专题3.6 二元一次方程组的应用（举一反三讲义）数学新教材沪科版七年级上册

专题3.6 二元一次方程组的应用（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 销售问题】 3 【题型2 增长率问题】 3 【题型3 数的表示问题】 4 【题型4 行程问题】 5 【题型5 工程问题】 6 【题型6 积分问题】 7 【题型7 配套问题】 8 【题型8 分段计费问题】 10 【题型9 方案问题】 11 【题型10 年龄问题】 13 【题型11 古代问题】 15 【题型12 形积问题】 15 【题型13 图表信息问题】 16 【题型14 和差倍分问题】 18 【题型15 跨学科问题】 20 考点1 二元一次方程组的应用 知识点1 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 （1）弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量； （2）设未知数； （3）根据找出的两个等量关系列出方程组； （4）解方程组； （5）检验所得的解是否符合题意； （6）写出答案（包括单位)． 知识点2 销售问题 单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；． 例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件． 知识点3 增长率问题 ． 知识点4 数的表示问题 1. 用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b． 2. 变换数位后多位数的表示 （1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x． （2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m． 知识点5 行程问题 1. 关系式 速度×时间＝路程． 2. 常见问题类型 （1）相遇问题：二者路程之和等于两点间距离． （2）追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离； ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等． （3）环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长． （4）列车问题：需考虑车自身长度． （5）顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 知识点6 工程问题 1. 工作总量＝工作时间×工作效率． 2. 当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量． 【题型1 销售问题】 【例1】（25-26七年级下·河北张家口·期末）某厂家生产了贴合2026年马年生肖的A、B两款手机壳．某超市从厂家购进A、B两款手机壳，第一批购进A款100个，B款200个，总费用为4000元；第二批购进A款40个，B款60个，总费用为1300元． (1)①嘉淇利用画表格（表格不完整）的方法分析数量关系． 进货批次 A款费用 B款费用 总费用 一 4000 二 1300 代表______； 代表______； “”代表______；“”代表______； ②求和的值； (2)第三批进货用8000元钱购进这两款手机壳，如果每售出一个A款手机壳可获利8元，售出一个B款手机壳可获利6元．设第三批购进A款手机壳个，B款手机壳个． ①用含的代数式表示； ②若第三批购进的A、B两款手机壳全部售出，且售出后所得的利润不低于4000元，求的最小值． 【变式1-1】（25-26七年级下·北京·期中）列二元一次方程组解应用题： 电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据最新统计更新，《哪吒之魔童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648亿美元总票房，升至全球影史票房榜第4名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40元，银河厅每张票售价50元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20张票，由于星光厅余票不足20张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？ 【变式1-2】（25-26七年级下·山西朔州·期中）推进乡村全面振兴，需要大力发展农产品加工业，做好独特品种的特色农产品开发．大樱桃是怀仁市的特色农产品，某村集体组织农户将大樱桃按果实大小包装成精品大果、优级中果两种五斤装礼盒出售．已知每件精品大果礼盒比每件优级中果礼盒的售价多20元，且15件精品大果礼盒和10件优级中果礼盒的总售价为2500元．问：精品大果礼盒与优级中果礼盒每件售价分别为多少元？ 【变式1-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元．求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． 【题型2 增长率问题】 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）中国汽车技术研究中心5月16日发布《汽车产业知识产权十年发展报告》，报告显示，过去十年中国汽车专利公开量持续全球领先，新能源汽车领域专利公开量从2016年的5万余件增至2025年的11万余件，年均增长率达17.1%，展示出我国这一领域的蓬勃发展．某新能源汽车销售中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解，4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总价为160万元，3辆“清风”型汽车的进货总价比4辆“晨光”型汽车少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该销售中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．（不考虑其他支出） 【变式2-1】某区政府年投入千万元用于改善教育服务，比年增加了千万元．投入资金用于改善社区教育和学校教育，年投入社区的资金比年增加了，投入学校的资金比年增加了． (1)该区政府年投入社区教育和学校教育的资金各是多少千万元？ (2)该区政府预计年将有千万元投入改善教育服务，若从年每年的资金投入按相同的增长率递增，求年的年增长率． 【变式2-2】某公司决定从甲、乙、丙三个工厂共购买100件同种产品A．计划从丙厂购买的产品数量是从甲厂购买的产品数量的2倍；从丙厂购买的产品数量的与从甲厂购买的产品数量之和，刚好等于从乙厂购买的产品数量． （1）求该公司从三个工厂各应购买多少件产品A； （2）已知这三个工厂生产的产品A的优品率分别为甲：，乙：，丙，求快乐公司所购买的100件产品A的优品率（优品率优品数÷总数）； （3）在第（2）题的基础上，你认为该公司在购买总数100件不变的情况下，能否通过改变计划，调整从三个工厂购买产品A的数量，使购买产品A的优品率上升．若能，请求出所有可能的购买方案；若不能，请说明理由（各厂购买的优品件数是整数且三个公司都要有购买）． 【变式2-3】王老板经营一家时令鲜蔬超市，某天清晨他花了420元从批发市场购进一批西红柿和青豆角，其进价以及计划售价如下表所示．若将这批鲜蔬全部售出，预计将能获得260元的利润． 价格品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 西红柿 1.5 2.5 青豆角 1.2 1.8 (1)王老板购进西红柿和青豆角各多少斤？ (2)在实际销售的过程中，根据以往的经验，西红柿较易损伤，因此为了避免滞销造成的进一步损伤，王老板决定将西红柿打八折出售，但即使这样，售完后统计，损伤率依然达2%（损伤部分不销售）；而青豆角则备受消费者青睐，在售出一半后，王老板将其售价提高50%后再销售．问：售完这批鲜蔬后，王老板实际所获得的利润为多少元？ 【题型3 数的表示问题】 【例3】（25-26七年级下·江西南昌·期中）一个两位数数位上的数字之和是14，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，求原两位数． 【变式3-1】（24-25七年级下·山东泰安·阶段检测）甲、乙两人做加法，甲在其中一个加数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，求原来的两个加数． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求这个两位数． 【变式3-3】（24-25七年级下·山东济宁·阶段检测）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【题型4 行程问题】 【例4】（25-26七年级下·广东广州·期末）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮胎纹的磨损程度比后轮严重．资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到万公里时报废．假设在轮胎的使用寿命内，同一位置（前轮或后轮）轮胎胎纹每公里的磨损率是一样的． 如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前、后轮的轮胎换位的建议（即定期将前、后轮胎互换）．若小汽车交换前、后轮胎后，能行驶到前、后轮胎同时报废，此时小汽车行驶总里程最大，轮胎的使用效率也最高． (1)设轮胎出厂胎纹厚度为，则前轮万公里胎纹磨耗厚度为，后轮万公里胎纹磨耗厚度为 ； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程； (3)假设该小汽车在开始使用时，车上安装的个轮胎以及后备箱中的个备用轮胎均为同规格的全新轮胎．为了提高轮胎利用率，允许将这个轮胎通过不定期换位轮流使用（任何时候车上仍有个轮胎在运行）．应如何安排换位方案，才能使小汽车利用这个轮胎行驶的总里程最大？最大里程是多少万公里？ 【变式4-1】某人每小时可走平路8千米，可走下坡路10千米，可走上坡路6千米．他从甲地到乙地去，先走一段上坡路，再走一段平路．到乙地后立即返回甲地．往返共用了2小时36分钟．若甲乙两地间的路程为10千米，问上坡路有多少千米，平路多少千米? 【变式4-2】如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【变式4-3】（25-26七年级下·山东烟台·期中）某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【题型5 工程问题】 【例5】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【变式5-1】（25-26七年级下·云南玉溪·期中）为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【变式5-2】（2026·安徽阜阳·二模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶文化是中国传统文化的重要部分．现有甲、乙两个茶叶加工厂，计划合作一周完成茶叶的加工任务，由于加工人员调整，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，最终甲、乙两厂按原计划完成了加工任务． (1)设甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶，直接用含x，y的代数式填表： 工厂 原加工效率 现加工效率 甲 周 __________周 乙 周 __________周 一周总工作量 (2)求甲、乙两个工厂原计划一周分别加工茶叶多少千克． 【变式5-3】（25-26七年级下·江苏南通·期中）苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 【题型6 积分问题】 【例6】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投放积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分（分） 积分可以兑换部分商品，具体细则如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 已知公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分． (1)求，的值． (2)小敏家一季度共有公斤可回收垃圾，公斤易腐垃圾，公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得到具体的兑换方案． 【变式6-1】（2025七年级上·全国·专题练习）明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 【变式6-2】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 爱国 9 9 0 18 敬业 9 5 4 14 诚信 9 4 5 13 友善 9 2 7 11 (1)胜一场积___________分，负一场积___________分； (2)若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【变式6-3】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）“山海好好看，大连真浪漫”．五一劳动节期间，来自全国各地的球迷相聚大连梭鱼湾足球场，再一次刷新中超历史第二上座纪录．下表是截至2025年5月6日，2025赛季中国足球超级联赛部分球队的积分情况． 表21-1中国足球超级联赛积分榜（部分球队） 球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 成都蓉城 11 8 2 1 26 山东泰山 11 5 2 4 17 天津津门虎 11 4 4 3 16 浙江 11 4 3 4 15 大连英博 11 3 4 4 13 梅州客家 11 3 3 5 12 备注：负1场得0分 小金和小普不仅热爱足球，而且对联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场，平一场分别积几分？” 小金的思路是：设胜一场积x分，则根据“成都蓉城”胜平场数与积分的关系，用含x的式子表示平一场的积分为_______________，再根据“大连英博”胜平场数与积分的关系，可列一元一次方程为_______________． 小普的思路是：设胜一场积x分，平一场积y分，列二元一次方程组解决此问题． (1)请将小金的思路中的空格处补充完整； (2)请按照小普的思路，选择不同于小金所选球队的数据，求出胜一场，平一场分别积几分？ 【题型7 配套问题】 【例7】某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 【变式7-1】（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答） 【变式7-2】（25-26七年级下·重庆万州·期中）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【变式7-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【题型8 分段计费问题】 【例8】为了提倡节约用水，某市对居民用水采用分段计费方式：当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费.已知李阿姨家五月份用水量为，缴纳水费38.2元．七月份用水量为，缴纳水费52.2元． (1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少元？ (2)若该市某户十月份用水量为，求该户这个月应缴纳水费多少元？ 【变式8-1】列二元一次方程组解决问题： 随着地铁2号线一期的开通，太原正式进入地铁时代．已知2号线一期采用按里程分段计价的票制，其中全程最高票价为6元，学生可享受半价．周日，八年级某班师生共36人从始发站“西桥”乘地铁至终点站“尖草坪”，感受“地铁速度”，其中学生均购半价票，单程共付车票费用126元．求他们购买全价票与半价票各多少张？ 【变式8-2】为倡导市民绿色出行，提高市民环保意识和健康意识，怀柔区建立了城市公共自行车系统，共建64个站点，投放2300辆自行车.并于2016年8月15日正式投入运营.办理借车卡和借车服务费标准如下： 首次办理借车卡免收工本费，本地居民收取300元保证金及预充值消费50元、外地居民收取500元保证金及预充值消费50元. 借车服务费用实行分段合计，还车刷卡时，从借车卡中结算扣取，每次借车1小时（含）为免费租用期；超过免费租用期1小时以内（含）的收取1元；超过免费租用期2小时到4小时以内（含）的，每小时收取2元；超过免费租用期4个小时以上的，每小时收取3元；一天20元封顶（不足一小时按1小时计）. 刘亮妈妈到网点首次办了一张借车卡.第一次，她用了5小时20分钟后才还车.后来妈妈又借车出行了30次，卡中预充值的费用就全部用完了，妈妈说后来的这30次，每次从卡中扣除的服务费都是1元或3元.请你通过列方程或方程组的方法帮刘亮妈妈算一算她扣除1元和3元服务费各几次. 【变式8-3】综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【题型9 方案问题】 【例9】（25-26七年级上·安徽六安·期末）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【变式9-1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）五一劳动节到了，某中学打算去花店购买鲜花为学校的保洁阿姨送上一份节日祝福．已知买2束康乃馨和6束玫瑰共花费670元，并且每束康乃馨比玫瑰便宜25元． (1)求每束康乃馨和玫瑰的售价． (2)花店里搞活动，有两种促销方案： 方案①：五束康乃馨和五束玫瑰为一套餐，套餐打八折； 方案②：消费满990减100，满1990减200． 两种方案不能同时参与．学校打算购买14束康乃馨和12束玫瑰，请问如何购买更划算？ 【变式9-2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元． (1)求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱． (2)现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳 促销方案二 买A种或B种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条．请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适． 【变式9-3】（24-25七年级下·浙江·阶段检测）【问题情境】 如图所示，张奶奶准备在长的围墙边放花盆种花，现有两种型号的花盆，长分别是和，宽和高均相等． 【探究学习】 （1）已知购买2个型花盆，3个型花盆共需68元，购买3个型花盆比购买5个型花盆少花31元．则两种型号的花盆的单价是多少元？ （2）如果将这两种型号的花盆按长边顺次相接，个型花盆，个型花盆正好摆满围墙墙边，求正整数的值． 【灵活应用】 （3）在（1）和（2）的条件下，某商店提供了两种优惠方案： 方案一：购买6个型花盆，赠送一把铲子； 方案二：购买6个型花盆，总费用打九折． 张奶奶想要购买一些花盆（花盆正好摆满围墙墙边）和一把铲子（铲子的单价是15元），请你帮张奶奶选择一种更划算的购买方案，并说明理由． 【题型10 年龄问题】 【例10】根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【变式10-1】（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【变式10-2】今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【变式10-3】聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄. 【题型11 古代问题】 【例11】（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题，今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱，甲乙两人各带了多少钱？ 【变式11-1】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）列二元一次方程组解决问题．有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．求牧童多少人，竹竿多少根？ 【变式11-2】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 【变式11-3】（2025八年级上·全国·专题练习）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少；另外三个群，狗的数量多且数量相同．若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 【题型12 形积问题】 【例12】（25-26七年级上·山东潍坊·期末）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【变式12-1】（25-26八年级上·全国·期末）综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②高为的圆柱形烧杯原始水面高度是． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 【变式12-2】（2025·广东·二模）【综合与实践】 主题：制作一个有盖长方体形纸盒． 素材：一张矩形纸板． 操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒． 计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某实验室进行物体浸没实验，使用底面积为的长方体容器，初始水深为，已知每次实验物体均完全浸没． 第一次实验放入4个A型物体和3个B型物体后，水位上升至． 第二次实验放入2个A型物体和5个B型物体后，水位上升至． (1)求每个A型物体和B型物体的体积； (2)若第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，求此时容器内的水深． 【题型13 图表信息问题】 【例13】（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 90 2 180 B 60 C 40 D 30 14 合计 32 1360 (1)购买D种奖品的金额为_______元； (2)求购买的B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，鼓励更多的学生学习环保知识，该校决定扩大受奖人数并以上面的价格再购进B，C，D三种奖品共20件，计划刚好花费700元．请确定所有可能的购买方案． 【变式13-1】（25-26七年级下·广东广州·期末）每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并实践 “低碳” 生活是我们每一个人的社会责任．小亮统计自家5、6月的能耗数据，制成家庭月度 “碳足迹” 统计表． 姓名：小亮 家庭人数：4人 月份 家庭用电消耗量（度） 天然气消耗量（） 总碳足迹（） 月 月 （家庭碳足迹计算公式：总碳足迹=家庭用电消耗量×每度电的碳排放量+天然气消耗量×每立方米天然气的碳排放量） 设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，请列二元一次方程组求出，的值． 【变式13-2】（25-26七年级下·广东广州·期末）对每个人来说，膳食结构至关重要，它直接影响人们的身体健康．某校组织部分学生去参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，其营养成分如图所示： (1)根据图表填空：_____________，_____________；学生小天在运动过后需要快速补充能量，优先摄入高碳水、适量蛋白、少量脂肪的食物，那么小天的午餐应该选择食品__________（填A或B）； (2)学生小河要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (3)若要使每份午餐中的蛋白质含量正好是（两种食品均需包含，且每种食品整份搭配），直接写出A，B两种食品的搭配方案． 【变式13-3】（24-25七年级下·福建厦门·期末）《国家学生体质健康标准》中明确要求关注身体形态和肥胖状况．体重指数（）是用来衡量人体胖瘦程度的常用参考指标，根据数值将人体胖瘦状况分为体重过低、体重正常、超重、肥胖四种类型． （一）从某校七年级学生中随机抽取男生、女生各20名，测得他们的身高和体重数据，计算出相应的数值，并将数据整理如下： 20名男生胖瘦状况频数分布表  20名女生胖瘦状况条形图 组别 频数    体重过低 3 体重正常 a 超重 4 肥胖 3 （二）由资料知，饮食平衡与适当运动可以有效控制．为保障在食堂就餐学生的营养均衡，学校加强对食堂供餐的管理．已知学校食堂某天午餐的供餐方案：每份午餐含米饭、一份荤菜、两份半荤菜及一份蔬菜．其中每份午餐中蔬菜类食物合计，肉蛋类食物合计，各类菜品配料等具体信息如表一． 【备注：学校食堂采用少油少盐的营养供餐，因此食用油、食盐等配料等的热量和蛋白质忽略不计】 表一 类别 菜名 原材料质量配比 每100克含热量（千焦） 每100克含蛋白质（克） 荤菜 卤鸡腿 鸡腿 840 18 半荤 番茄炒蛋 番茄：鸡蛋 300 6 半荤 花菜炒肉片 花菜：肉片 350 7 蔬菜 清炒空心菜 空心菜 25 主食 米饭 大米 1400 4 （三）该校七年级学生均为13岁—14岁的青少年，我国该年龄段学生的午餐营养标准如表二． 表二 能量需要量（千焦） 蛋白质摄入量（克） 男 女 根据材料解决下列问题： (1)　　　　　　； (2)已知该校七年级男生260人，女生240人．根据以上统计数据，估计该校七年级学生体重正常的人数比例．针对该校七年级学生的胖瘦状况，请你提出一条合理化建议； (3)通过计算，判断该份午餐是否符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 【题型14 和差倍分问题】 【例14】（25-26七年级下·北京通州·期末）列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度．    【变式14-1】（25-26七年级下·北京昌平·期末）某种植园需要Ⅰ、Ⅱ两种型号的化肥．Ⅰ型化肥需用原料A，B按进行配制；Ⅱ型化肥需用原料A，C按进行配制，原料A现有200千克，需要购入原料B，C，完成配制任务，若购入原料B，C共计470千克，配制完成后所有原料刚好用完．求购入的原料B，C各多少千克． 【变式14-2】（2026·江西九江·二模）某校利用体育大课间抽查七年级学生体育项目练习情况，共进行了两次抽查（每名学生只抽查一个项目），两次抽查合格率相同，跳绳为，排球为．第一次抽查跳绳和排球共44人合格，第二次抽查跳绳和排球共100人合格，且第二次抽查跳绳的人数是第一次抽查跳绳人数的2倍，第二次抽查排球的人数是第一次抽查排球人数的3倍． (1)求学校第一次抽查的学生总人数． (2)若八年级进行了一次跳绳抽查，跳绳的合格人数与七年级两次抽查的跳绳合格总人数相同，且合格率为，求八年级跳绳抽查的学生人数． 【变式14-3】（24-25八年级上·全国·期末）在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 (1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ (2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 【题型15 跨学科问题】 【例15】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，求王老师的水杯容量； (2)小军同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求小军同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 【变式15-1】（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）在物理实验课上，物理老师准备了一个苹果和一个梨，让实践小组利用托盘天平对苹果和梨的质量展开了称重实验．下图是实践小组的实验图（天平处于平衡状态），根据实验图获取的信息分别求出该苹果和梨的质量． 【变式15-2】【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中称盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆称．设定，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． 【变式15-3】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测） 如何配制食盐水溶液浓度？ 素材一 实验室现有浓度为和的食盐水溶液各若干，两种浓度的食盐水溶液存储情况如表所示： 序号 食盐水浓度 规格（克/瓶） 库存（瓶） 1 500 20 2 250 20 素材二 溶液百分比浓度是指溶液中所含溶质的质量的百分比． 计算公式为：溶液百分比浓度， 其中溶液质量溶质质量溶剂质量． 如在食盐水溶液中，溶质是盐，溶剂是水． 任务一 计算溶液浓度 若用食盐水溶液6瓶和食盐水溶液4瓶混合配制新的食盐水溶液，求配出的食盐水溶液浓度为：________． 任务二 填写任务清单 实验名称：配制浓度的食盐水溶液6千克． 序号 食盐水浓度 数量 1 ________千克 2 ________千克 通过计算填写实验任务单，并写出计算过程． 任务三 拟定设计方案 为了有效利用化学物品，避免浪费，每瓶开启的食盐水溶液都恰好用完，则配制浓度的食盐水溶液有几种方案，浓度为和的食盐水溶液各需几瓶？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 二元一次方程组的应用（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 销售问题】 3 【题型2 增长率问题】 3 【题型3 数的表示问题】 5 【题型4 行程问题】 9 【题型5 工程问题】 11 【题型6 积分问题】 14 【题型7 配套问题】 17 【题型8 分段计费问题】 21 【题型9 方案问题】 26 【题型10 年龄问题】 29 【题型11 古代问题】 34 【题型12 形积问题】 36 【题型13 图表信息问题】 39 【题型14 和差倍分问题】 42 【题型15 跨学科问题】 48 考点1 二元一次方程组的应用 知识点1 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 （1）弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量； （2）设未知数； （3）根据找出的两个等量关系列出方程组； （4）解方程组； （5）检验所得的解是否符合题意； （6）写出答案（包括单位)． 知识点2 销售问题 单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；． 例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件． 知识点3 增长率问题 ． 知识点4 数的表示问题 1. 用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b． 2. 变换数位后多位数的表示 （1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x． （2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m． 知识点5 行程问题 1. 关系式 速度×时间＝路程． 2. 常见问题类型 （1）相遇问题：二者路程之和等于两点间距离． （2）追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离； ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等． （3）环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长． （4）列车问题：需考虑车自身长度． （5）顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 知识点6 工程问题 1. 工作总量＝工作时间×工作效率． 2. 当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量． 【题型1 销售问题】 【例1】（25-26七年级下·河北张家口·期末）某厂家生产了贴合2026年马年生肖的A、B两款手机壳．某超市从厂家购进A、B两款手机壳，第一批购进A款100个，B款200个，总费用为4000元；第二批购进A款40个，B款60个，总费用为1300元． (1)①嘉淇利用画表格（表格不完整）的方法分析数量关系． 进货批次 A款费用 B款费用 总费用 一 4000 二 1300 代表______； 代表______； “”代表______；“”代表______； ②求和的值； (2)第三批进货用8000元钱购进这两款手机壳，如果每售出一个A款手机壳可获利8元，售出一个B款手机壳可获利6元．设第三批购进A款手机壳个，B款手机壳个． ①用含的代数式表示； ②若第三批购进的A、B两款手机壳全部售出，且售出后所得的利润不低于4000元，求的最小值． 【答案】(1)①A款手机壳进货的单价；B款手机壳进货的单价； ；；②． (2)①；②的最小值为200 【分析】（1）①根据题意并列代数式即可完成填空，②根据题意列出关于x、y的方程组求解即可； （2）①先根据题意列出方程，再解关于b的方程即可；②根据题意得到售出后所得的利润为，再根据全部售出，且售出后所得的利润不低于4000元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：A款手机壳进货的单价；B款手机壳进货的单价； ；； ②由题意可知：， 解得． （2）解：①由题意可得：， ； ②由题意可得：售出后所得的利润为， ∵手机壳全部售出，且售出后所得的利润不低于4000元， ∴， 解得． ∴的最小值为200． 【变式1-1】（25-26七年级下·北京·期中）列二元一次方程组解应用题： 电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据最新统计更新，《哪吒之魔童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648亿美元总票房，升至全球影史票房榜第4名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40元，银河厅每张票售价50元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20张票，由于星光厅余票不足20张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？ 【答案】实践小组买了星光厅票5张，银河厅票15张． 【分析】本题根据总票数和总花费两个等量关系，设两个未知数列出二元一次方程组，求解方程组即可得到结果． 【详解】解：设实践小组买了星光厅票张，银河厅票张， 根据题意可得， 解得， 即实践小组买了星光厅票5张，银河厅票15张． 【变式1-2】（25-26七年级下·山西朔州·期中）推进乡村全面振兴，需要大力发展农产品加工业，做好独特品种的特色农产品开发．大樱桃是怀仁市的特色农产品，某村集体组织农户将大樱桃按果实大小包装成精品大果、优级中果两种五斤装礼盒出售．已知每件精品大果礼盒比每件优级中果礼盒的售价多20元，且15件精品大果礼盒和10件优级中果礼盒的总售价为2500元．问：精品大果礼盒与优级中果礼盒每件售价分别为多少元？ 【答案】精品大果礼盒每件售价为108元，优级中果礼盒每件售价为88元 【分析】设精品大果礼盒每件售价为x元，优级中果礼盒每件售价为y元．根据等量关系“每件精品大果礼盒比每件优级中果礼盒的售价多20元”，“15件精品大果礼盒和10件优级中果礼盒的总售价共2500元”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设精品大果礼盒每件售价为x元，优级中果礼盒每件售价为y元．   根据题意，得 解得 答：精品大果礼盒每件售价为108元，优级中果礼盒每件售价为88元． 【变式1-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元．求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． 【答案】每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元 【分析】设每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元，根据“若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元”列方程组求解即可． 【详解】解：设每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元， 根据题意得：， 解之得． 答：每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元． 【题型2 增长率问题】 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）中国汽车技术研究中心5月16日发布《汽车产业知识产权十年发展报告》，报告显示，过去十年中国汽车专利公开量持续全球领先，新能源汽车领域专利公开量从2016年的5万余件增至2025年的11万余件，年均增长率达17.1%，展示出我国这一领域的蓬勃发展．某新能源汽车销售中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解，4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总价为160万元，3辆“清风”型汽车的进货总价比4辆“晨光”型汽车少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该销售中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．（不考虑其他支出） 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元 (2)共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【分析】（1）设“晨光”型汽车的进货单价是x万元，“清风”型汽车的进货单价是y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意列出二元一次方程，求出正整数解即可. 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是x万元，“清风”型汽车的进货单价是y万元． 根据题意，得解得 答：“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆． 根据题意，得． ∴． ∵m，n为正整数， ∴或或 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆． 【变式2-1】某区政府年投入千万元用于改善教育服务，比年增加了千万元．投入资金用于改善社区教育和学校教育，年投入社区的资金比年增加了，投入学校的资金比年增加了． (1)该区政府年投入社区教育和学校教育的资金各是多少千万元？ (2)该区政府预计年将有千万元投入改善教育服务，若从年每年的资金投入按相同的增长率递增，求年的年增长率． 【答案】(1)投入社区教育资金为千万元，投入学校教育资金为千万元 (2) 【分析】（1）根据2019年投入15千万元，比2018年增加了3千万元可得2018年投入12千万元，再根据2018年总投入和2019年总投入以及社区、学校各自的增长率列方程组求解即可； （2）根据增长率的公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该区政府2018年投入社区教育千万元，投入学校教育千万元由题意得 ， 解得， 答：该区政府2018年投入社区教育资金为千万元，投入学校教育资金为千万元． （2）解：设年增长率为，由题意得， 解得，（不合实际，舍去） 答：从年的年增长率是． 【变式2-2】某公司决定从甲、乙、丙三个工厂共购买100件同种产品A．计划从丙厂购买的产品数量是从甲厂购买的产品数量的2倍；从丙厂购买的产品数量的与从甲厂购买的产品数量之和，刚好等于从乙厂购买的产品数量． （1）求该公司从三个工厂各应购买多少件产品A； （2）已知这三个工厂生产的产品A的优品率分别为甲：，乙：，丙，求快乐公司所购买的100件产品A的优品率（优品率优品数÷总数）； （3）在第（2）题的基础上，你认为该公司在购买总数100件不变的情况下，能否通过改变计划，调整从三个工厂购买产品A的数量，使购买产品A的优品率上升．若能，请求出所有可能的购买方案；若不能，请说明理由（各厂购买的优品件数是整数且三个公司都要有购买）． 【答案】（1）甲、乙、丙购买的数量分别为20、40、40；（2）86%；（3）见解析 【分析】（1）根据题意所述的两个等量关系列出方程组，解出即可得出答案； （2）先求出优品数量，然后除以100即可得出优品率； （3）设从甲厂购买件，从乙厂购买件，则从丙厂购买件，根据优品的数量不变，可得出方程，解出即可． 【详解】解：（1）设从甲厂购买x件产品A，从乙厂购买y件产品A， 由题意得：， 解得：， 所以从甲、乙、丙购买的数量分别为20、40、40， （2）优品量率为． （3）设从甲厂购买件，从乙厂购买件，则从丙厂购买件， ， 化简得： 因为各厂购买的优品件数是整数，所以，要是整数， 所以当时，符合；则从甲购20件，乙购0件，丙购80件； 当时，符合；则从甲购10件，乙购20件，丙购70件； 当时，符合；则从甲购0件，乙购40件，丙购60件； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答此类应用性题目，一定要仔细审题，找到等量关系，然后运用方程思想进行解答． 【变式2-3】王老板经营一家时令鲜蔬超市，某天清晨他花了420元从批发市场购进一批西红柿和青豆角，其进价以及计划售价如下表所示．若将这批鲜蔬全部售出，预计将能获得260元的利润． 价格品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 西红柿 1.5 2.5 青豆角 1.2 1.8 (1)王老板购进西红柿和青豆角各多少斤？ (2)在实际销售的过程中，根据以往的经验，西红柿较易损伤，因此为了避免滞销造成的进一步损伤，王老板决定将西红柿打八折出售，但即使这样，售完后统计，损伤率依然达2%（损伤部分不销售）；而青豆角则备受消费者青睐，在售出一半后，王老板将其售价提高50%后再销售．问：售完这批鲜蔬后，王老板实际所获得的利润为多少元？ 【答案】(1)购进西红柿200斤，青豆角100斤 (2)王老板实际所获得的利润为197元 【分析】（1）设购进西红柿斤，青豆角斤，根据题目信息列出方程即可求解． （2）方法一：先算出两个产品的总收入，再用总收入减去成本和损伤即可求解； 方法二：直接算出两个产品的利润，再减去损耗即可求解． 【详解】（1）设购进西红柿斤，青豆角斤，依题意得： 解得 答：购进西红柿200斤，青豆角100斤． （2）方法一：西红柿收入：（元） 青豆角收入：（元） 所得利润：（元） 答：王老板实际所获得的利润为197元． 方法二 西红柿所得利润：（元） 青豆角所得利润：（元） 损耗部分成本：（元） 实际所得利润：（元） 答：王老板实际所获得的利润为197元． 【点睛】本题考查了二元一次方程的列举以及解决与生活联系的利润销售问题，读懂题目意思，清楚的分析的表格是解决本题的关键． 【题型3 数的表示问题】 【例3】（25-26七年级下·江西南昌·期中）一个两位数数位上的数字之和是14，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，求原两位数． 【答案】68 【分析】设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据数字之和为14和新数比原数大18的条件列方程组求解． 【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b， 则原数为，数字之和，交换后新数为， 由新两位数比原两位数大18，得， 化简得， 即． 解方程组， 解得， 故原两位数为． 【变式3-1】（24-25七年级下·山东泰安·阶段检测）甲、乙两人做加法，甲在其中一个加数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，求原来的两个加数． 【答案】和 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是根据题意找出等量关系． 设其中一个加数为，另一个加数为，根据两种情况进行列出方程组，求解即可． 【详解】解：设其中一个加数为，另一个加数为，根据题意得， 解得 所以原来的两个加数分别为和． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求这个两位数． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组解实际应用，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键．根据题意列出方程组进行解题即可． 【详解】解：设原两位数十位上的数是，个位上的数是， 则 解得． 答：所求的两位数是． 【变式3-3】（24-25七年级下·山东济宁·阶段检测）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ，解得：， ∴这个三位数为：． 【题型4 行程问题】 【例4】（25-26七年级下·广东广州·期末）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮胎纹的磨损程度比后轮严重．资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到万公里时报废．假设在轮胎的使用寿命内，同一位置（前轮或后轮）轮胎胎纹每公里的磨损率是一样的． 如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前、后轮的轮胎换位的建议（即定期将前、后轮胎互换）．若小汽车交换前、后轮胎后，能行驶到前、后轮胎同时报废，此时小汽车行驶总里程最大，轮胎的使用效率也最高． (1)设轮胎出厂胎纹厚度为，则前轮万公里胎纹磨耗厚度为，后轮万公里胎纹磨耗厚度为 ； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程； (3)假设该小汽车在开始使用时，车上安装的个轮胎以及后备箱中的个备用轮胎均为同规格的全新轮胎．为了提高轮胎利用率，允许将这个轮胎通过不定期换位轮流使用（任何时候车上仍有个轮胎在运行）．应如何安排换位方案，才能使小汽车利用这个轮胎行驶的总里程最大？最大里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2)应在汽车行驶万公里时交换，轮胎报废时总行驶里程为万公里 (3)定期换位使每个轮胎作为前轮和后轮行驶的里程相等，最终所有轮胎同时报废，最大总里程为万公里 【分析】（1）根据后轮总使用寿命和总胎厚计算每万公里磨损量； （2）设换胎前后行驶里程，根据两个轮胎总磨损均为1列二元一次方程组求解； （3）计算每万公里总磨损量，结合5个轮胎总最大磨损计算最大总里程，得到最优换位方案． 【详解】（1）解：已知总胎纹厚度为1，后轮8万公里报废，可得后轮1万公里磨耗厚度为； （2）解：设行驶万公里时交换轮胎，交换后再行驶万公里两对轮胎同时报废， 由题意，原前轮交换后做后轮，总磨损量为1，得：， 原后轮交换后做前轮，总磨损量为1，得：， 整理得方程组：， 解得， 答：应在行驶万公里时交换，总行驶里程为万公里； （3）解：设总行驶里程为S万公里． 每行驶1万公里，两个前轮总磨损为，两个后轮总磨损为， 则每万公里总磨损为． 当所有轮胎同时报废时总里程最大，5个轮胎总最大磨损为， 可得：， 解得， 答：安排换位使每个轮胎作为前轮和后轮行驶的里程相等，最终同时报废，最大总里程为万公里． 【变式4-1】某人每小时可走平路8千米，可走下坡路10千米，可走上坡路6千米．他从甲地到乙地去，先走一段上坡路，再走一段平路．到乙地后立即返回甲地．往返共用了2小时36分钟．若甲乙两地间的路程为10千米，问上坡路有多少千米，平路多少千米? 【答案】 上坡路有千米，平路有千米 【分析】设上坡路有千米，平路有千米，根据题意，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：设上坡路有千米，平路有千米， 小时分钟小时， 由题意，得， 解得， 答：上坡路有千米，平路有千米. 【变式4-2】如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【答案】车头长米，每节车厢长米； 【分析】根据题意，设车头米，车厢每节米，然后列出方程组，解方程组即可得到答案； 【详解】解：设车头米，车厢每节米，根据题意， 可列方程组：， 解得：； 答：车头长米，每节车厢长米． 【变式4-3】（25-26七年级下·山东烟台·期中）某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【答案】(1)车头与每节车厢的长度分别为4米，8米 (2)隧道的长度为120米 【分析】（1）设观光车的车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，根据观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设隧道的长度为a米，观光车身总长度为b米，根据观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，列出方程组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． （2）解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． 【题型5 工程问题】 【例5】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 【变式5-1】（25-26七年级下·云南玉溪·期中）为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【答案】 甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天 【分析】根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天， 根据题意列方程组得， 解得， 答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天. 【变式5-2】（2026·安徽阜阳·二模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶文化是中国传统文化的重要部分．现有甲、乙两个茶叶加工厂，计划合作一周完成茶叶的加工任务，由于加工人员调整，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，最终甲、乙两厂按原计划完成了加工任务． (1)设甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶，直接用含x，y的代数式填表： 工厂 原加工效率 现加工效率 甲 周 __________周 乙 周 __________周 一周总工作量 (2)求甲、乙两个工厂原计划一周分别加工茶叶多少千克． 【答案】(1)， (2)甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶 【分析】（1）根据“甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了”，用含x，y的代数式表示现加工效率； （2）根据原计划总工作量和现计划总工作量均为，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：甲现加工效率：； 乙现加工效率：． 故答案为：． （2）解：由题意得 由第一个方程得 ，代入第二个方程： 则 ． 答：甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶． 【变式5-3】（25-26七年级下·江苏南通·期中）苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 【答案】(1)甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． (2)安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 【分析】（1）设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x和y吨，根据“甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨”列二元一次方程组求解即可； （2）设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元，易得， 运输总费用为，再分别列举m、n的可能取值，并分别求出运输总费用，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x吨和y吨， 根据题意得：，解得：， 答：甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． （2）解：设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元， 根据题意，得：，整理得：， 运输总费用为， ∵m、n为自然数， ∴当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元． 所以安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 【题型6 积分问题】 【例6】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投放积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分（分） 积分可以兑换部分商品，具体细则如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 已知公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分． (1)求，的值． (2)小敏家一季度共有公斤可回收垃圾，公斤易腐垃圾，公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得到具体的兑换方案． 【答案】(1) (2)有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点 ，理解题意，列出方程（组）是解决此题的关键． （1）根据题意得列出方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出方程，然后根据s，t，m，n都为非负整数，讨论即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：共有积分为：， 设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张， ∴由题意得： 化简得：， ∵s，t，m，n都为非负整数，15，20，10均为5的倍数， ∴ ∴原式化为：， ∴；或， 有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张． 【变式6-1】（2025七年级上·全国·专题练习）明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况，理由见解析 (3)存在，胜场次数是 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答，联系实际情况． （1）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以求得胜一场和负一场各积多少分； （2）先判断，然后说明理由，可以用假设存在，求出相应的胜场次数，注意胜场次数必须是整数； （3）首先判断，然后根据题意求出相应的胜场次数，本题得以解决． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， ，得， 答：胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 理由：假设当前8场胜场时，胜场总积分等于它的负场总积分， ， 解得，， 是整数， 不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况； （3）解：存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 设在比赛结束后，胜了场， ， 解得，， 当是正整数且是3的倍数时，胜场总积分等于它的负场总积分，胜场次数是． 【变式6-2】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 爱国 9 9 0 18 敬业 9 5 4 14 诚信 9 4 5 13 友善 9 2 7 11 (1)胜一场积___________分，负一场积___________分； (2)若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【答案】(1)2；1 (2)这支球队胜了3场 【分析】（1）设胜一场积x分，负一场积y分，根据表格中的数据建立方程组求解即可； （2）设这支球队胜了m场，负了n场，根据一共有9场比赛，且胜场总积分与负场总积分相等建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场积x分，负一场积y分， 根据敬业队和诚信队的得分可得， 解得， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：设这支球队胜了m场，负了n场， 由题意得，， ∴， 答：这支球队胜了3场． 【变式6-3】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）“山海好好看，大连真浪漫”．五一劳动节期间，来自全国各地的球迷相聚大连梭鱼湾足球场，再一次刷新中超历史第二上座纪录．下表是截至2025年5月6日，2025赛季中国足球超级联赛部分球队的积分情况． 表21-1中国足球超级联赛积分榜（部分球队） 球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 成都蓉城 11 8 2 1 26 山东泰山 11 5 2 4 17 天津津门虎 11 4 4 3 16 浙江 11 4 3 4 15 大连英博 11 3 4 4 13 梅州客家 11 3 3 5 12 备注：负1场得0分 小金和小普不仅热爱足球，而且对联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场，平一场分别积几分？” 小金的思路是：设胜一场积x分，则根据“成都蓉城”胜平场数与积分的关系，用含x的式子表示平一场的积分为_______________，再根据“大连英博”胜平场数与积分的关系，可列一元一次方程为_______________． 小普的思路是：设胜一场积x分，平一场积y分，列二元一次方程组解决此问题． (1)请将小金的思路中的空格处补充完整； (2)请按照小普的思路，选择不同于小金所选球队的数据，求出胜一场，平一场分别积几分？ 【答案】(1)， (2)胜一场积3分，平一场积1分 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）“成都蓉城”胜8场，平2场积26分，则平一场的积分为分；“大连英博”胜3场，平4场积13分，则平一场的积分为分；据此建立方程即可； （2）设胜一场积x分，平一场积y分．根据山东泰山和天津津门虎胜平场数与积分的关系建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵“成都蓉城”胜8场，平2场积26分， ∴平一场的积分为分； ∵“大连英博”胜3场，平4场积13分， ∴平一场的积分为分； ∴； （2）解：设胜一场积x分，平一场积y分． 根据题意，列得方程组， 解得， 答：胜一场积3分，平一场积1分． 【题型7 配套问题】 【例7】某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只 (2)n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只 【分析】（1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可； （2）设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数），根据竖式箱子做20只，横式箱子做只，根据总板材需求列出方程，化简得出，再对k，n进行讨论，即可求得． 【详解】（1）解：由题意由题意由题意由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B， 设竖式做个，横式做个， 则，解得：， 答：制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只； （2）解：∵1张的C型板材，全切割为A型可得9张A型，全切割为B型可得3张B型；其中1张已经切割为3张A型、2张B型， 设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数）， 已知竖式箱子做20只，总板材需求满足： A型总数：，整理得：，即； B型总数：，整理得：， 将代入，得：， 因为且为整数，所以为正偶数，得为最小奇数（时为负，舍去）； 代入得：，，是最小的正整数， 即的最小值为，此时能制作横式箱子只． 【变式7-1】（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答） 【答案】应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮 【分析】设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再进行求解即可． 【详解】解：设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮， 由题意可得， 解得， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮． 【变式7-2】（25-26七年级下·重庆万州·期中）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 【变式7-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)； (2)使加工出的A，B板块恰好用完，能做个礼盒 (3)9 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 （2）解：由题意可得， ， 解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，， 解得， ∵x、a都是正整数， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，是整数，符合题意， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为9，此时，A、B分别有32块和16块，这样使礼盒制作完毕后的板块恰好用完． 【题型8 分段计费问题】 【例8】为了提倡节约用水，某市对居民用水采用分段计费方式：当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费.已知李阿姨家五月份用水量为，缴纳水费38.2元．七月份用水量为，缴纳水费52.2元． (1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少元？ (2)若该市某户十月份用水量为，求该户这个月应缴纳水费多少元？ 【答案】(1)该市一级水费的单价为2.6元/立方米，二级水费的单价为3.5元/立方米． (2)当用水量为时，缴纳水费为66.2元． 【分析】（1）设该市一级水费的单价为x元/立方米，二级水费的单价为y元/立方米，依题意得二元一次方程组， 解之即可得； （2）当用水量为时，代入求出一级水费和二级水费，相加即可得出； 【详解】（1）解：设该市一级水费的单价为x元/立方米，二级水费的单价为y元/立方米， 依题意得， 解得 经检验，方程组的解符合题意. 答：该市一级水费的单价为2.6元/立方米，二级水费的单价为3.5元/立方米． （2）当用水量为时， 答：当用水量为时，缴纳水费为66.2元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组； 【变式8-1】列二元一次方程组解决问题： 随着地铁2号线一期的开通，太原正式进入地铁时代．已知2号线一期采用按里程分段计价的票制，其中全程最高票价为6元，学生可享受半价．周日，八年级某班师生共36人从始发站“西桥”乘地铁至终点站“尖草坪”，感受“地铁速度”，其中学生均购半价票，单程共付车票费用126元．求他们购买全价票与半价票各多少张？ 【答案】全价票6张，半价票30张 【分析】设他们购买全价票x张，半价票y张，根据他们共购买36张票且共花费126元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设他们购买全价票x张，半价票y张， 依题意得：，解得：． 答：他们购买全价票6张，半价票30张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式8-2】为倡导市民绿色出行，提高市民环保意识和健康意识，怀柔区建立了城市公共自行车系统，共建64个站点，投放2300辆自行车.并于2016年8月15日正式投入运营.办理借车卡和借车服务费标准如下： 首次办理借车卡免收工本费，本地居民收取300元保证金及预充值消费50元、外地居民收取500元保证金及预充值消费50元. 借车服务费用实行分段合计，还车刷卡时，从借车卡中结算扣取，每次借车1小时（含）为免费租用期；超过免费租用期1小时以内（含）的收取1元；超过免费租用期2小时到4小时以内（含）的，每小时收取2元；超过免费租用期4个小时以上的，每小时收取3元；一天20元封顶（不足一小时按1小时计）. 刘亮妈妈到网点首次办了一张借车卡.第一次，她用了5小时20分钟后才还车.后来妈妈又借车出行了30次，卡中预充值的费用就全部用完了，妈妈说后来的这30次，每次从卡中扣除的服务费都是1元或3元.请你通过列方程或方程组的方法帮刘亮妈妈算一算她扣除1元和3元服务费各几次. 【答案】扣除1元的为25次，扣除3元的为5次. 【详解】解： 设扣除1元的为x次，扣除3元的为y次. 根据提议，列方程组为： 解得：   答：扣除1元的为25次，扣除3元的为5次. 【变式8-3】综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【答案】（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解电费由高峰用电费用和低谷用电费用组成是解决本题的关键．掌握最多用电量和最贵电费的求法是解决本题的易错点． （1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据第一档共产生电费1354.88元列出方程求解可得高峰用电量，加上低谷用电量即为的值； （2）根据高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元和高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．列出方程组求解即可得到和的值； （3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，那么最多需要的电费高峰电价，所以需要节约用电，尽量控制高峰用电． 【详解】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时． ． ． ． ． ； （2）由题意得：． 解得：． 答：，； （3）（千瓦时）． （元． 答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【题型9 方案问题】 【例9】（25-26七年级上·安徽六安·期末）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (2)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． (1)设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个，根据“总价单价数量”，再结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买钥匙扣个、玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程，结合“均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意得： 解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 由题意得：， ， 是正整数，且，， 或 或 ， 共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 【变式9-1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）五一劳动节到了，某中学打算去花店购买鲜花为学校的保洁阿姨送上一份节日祝福．已知买2束康乃馨和6束玫瑰共花费670元，并且每束康乃馨比玫瑰便宜25元． (1)求每束康乃馨和玫瑰的售价． (2)花店里搞活动，有两种促销方案： 方案①：五束康乃馨和五束玫瑰为一套餐，套餐打八折； 方案②：消费满990减100，满1990减200． 两种方案不能同时参与．学校打算购买14束康乃馨和12束玫瑰，请问如何购买更划算？ 【答案】(1)每束康乃馨的售价为65元，每束玫瑰的售价为90元 (2)选择方案①购买更划算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设每束康乃馨的售价为x元，每束玫瑰的售价为y元，根据买2束康乃馨和6束玫瑰共花费670元，并且每束康乃馨比玫瑰便宜25元，列出二元一次方程组求解； （2）利用总价=单价×数量，结合花店给出的促销方案，可求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）设每束康乃馨的售价为x元，每束玫瑰的售价为y元，根据题意得： 解得：， 答：每束康乃馨的售价为65元，每束玫瑰的售价为90元； （2）选择方案①所需费用为（元）； ∵（元）， ∴选择方案②所需费用为（元）． ∵， ∴选择方案①购买更划算． 【变式9-2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元． (1)求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱． (2)现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳 促销方案二 买A种或B种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条．请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适． 【答案】(1)A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元 (2) 促销方案一的花费：（元） 促销方案二的花费：（元） 当，解得：， 当，解得：． 当，解得：， 所以当时，该校选择促销方案一和二同样合适， 当时，该校选择促销方案二更合适， 当时，该校选择促销方案一更合适． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式来求解． （1）设种跳绳每条元，种跳绳每条元，根据已知条件列出方程组求出两种跳绳的单价； （2）分别计算两种促销方案的花费，通过比较花费来确定合适的方案． 【详解】（1）解：设种跳绳每条元，种跳绳每条元， 根据题意得：， 解得：． 种跳绳每条10元，种跳绳每条5元． （2）略 【变式9-3】（24-25七年级下·浙江·阶段检测）【问题情境】 如图所示，张奶奶准备在长的围墙边放花盆种花，现有两种型号的花盆，长分别是和，宽和高均相等． 【探究学习】 （1）已知购买2个型花盆，3个型花盆共需68元，购买3个型花盆比购买5个型花盆少花31元．则两种型号的花盆的单价是多少元？ （2）如果将这两种型号的花盆按长边顺次相接，个型花盆，个型花盆正好摆满围墙墙边，求正整数的值． 【灵活应用】 （3）在（1）和（2）的条件下，某商店提供了两种优惠方案： 方案一：购买6个型花盆，赠送一把铲子； 方案二：购买6个型花盆，总费用打九折． 张奶奶想要购买一些花盆（花盆正好摆满围墙墙边）和一把铲子（铲子的单价是15元），请你帮张奶奶选择一种更划算的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）两种型号的花盆的单价分别为元，元；（2）或；（3）张奶奶应选择购买2个型花盆，6个型花盆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程，有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设两种型号的花盆的单价分别为元，元，再列方程组，进行计算，即可作答． （2）理解题意，列出，再结合，均为正整数，分别得出或．即可作答． （3）结合方案一和方案二，且或，分别算出每种情况的金额，再比较，即可作答． 【详解】解：（1）设两种型号的花盆的单价分别为元，元， 依题意，得 解得， ∴两种型号的花盆的单价分别为元，元， （2）依题意，围墙长为的边放花盆种花， 两种型号的花盆的长分别是和，且个型花盆，个型花盆正好摆满围墙墙边 ∴， ∴， ∵，均为正整数， 即为正整数，且为正整数， ∴或． （3）依题意，当购买个型花盆，6个型花盆, 则（元）， 当购买6个型花盆，3个型花盆, 则（元）， ∵ ∴张奶奶应选择购买2个型花盆，6个型花盆． 【题型10 年龄问题】 【例10】根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 【变式10-1】（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 【变式10-2】今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【变式10-3】聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄. 【答案】聪聪现在的年龄为14岁，妈妈现在的年龄为41岁. 【分析】设聪聪的年龄为(10x+y)岁，妈妈的年龄为(10y+x)岁，根据“过10年，妈妈岁数减1(岁)刚好是自己岁数加1(岁)的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】(1)设聪聪的年龄为(10x+y)岁，则妈妈的年龄为(10y+x)岁， 根据题意得： ， 解得： ． 答：聪聪今年14岁，妈妈今年41岁． 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于设聪聪的年龄为(10x+y)岁. 【题型11 古代问题】 【例11】（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题，今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱，甲乙两人各带了多少钱？ 【答案】甲带了钱，乙带了钱． 【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲带了x钱，乙带了y钱， 根据题意得， 解得 ∴甲带了钱，乙带了钱． 【变式11-1】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）列二元一次方程组解决问题．有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．求牧童多少人，竹竿多少根？ 【答案】 牧童7人，竹竿56根. 【分析】设牧童人，竹竿根，根据两种分配竹竿的情况，利用竹竿总数不变建立等量关系，即可列出方程组，进而即可求解 【详解】解：设牧童有人，竹竿根， 根据“每人竿，多竿”，可得 根据“每人竿，恰好用完”，可得 因此可列方程组为 解得：， 答：牧童7人，竹竿56根 【变式11-2】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 【答案】(1)1头牛需要3两银子，1只羊需要2两银子 (2)购买了7只羊 (3)商人有3种购买方案，最多买5头牛 【分析】（1）设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买了m头牛，n只羊，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （3）设购买a头牛，b只羊，可得二元一次方程，则，再列举a的值，确定b的值即可解答． 【详解】（1）解：设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子， 由题意可得，解得：， 答：买1头牛需要3两银子，买1只羊需要2两银子． （2）解：设购买了m头牛，n只羊， 由题意可得，解得； 答：购买了7只羊． （3）解：设购买a头牛，b只羊， 依题意有，则， ∵a、b都是正整数， ∴共有三种购买方案： ①当时，，即购买1头牛，9只羊； ②当时，，购买3头牛，6只羊； ③当时，，购买5头牛，3只羊． 当均不符合题意． 答：共有三种购买方案，最多买5头牛． 【变式11-3】（2025八年级上·全国·专题练习）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少；另外三个群，狗的数量多且数量相同．若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 【答案】“三多”的每群狗有85条，“一少”的狗有45条． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 设“三多”的每群狗有m条，“一少”的狗有n条，根据共有300条狗，“三多”的每群狗比“一少”的那个群里狗的数量多40条列方程组求解即可． 【详解】解：设“三多”的每群狗有m条，“一少”的狗有n条， 由题意得， 解得， 答：“三多”的每群狗有85条，“一少”的狗有45条． 【题型12 形积问题】 【例12】（25-26七年级上·山东潍坊·期末）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 【变式12-1】（25-26八年级上·全国·期末）综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②高为的圆柱形烧杯原始水面高度是． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 【答案】(1)2 (2)放入4个大球，6个小球 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题时要能读懂题意，找到相等关系是关键． （1）根据“3个小球使水面上升”列式计算； （2）设放入x个大球，y个小球，根据放入大球、小球共10个，使水面上升到，进而可列方程组求解． 【详解】（1）解：由题意，根据图中数据可得，． 故答案为：2； （2）解：由步骤二可知，放入一个大球水面升高， 设放入x个大球，y个小球， 根据题意，得， 解得， 答：放入4个大球，6个小球． 【变式12-2】（2025·广东·二模）【综合与实践】 主题：制作一个有盖长方体形纸盒． 素材：一张矩形纸板． 操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒． 计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积． 【答案】 【分析】本题考查矩形的周长公式、比例关系以及长方体的相关知识．解题关键在于利用矩形的周长和边长比例求出矩形的边长，再通过分析图形中矩形边长与长方体棱长的关系，确定长方体的长、宽、高，最后运用长方体体积公式计算体积．先根据矩形的周长和边长比例关系求出矩形纸板的长和宽，再结合折成的长方体底面是正方形这一条件，确定长方体的长、宽、高，最后根据长方体体积公式计算体积． 【详解】解：∵矩形纸板的周长为， ∴． 又∵与的长度比为，设，， ∴，即， 解得． ∴，． 设折成的长方体底面正方形的边长为． 观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高． 即（为长方体的高） ∴，即， 解得． 把代入，可得， 解得． ∴长方体的长、宽均为、高为． ∴． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某实验室进行物体浸没实验，使用底面积为的长方体容器，初始水深为，已知每次实验物体均完全浸没． 第一次实验放入4个A型物体和3个B型物体后，水位上升至． 第二次实验放入2个A型物体和5个B型物体后，水位上升至． (1)求每个A型物体和B型物体的体积； (2)若第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，求此时容器内的水深． 【答案】(1)每个A型物体的体积为，每个B型物体的体积为 (2)此时容器内的水深为 【分析】（1）先求得第一和第二次实验浸没物体总体积，再列二元一次方程组，求解即可； （2）根据第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设每个A型物体的体积为，每个B型物体的体积为， 第一次实验：浸没物体总体积， 第二次实验：浸没物体总体积． 列方程组， 解得：， 答：每个A型物体的体积为，每个B型物体的体积为； （2）解：， 答：此时容器内的水深为． 【题型13 图表信息问题】 【例13】（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 90 2 180 B 60 C 40 D 30 14 合计 32 1360 (1)购买D种奖品的金额为_______元； (2)求购买的B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，鼓励更多的学生学习环保知识，该校决定扩大受奖人数并以上面的价格再购进B，C，D三种奖品共20件，计划刚好花费700元．请确定所有可能的购买方案． 【答案】(1)420元 (2)B奖品6件，C奖品10件 (3)共3种可能方案，方案一：再购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件；方案二：再购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件；方案三：再购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件 【分析】（1）由数据直接列式计算即可； （2）由表格数据可知，B，C两种奖品的数量和为（件），总金额为（元），列方程组即可解答； （3）设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件，根据题意列二元一次方程，求二元一次方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：购买D种奖品的金额为：（元）． （2）解：设B奖品数量为件，C奖品的数量为件， 解得 答：B奖品6件，C奖品10件． （3）解：设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件． 由题意得： 因为为正整数， 所以： 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种可能购买方案，分别为： 方案一：购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件； 方案二：购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件； 方案三：购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件． 【变式13-1】（25-26七年级下·广东广州·期末）每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并实践 “低碳” 生活是我们每一个人的社会责任．小亮统计自家5、6月的能耗数据，制成家庭月度 “碳足迹” 统计表． 姓名：小亮 家庭人数：4人 月份 家庭用电消耗量（度） 天然气消耗量（） 总碳足迹（） 月 月 （家庭碳足迹计算公式：总碳足迹=家庭用电消耗量×每度电的碳排放量+天然气消耗量×每立方米天然气的碳排放量） 设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，请列二元一次方程组求出，的值． 【答案】 【分析】设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为． 根据题意得 化简整理得 用得， 解得， 将代入中得， 解得， ∴方程组的解为， 答：每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为． 【变式13-2】（25-26七年级下·广东广州·期末）对每个人来说，膳食结构至关重要，它直接影响人们的身体健康．某校组织部分学生去参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，其营养成分如图所示： (1)根据图表填空：_____________，_____________；学生小天在运动过后需要快速补充能量，优先摄入高碳水、适量蛋白、少量脂肪的食物，那么小天的午餐应该选择食品__________（填A或B）； (2)学生小河要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (3)若要使每份午餐中的蛋白质含量正好是（两种食品均需包含，且每种食品整份搭配），直接写出A，B两种食品的搭配方案． 【答案】(1)50，14，A (2)选用A食品4包，B食品2包 (3)搭配方案有：①9包A食品，2包B食品；②6包A食品，4包B食品；③3包A食品，6包B食品 【分析】（1）利用A食品含脂肪量除以其所占的百分比可得的值；利用A食品含其他的重量除以A食品的总重量可得的值；根据两种食品的营养成分表和小天补充能量的要求解答即可得； （2）设选用A食品包，B食品包，根据题意建立方程组，解方程组即可； （3）设搭配A食品包，B食品包，则可得一个关于，的二元一次方程，结合，都是正整数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ∴， ， ∵每的A食品含碳水高于每的B食品含碳水、每的A食品含蛋白质和脂肪均低于每的B食品的， ∴小天的午餐应该选择食品A． （2）解：设选用A食品包，B食品包， 由题意得：， 解得， 答：选用A食品4包，B食品2包． （3）解：设搭配A食品包，B食品包， 由题意得：， ∴， ∵，都是正整数， ∴搭配方案有：①当时，； ②当时，； ③当时，； 答：A，B两种食品的搭配方案有：①9包A食品，2包B食品；②6包A食品，4包B食品；③3包A食品，6包B食品． 【变式13-3】（24-25七年级下·福建厦门·期末）《国家学生体质健康标准》中明确要求关注身体形态和肥胖状况．体重指数（）是用来衡量人体胖瘦程度的常用参考指标，根据数值将人体胖瘦状况分为体重过低、体重正常、超重、肥胖四种类型． （一）从某校七年级学生中随机抽取男生、女生各20名，测得他们的身高和体重数据，计算出相应的数值，并将数据整理如下： 20名男生胖瘦状况频数分布表  20名女生胖瘦状况条形图 组别 频数    体重过低 3 体重正常 a 超重 4 肥胖 3 （二）由资料知，饮食平衡与适当运动可以有效控制．为保障在食堂就餐学生的营养均衡，学校加强对食堂供餐的管理．已知学校食堂某天午餐的供餐方案：每份午餐含米饭、一份荤菜、两份半荤菜及一份蔬菜．其中每份午餐中蔬菜类食物合计，肉蛋类食物合计，各类菜品配料等具体信息如表一． 【备注：学校食堂采用少油少盐的营养供餐，因此食用油、食盐等配料等的热量和蛋白质忽略不计】 表一 类别 菜名 原材料质量配比 每100克含热量（千焦） 每100克含蛋白质（克） 荤菜 卤鸡腿 鸡腿 840 18 半荤 番茄炒蛋 番茄：鸡蛋 300 6 半荤 花菜炒肉片 花菜：肉片 350 7 蔬菜 清炒空心菜 空心菜 25 主食 米饭 大米 1400 4 （三）该校七年级学生均为13岁—14岁的青少年，我国该年龄段学生的午餐营养标准如表二． 表二 能量需要量（千焦） 蛋白质摄入量（克） 男 女 根据材料解决下列问题： (1)　　　　　　； (2)已知该校七年级男生260人，女生240人．根据以上统计数据，估计该校七年级学生体重正常的人数比例．针对该校七年级学生的胖瘦状况，请你提出一条合理化建议； (3)通过计算，判断该份午餐是否符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 【答案】(1) (2)，建议学生合理饮食 (3)该份午餐部分符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 【分析】本题考查了统计的应用，二元一次方程组的应用． （1）用20减去其他组别频数即可求出a的值； （2）先求出抽取女生体重正常人数，再分别用男生260人，女生240人乘以各自体重正常的人数比例求出体重正常的总人数，除以总数即可求出该校七年级学生体重正常的人数比例，进而提出建议即可； （3）设鸡蛋，肉片，根据题意列二元一次方程组求出番茄炒蛋，花菜炒肉片，再根据题意计算出每份午餐含热量及蛋白质，判断即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）抽取女生体重正常人数为人， 体重正常的总人数为， ∴该校七年级学生体重正常的人数比例为， 建议：建议学生合理饮食； （3）解：∵蔬菜类食物合计，肉蛋类食物合计，鸡腿，空心菜， ∴番茄、花菜共，鸡蛋、肉片共， 设鸡蛋，肉片， ∵番茄：鸡蛋，花菜：肉片 ∴番茄，花菜， ∴， 解得：， ∴鸡蛋，肉片，番茄，花菜， ∴番茄炒蛋，花菜炒肉片， ∴每份午餐含热量 （千焦），符合女生的午餐营养标准但不符合男生的午餐营养标准； 每份午餐含蛋白质 （克），符合的男生午餐营养标准但不符合女生的午餐营养标准； 可知该份午餐部分符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 【题型14 和差倍分问题】 【例14】（25-26七年级下·北京通州·期末）列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度．    【答案】 【分析】设垫台高为，则一层底座高为，则6层底座高为，杯身高为，根据题意列出方程组并解方程组得到的值，即可求出斯韦思林杯的总高度． 【详解】解：设垫台高为，则每层底座高为，则6层底座高为，杯身高为， 根据题意可得， 解得， 则这届斯韦思林杯的总高度为． 【变式14-1】（25-26七年级下·北京昌平·期末）某种植园需要Ⅰ、Ⅱ两种型号的化肥．Ⅰ型化肥需用原料A，B按进行配制；Ⅱ型化肥需用原料A，C按进行配制，原料A现有200千克，需要购入原料B，C，完成配制任务，若购入原料B，C共计470千克，配制完成后所有原料刚好用完．求购入的原料B，C各多少千克． 【答案】购入的原料B为千克，原料C为千克． 【分析】设购入的原料B为x千克，原料C为y千克，根据购入原料B，C共计470千克可得方程，根据Ⅰ型化肥需用原料A，B按进行配制；Ⅱ型化肥需用原料A，C按进行配制可得方程，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设购入的原料B为x千克，原料C为y千克， 由题意得，， 解得， 答：购入的原料B为千克，原料C为千克． 【变式14-2】（2026·江西九江·二模）某校利用体育大课间抽查七年级学生体育项目练习情况，共进行了两次抽查（每名学生只抽查一个项目），两次抽查合格率相同，跳绳为，排球为．第一次抽查跳绳和排球共44人合格，第二次抽查跳绳和排球共100人合格，且第二次抽查跳绳的人数是第一次抽查跳绳人数的2倍，第二次抽查排球的人数是第一次抽查排球人数的3倍． (1)求学校第一次抽查的学生总人数． (2)若八年级进行了一次跳绳抽查，跳绳的合格人数与七年级两次抽查的跳绳合格总人数相同，且合格率为，求八年级跳绳抽查的学生人数． 【答案】(1)学校第一次共抽查了56名学生 (2)八年级跳绳抽查了100名学生 【分析】（1）设第一次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，则第二次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）由（1）可知七年级跳绳抽查合格的总人数为，设八年级抽查了名学生，依题意得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设第一次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，则第二次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为． 依题意得，解得， ∴（名）． 答：学校第一次共抽查了56名学生． （2）解：由（1）可知，第一次抽查跳绳的人数为40，第二次抽查跳绳的人数为80， ∴七年级跳绳抽查合格的总人数为． 设八年级抽查了名学生， 依题意得，解得． 答：八年级跳绳抽查了100名学生． 【变式14-3】（24-25八年级上·全国·期末）在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 (1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ (2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 【答案】(1)装运A种葡萄酒需13辆无人车，装运B种葡萄酒需11辆无人车； (2)无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运A种葡萄酒，17辆无人车装运B种葡萄酒，12辆无人车装运C种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运A种葡萄酒，14辆无人车装运B种葡萄酒，14辆无人车装运C种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运A种葡萄酒，11辆无人车装运B种葡萄酒，16辆无人车装运C种葡萄酒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，根据“葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送，，三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，根据租用的40辆无人车恰好可以运送，，三种葡萄酒共310箱，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为不小于11的正整数，即可找出各装运方案． 【详解】（1）解：设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车， 根据题意得：， 解得：． 答：装运种葡萄酒需13辆无人车，装运种葡萄酒需11辆无人车； （2）解：设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒， 根据题意得：， ， 又，，均为不小于11的正整数， 或或， 无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运种葡萄酒，17辆无人车装运种葡萄酒，12辆无人车装运种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运种葡萄酒，11辆无人车装运种葡萄酒，16辆无人车装运种葡萄酒． 【题型15 跨学科问题】 【例15】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，求王老师的水杯容量； (2)小军同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求小军同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 【答案】(1) (2)小军同学的接水时间为 【分析】（1）用时间乘以对应的水流速度，再求和即可； （2）设先接了温水，又接了开水，根据水的体积和温度列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，王老师的水杯容量为； （2）解：设先接了温水，又接了开水， 根据题意，可列方程组：， 解得， ∴． 答：小军同学的接水时间为． 【变式15-1】（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）在物理实验课上，物理老师准备了一个苹果和一个梨，让实践小组利用托盘天平对苹果和梨的质量展开了称重实验．下图是实践小组的实验图（天平处于平衡状态），根据实验图获取的信息分别求出该苹果和梨的质量． 【答案】苹果和梨的质量分别为95克，105克 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设设苹果和梨的质量分别为x克，y克，根据两个天平各列一个方程组成方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：设苹果和梨的质量分别为x克，y克， 根据题意，得， 解得 答：苹果和梨的质量分别为95克，105克． 【变式15-2】【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中称盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆称．设定，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程及方程组的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）由题意得：， ∴， ∴； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； 【变式15-3】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测） 如何配制食盐水溶液浓度？ 素材一 实验室现有浓度为和的食盐水溶液各若干，两种浓度的食盐水溶液存储情况如表所示： 序号 食盐水浓度 规格（克/瓶） 库存（瓶） 1 500 20 2 250 20 素材二 溶液百分比浓度是指溶液中所含溶质的质量的百分比． 计算公式为：溶液百分比浓度， 其中溶液质量溶质质量溶剂质量． 如在食盐水溶液中，溶质是盐，溶剂是水． 任务一 计算溶液浓度 若用食盐水溶液6瓶和食盐水溶液4瓶混合配制新的食盐水溶液，求配出的食盐水溶液浓度为：________． 任务二 填写任务清单 实验名称：配制浓度的食盐水溶液6千克． 序号 食盐水浓度 数量 1 ________千克 2 ________千克 通过计算填写实验任务单，并写出计算过程． 任务三 拟定设计方案 为了有效利用化学物品，避免浪费，每瓶开启的食盐水溶液都恰好用完，则配制浓度的食盐水溶液有几种方案，浓度为和的食盐水溶液各需几瓶？ 【答案】任务一：； 任务二：食盐水溶液千克，食盐水溶液千克； 任务三：五种方案，方案一：食盐水溶液1瓶、食盐水溶液4瓶； 方案二：食盐水溶液2瓶、食盐水溶液8瓶； 方案三：食盐水溶液3瓶、食盐水溶液12瓶； 方案四：食盐水溶液4瓶、食盐水溶液16瓶； 方案五：食盐水溶液5瓶、食盐水溶液20瓶． 【分析】本题主要考查二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 任务一：根据溶液百分比浓度列出计算即可； 任务二： 设用食盐水溶液x千克，食盐水溶液y千克，由题意列出，求解即可； 任务三： 设用食盐水溶液x瓶，食盐水溶液y瓶，由题意列出，化简后列出各种方案即可求解． 【详解】解：任务一：； 任务二： 设用食盐水溶液x千克，食盐水溶液y千克， 由题意得：， 化简得：， 解得：， 需要食盐水溶液千克，食盐水溶液千克； 任务三： 设用食盐水溶液x瓶，食盐水溶液y瓶， 由题意得：， 化简得：，且，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，不符合题意； 有五种方案，方案一：食盐水溶液1瓶、食盐水溶液4瓶； 方案二：食盐水溶液2瓶、食盐水溶液8瓶； 方案三：食盐水溶液3瓶、食盐水溶液12瓶； 方案四：食盐水溶液4瓶、食盐水溶液16瓶； 方案五：食盐水溶液5瓶、食盐水溶液20瓶． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $