11.3.2 两数和(差)的平方 课件　2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

华东师大版 八年级数学上册 11.3 乘法公式 11.3.2 两数和(差)的平方 1 情境导入 一块边长为a m的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b m，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图）. 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. a m a m b m b m 直接求：总面积= (a+b)(a+b) 间接求：总面积= a2 ab ab b2 a2+2ab+b2 你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 探究新知 用多项式乘法法则计算：(a+b)2. 做一做 (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. 我们又得到一个新的公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 这个公式叫做两数和的平方公式. 利用这个公式，可以直接计算两数和的平方. 试一试 观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算: a a b b a a b b a2 ab ab b2 = + + (a+b)2 a2 2ab = + + b2 几何角度证明. 例4 计算： （1）(2x+3y)2； （2）(2a+ )2. 解（1）(2x+3y)2 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 =(2x)2 +2×2x×3y +(3y)2 =4x2+12xy+9y2. （2）(2a+ )2. =(2a)2+2×2a× +( )2. =4a2+2ab+ . 1.计算： （1）(x+3)2； （2）(2x+y)2. =x2+2·x·3+32 =x2+6x+9 =(2x)2+2·2x·y+y2 =4x2+4xy+y2 推导两数差的平方公式(a−b)2= 试一试 ? 方法1：直接计算 (a−b)2 =(a−b)(a−b) =a2−ab−ab+b2 =a2−2ab+b2 方法2：整体代入 (a−b)2 =[a+(−b)]2 =a2+2×a×(−b)+(−b)2 =a2−2ab+b2 这样就得到了两数差的平方公式： (a−b)2=a2−2ab+b2 这就是说，两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. 指出图形中包含哪些长方形和正方形，你能用图中的面积关系来解释两数差的平方公式吗? a b a b a2 ab ab b2 = - + (a-b)2 a2 2ab = - + b2 a b 例5 计算： （1）(3x−2y)2； （2）(− m+1)2. 解（1）(3x−2y)2 ( a − b )2 = a2 − 2ab + b2 =(3x)2 −2×3x×2y +(2y)2 =9x2−12xy+4y2. 例5 计算： （1）(3x−2y)2； （2）(− m+1)2. 方法1：（2）(− m+1)2 =(− m)2+2×(− m)×1+12 = m2−m+1. 方法2：（2）(− m+1)2 =(1− m)2 =12−2×1× m+( m)2 = m2−m+1. 2.计算： （1）(x-3)2； （2）(2m-3n)2. =x2-2·x·3+32 =x2-6x+9 =(2m)2-2·2m·3n+(3n)2 =4m2-12mn+9n2 3.计算： （1）(-2m+n)2； （2）(-2m-n)2. =(-2m)2+2·(-2m)·n+n2 =4m2-4mn+n2 =(2m)2+2·2m·n+n2 =4m2+4mn+n2 =[- (2m+n)]2 = (2m+n)2 完全平方公式 两数和的平方公式： 两数差的平方公式： (a+b)2=_____________ (a−b)2=_____________ a2−2ab+b2 a2+2ab+b2 公式特征： 左边：两数和（差）的平方. 右边：1.积为二次三项式； 2.前后两项为两数的平方和； 3.中间项是两数积的2倍. 简记为： 前平方，后平方，前后两数积的2倍放中央，符号看前方括号. 跟踪训练 1.（1）若(x-5)2=x2+kx+25，则k=_____； （2）若4x2+mx+9是完全平方式，则m=_____. ﹣10 ±12 2.运用完全平方公式计算： 3.计算： （1）(a＋2b－1)2； （2）(2x＋y＋z) (2x－y－z) . 3.计算： （3）1022； （4）992. （3）原式=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404. （4）原式=(100−1)2 =1002−2×100×1+12 =10000−200+1 =9801. 4.化简求值：[2x2-(x+y)(x-y)][(-x-y)(y-x)+2y2]，其中x=1，y=2. 解：原式=(2x2-x2+y2)(x2-y2+2y2) =(x2+y2)2 =x4+2x2y2+y4 当x=1，y=2时，原式=1+8+16=25. 课堂小结 两数和(差)的平方 公式 注意 2.弄清两数和(差)的平方公式的不同； 3.整式的乘方 两数和(差)的平方 特殊情形 1.项数、符号、字母及其指数； (a±b)2=a2±2ab+b2 21 $