精品解析：广东省深圳实验学校初中部2025-2026学年上学期九年级9月月考数学试卷

2025－2026学年第一学期初三年级9月测试 数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的顶角为，则底角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（ ） A. 20 B. 24 C. 48 D. 100 4. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 8. 如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：______． 10. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 11. 已知，则代数式的值为______． 12. 如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点，连接并延长交于点，若，则的长度为______． 13. 如图，在中，，点D为边的中点，点E在边上，，将沿BE折叠至，当时，则_______． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 化简：，并在、0、1、2中选一个你喜欢的数求值． 15. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，，，若将先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，且A、B、C的对应点分别是、、． （1）画出，直接写出点、、的坐标； （2）若的边上有一点经过上述平移后的对应点为，写出点的坐标； （3）求的面积 17. 如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2． （1）求原正方形空地的边长； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度． 18. 如图，点为外部一点，请使用尺规作图完成下面作图任务． （1）求作边上一点使得． （2）如图，小明作得，若点和点分别在射线和射线上，求作菱形； （3）如图，若，若，的长为5，，求线段的长． 19. 四边形是矩形，点P为矩形所在平面内任意一点，连接、、、． （1）如图1，当点是矩形的边的中点，此时，易知． ①当P为边上任一位置（如图2）时，这一结论是否还成立？请说明理由． ②如图3，P是矩形内的一点，连接、、、．若，，，求的值． （2）若将矩形放在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，如图4所示，设的面积为，的面积为，求与之间的函数关系式． 20. （1）【探究发现】如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接． ①小明探究发现：当点在上移动时，，并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长交于点． ②进一步探究发现，当点与点重合时，______． （2）【类比迁移】如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接．当时 ①求证： ②若时，求的长； （3）【拓展应用】如图③，已知四边形为菱形，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期初三年级9月测试 数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； C选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 等腰三角形的顶角为，则底角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出答案，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和与等腰三角形的两个底角相等． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，顶角是， ∴其底角为， 故选：． 3. 已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（ ） A. 20 B. 24 C. 48 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据菱形的面积公式：对角线长乘积的一半；计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm， ∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（）， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，熟记菱形的面积＝两对角线长乘积的一半是解题的关键． 4. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ， ， 解得：， 故选：A． 5. 如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得答案． 【详解】解：点P是三条边的垂直平分线的交点， ，， ， 故选：D． 6. 已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．先依次求出不等式的解集，再根据不等式组有解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴． 故选：C． 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出，由三角形中位线定理推出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵O是中点，E是中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 8. 如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．连接，可得，得到，，进而得，即得，据此解答即可求解． 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 11. 已知，则代数式的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，二次根式的加法运算．熟练掌握完全平方公式，代数式求值，二次根式的加法运算是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 12. 如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点，连接并延长交于点，若，则的长度为______． 【答案】15 【解析】 【分析】此题主要考查矩形的性质，相似三角形的性质与判定，首先利用矩形性质可以证明，，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，矩形护栏中，， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 13. 如图，在中，，点D为边的中点，点E在边上，，将沿BE折叠至，当时，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点D作于点H，于点F，设与交于点M，由题意易得，则有，然后设，则有，进而可得，最后根据勾股定理可求解． 【详解】解：过点D作于点H，交于点F，设与交于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∴点F是的中点， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负根舍去）， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例、勾股定理、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与判定、折叠的性质及直角三角形斜边中线性质，熟练掌握平行线所截线段成比例、勾股性质、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与判定、折叠的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 化简：，并在、0、1、2中选一个你喜欢的数求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再从、0、1、2选一个使原分式有意义的数代入计算即可． 【详解】 ． ∵ ∴ ∴ ∴当时，原式． 15. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确，不正确 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用恰当的方法进行计算． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【小问1详解】 解：甲同学的解法不正确，乙同学的解法不正确， 故答案为：不正确；不正确； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，，，若将先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，且A、B、C的对应点分别是、、． （1）画出，直接写出点、、的坐标； （2）若的边上有一点经过上述平移后的对应点为，写出点的坐标； （3）求的面积 【答案】（1） 如图，即为所求： 、、 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A、B、C的对应点、、即可； （2）利用平移变换的性质解决问题即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到对应点； 【小问3详解】 的面积为． 【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，属于常考题型． 17. 如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2． （1）求原正方形空地的边长； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度． 【答案】（1）30m （2）1m 【解析】 【分析】（1）设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，根据剩余部分面积为650m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，根据栽种鲜花区域的面积为812m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m， 依题意得：（x-4）（x-5）=650， 整理得：x2-9x-630=0， 解得：x1=30，x2=-21（不合题意，舍去）． 答：原正方形空地的边长为30m． 【小问2详解】 设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形， 依题意得：（30-y）（30-1-y）=812， 整理得：y2-59y+58=0， 解得：y1=1，y2=58（不合题意，舍去）． 答：小道的宽度为1m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18. 如图，点为外部一点，请使用尺规作图完成下面作图任务． （1）求作边上一点使得． （2）如图，小明作得，若点和点分别在射线和射线上，求作菱形； （3）如图，若，若，的长为5，，求线段的长． 【答案】（1） 如图，点即为所求． （2） 如图，菱形即为所求． （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，在上任取一点，作，在上截取，连接交于点，点即为所求． （2）先作线段的垂直平分线，交于点，连接，在直线上截取，连接，则菱形即为所求． （3）如图，过点作，证明，设，则，根据勾股定理列方程求出或3，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：理由：根据作图可知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：理由：∵， ∴， 根据作图可知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【小问3详解】 解：如图，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或， ∴或． 【点睛】该题考查了尺规作图，勾股定理，解一元二次方程，菱形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图形． 19. 四边形是矩形，点P为矩形所在平面内任意一点，连接、、、． （1）如图1，当点是矩形的边的中点，此时，易知． ①当P为边上任一位置（如图2）时，这一结论是否还成立？请说明理由． ②如图3，P是矩形内的一点，连接、、、．若，，，求的值． （2）若将矩形放在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，如图4所示，设的面积为，的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】（1） ①解：成立，理由如下： ∵四边形是矩形， ， 在 中，， 在中，， ， 即； ② （2）与的函数关系式为或或 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质与勾股定理以及分类讨论思想应用，根据已知得出P点不同位置得出y与x之间的关系是解题关键． （1）①根据矩形的性质和勾股定理进行证明即可； ②利用已知可证得四边形是矩形，进而得出，即可得出答案； （2）结合图形得出当点在直线与之间时，以及当点在直线上方时和当点在直线下方时，分别求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ， ∵点是矩形的边的中点， ， 在 中，， 在中，， ， 即； ①略 ②过点作，如图（3）： ∵四边形是矩形， ， ， 在中，， 同理，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为， 如图4： ， ， 过点P作直线垂直于点，交于点， 当点在直线与之间时， ， 即， 因而与的函数关系式为， 当点在直线上方时，， 即， 则与的函数关系式为， 当点在直线下方时，， 即， 则与的函数关系式为． 综上，与的函数关系式为或或． 20. （1）【探究发现】如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接． ①小明探究发现：当点在上移动时，，并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长交于点． ②进一步探究发现，当点与点重合时，______． （2）【类比迁移】如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接．当时 ①求证： ②若时，求的长； （3）【拓展应用】如图③，已知四边形为菱形，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长． ． 【答案】 （1）①证明：如图1，延长交于点， ∵四边形是正方形， ， ∵点和点关于对称， ∴， ， ， 在和中， ， ． ②； （2）①证明：如图2，延长交于点， 在矩形中，， ∵点和点关于对称， ∴， ， ， ∵， ． AI    ②； （3）或 【解析】 【分析】（1）①证明：如图①，延长交于点，由对称可知，，根据正方形的性质可得，证明；②当点与点重合时，由对称可知，根据正方形的性质即可求出． （2）①延长交于点，由对称可知，证出，结合矩形的性质即可证明相似． ②由对称可知，点是的中点，，根据相似三角形的性质即可求出． （3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点，①当点在上时，延长交于点，根据四边形为菱形的性质求出即可；②当点在上时，延长交于点，证明和， 再根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）①略 ②解：如图1，当点与点重合时，由对称可知， ∵四边形是正方形， ， ， 由①得到， ， 故答案为：． （2）①略 ②解：在矩形中，， 由对称可知，点是的中点，， ， ， ∴， ∴点是的中点， ， ， 由（2）①得，， ， ， ， ， ∵， ∴， ． （3）解：以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点， ①如图3，当点在上时，延长交于点， ∵， ∴垂直平分， 同（1）①可得，， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图4，当点在上时，延长交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键正确理解题意，作出相应的辅助线构造相似三角形或者全等三角形求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $