专题1.5.2全等三角形的判定十二大题型（（第2课时 “SAS”）（一课一讲）2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

专题1.5.2全等三角形的判定十二大题型（一课一讲） （第2课时 全等三角形的判定“SAS”） 1.“SAS”判定定理 内容：指两个三角形的两条边及它们的夹角对应相等，则这两个三角形全等（记作SAS）。 数学表达： 在△ABC和△DEF中，若满足：，则△ABC≌ △DEF（SAS）。 题型一：利用“SAS”作为判断依据 【例题1】(24-25七下·山西晋中左权县·期末)如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，得到，再测得的长，就是的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】(24-25七下·福建宁德福鼎·期末)如图是雨伞在开合过程中的截面图．测得，点，分别是，的三等分点，．则的依据是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】(24-25八下·福建莆田仙游县初中第四教研片区·月考)如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-4】(24-25八上·福建泉州石狮·期末)数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】(24-25八上·浙江温州龙湾私立学校联考·期中)如图，延长，在的延长线上截取，延长，在的延长线上截取，则这两个三角形全等的依据是 （写出全等依据的简写）．    题型二：利用“SAS”判断三角形的全等 【例题2】能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】如图，甲、乙、丙中的三角形与全等的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【变式训练2-2】(24-25七下·山西晋中太谷县·期末)据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】(24-25八上·江苏盐城盐都区第一共同体·月考)根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练2-4】(24-25八上·安徽马鞍山东方实验学校·期末)如图，已知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【变式训练2-5】(24-25八上·山西朔州怀仁·期中)小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他的画图过程说明（   ） A．两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等 B．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 题型三：添加一个条件使得三角形全等（SAS） 【例题3】如图，与相交于点O，，若用“”说明，则还需添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】(24-25八上·吉林延边朝鲜族·期中)如图，点A、E、B、D在同一条直线上，，，若利用“SAS”来判定，则需补充一个条件： ． 【变式训练3-2】(23-24八上·江苏南京力人学校·月考)如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 【变式训练3-3】(23-24八上·重庆万州区·期末)如图，已知平分，添加一个条件后能够运用“”的方法判定，则这个条件是 【变式训练3-4】(23-24八上·湖南湘西土家族苗族花垣县华鑫学校·月考)全等三角形是几何证明很重要的数学工具，如图所示的两个三角形中，，，再添加一个条件 就可以判定．    【变式训练3-5】(23-24八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在中，点是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点，，连接，．添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（不添加辅助线） 题型四：利用“SAS”证明三角形全等（解答题） 【例题4】(24-25七下·山东东营利津县·期中)如图，已知，． 求证： (1)； (2)． 【变式训练4-1】如图，点是线段的中点，，．求证：． 【变式训练4-2】(24-25七下·上海普陀区万里城实验学校·月考)如图，已知，，，证明．    【变式训练4-3】如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式训练4-4】(24-25七下·上海崇明区九校·期中)如图，已知，，，，求证： 【变式训练4-5】(24-25七下·甘肃兰州第五十六中学·期中)如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 题型五：利用“SAS”证明三角形全等求角度 【例题5】(25-26八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中)如图所示，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】(25-26八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·月考)如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】如图，，点D在边上，与相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)如图，已知，垂足为，且，，，则 ． 【变式训练5-4】(24-25八上·福建莆田荔城区莆田第九中学·月考)如图，已知，，，则 ． 【变式训练5-5】(24-25八上·四川广元昭化区广元民盟烛光初级中学·月考)如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则 ． 题型六：网格中求角度问题 【例题6】(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】(24-25八上·浙江宁波北仑区五校联考·期中)如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则 ． 【变式训练6-2】(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 【变式训练6-3】(24-25七下·吉林第二实验学校（高新、朝阳校区）·月考)如图，在的正方形网格中， ． 【变式训练6-4】(24-25七下·甘肃兰州第五十六中学·期中)如图，在的正方形网格中，等于 ． 【变式训练6-5】(24-25八上·河北秦皇岛第十六中学·期中)如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是 ． 题型七：利用“SAS”证明三角形全等求线段长度 【例题7】如图，为了测量池塘两边的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点，测得的度数，在的另一侧取一点，使，，测得的长为，则之间的距离为 ． 【变式训练7-1】茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm． 【变式训练7-2】(24-25八上·江苏如皋经济技术开发区实验初中·期中)如图，，，，，，则的长为 ． 【变式训练7-3】(23-24八上·广东广州花都区·期末)如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，则与的周长差是 ． 【变式训练7-4】如图，在中，，是它的高，点E是外一点，连接，，，在上截取，使得，连接．若，，则的面积为 ． 【变式训练7-5】(24-25七下·广东揭阳揭西县·期末)小明用同种材料制成的金属框架如图所示（点B，F，C，E在同一直线上，），已知，，，其中框架的质量为，的质量为，则整个金属框架的质量为 题型八：全等三角形的综合判定 【例题8】(24-25七下·广东佛山南海外国语学校·期中)如图，，是的高，点在直线上，在直线上，且，． (1)猜想与的大小关系，并证明你的结论． (2)判断与有何特殊的位置关系？并证明你的结论． 【变式训练8-1】(24-25八上·天津东丽区·期末)如图，已知点C是线段上一点，，，E是AC上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式训练8-2】(23-24八上·湖南永州新田县·期末)如图，，，，，相交于点M，连接． (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数． 【变式训练8-3】(24-25八上·广东湛江某校·期末)如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 【变式训练8-4】(24-25七下·陕西铜川耀州区药王山中小学·月考)如图，交于点是上一点，且． (1)试说明． (2)若，求的度数． 题型九：利用“SAS”证明三角形全等求取值范围 【例题9】(24-25八上·四川泸州合江县第五片区·期末)如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练9-1】(25-26八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·月考)中，边上的中线，则a的取值范围是 【变式训练9-2】(24-25八上·江苏泗阳县实验初级中学·月考)已知中，，为边上的中线，中线的最小整数值为 ． 【变式训练9-3】(24-25八下·湖南湘西州古丈县·月考)中，，，则中线的取值范围是 ． 【变式训练9-4】(24-25八上·辽宁盘锦第一完全中学·期中)在中，，则的中线取值范围是 ． 题型十：全等三角形中最值问题 【例题10】(24-25七下·江苏淮安淮安经济技术开发区开明中学·期中)如图，在和中，，，且点B、C、E在同一条直线上．点P是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【变式训练10-1】如图，在中，，，．如果点在的平分线所在的直线上，那么的最大值为 ． 【变式训练10-2】(24-25七下·山东济南钢城区·期末)如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【变式训练10-3】如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 【变式训练10-4】(24-25八上·江苏苏州立达中学·期中)如图，在中，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，当最小时，的度数是 ． 【变式训练10-5】(24-25八上·江苏南通八一中学·月考)如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ．    题型十一：全等三角形中动点问题 【例题11】(24-25七·河南郑州/（郑州经济技术开发区）·期末)如图，与相交于点C，，，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ． 【变式训练11-1】(24-25七下·河南郑州管城区·期末)在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，足够长，于点A，于点B，点D从点B出发向点A运动，同时点E从点B出发向点N运动，且D，E运动的速度之比为，当个两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 ． 【变式训练11-2】(24-25七下·河南焦作·期末)如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为 秒时，和全等． 【变式训练11-3】(24-25七下·广东深圳实验学校·期中)如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．    【变式训练11-4】(24-25七下·河南实验中学·期中)如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s． 【变式训练11-5】(24-25八上·海南昌江思源实验学校·期中)如图，与相交于点C，厘米，点P从点A出发，沿方向以2厘米/秒的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以1厘米/秒的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．当点P在运动时， 厘米（用含的代数式表示）；当P，Q，C三点共线时，t的值为 题型十二：全等三角形中压轴题 【例题12】(23-24七下·贵州毕节赫章县·期末)如图，在和中，．点在边上，连接． (1)如图1，若是锐角，，则___________； (2)如图2，若是直角，试说明：； (3)在（2）的条件下，若点到边的距离为18，求点到的距离． 【变式训练12-1】(23-24八上·广东中山南朗街道·期中)阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 【变式训练12-2】(24-25七下·山东济南历城区唐冶中学·月考)【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_________； A．；B．；C．；D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______； A．；B．；C．；D．． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________． 【变式训练12-3】(24-25七下·江苏泰州泰兴·期末)中，，，点从点以的速度沿着射线方向平移，到点停止平移，同时，点也以的速度从点沿着射线平移，到点停止平移． (1)如图，求证： ； (2)在直线上一定存在一个点，使和的面积始终相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中作出点； (3)将沿着翻折至． 若，，则 ______（2）中所作的点填“经过”或“不经过”，此时，的度数为______； 探索、、之间的数量关系． 【变式训练12-4】（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 【变式训练12-5】(24-25七下·辽宁沈阳第四十三中学·期中)数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________． (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________． (4)实践应用：正方形中，若平面内存在点满足，则的面积为___________． 【变式训练12-6】(24-25七下·辽宁沈阳南昌中学·期中)问题探究：（1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用：（2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 1 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5.2全等三角形的判定十二大题型（一课一讲） （第2课时 全等三角形的判定“SAS”） 1.“SAS”判定定理 内容：指两个三角形的两条边及它们的夹角对应相等，则这两个三角形全等（记作SAS）。 数学表达： 在△ABC和△DEF中，若满足：，则△ABC≌ △DEF（SAS）。 题型一：利用“SAS”作为判断依据 【例题1】(24-25七下·山西晋中左权县·期末)如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，得到，再测得的长，就是的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据题意可得，，结合公共边，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：A． 【变式训练1-1】(24-25七下·福建宁德福鼎·期末)如图是雨伞在开合过程中的截面图．测得，点，分别是，的三等分点，．则的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用证明三角形全等，由已知条件可得出，再加上，即可得出． 【详解】解：∵，点，分别是，的三等分点， ∴， 又∵，， ∴， 故选：D 【变式训练1-2】如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 【变式训练1-3】(24-25八下·福建莆田仙游县初中第四教研片区·月考)如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要全等三角形的判定，由O是的中点，可得，再有对顶角相等，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B． 【变式训练1-4】(24-25八上·福建泉州石狮·期末)数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理或基本事实是“”， 故选：A． 【变式训练1-5】(24-25八上·浙江温州龙湾私立学校联考·期中)如图，延长，在的延长线上截取，延长，在的延长线上截取，则这两个三角形全等的依据是 （写出全等依据的简写）．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用证明三角形全等成为解题的关键． 由已知条件可得、，再结合对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：在核对中， ， ∴． 故答案为：． 题型二：利用“SAS”判断三角形的全等 【例题2】能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定条件逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、B、C中的条件都是，不能判定两个三角形是否全等，故不符合题意 D、满足“”，所以，符合题意， 故选：D． 【变式训练2-1】如图，甲、乙、丙中的三角形与全等的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【答案】B 【分析】本题主要考查全等的判定，解此题需要能熟练运用全等的判定，根据全等三角形的判定定理依次判断即可． 【详解】解：对甲，两边及一边的对角相等，根据无法判定全等； 对乙，可以用判定全等； 对丙，相等的两边所夹角度不相等，无法判定全等； 故答案为：B． 【变式训练2-2】(24-25七下·山西晋中太谷县·期末)据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：, , 在和中， ， ． 故选B． 【变式训练2-3】(24-25八上·江苏盐城盐都区第一共同体·月考)根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定条件，可确定三角形的形状和大小，即可． 【详解】解：A、，，，的大小不能确定，不符合题意； B、，，， 的形状和大小不能确定，不符合题意； C、，，，的形状和大小不能确定，不符合题意； D、，，，根据可以判定，的形状和大小能确定，符合题意． 故选：D． 【变式训练2-4】(24-25八上·安徽马鞍山东方实验学校·期末)如图，已知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握利用“”来判定三角形全等是解题的关键．已知，即知，也就是已知两个三角形两边对应相等，只要添加夹角相等的相关条件即可． 【详解】， ， ，， ， ②正确； ， ， 根据②，即可判断， ④正确； 添加或，均不能满足“”， ①和③均错误； 可以利用的是②④． 故选：B． 【变式训练2-5】(24-25八上·山西朔州怀仁·期中)小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他的画图过程说明（   ） A．两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等 B．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形有两条边和其中一边对角相等，但这两个三角形不全等， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角相等，这两个三角形不一定全等， 故选：A． 题型三：添加一个条件使得三角形全等（SAS） 【例题3】如图，与相交于点O，，若用“”说明，则还需添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定：判定一般三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”，需熟练掌握． 要用“”判定，根据已知条件，则要有． 【详解】解：∵，， ∴用“”判定，要补充． 故选：D． 【变式训练3-1】(24-25八上·吉林延边朝鲜族·期中)如图，点A、E、B、D在同一条直线上，，，若利用“SAS”来判定，则需补充一个条件： ． 【答案】或 【分析】本题主要考查添加条件利用“SAS”来判定三角形的全等，利用已知可得，结合条件再找到一组对边相等即可，若添加或即可证明． 【详解】解：补充一个条件为：或． 证明：∵， ∴， 若，则，即， 在与中， ∵， ∴． 故答案为：或． 【变式训练3-2】(23-24八上·江苏南京力人学校·月考)如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据“”添加条件即可． 【详解】解：需添加的条件为：；理由如下： 在与中， ， ∴（）； 故答案为：． 【变式训练3-3】(23-24八上·重庆万州区·期末)如图，已知平分，添加一个条件后能够运用“”的方法判定，则这个条件是 【答案】/ 【分析】本题考查三角形全等的判定方法（），注意利用判定两个三角形全等时，必须是两边及其夹角对应相等是解题的关键． 由角平分线的性质可得，要运用定理使，由于是公共边，则需添加条件． 【详解】解：∵平分， ∴， 添加时，证明的理由如下： 在与中， ， ∴； 故答案为：． 【变式训练3-4】(23-24八上·湖南湘西土家族苗族花垣县华鑫学校·月考)全等三角形是几何证明很重要的数学工具，如图所示的两个三角形中，，，再添加一个条件 就可以判定．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定条件有 “、、、”判定方法，根据题目要求，选择恰当的证明方法以及满足的条件即可，熟练掌握三角形全等判定条件是解答本题的关键． 【详解】解：∵题目已经限制只能用“”方法证明三角形全等， 又∵且 ∴只有， 满足以上三个条件则可证 答案为：． 【变式训练3-5】(23-24八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在中，点是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点，，连接，．添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（不添加辅助线） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察题干已有条件：点是的中点，以及对顶角相等，故添加，即可通过证明． 【详解】解：添加的条件是， ∵点是的中点， ∴ ∵， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 题型四：利用“SAS”证明三角形全等（解答题） 【例题4】(24-25七下·山东东营利津县·期中)如图，已知，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线的性质得，从而利用判定； （2）根据全等三角形的性质得，由等角的补角相等可得，再由平行线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ． 【变式训练4-1】如图，点是线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据，，即可证明． 【详解】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴． 【变式训练4-2】(24-25七下·上海普陀区万里城实验学校·月考)如图，已知，，，证明．    【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由得到，然后由平行线的性质得到，即可由证明全等． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练4-3】如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据，可得，再由，可得，再由边角边可证得，即可求解． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 【变式训练4-4】(24-25七下·上海崇明区九校·期中)如图，已知，，，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由垂线的定义得到，则可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【变式训练4-5】(24-25七下·甘肃兰州第五十六中学·期中)如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先证出，再利用定理即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 题型五：利用“SAS”证明三角形全等求角度 【例题5】(25-26八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中)如图所示，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 先证明，得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练5-1】(25-26八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·月考)如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，进而得到，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【变式训练5-2】如图，，点D在边上，与相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．证明，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C 【变式训练5-3】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)如图，已知，垂足为，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，即可求出 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 同理可证 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【变式训练5-4】(24-25八上·福建莆田荔城区莆田第九中学·月考)如图，已知，，，则 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．通过证明得到，再根据角的和差关系以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式训练5-5】(24-25八上·四川广元昭化区广元民盟烛光初级中学·月考)如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质及平角的定义推出是解题的关键．由，，可得，根据已知条件可推出，从而可知，再根据平角的定义及三角形内角和推出，即可得解． 【详解】解： ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 题型六：网格中求角度问题 【例题6】(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 【变式训练6-1】(24-25八上·浙江宁波北仑区五校联考·期中)如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则 ． 【答案】90 【分析】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．证明，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：如图， ∴，，， ， ， ， ， ， 故答案为：90． 【变式训练6-2】(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 【答案】/105度 【分析】利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【详解】解：个边长相等的正方形的组合图形，如图， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练6-3】(24-25七下·吉林第二实验学校（高新、朝阳校区）·月考)如图，在的正方形网格中， ． 【答案】/90度 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据网格特点，证明，得到，进而得到即可． 【详解】解：如图，由图可知： ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式训练6-4】(24-25七下·甘肃兰州第五十六中学·期中)如图，在的正方形网格中，等于 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．如图（见解析），先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图 由题意得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练6-5】(24-25八上·河北秦皇岛第十六中学·期中)如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质．如图，利用网格得出，则，即可求出答案． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ， 故答案为：． 题型七：利用“SAS”证明三角形全等求线段长度 【例题7】如图，为了测量池塘两边的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点，测得的度数，在的另一侧取一点，使，，测得的长为，则之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练7-1】茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，首先证明，可得，即可知与的周长相等，从而得整个金属框架所需这种材料的长度为的周长的2倍减去长度即可． 【详解】解： ， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为，， 制成整个金属框架所需这种材料的长度为， 故答案为：45． 【变式训练7-2】(24-25八上·江苏如皋经济技术开发区实验初中·期中)如图，，，，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】在和中， ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 【变式训练7-3】(23-24八上·广东广州花都区·期末)如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，则与的周长差是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题的关键．先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解： 为的中线， ， 在和中， ， ， ， ， 与的周长差是 ， 故答案为：8． 【变式训练7-4】如图，在中，，是它的高，点E是外一点，连接，，，在上截取，使得，连接．若，，则的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意先证明，进一步推得，再证明，求出的长，即可利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：，是高， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ∴， ∵， ． 故答案为：． 【变式训练7-5】(24-25七下·广东揭阳揭西县·期末)小明用同种材料制成的金属框架如图所示（点B，F，C，E在同一直线上，），已知，，，其中框架的质量为，的质量为，则整个金属框架的质量为 【答案】/克 【分析】本题考查全等三角形判定及性质的应用，根据已知条件证出，则整个金属框架的质量框架的质量重合部分的质量即可．熟练掌握全等三角形的性质，能够运用其性质求解一些简单的计算问题． 【详解】解∵，， ∵， ∴， ∴， ∴整个金属框架的质量为 ． 故答案为：． 题型八：全等三角形的综合判定 【例题8】(24-25七下·广东佛山南海外国语学校·期中)如图，，是的高，点在直线上，在直线上，且，． (1)猜想与的大小关系，并证明你的结论． (2)判断与有何特殊的位置关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． （1）易证，即可求证，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得； （2）根据全等三角形对应角相等即可求得，结合即可得出，从而得出． 【详解】（1）解：结论：． 理由： ，是的高， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）结论：． 理由：， ， ， ， ， ． 【变式训练8-1】(24-25八上·天津东丽区·期末)如图，已知点C是线段上一点，，，E是AC上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ． 【变式训练8-2】(23-24八上·湖南永州新田县·期末)如图，，，，，相交于点M，连接． (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）证明，即可得出结论； （2）由（1）可知，，在中，，接着证明，最后在中，由即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：∵， ， 在中，， ＝ ， 在中， ． 【变式训练8-3】(24-25八上·广东湛江某校·期末)如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义． （1）利用证得即可得出结论； （2）利用（1）中的结论证得，再根据证，即可得出，从而求出的长，即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 【变式训练8-4】(24-25七下·陕西铜川耀州区药王山中小学·月考)如图，交于点是上一点，且． (1)试说明． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质． （1）先证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据三角形的外角的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）解： 是和的外角， ，， ， ， ， ， ， ． 题型九：利用“SAS”证明三角形全等求取值范围 【例题9】(24-25八上·四川泸州合江县第五片区·期末)如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【变式训练9-1】(25-26八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·月考)中，边上的中线，则a的取值范围是 【答案】 【分析】此题主要考查三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到，使，连接，证明，得到，利用三角形三边关系得到，代入求解即可，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：延长到，使，连接，如图： ∵是中线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【变式训练9-2】(24-25八上·江苏泗阳县实验初级中学·月考)已知中，，为边上的中线，中线的最小整数值为 ． 【答案】 【来源】江苏省泗阳县实验初级中学2021-2022学年八年级数学第一次月考试卷 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，倍长中线构造全等是关键．延长到E，使，证明 ，则，根据三角形的三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：延长到E，使， ∵， ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴，即， ∴中线的最小整数值为， 故答案为： 【变式训练9-3】(24-25八下·湖南湘西州古丈县·月考)中，，，则中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，解答此题的关键是运用“中线倍长法”．延长到E，使，连接，证明，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解：延长到E，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【变式训练9-4】(24-25八上·辽宁盘锦第一完全中学·期中)在中，，则的中线取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系，证明三角形全等是解题的关键．延长到F，使，连接，则易证明，有；利用三角形三边不等关系得，由此即可求得中线取值范围． 【详解】解：如图，延长到F，使，连接， 则； ∵为的中线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由三角形三边不等关系得， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十：全等三角形中最值问题 【例题10】(24-25七下·江苏淮安淮安经济技术开发区开明中学·期中)如图，在和中，，，且点B、C、E在同一条直线上．点P是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接，由平角的定义可得，则，证明得到，则，根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，且点B、C、E在同一条直线上． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为16，即的最小值为16， 故答案为：16． 【变式训练10-1】如图，在中，，，．如果点在的平分线所在的直线上，那么的最大值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．在线段上取点，使得，证明得，再由三角形的三边关系得，从而当，，在同一直线上时，取最大值，从而问题得解． 【详解】如图，在线段上取点，使得，连接． 因为点在的平分线所在的直线上， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为，， 所以． 因为， 所以当点，，在同一直线上时，取最大值为的长， 所以， 所以的最大值为2． 故答案为：2． 【变式训练10-2】(24-25七下·山东济南钢城区·期末)如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作，   平分， ， ， ∴， ， ， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 【变式训练10-3】如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 【变式训练10-4】(24-25八上·江苏苏州立达中学·期中)如图，在中，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，当最小时，的度数是 ． 【答案】53 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点，推出当最小时，点P，点Q分别位于点，点处，的度数为的度数，再求出的度数即可解决问题． 【详解】解：在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， ∴当最小时，点P位于点处，点Q位于点处，的度数为的度数， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时，的度数是， 故答案为：53． 【变式训练10-5】(24-25八上·江苏南通八一中学·月考)如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ．    【答案】3 【分析】本题考查了垂线段最短的性质，角平分线全等模型，熟练掌握各性质并准确确定是解题的关键． 在上取一点，使，连接， 过点作于，易得，根据垂线段最短可知，利用三角形的面积求出，从而得解． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接， 过点作于，   是的平分线， ， ， ， ， ∴， ，， ， 解得， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 题型十一：全等三角形中动点问题 【例题11】(24-25七·河南郑州/（郑州经济技术开发区）·期末)如图，与相交于点C，，，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质构造一元一次方程是解决问题的关键． 先证明和全等得，依题意得， ，根据点P的运动速度和方向有以下两种情况∶①当点P从点A向点B运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，证明和全等得．则，由此解得；②当点P从点B向点A运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，同理证明和全等得，则，由此解得．综上所述即可得出答案． 【详解】解：， ，． 在和中， ． ∵点Q从点D出发，沿DE以的速度向E运动， ． ， 根据点P的运动速度进而方向有以下两种情况： ①当点P从点A向点B运动时，依题意得： ， 此时． 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 在和中， ． ． ，解得：； ②当点P从点B向点A运动时，依题意得： ， 此时， 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 同理证明：． ． ，解得：， 综上所述：当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为或． 【变式训练11-1】(24-25七下·河南郑州管城区·期末)在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，足够长，于点A，于点B，点D从点B出发向点A运动，同时点E从点B出发向点N运动，且D，E运动的速度之比为，当个两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定（）及性质，解题的关键是分两种情况讨论三角形全等时对应边的相等关系． 设运动速度和时间，表达出相关线段长度；​由垂直得直角，确定全等所需的角的条件；​分两种对应边相等的情况，利用判定全等；​列方程求出相关量，进而得到的长度． 【详解】解：设点D，E运动的速度分别为，，它们运动的时间为，则，，， 于点A，于点B， ， 当，时， ， 即， ， ； 当，时， ， 即， ， ； 综上所述，的长为或 故答案为：或 【变式训练11-2】(24-25七下·河南焦作·期末)如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 由矩形的性质可得角度和线段长度，由三角形全等可得对应边相等，结合运动过程进行分类讨论，分别计算不同情形对应的运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵点在延长线上， ∴， 若，则， ∴运动时间， 若，则， ∴运动时间， 故答案为：或． 【变式训练11-3】(24-25七下·广东深圳实验学校·期中)如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．    【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 【变式训练11-4】(24-25七下·河南实验中学·期中)如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s． 【答案】2或4 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论． 先证 ，可得；当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， 当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得 综上可知，t的值为或， 故答案为：2或4． 【变式训练11-5】(24-25八上·海南昌江思源实验学校·期中)如图，与相交于点C，厘米，点P从点A出发，沿方向以2厘米/秒的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以1厘米/秒的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．当点P在运动时， 厘米（用含的代数式表示）；当P，Q，C三点共线时，t的值为 【答案】 8或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、代数式和解一元一次方程的知识，掌握以上知识并会用分类讨论思想是解题的关键．根据题意得：厘米，证明，可得，再证明当P，Q，C三点共线时，，可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：根据题意得：厘米， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵P，Q，C三点共线， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， 当点P在运动时，厘米，此时， ∴， 解得：； 当点P在运动时，厘米，此时， ∴， 解得：； 综上所述，当P，Q，C三点共线时，t的值为8或． 故答案为：；8或 题型十二：全等三角形中压轴题 【例题12】(23-24七下·贵州毕节赫章县·期末)如图，在和中，．点在边上，连接． (1)如图1，若是锐角，，则___________； (2)如图2，若是直角，试说明：； (3)在（2）的条件下，若点到边的距离为18，求点到的距离． 【答案】(1)17 (2)见解析 (3)18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）证明即可求解； （3）根据全等三角形对应边上的高也相等即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：17； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， ∵点到边的距离为18， ∴中边上的高为18， ∴中边上的高为18，即点到的距离为18． 【变式训练12-1】(23-24八上·广东中山南朗街道·期中)阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】求解本题的关键是熟练掌握 “截长补短”的方法，结合全等三角形的判定条件 “”，证明构造的三角形全等， （1）掌握全等三角形的判定，证明，然后，利用三角形三边关系“两边长度之和大于第三边，两边长度之差小于第三边” 即可得出范围； （2）关键是作辅助线，延长到，使，利用全等三角形的判定条件得到和，即可证明结论． 【详解】（1）解：延长到点使，连接，在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：； （2）证明：延长到，使如下图所示， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 【变式训练12-2】(24-25七下·山东济南历城区唐冶中学·月考)【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_________； A．；B．；C．；D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______； A．；B．；C．；D．． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________． 【答案】（1）B  （2）D  （3） （4） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的面积，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据三角形三边的关系即可求出的取值范围，进而可求出得取值范围； （3）延长到，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，即可得到结论； （4）由（3）可得，，，，则，说明即可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， 故选：B； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故选：D； （3）， 延长到，使得，连接，如图， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）延长到，使得，连接， 由（3）可知，， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 【变式训练12-3】(24-25七下·江苏泰州泰兴·期末)中，，，点从点以的速度沿着射线方向平移，到点停止平移，同时，点也以的速度从点沿着射线平移，到点停止平移． (1)如图，求证： ； (2)在直线上一定存在一个点，使和的面积始终相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中作出点； (3)将沿着翻折至． 若，，则 ______（2）中所作的点填“经过”或“不经过”，此时，的度数为______； 探索、、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)经过，； 或，理由见解答过程． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，点的平移，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握点的平移，全等三角形，图形的翻折变换及其性质是解决问题的关键． （1）由点，点的平移得，进而可依据“”判定和全等 （2）利用尺规作图，作的平分线交于点即可； （3）先求出，由翻折的性质得，，则，由此得经过点；先求出，再由三角形外角性质得，进而可得出的度数； 依题意有以下两种情况：（Ⅰ）当点在上时，点在的下方，由三角形的外角性质得，由翻折的性质得，再根据即可得出、、之间的数量关系；（Ⅱ）当点在上时，点在的上方，由三角形的外角性质得，由翻折的性质得，再根据即可得出、、之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图所示： 由点，点的平移得：， 在和中， ， ； （2）解：以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点， 分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点， 作射线交于点，则点为所求，如图2①所示： 理由如下： 由作图可知：， 在和中， ， ， ， 由（1）可知：， ， 当点在上，点在上时，如图2②所示： 此时， ； 当点在上，点在上时，如图2③所示： 此时， ， 综上所述：点为所求作的点； （3）①解：经过（2）中所作的点，此时的度数为，理由如下： 如图3所示： 由（2）可知：，， ， ， ， 在中，， 由翻折的性质得：，， ， 经过点； 在中，， ， ， 是的外角， ， ， 故答案为：经过；； ②、、之间的数量关系是：或，理由如下： 依题意有以下两种情况： （Ⅰ）当点在上时，点在的下方，如图所示： 由三角形的外角性质得：， 由翻折的性质得： ， ， ， 即； （Ⅱ）当点在上时，点在的上方，如图所示： 由三角形的外角性质得：， 由翻折的性质得：， ， ， ． 【变式训练12-4】（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题． （1）如图，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图，延长到G，使，连接，同理可得：； （3）如图③，仿照（1）（2）构造全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）若如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． ∴， ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． 【变式训练12-5】(24-25七下·辽宁沈阳第四十三中学·期中)数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________． (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________． (4)实践应用：正方形中，若平面内存在点满足，则的面积为___________． 【答案】(1)； (2)； (3) (4)5或 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论； （4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点N，，再利用第 3 小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出． 【详解】（1）， 理由如下：如图所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴； （2）如图所示： 证明：∵， ， 即， 又 ∵和都是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （3）如图： ∵和都是等腰三角形， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ， ，且， ， 故答案为：； （4）如图所示： 连接，以为直径作圆， 由题意，取满足条件的点，则 连接，作于点，在上截取， ， ， ， ， 由（3）可得：， ， ， 同理可得：， 故答案为：5或． 【变式训练12-6】(24-25七下·辽宁沈阳南昌中学·期中)问题探究：（1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用：（2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），过程见解析（2）图2：，理由见解析；图3：，理由见解析（3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）对于图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；对于图3：在上截取，使，连接，同图2法进行求解即可； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． （2）对于图2，，理由如下： 在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 对于图3：对于图3，，理由如下：在上截取，使，连接， 同图2法可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，   ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 1 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $