精品解析：2021年四川省德阳市什邡市九年级适应性检测数学试题

什邡市2021年九年级适应性检测 数学试卷 说明： 1．本试卷全卷共6页．考生作答时，须将答案写在答题卷上，在本试卷上、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卷交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 乘积为的两个数互为倒数，又 ， ∴ 的倒数是． 2. 德阳2020年全市GDP为2404亿元，比上年增长2.5%，将2404亿元用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法表示绝对值较大的数一般形式为，其中，是整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：2404亿． 故选：A ． 3. 如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ） A. 仅主视图不同 B. 仅俯视图不同 C. 仅左视图不同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】D 【解析】 【分析】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案． 【详解】第一个几何体的三视图如图所示： 第二个几何体的三视图如图所示： 观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同， 故选D． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确得出各几何体的三视图是解题的关键． 4. 下列整数中，与最接近的整数是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由于，于是，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案． 【详解】由于，于是，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案． 解：∵， ∴， 10与9的距离小于16与10的距离， ∴与最接近的是3． 故选A． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 5. 如图，把矩形对折，折痕为（图甲），再把点叠在折痕线上，得到（图乙），再延长交于F，所得到的是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质及等边三角形的判定，熟练掌握折叠性质和等边三角形的判定是解题的关键；先证明是的垂直平分线，则，是等腰三角形， 根据折叠性质，即可得结论 【详解】解：矩形对折，折痕为， ，， ， 是的垂直平分线，也是的角平分线， 是等腰三角形， 由折叠的过程可得， ， ， 是等边三角形．   故选：B ． 6. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )． A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式即可求出结果． 【详解】解：黑色正五边形的内角和为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式． 7. 不等式的解集是( )． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，合并得 系数化为1，得； 故选：A． 【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 8. 下面的计算过程中，开始出现错误的是步骤（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故从第②步开始出现错误． 故选B． 【点睛】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 9. 如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是( )． A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】设圆心为，连接，如图，先证明为等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理确定的度数． 【详解】解：设圆心为，连接，如图， ∵弦的长度等于圆半径的倍， 即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， ∴°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 10. 如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为( )． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解． 【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3． ∴，即． 当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7， ∴． 则，代入，得，解得或3， 因为，即， 所以． 故选B． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值． 11. 如图，在边长为的等边中，动点D、E分别在边上，且保持，连接，相交于点P，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质证明，得出，利用外角求出，构造圆确定点P的运动轨迹是，，连接，证明，求出，利用锐角三角函数求出，通过即可求出最小值． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴点P的运动轨迹是，，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角定理，圆的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上性质，并构造出圆． 12. 二次函数y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是（ ） A. 0＜t＜1 B. 0＜t＜2 C. 1＜t＜2 D. ﹣1＜t＜1 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的解析式可知，当x＝1时，所对应的函数值y＝t＝a＋b＋1．把点（﹣1，0）代入y＝ax2＋bx＋1，a﹣b＋1＝0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t＝a＋b＋1的变化范围． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋1的顶点在第一象限， 且经过点（﹣1，0）， ∴a﹣b＋1＝0，a＜0，b＞0， 由a＝b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①， 由b＝a＋1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②， ∴由①＋②得：﹣1＜a＋b＜1， 在不等式两边同时加1得0＜a＋b＋1＜2， ∵a＋b＋1＝t代入得0＜t＜2， ∴0＜t＜2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与根与系数的关系，在解题时要结合二次函数的图象和系数，对称轴，特殊点，属于基础题． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标． 【详解】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于． 故答案为． 【点睛】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置． 14. 因式分解：_____． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 15. 已知一组数据0，1，2，2，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是_____． 