3.6 三元一次方程组及其解法 导学案 2025-2026学年 沪科版（2024）数学七年级上册

*3.6 第1课时 素养目标 1.能判断一个方程组是不是三元一次方程组. 2.探究三元一次方程组的解法,进一步体会“消元化归”的数学思想. 3.会运用加减法或代入法解三元一次方程组. 重点 解三元一次方程组. 【自主预习】 预学思考 1.解二元一次方程组的基本思想是什么? 2.解三元一次方程组消元过程是怎样的? 自学检测 1.下列方程组是三元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D. 2.用代入消元法解方程组以下各式正确的是 ( ) A.3(1-2y)+5y=2 B.3(1+2y)+5y=2 C.3-2y+5y=2 D.1-3×2y+5y=2 3.解方程组时,要使解法较为简便,应 ( ) A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.先消去常数 【合作探究】 知识生成 知识点一 三元一次方程组的概念 阅读课本本课时“例1”之前的内容,思考下列问题. 下列方程组中,属于三元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D. 揭示概念 由三个 方程组成的含有 未知数的方程组叫作三元一次方程组. 对点训练 1.下列方程组不是三元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D. 知识点二 解三元一次方程组 阅读课本本课时“例1”的内容,思考下列问题. 解方程组: 归纳总结 解三元一次方程组时,通过 法或 法先消去一个未知数,将“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组. 解得原方程组中两个未知数的值,再将其代入原方程,得到第三个未知数的值. 对点训练 2.解方程组: 题型精讲 题型 整体代入法解三元一次方程组 例　阅读:善于思考的小明在解方程组时,采用了一种“整体代换”的方法, 解法如下: 解:将方程②变形为8x+20y+2y=10, 即2(4x+10y)+2y=10,③ 把方程①代入③,得2×6+2y=10,则y=-1. 把y=-1代入①,得x=4, 所以方程组的解为 试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题: (1)试求方程组的解. (2)已知x,y,z满足求z的值. 变式训练 [阅读理解]在解方程组或求代数式的值时,可以用整体代入或整体求值的方法,化繁为简. 已知求x+y+z的值. 解:由①+②,得10x+10y+10z=40,③ 由③÷10,得x+y+z=4. [类比迁移]若求x+y+z的值. 参考答案 自主预习 预学思考 1.解二元一次方程组的基本思想是消元,将“二元”化成“一元”. 2.将“三元”化成“二元”,再将“二元”化成“一元”. 自学检测 1.B　2.B　3.B 合作探究 知识生成 知识点一 A 揭示概念　一次　三个 对点训练 1.D 知识点二 解: 归纳总结　代入　加减 对点训练 2.解: 题型精讲 题型 例　解:(1) 将②变形,得3(2x-3y)+4y=9,③ 将①代入③,得3×7+4y=9,解得y=-3. 把y=-3代入①,得x=-1, 所以方程组的解为 (2) 由①得3(x+4y)-2z=5,③ 由②得2(x+4y)+z=8,④ 由③×2-④×3,得z=2. 变式训练　 解: 由①-②,得4x+4y+4z=4, 整理得x+y+z=1, 所以x+y+z的值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6 第2课时 素养目标 1.了解三元一次方程组的应用,体会用方程组解决实际问题的优越性. 2.熟悉解三元一次方程组的方法. 3.进一步培养分析问题和解决问题的能力. 重点 根据实际问题列三元一次方程组. 【自主预习】 预学思考 1.如何解三元一次方程组? 2.列方程组解实际应用题与列方程解应用题方法步骤相同,设两个未知数,要列两个方程,如果一个实际问题中有三个未知数,设三个未知数,要列几个方程才能求解? 自学检测 1.甲、乙、丙三个数的和是29,甲数比乙数大5,乙数的等于丙数的.设甲数为x,乙数为y,丙数为z,根据甲、乙、丙三数的数量关系建立方程组: . 2.解方程组: 【合作探究】 知识生成 知识点 三元一次方程组的应用 阅读课本本课时“例2”和“例3”的内容,思考下列问题. 有甲、乙、丙三个油桶,各盛油若干千克.先将甲桶油倒入乙、丙两桶,使它们各增加原有油的一倍;再将乙桶油倒入丙、甲两桶,使它们的油各增加一倍;最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶,这时各桶油都是16千克.问甲、乙、丙三个油桶中原来各有油多少千克? (1)思考:设甲、乙、丙三个油桶原来分别盛油x千克、y千克、z千克. 将三次倒油之后各油桶盛油的情况填在下表中: 甲桶乙桶丙桶 原来存油x y z 第一次甲倒入乙、丙 第二次乙倒入甲、丙 第三次丙倒入甲、乙 (2)列出方程组完成求解. 归纳总结 通过列表将每次变化后的油量填写清楚,设出了三个未知数,需要找三个等量关系建立方程组求解. 对点训练 甲、乙、丙三数之和是26,甲数比乙数大1,甲数的两倍与丙数的和比乙数大18,求这三个数. 题型精讲 题型 解决方程组中未知数的个数多于方程的个数 例　某步行街分别摆放甲、乙、丙三种造型的盆景x,y,z盆,甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成;乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成;丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2 900朵红花,3 750朵紫花,问黄花一共用了多少朵? 变式训练 某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表所示: 甲 乙 丙 丁 用钱金额/元 第一次购买件数 5 4 3 1 1 882 第二次购买件数 9 7 5 1 2 764 那么购买每种体育用品各一件共需多少元? 参考答案 自主预习 预学思考 1.利用代入法或加减法消去一个未知数,使三元一次方程组变成二元一次方程组. 2.3个. 自学检测 1. 2.解: 合作探究 知识生成 知识点 解:(1) 甲桶乙桶丙桶 原来存油xyz 第一次甲倒入乙、丙x-y-z2y2z 第二次乙倒入甲、丙 2x-2y-2z 2y-(x-y-z)-2z=3y-x-z 4z 第三次丙倒入甲、乙 4x-4y-4z 6y-2x-2z 4z-(2x-2y-2z)-(3y-x-z)=-x-y+7z (2)依题意得 解得 答:甲油桶中原来有油26千克,乙油桶中原来有油14千克,丙油桶中原来有油8千克. 对点训练 解:设甲、乙、丙三数分别为x,y,z,根据题意,得 解得 答:甲、乙、丙三数分别为10,9,7. 题型精讲 题型 例　解:设黄花一共用了M朵,则M=8x+6y+7z, 由题意,得 由①+③,得40x+30y+35z=6 650,④ 由④×,得8x+6y+7z=1 330,即M=1 330. 答:黄花一共用了1 330朵. 变式训练 解:设体育组所购买的体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为x,y,z,m元. 根据题意得 该方程组可变形为 令x+y+z+m=a,4x+3y+2z=b, 上述方程组又可化为 解得a=1 000,即x+y+z+m=1 000. 答:购买每种体育用品各一件共需1 000元. 学科网（北京）股份有限公司 $