上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2025-2026学年高三上学期9月测试数学试题

上外云间高三数学练习试卷 2025.09 一.填空题 1.函数y=log2V3-x的定义域为 2.已知i为虚数单位，复数z=(m-1)+mi是纯虚数，则实数m= 3.二项式x+马)的展开式中常数项的值为 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a。=2,则S1。= 5.已知圆锥的底面半径为2，底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥的侧面积为 6.若事件A与事件B相互独立，P(A)=0.3,P(A∩B)=0.42,则P(B)= 7.已知定义在R上的奇函数满足f(x)=x2+2x(（x≥0)，若f(3-a2)+f(-2a)>0, 则实数a的取值范围是 8.若不等式2a-1)x2+(a-1x-3<0对-切实数x都成立，则实数a的取值范围为 9.已知△ABC中，AD=2DB,且C=T，AB=3,则CD的最大值为 3 10.已知a>0,b>0,且a+b=1,则+的最小值为 a b 1.已阳题C号+茶=1(a>办>0.、B分别是精周C左，右袋红，1F5上2G 若椭圆上存在点P,满足，1 +1=↓，则椭圆C的离心率的取值范围为—一 PFPF c 12.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a、b、c∈R,a≠0)，若不等式x·f'(x)-a·f(x)≤5 对任意x∈R恒成立，则b-4c的取值范围为 0 二.单选题 13.设a、b∈R,则“a+b>4”是“a>1且b>3”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 14.下列关于幂函数y=x“的描述中，正确的是() A.幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1) B.幂函数的图象不经过第三象限 C.若幂函数的图象过点(8)，则它的图象也经过点(9,1日 18 D. 当指数ax取1、3、 1 时，幂函数y=x“是其定义域上的严格增函数 2 -x+3a,x≥0 15.已知函数f(x)= 在定义域R上是减函数，则实数α的取值范围为 x2-ax+1,x<0 A. B.[O.] C.[0,+o) D.5+o) 16。已知=221则实数f+士2)=a(a∈R)的实数很个数 l1ogs(1-x)川x<1 不可能为() A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 三.解答题 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD, PD=AD=2,AB=4,点E在线段AB上，且BE=二AB. 4 (1)求证：CE⊥平面PBD; (2)求二面角P-CE-A的余弦值， 18.已知二次函数f(x)满足f1)=4,且f(x)-f(x-1)=2x+1. (1)求f(x)的解析式： (2)g()=f)×2-1,3,e,2]使得gx)s22-3-3成立，求t的取值范围 19.某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如 图1)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单 位均为万元) y(利润) y(利润) 3.75 0.45 2.5 0.25 1.8x(投资额) 9x(投资额) 图1 图2 (1)分别将A、B两种产品的利润f(x),g(x)表示为投资额x的函数； (2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品 的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？ 20.已知椭圆「： 2,y2 =1,直线1经过椭圆Γ的右顶点P且与椭圆交于另一点A, 93 设线段AP的中点为M. (1)求椭圆Γ的焦距和离心率； (2)若kw=-},求直线AP的方程： 3 (3)过点P再作一条直线与椭圆T交于点B,线段BP的中点为N.若OM⊥ON, 则直线AB是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 21.已知a、b∈R,对于函数y=f(x),x∈D,设集合A={(x,y)川y=f(x)}, B={(x,y)川(x-a)2+(y-b)2≤1}，记M,(a,b)=A∩B. (1)若函数∫)=13，请判断M,0,0)中元素的个数，并说明理由： x 4 (2)设k>0,函数f)=V+及，若M,)0)=(,%},求k的值以及曲线 y=f(x)在点P(xo,yo)处的切线方程； (3)设m∈R,函数f)=e_血x_1+m,若对于任意的a,皆有M,(a,0)=⑦成立， xx 求m的取值范围. 参考答案 一.填空题 1.(-0,3) 2.1 3.20 4.25 V8π 5. 3 6.0.4 7.(（-3,1) 8.(-5,1] 9.V5+1/1+3 20 10.3 1.【-1 12.[- 3 二.选择题 13.B 14.D 15.B 16.A 三.解答题 17.【详解】(1)设BD与CE相交于点H, 因为PD⊥平面ABCD,CEC平面ABCD,所以PD⊥CE, 由AB=4,BE=AB,得BE=1,因此tan∠ECB=,tanLABD=} 1 4 可得∠ECB=∠ABD,因为∠DBC=∠ADB, 所以∠BHC=∠BAD=90°，即BD⊥CE, 又因为PD⊥CE,PDOBD=D,PD,BDC平面PBD, 所以CE⊥平面PBD (2)如图，建立空间直角坐标系D-xyz, 则C(0,4,0),P(0,0,2),E(2,3,0),所以PC=(0,4,-2),CE=(2,-1,0), 设平面PCE的一个法向量方=(x,y,z),则 i.CE=0n∫2x-y=0 即 PC=0 4y-2z=0 令x=1,则y=2,z=4,于是元=(1,2,4)，平面ACE的一个法向量为m=(0,0,1), 则cos(i,)= m.n 4 4v21 由图形可知二面角P-CE一A为锐角， |m‖i|11+4+16 21 所以二面角P-CE-A的余弦值是 4V21 21 18.【详解】(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 因为f)-f(x-l)=(ar2+bx+c）-[a(x-1)2+b(x-1)+c]=2ax+b-a=2x+1, 则2a=2,解得a-,即f=2+2x+c, b-a=1' b=21 又因为fI)=3+c=4,可得c=1,所以f(x)的解析式为f(x)=x2+2x+1. (2)由题意可得：g(x)=f(x)-x2-1=2x,则g(x)在[1,2]内单调递增， 则g(x)在[1,2]内的最小值为g(1)=2, 若3，∈L,2]使得g(飞)≤22-36-3成立，则2≤22-31- 21 即4g-6-7≥0，解得f≥3+V57或1≤3-V57 4 d 所以t的取值范围 〔* 19.【详解】(1)因为A产品的利润与投资额成正比，故设f(x)=x(x≥0)， 将0,0.25)代入，解得：k-子故)=(x≥0)， 因为B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设g(x)=m√x(x≥O), 将(4,2.5)代入，解得：√4m=2.5,解得：m= 故g)-≥0： 4 (2)设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为(10一x)万元， 创业团队获得的利润为y万元， 则y=g+f00-)=5Vx+210-x0≤x≤10) 4 令E=0≤i≤0)，当y=-+t+0≤t≤i0) 4 42 即y=长：-+g0s15而，当-多即x=625时，y取得最大位40as 答：当B产品的投资额为625万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润. 获得的最大利润为4.0625万元 20.【详解】(1)由a=3,b=√5得c=V√a2-b2=√6， 所以焦距2c=2V6,离心率e=S=y6 M P a3 (2)P(3,0)设直线AP的方程x=y+3, x=y+3 与方程r:父+父=1，联立 -=1 93 +少1得：+3+ =11 93 93 因为得：（t2+3)y2+6y=0,y4+yp= -6t 2+3yy,=0 因为点M与点P不重合，M为AP中点，所以yw=4十业=-3 2 2+3 -3t2 代入方程x=y+3,解得w=2+3 -3t +3= 9 t2+3 ,所以可得点M t2+3't2+3 于是由kow--得1=1，直线AP的方程：X-y-3=0 93 (3)①当直线AB斜率存在时，设方程为：y=:+m,与椭圆T: + -=1, 93 y=kx+m 联立 9 3 93 D 整理得：(3k2+1)x2+6kmx+3m2-9=0 x+X2= -6km 3k2+1 设A(x,),B(x2,y2),由韦达定理得 3m2-9 3k2+1 且△=36k2m2-4(3k2+1)(3m2-9)>0,化简得m2-9k2-3<0, 又a0,从面M生22》N结) 由OM1ON可得OM.ON=0,从而(x+3)(x2+3)+y2=0, 又因为y=+m,y2=c2+m, 所以上式化为：(x+3)(x+3)+(c+m)(x2+m)=0 整理得：（k2+1)x2+(am+3(x+x)+m2+9=0, 韦达定理代入： (k2+13m2-9）+-6-(m+3》+m2+9=0, 3k2+1 3k2+1 化简得： 9k2-9km+2m2=0·(3k-2m3k-m)=0,所以m=3k或m=3k 当m=3k时，直线AB为：y=ac+3k=k(x+3),直线AB经过点(-3,0)，舍去 当m时，直线A8为=+=+》 此时2k2-9k2-3<0成立，直线AB经过定点 4 ② 当直线AB斜率不存在时，设A(m,nm),B(m,-n), 设M }}ow-(m-） 代入0M.0=0,得n2=(m+3)2,与 n -=1联立得：2m2+9m+9=0, 9 解m=此时直线AB线经过点(0} 综上，直线AB经过定点 )0 21.【详解】 [x2+y2≤1 w-1x+日s1→（任s0-经0=2 y=- 4 x 5 V5325V5 当x=2时，y2455；自时， V5,325V5 十一X 5 5 2455 服，a0-学92当 有2将代入. 2)将y=代入圆x》+=1+k-=0， 由相切△=0→4--0→k=子此时x=0,% 2 3 1 时f)=Vx+4,所以f(= ，所以f0)=万' 3 x+ 4 切线方程y3 =x,即2x-2W3y+3=0. 2V5 (3)对于任意的a,皆有Mr(a,0)=成立， 即函数f(x)的图象与圆系：(x-a)2+y2=1无交点，所以f(x)>1恒成立. 因为f=e-血x-+m,x>0,所以f=e+ In 2x>0. 当x≥1时，f'(x)>0恒成立，所以函数在[l,+oo)上单调递增，且fI)=e-1+m. 由e-1+m>1→m>2-c. 当0<x<1时，设h(x)=e-x-1,则h'(x)=e-1>0,所以h(x)在(0,1)单调递增， 所以h(x)>h(0)=0. 即当0<x<1时，e>x+1:又1nx<0,所以血x+l< 所以f()=e-lnx+l +m≥x+1-二+m. 设g四=x+1-上+m,0<x<1,则g(=1+是>0， 所以g(x)在(0,1)上单调递增，所以g(x)<g()=1+m.由1+m>1→m>0. 综上，实数m的取值范围为：(0，+oo)