【答案】. 【解析】 【详解】已知数据0，1，2，2，x，3的平均数是2， 由平均数的公式计算可得（0+1+2+2+x+3）÷6=2， 解得x=4， 再根据方差的公式可得， 这组数据的方差= [（2﹣0）2+（2﹣1）2+（2﹣2）2+（2﹣2）2+（2﹣4）2+（2﹣3）2]=． 16. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】要使方程有两个相等的实数根，即，则利用根的判别式即可求得一次项的系数． 【详解】由题意， 得 故答案为4 【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式()可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立． 17. 把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可． 【详解】解：如图： 新的正方形的边长为， ∴恒星的面积． 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积． 18. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；②的周长为；③ ；④的面积的最大值.其中正确的结论是____.（填写所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题； ②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题； ④正确．设BE=x，则AE=a-x，AF=，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题． 【详解】解：如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH． ∵BE=BH，∠EBH=90°， ∴EH=BE，∵AF=BE，∴AF=EH， ∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°， ∴∠FAE=∠EHC=135°， ∵BA=BC，BE=BH， ∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF=EC，∠AEF=∠ECH， ∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°， ∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确， 如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°， ∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH， ∵GH=DG+DH，DH=BE， ∴EG=BE+DG，故③错误， ∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH+AE=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误， 设BE=x，则AE=a-x，AF=， ∴∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，④正确； 故答案为①④. 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 三、解答题（本大题共7小题，共78分．答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握运算顺序和法则． 首先计算有理数的乘方，化简绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，求立方根，然后计算乘法，最后计算加减法． 【详解】解： ． 20. 已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC． ①求证：CD=AN； ②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 【详解】证明：（1）∵CN∥AB， ∴∠DAC=∠NCA， 在△AMD和△CMN中， ∵， ∴△AMD≌△CMN（ASA）， ∴AD=CN， 又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形， ∴CD=AN； （2）∵∠AMD=2∠MCD， ∠AMD=∠MCD+∠MDC， ∴∠MCD=∠MDC， ∴MD=MC， 由（1）知四边形ADCN是平行四边形， ∴MD=MN=MA=MC， ∴AC=DN， ∴四边形ADCN是矩形． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 21. 2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：．“解密世园会”、．“爱我家，爱园艺”、．“园艺小清新之旅”和．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同． (1)李欣选择线路．“园艺小清新之旅”的概率是多少？ (2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】(1)由概率公式即可得出结果； (2)画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果． 【详解】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同， ∴在四条线路中，李欣选择线路．“园艺小清新之旅”的概率是； (2)画树状图分析如下： 共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种， ∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 什邡某影院的电影票价：成人票每张35元，学生票每张20元．春节期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生去该电影院看电影． （1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式； （2）请计算并确定出最节省费用的购票方案． 【答案】（1）方案1：；方案2： （2）当时，一样多，方案1优惠，方案2优惠 【解析】 【分析】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，再进一步分类讨论． （1）首先根据优惠方案1：付款总金额购买成人票金额除去4人后的学生票金额； 优惠方案2：付款总金额（购买成人票金额购买学生票金额）打折率，列出关于的函数关系式， （2）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：根据优惠方案1：付款总金额购买成人票金额除去4人后的学生票金额可得： ， 优惠方案2：付款总金额（购买成人票金额购买学生票金额）打折率可得 ； 【小问2详解】 解：， ①当时，得 ， ， 当学生人数为33人时，两种优惠方案付款一样多． ②当时，得 ， ， ∴当时，，优惠方案①付款较少． ③当时，得 ， ， ∴当时，，优惠方案②付款较少． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为. （1）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点在线段上，且，求点的坐标. 【答案】（1）或；（2），；（3） 【解析】 【分析】(1) 观察图象得到当或时，直线y=k1x+b都在反比例函数的图象上方，由此即可得； (2)先把A(-1，4)代入y=可求得k2，再把B(4，n)代入y=可得n=-1，即B点坐标为(4，-1)，然后把点A、B的坐标分别代入y=k1x+b得到关于k1、b的方程组，解方程组即可求得答案； (3)设与轴交于点，先求出点C坐标，继而求出，根据分别求出，，再根据确定出点在第一象限，求出，继而求出P点的横坐标，由点P在直线上继而可求出点P的纵坐标，即可求得答案. 【详解】(1)观察图象可知当或，k1x+b>； (2)把代入，得， ∴， ∵点在上，∴， ∴， 把，代入得 ，解得， ∴； (3)设与轴交于点， ∵点在直线上，∴， ， 又， ∴，， 又，∴点在第一象限， ∴， 又，∴，解得， 把代入，得， ∴. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用. 24. 如图，是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos∠A的值． 【答案】（1）连接OD，AD， ∵AC是半圆的直径， ∴∠ADC=90°， 即AD⊥BC， ∵AC=AB， ∴CD=BD， ∵AO=OC， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴DE⊥OD， ∵OD是半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接OD、AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形性质求出BD=DC，根据三角形的中位线求出OD∥AB，推出OD⊥DE，根据切线的判定求出即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF，根据余弦的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知OD∥AE， ∴∠FOD=∠FAE，∠FDO=∠FEA， ∴△FOD∽△FAE， ∴， ∴， ∴， 解得FC=2， ∴AF=6， ∴Rt△AEF中，cos∠FAE=. 【点睛】本题考查了三角形的中位线，圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． 25. 如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1） （2）存在，或 （3）当时，的最大值为： 【解析】 【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解； （2）分三种情况，分别求解即可； （3）由即可求解． 【小问1详解】 解：由二次函数交点式表达式得：， 即：，解得：， 则抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：存在，理由： 点的坐标分别为， 则，  将点的坐标代入一次函数表达式：并解得：①， 同理可得直线AC的表达式为：， ∵点的坐标分别为， ∴线段的中点为， ∴设线段的垂直平分线的解析式为， 把代入得：， ∴线段的垂直平分线的解析式为②， ①当时，如图1，则， 设：，则， 由勾股定理得：，解得：或4(舍去4)， 故点； ②当时，如图1， ，则， 则， 故点； ③当时，此时点Q在线段的垂直平分线上， 联立①②并解得：(舍去)； 故点Q的坐标为：或； 【小问3详解】 解：设点，则点， ∵， ∴， ， ∵， ∴有最大值， 当时，的最大值为：． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 什邡市2021年九年级适应性检测 数学试卷 说明： 1．本试卷全卷共6页．考生作答时，须将答案写在答题卷上，在本试卷上、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卷交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 德阳2020年全市GDP为2404亿元，比上年增长2.5%，将2404亿元用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ） A. 仅主视图不同 B. 仅俯视图不同 C. 仅左视图不同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同 4. 下列整数中，与最接近的整数是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，把矩形对折，折痕为（图甲），再把点叠在折痕线上，得到（图乙），再延长交于F，所得到的是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 6. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )． A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 7. 不等式的解集是( )． A. B. C. D. 8. 下面的计算过程中，开始出现错误的是步骤（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 9. 如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是( )． A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60° 10. 如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为( )． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 如图，在边长为的等边中，动点D、E分别在边上，且保持，连接，相交于点P，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 12. 二次函数y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是（ ） A. 0＜t＜1 B. 0＜t＜2 C. 1＜t＜2 D. ﹣1＜t＜1 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点__________． 14. 因式分解：_____． 15. 已知一组数据0，1，2，2，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是_____． 16. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值为__________． 17. 把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于__________． 18. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；②的周长为；③ ；④的面积的最大值.其中正确的结论是____.（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共7小题，共78分．答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算： 20. 已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC． ①求证：CD=AN； ②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形． 21. 2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：．“解密世园会”、．“爱我家，爱园艺”、．“园艺小清新之旅”和．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同． (1)李欣选择线路．“园艺小清新之旅”的概率是多少？ (2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． 22. 什邡某影院的电影票价：成人票每张35元，学生票每张20元．春节期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生去该电影院看电影． （1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式； （2）请计算并确定出最节省费用的购票方案． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为. （1）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点在线段上，且，求点的坐标. 24. 如图，是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos∠A的值． 25. 如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $