3.5 二元一次方程组的应用 第2课时 导学案 2025-2026学年 沪科版（2024） 数学七年级上册

3.5 第2课时 素养目标 1.会列二元一次方程组解决物质或者溶液搭配比例问题和配套问题. 2.知道列表能帮助我们弄清题意、找出等量关系. 3.体会方程中“数学建模”的思想,进一步培养分析问题和解决问题的能力. 重点 物质或溶液配比问题和配套问题. 【自主预习】 预学思考 1.将含铜百分比不同的两种矿石混合在一起,根据物质守恒,混合前后总质量是否发生变化? 2.将含铜百分比不同的两种矿石混合在一起,含有的铜有什么关系? 自学检测 1.有100克含糖15%的糖水,如果再放入50克水,那么糖水中含糖 ( ) A.7.5% B.10% C.15% D.20% 2.某车间有60名工人,每人平均每天可加工螺栓14个或螺母20个,要使每天加工的螺栓和螺母配套(1个螺栓配2个螺母),设应分配x人生产螺母,y人生产螺栓,依题意列方程组得 . 【合作探究】 知识生成 知识点一 物质配比问题 阅读课本本课时“例3”的内容,思考下列问题. 甲、乙两种盐水,取甲种盐水250克,乙种盐水150克,可制成浓度为7.5%的盐水;若取甲种盐水100克,乙种盐水220克,则可制成浓度为8.75%的盐水.求甲、乙两种盐水的浓度. 归纳总结 此类问题的实质相当于溶液内溶质含量问题,解决此类问题的时候,一般有两个等量关系:甲溶液质量+乙溶液质量= ,甲溶质质量+乙溶质质量= .(溶质为溶液中被溶剂溶解的物质) 对点训练 1.为提高病人免疫力,某医院选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐,两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如表所示.如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每份营养餐中,甲、乙两种食物各需要多少克? 每克甲种食物每克乙种食物 所含蛋白质0.5单位0.7单位 所含铁质1单位0.4单位 知识点二 配套问题 阅读课本本课时“例4”内容,思考下列问题. 某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个,如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多少名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套? 归纳总结 本题中的相等关系有生产螺栓的工人数+生产螺母的工人数=120、螺母数=2×螺栓数. 对点训练 2.某制衣厂某车间现有24名制作服装的工人,每天都制作某种品牌的衬衫和裤子,每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条.已知制作一件衬衫可获得利润30元,制作一条裤子可获得利润16元,若该厂要求每天获得利润2 100元,则需要安排多少名工人制作衬衫? 题型精讲 题型 方案决策问题 例　某中学准备组织700名七年级师生去安徽黄山春游.据了解:客运公司有49座和35座(不含司机)两种型号的客车可供租用,49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元;4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4 400元. (1)问49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元? (2)若该中学到客运公司租车一天,如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最少? 变式训练 踏春时节,某班学生集体组织亲子游,沿着樱花步道骑自行车,该班学生花了950元租了若干辆自行车,自行车的类型和租车价格如表所示: 自行车类型 A型车 B型车 C型车 座位数/个 2 3 4 租车价格/(元/辆) 30 45 55 (1)若同时租用B,C两种类型的车,且共有65个座位,则应租B,C两种类型的车各多少辆? (2)若B型车租4辆,余下的租用A型和C型,要求每种车至少租用1辆,请你帮他们设计A型车和C型车的租车方案. 参考答案 自主预习 预学思考 1.混合前后总质量不会发生改变. 2.混合前两种物质中含有的铜的质量之和等于混合后物质中含有的铜的质量. 自学检测 1.B 2. 合作探究 知识生成 知识点一 解:设甲种盐水的浓度为x,乙种盐水的浓度为y,根据题意,得 解得 答:甲浓度为6%,乙浓度为10%. 归纳总结　总溶液质量　总溶质质量 对点训练 1.解:设甲、乙两种食物各需要x克、y克, 依据题意得 解得 答:每份营养餐中,甲、乙两种食物各需要28克、30克. 知识点二 解:设安排x人生产螺栓,y人生产螺母,则每天可生产螺栓50x个,螺母20y个. 依题意,得解得 故应安排20人生产螺栓,100人生产螺母. 对点训练 2.解:设安排a人制作衬衫,b人制作裤子,每天获得利润2 100元. 依题意得 解得 答:需要安排18名工人制作衬衫. 题型精讲 题型　 例　解:(1)设49座的客车每辆每天的租金是x元,35座的客车每辆每天的租金是y元, 根据题意得 解得 答:49座的客车每辆每天的租金是800元,35座的客车每辆每天的租金是600元. (2)设租用m辆49座的客车,n辆35座的客车, 根据题意得49m+35n=700, 整理得n=20-m. 因为m,n均为自然数, 所以或或 所以共有3种租车方案: 方案1:租用20辆35座的客车,所需租金为600×20=12 000(元). 方案2:租用5辆49座的客车,13辆35座的客车,所需租金为800×5+600×13=11 800(元). 方案3:租用10辆49座的客车,6辆35座的客车,所需租金为800×10+600×6=11 600(元). 因为12 000>11 800>11 600, 所以租金最少的租车方案为租用10辆49座的客车,6辆35座的客车. 变式训练　 解:(1)设应租B型车x辆,C型车y辆. 依题意得解得 答:应租B型车15辆,C型车5辆. (2)设租A型车a辆,C型车b辆. 依题意得30a+45×4+55b=950, 整理得b=14-a. 因为a,b均为正整数, 所以a为11的倍数,所以或 所以共有2种租车方案: 方案1:租11辆A型车,8辆C型车. 方案2:租22辆A型车,2辆C型车. 学科网（北京）股份有限公司 $