 【变式训练3-2】如图，平分，P是上任意一点，过P向，作垂线，垂足分别为D，E，连接．求证：垂直平分． 【变式训练3-3】(24-25八·广东珠海第十一中学·月考)如图，在四边形中，E为边上的一点，垂直平分，垂直平分． (1)求的度数； (2)与交于点F，若，求证：． 【变式训练3-4】(24-25八上·广东东莞翰林实验学校·期末)已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，则的长为 ； (2)若，，求的长； (3)若的周长为，，求的长． 【变式训练3-5】(24-25八上·河北石家庄新乐新乐中山中学·月考)如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 尺规作图作线段垂直平分线 作法（如图所示）： 1.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D。 2.作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线。 题型四：垂直平分线与尺规作图综合 【例题4】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 【变式训练4-1】(24-25六·山东威海荣成16校联盟（五四制）·月考)如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 【变式训练4-2】(23-24七下·贵州毕节赫章县·期末)如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，分别交、于点、，连接，若，则的周长为（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 【变式训练4-3】(24-25八上·福建莆田哲理中学·月考)如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【变式训练4-4】(24-25九上·黑龙江哈尔滨第五十五中学·月考)如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，，，则的周长为（   ） A．5 B．11 C．16 D．17 【变式训练4-5】(2025·江苏省盐城市·三模)如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 题型五：垂直平分线的判定之选址问题 【例题5】如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【变式训练5-1】(24-25八上·湖北武汉七一华源中学·期末)如图，地图上有三个小区，现在明明要开一间超市，要求超市到三个小区的距离都相等，你觉得小明如何选址呢？（    ） A．三条边的中线的交点 B．三条边的高线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个内角的角平分线的交点 【变式训练5-2】(25-26九上·陕西榆林第六中学·月考)如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练5-3】(24-25八下·陕西西安高新陆港中学·月考)已知公路l的两侧有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车上落站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站的位置． 【变式训练5-4】如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果，，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来． 【变式训练5-5】(24-25八上·广东深圳·期末)如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹． 题型六：尺规作图作垂直平分线 【例题6】如图，已知． (1)利用尺规作图作出的边上的中线（其中点在边上，只保留作图痕迹，不必写出作法）； (2)若，且中线恰好将的周长分成16和11的两部分，求边的长． 【变式训练6-1】(24-25七下·宁夏银川灵武·期末)如图，在中． (1)作边的垂直平分线，分别与相交于点D、E（尺规作图，保留痕迹）． (2)若，求的周长． 【变式训练6-2】(24-25八上·广东汕头·期末)如图，在四边形中，． (1)连接，作的垂直平分线，分别交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（）的条件下，连接，求证：． 【变式训练6-3】(2025·广东省肇庆市·一模)如图，点，在线段上，且，，． (1)求证：； (2)在线段，上分别找出点，，依次连接点，，，，使得到的四边形为菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【变式训练6-4】(24-25七下·山东淄博张店区科技苑中学（五四学制）·月考)如图，在中，． (1)在边上找到一点E，使它到两点A、B的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的周长． 【变式训练6-5】(24-25七下·山东烟台·期末)如图，已知，请按下列要求解答问题： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长是，的周长是，求的长． 题型七：垂直平分线综合之最值问题 【例题7】如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 【变式训练7-1】(24-25八上·江西上饶鄱阳县湖城学校·期末)如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练7-2】(24-25七下·广东清远清城区·期末)如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则 【变式训练7-3】(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为 ． 【变式训练7-4】如图，在中，，，，，为的垂直平分线，为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【变式训练7-5】(24-25八下·江西九江第三中学·期末)如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ． 题型八：垂直平分线的判定综合（解答题） 【例题8】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【变式训练8-1】(24-25八下·广东深圳福田区深圳中学梅香学校·期中)如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【变式训练8-2】如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 【变式训练8-3】如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)试说明：垂直平分； (2)若，请问满足什么条件时，？请说明理由． 【变式训练8-4】(24-25八上·云南云天化中学·期中)如图，在四边形中，为的中点，连接、，延长交的延长线于点．    (1)若，求的长； (2)若四边形的面积为，求点到边的距离． 【变式训练8-5】(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 题型九：垂直平分线性质和判定综合压轴题 【例题9】【教材呈现】 (1)如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边上的中线．写出图1中的一个等量关系 ． 【尝试感悟】 (2)小明学了中线这个知识后，遇到这样一个问题：在中，是的中点，求上的中线的取值范围．于是小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到E，使，请完成证明“”的推理过程． ①求证：． ②求的取值范围． 【问题解决】 (3)如图3，在中，是的中线，，且，求长． 【变式训练9-1】在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． (1)如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； (2)如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 【变式训练9-2】(24-25八上·广东佛山顺德区建安中学·期末)（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【变式训练9-3】(24-25八下·山西太原小店区山西大学附属中学校·月考)综合与实践 问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，，，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中点E与点A重合，边与边重合．       初步思考：（1）小丽在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿着射线的方向平移，边与边交于点H，边与直线交于点G．如图2，当点H为边的中点时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； 问题探究：（2）请在图2的基础上进行如下操作：连接，．求证：垂直平分； 拓展延伸：（3）小颖在图1的基础上进行如下操作：，保持不动，将沿着射线的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F平移到的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离． 【变式训练9-4】(24-25八上·浙江金华横店镇横店第一初级中学两校区联考·月考)（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【变式训练9-5】(24-25八上·重庆荣昌区宝城初级中学·期中)八年级某班兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【阅读理解】如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小聪同学是这样思考的：延长至点，使，连接，利用全等将边转化到，在中利用三角形的三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是：________；中线的取值范围是________． (2)【理解与应用】如图（2），在中，点是的中点，，，其中，连接，试探索与的数量关系，并说明理由． (3)【问题解决】如图（3），在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若，试猜想线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6线段垂直平分线的性质九大题型（一课一讲） 线段垂直平分线的定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 如图所示，直线l⊥ AB于点D，且AD ＝BD，直线l就是线段AB的垂直平分线。 垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 题型一：利用垂直平分线的性质求周长 【例题1】如图，在中，垂直平分，连接，的周长为20，的周长比四边形的周长多10，则线段的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用的周长为20得到，接着利用得到，所以，然后解方程即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为20， ∴， ∴， ∵的周长比四边形的周长多10， ∴， 即， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 【变式训练1-1】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期末)如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，则的周长为（   ）cm． A．8 B．2 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于D、E， ∴， ∵，， ∴的周长为； 故选A． 【变式训练1-2】(2025·湖北省荆州市沙市·三模)如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质， 根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴周长为． 故选：B． 【变式训练1-3】(23-24八上·山东菏泽曹县·期中)如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握其运用是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，则，可得的值，根据的周长的计算方法即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，即， ∴， ∵的周长为，且， ∴． 故选：C． 【变式训练1-4】(24-25八下·湖南长沙·模拟)如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，则的长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出、是解此题的关键． 根据线段垂直平分线性质得出，，求出即可． 【详解】解：∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故答案为：32． 【变式训练1-5】(24-25七下·陕西咸阳渭城区底张镇·期末)如图，在中，点在上，连接，过点作交于点，．的周长为5，则的周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查中垂线的性质．熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 由题意可知，是线段的线段垂直平分线，进而得到，由的周长得出，结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为5， ∴， ∴的周长， 故答案为：7． 题型二：利用垂直平分线的性质求线段长度 【例题2】如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，而，即可求出本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长， ， ． 故答案为：． 【变式训练2-1】(24-25七下·河南郑州莲湖外国语学校·月考)如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 同理可得：， 的周长为9， ， ， ， ， 故答案为：7． 【变式训练2-2】如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．连接，，根据角平分线的性质可得，，，得到，即可得，然后根据垂直平分线的性质可得，则可通过证明，得到，然后即可得到答案. 【详解】解：连接，， ∵是的平分线，，， ∴，，，     ∴， ∴，     ∵是的垂直平分线，     ∴，     ∴，     ∴，     ∴，     ∵，，     ∴． 故答案为：． 【变式训练2-3】如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，，由此计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式训练2-4】如图，已知，点D，E分别在的垂直平分线上，且D，A，E三点共线，若四边形的周长为20，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，得到，再根据四边形的周长为20即可求出的长． 【详解】解：∵点D，E分别在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴ ∵四边形的周长为20， ∴， 即， 解得， 故答案为： 【变式训练2-5】(24-25七下·广东深圳坪山区·期末)如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质. 通过延长构造全等三角形，利用平行线性质和中点条件证，转化线段为，结合及，得垂直平分，推出，最后计算CE． 【详解】解：连接，并延长 交 延长线于 ， 因为， 所以， 又是中点， 即， 且， ∴ 则 ， 点 在 垂直平分线上， 故 ， 由 ， 是 中点， 得 ， 所以 ． 故答案为：3． 题型三：垂直平分线的性质综合（解答题） 【例题3】如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键. （1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，等量代换得到； （2）根据三角形周长公式求出，再根据（1）中结论计算，得到答案． 【详解】（1）垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）的周长为， ， ， ， ，， ， ， 即． 【变式训练3-1】(24-25八上·河北邢台信都区·月考)如图，在中，，是的平分线，交于点，垂足为．求证： (1)是线段的垂直平分线； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）要证是线段的垂直平分线，需证垂直（已知）且平分，即证，可通过证明来实现． （2）利用（1）中全等及垂直关系，结合同角的余角相等，推导与的等量关系． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴（） ∴ 又∵，即垂直且平分 ∴是线段的垂直平分线 （2）证明：由（1）知， ∴． ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，，； 在中，，． ∴． 【变式训练3-2】如图，平分，P是上任意一点，过P向，作垂线，垂足分别为D，E，连接．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，先证明，可得，，再证明，得到，，进而即可得出结论． 【详解】证明：平分，，， 则在和中， ，，， ， ，， 则在和中， ，，， ， ，， 垂直平分， 即垂直平分． 【变式训练3-3】(24-25八·广东珠海第十一中学·月考)如图，在四边形中，E为边上的一点，垂直平分，垂直平分． (1)求的度数； (2)与交于点F，若，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出．再证明，得到．然后根据根据平角的定义，可得答案； （2）证明， 得到，再根据，则可由，得出结论． 【详解】（1）解∶∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ． 【变式训练3-4】(24-25八上·广东东莞翰林实验学校·期末)已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，则的长为 ； (2)若，，求的长； (3)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． （1）直接根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，再求出即可求解； （3）先根据的周长为求出，由线段垂直平分线的性质得，进而可求出的长． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ． 故答案为：3； （2）解：垂直平分， ， ，， ， ． （3）解：的周长为，， ， 垂直平分， ， ． 【变式训练3-5】(24-25八上·河北石家庄新乐新乐中山中学·月考)如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 尺规作图作线段垂直平分线 作法（如图所示）： 1.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D。 2.作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线。 题型四：垂直平分线与尺规作图综合 【例题4】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 故选：C． 【变式训练4-1】(24-25六·山东威海荣成16校联盟（五四制）·月考)如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图：作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ， ， ， ∴， ∵，，， ∴． 故选：C． 【变式训练4-2】(23-24七下·贵州毕节赫章县·期末)如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，分别交、于点、，连接，若，则的周长为（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得垂直平分，则，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 【变式训练4-3】(24-25八上·福建莆田哲理中学·月考)如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图及性质．由作图可知，是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据的周长公式即可解答． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长． 故选：C． 【变式训练4-4】(24-25九上·黑龙江哈尔滨第五十五中学·月考)如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，，，则的周长为（   ） A．5 B．11 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查尺规作垂线、线段垂直平分线的性质，根据作图痕迹可得垂直平分，进而求解三角形的周长即可． 【详解】解：由作图得垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故选：D． 【变式训练4-5】(2025·江苏省盐城市·三模)如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图痕迹可知直线是的垂直平分线，射线是的平分线．先由线段垂直平分线知，再用三角形外角性质求出，再用三角形内角和求出，然后用角平分线求出，最后根据三角形的内角和求出．本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由作图痕迹可知直线是的垂直平分线，射线是的平分线． ， ， ， ∵中，，， ， ， ． 故选：B 题型五：垂直平分线的判定之选址问题 【例题5】如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 【变式训练5-1】(24-25八上·湖北武汉七一华源中学·期末)如图，地图上有三个小区，现在明明要开一间超市，要求超市到三个小区的距离都相等，你觉得小明如何选址呢？（    ） A．三条边的中线的交点 B．三条边的高线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个内角的角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形重心、垂心、内心及线段垂直平分线性质，关键理解线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个超市的距离相等，再满足到两个超市的距离相等，交点即可得到． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 【变式训练5-2】(25-26九上·陕西榆林第六中学·月考)如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的性质的应用等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求． 【变式训练5-3】(24-25八下·陕西西安高新陆港中学·月考)已知公路l的两侧有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车上落站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据上落站到两个村庄的距离相等可得公交站位置为线段的垂直平分线与公路的交点，故连接，作出线段的垂直平分线与公路相交，交点即为公交站的位置． 【详解】解：如图点的位置即为公交站的位置， 【变式训练5-4】如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果，，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形，线段垂直平分线的性质，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质． 根据题意，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，将已知三角形划分为三个全等的三角形即可． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则、和大小、形状都相同． 证明：∵，， ∴， 如图，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴、和大小、形状都相同． 【变式训练5-5】(24-25八上·广东深圳·期末)如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质， 先分别以A，B为圆心，以大于的半径画圆，然后连接两交点的直线交河面的点即为小水塘的位置，根据线段垂直平分线的性质即可得出小水塘的位置到A、B两块田地的距离相等． 【详解】解：小水塘的位置如下图所示： 题型六：尺规作图作垂直平分线 【例题6】如图，已知． (1)利用尺规作图作出的边上的中线（其中点在边上，只保留作图痕迹，不必写出作法）； (2)若，且中线恰好将的周长分成16和11的两部分，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查作图基本作图，尺规作中垂线，三角形中线的概念，掌握垂直平分线的作图方法是解题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点D，连接，即为所求； （2）根据题意得到，然后由中点得到，得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）又点为边中点， ， ，中线恰好将的周长分成16和11的两部分， 得，， ， ， ， ． 【变式训练6-1】(24-25七下·宁夏银川灵武·期末)如图，在中． (1)作边的垂直平分线，分别与相交于点D、E（尺规作图，保留痕迹）． (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质： （1）根据尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可； （2）线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得，等量代换可得． 【详解】（1）解：边的垂直平分线如图： （2）解：如图，连接， 是边的垂直平分线， ， ， 即的周长为14． 【变式训练6-2】(24-25八上·广东汕头·期末)如图，在四边形中，． (1)连接，作的垂直平分线，分别交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用基本作图作垂直平分线即可； （）连接，，设与交于点，由作图可知，，，通过平行线性质可得，然后证明，则有，再代入即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：如图，连接，，设与交于点， 由作图可知垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练6-3】(2025·广东省肇庆市·一模)如图，点，在线段上，且，，． (1)求证：； (2)在线段，上分别找出点，，依次连接点，，，，使得到的四边形为菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作垂直平分线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后证明，再由“”证明即可得出结论； （）作垂直平分线即可，然后通过菱形的判定方法即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图，四边形即为所求； 理由：由作图可知，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形即为所求． 【变式训练6-4】(24-25七下·山东淄博张店区科技苑中学（五四学制）·月考)如图，在中，． (1)在边上找到一点E，使它到两点A、B的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）作出线段的垂直平分线交于点E，则点E即为所求； （2）根据垂直平分线的性质和三角形周长公式进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示：点E即为所求； （2）垂直平分， ， 的周长． 【变式训练6-5】(24-25七下·山东烟台·期末)如图，已知，请按下列要求解答问题： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长是，的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查线段垂直平分线的画法，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的画法和性质． （1）分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两个交点作直线即可； （2）由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，两个三角形的周长作差，即可得的长． 【详解】（1）解：分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点和点，过点和点作直线，直线即为线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接，如下图： （2）解：∵的周长是， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 答：的长为． 题型七：垂直平分线综合之最值问题 【例题7】如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可． 【详解】解：作于点，连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为， 等腰三角形的底边长为2，面积为5， ， ， 的最小值为5． 故选：C． 【变式训练7-1】(24-25八上·江西上饶鄱阳县湖城学校·期末)如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，连接，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 根据两点之间线段最短，则，最小，此时点P与点E重合， 所以的最小值即为的长，为4． 即的最小值为4． 故选：B． 【变式训练7-2】(24-25七下·广东清远清城区·期末)如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形的三边关系的应用，先证明，结合周长的最小值是17，，可得的最小值为：，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接， 垂直平分线段， ， ∵周长的最小值是17，， ∴的最小值为：， 此时， ∴. 故答案为： 【变式训练7-3】(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，则，当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，由面积公式可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练7-4】如图，在中，，，，，为的垂直平分线，为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则由三角形周长公式可得的周长，则当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵为的垂直平分线，点为直线上的任意一点， ∴， ∴的周长， 当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 【变式训练7-5】(24-25八下·江西九江第三中学·期末)如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点、、三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故答案为：13． 题型八：垂直平分线的判定综合（解答题） 【例题8】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【变式训练8-1】(24-25八下·广东深圳福田区深圳中学梅香学校·期中)如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 【变式训练8-2】如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角： （1）先证明是的垂直平分线，等边对等角求出的度数，再结合三角形的外交以及中垂线的性质，等边对等角求出的度数即可； （2）先求出的长，再根据线段的转化，得到，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式训练8-3】如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)试说明：垂直平分； (2)若，请问满足什么条件时，？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定等知识点 （1）由题意，证明再证明，得到，且，即可推出结论； （2）由已知推出，证明再由三角形内角和推出，即可推出结论． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，且， ∴垂直平分． （2）当时，． 理由：当时，． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴当时，． 【变式训练8-4】(24-25八上·云南云天化中学·期中)如图，在四边形中，为的中点，连接、，延长交的延长线于点．    (1)若，求的长； (2)若四边形的面积为，求点到边的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定： （1）首先根据可知，再根据点为的中点可得,进而证得，结合全等三角形的性质可知是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证得，再由线段的和差以及等量代换即可证明结论； （2）首先根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的性质，可得，，，再根据，即可求得，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：， ， 又点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 又， 是线段的垂直平分线， ，即． （2）解：， ， 是线段的垂直平分线 ，， ，即， 设点E到边的距离为h， 则，解得， ∴点到边的距离为． 【变式训练8-5】(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，， ∴ ． 题型九：垂直平分线性质和判定综合压轴题 【例题9】【教材呈现】 (1)如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边上的中线．写出图1中的一个等量关系 ． 【尝试感悟】 (2)小明学了中线这个知识后，遇到这样一个问题：在中，是的中点，求上的中线的取值范围．于是小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到E，使，请完成证明“”的推理过程． ①求证：． ②求的取值范围． 【问题解决】 (3)如图3，在中，是的中线，，且，求长． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)6 【分析】本题主要考查了中线的定义，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的性质和判定，构造全等三角形来解决中线的取值范围和求解线段长度的问题，构造辅助线是解本题的关键． （1）根据中线的定义求解即可． （2）①利用已知条件证明即可；②根据三角形三边关系可得，再用全等三角形的性质可得的取值范围． （3）延长交的延长线于F，求证，可得出，再利用垂直平分线的性质即可求得的长． 【详解】（1）解：是的边上的中线， ， 故答案为：； （2）①由（1）可得， 在和中， ， ， ②， ， 在中，， 根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边， 即， ， ， ； （3）延长交的延长线于F，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ． 【变式训练9-1】在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． (1)如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； (2)如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 【答案】(1)①证明见解析②证明见解析 (2)，画图见解析 【分析】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形全等等知识，解题的关键是对垂直平分线、三角形全等的运用． （1）①作的平分线交于点Q， 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点，易得，，结合对顶角的知识解答即可；通过证明、，进而解答即可；②由①可得，，运用等量代换，进而解答即可； （2）通过证明、，得到，，运用等量代换，进而解答即可． 【详解】（1）证明：①如图．作的平分线交于点Q， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，， ． ，， 在与中 ． 在与中 ． ． ， ． ． ． ②，， ，． ， ． （2）证明∶如图．作的平分线交于点K．， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，即． 在和中 ． ，． 在和中 ． ． ， ． 【变式训练9-2】(24-25八上·广东佛山顺德区建安中学·期末)（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键； （1）利用线段垂直平分线定理的逆定理； （2）连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），证明得到，则，然后根据线段垂直平分线的判定定理可判断垂直平分； （3）如图（3），连接、、、，与相交于，延长交于，则为所作． 【详解】（1）证明：∵，， 直线垂直平分； 故答案为，； （2）如图，连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），则为的垂直平分线． 理由如下： ， ， ，， ， ， ， 而， 垂直平分； （3）如图（3），为所作． 【变式训练9-3】(24-25八下·山西太原小店区山西大学附属中学校·月考)综合与实践 问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，，，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中点E与点A重合，边与边重合．       初步思考：（1）小丽在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿着射线的方向平移，边与边交于点H，边与直线交于点G．如图2，当点H为边的中点时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； 问题探究：（2）请在图2的基础上进行如下操作：连接，．求证：垂直平分； 拓展延伸：（3）小颖在图1的基础上进行如下操作：，保持不动，将沿着射线的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F平移到的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1），理由见解析（2）详见解析（3）或 【分析】（1）利用中点的含义与含的直角三角形的性质可得结论； （2）如图，连接，证明，再利用线段的垂直平分线的判定即可得到答案； （3）①当点F落在边所在直线上时，如图，②当点F落在边所在直线上时，如图，再进一步利用全等三角形的性质，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）．理由：在中，，，， 点H为边的中点， ， ． （2）证明：如图，连接， 由平移可知：， ， ， ， 在与中： ， ， ， 点G在的垂直平分线上， ， 点D在的垂直平分线上， 垂直平分． （3）或．理由如下： ①当点F落在边所在直线上时，如图， 由平移可知：， ，， ∴，而，， ， ， 在中，，，， ∴， ， ， 在中，，， ， ； ②当点F落在边所在直线上时，如图， 过点E向边所在直线作垂线，交边所在直线于点H， 由平移可知：， ， ， ， 在中，，， 同理：， ． 综上，平移距离为或． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 【变式训练9-4】(24-25八上·浙江金华横店镇横店第一初级中学两校区联考·月考)（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；理由见解析 （2）详见解析 （3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接，．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）；理由如下： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，，且， ， ， ， ； （2）证明：延长到，使得，连结，． 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：．理由如下： 延长到，使得， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式训练9-5】(24-25八上·重庆荣昌区宝城初级中学·期中)八年级某班兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【阅读理解】如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小聪同学是这样思考的：延长至点，使，连接，利用全等将边转化到，在中利用三角形的三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是：________；中线的取值范围是________． (2)【理解与应用】如图（2），在中，点是的中点，，，其中，连接，试探索与的数量关系，并说明理由． (3)【问题解决】如图（3），在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若，试猜想线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由证明得出，再由三角形三边关系即可得解； （2）延长至，使得，连接，由（1）可得：，得出，，再证明，得出，即可得解； （3）延长至，使得，连接、，同（1）可得：得出，由线段垂直平分线的性质可得，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：延长至点，使，连接， ， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 如图，延长至，使得，连接， ， 由（1）可得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，延长至，使得，连接、， ， 同（1）可得：， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $