3.5 二元一次方程组的应用 导学案 2025-2026学年 沪科版（2024）数学七年级上册

3.5 第2课时 素养目标 1.会列二元一次方程组解决物质或者溶液搭配比例问题和配套问题. 2.知道列表能帮助我们弄清题意、找出等量关系. 3.体会方程中“数学建模”的思想,进一步培养分析问题和解决问题的能力. 重点 物质或溶液配比问题和配套问题. 【自主预习】 预学思考 1.将含铜百分比不同的两种矿石混合在一起,根据物质守恒,混合前后总质量是否发生变化? 2.将含铜百分比不同的两种矿石混合在一起,含有的铜有什么关系? 自学检测 1.有100克含糖15%的糖水,如果再放入50克水,那么糖水中含糖 ( ) A.7.5% B.10% C.15% D.20% 2.某车间有60名工人,每人平均每天可加工螺栓14个或螺母20个,要使每天加工的螺栓和螺母配套(1个螺栓配2个螺母),设应分配x人生产螺母,y人生产螺栓,依题意列方程组得 . 【合作探究】 知识生成 知识点一 物质配比问题 阅读课本本课时“例3”的内容,思考下列问题. 甲、乙两种盐水,取甲种盐水250克,乙种盐水150克,可制成浓度为7.5%的盐水;若取甲种盐水100克,乙种盐水220克,则可制成浓度为8.75%的盐水.求甲、乙两种盐水的浓度. 归纳总结 此类问题的实质相当于溶液内溶质含量问题,解决此类问题的时候,一般有两个等量关系:甲溶液质量+乙溶液质量= ,甲溶质质量+乙溶质质量= .(溶质为溶液中被溶剂溶解的物质) 对点训练 1.为提高病人免疫力,某医院选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐,两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如表所示.如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每份营养餐中,甲、乙两种食物各需要多少克? 每克甲种食物每克乙种食物 所含蛋白质0.5单位0.7单位 所含铁质1单位0.4单位 知识点二 配套问题 阅读课本本课时“例4”内容,思考下列问题. 某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个,如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多少名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套? 归纳总结 本题中的相等关系有生产螺栓的工人数+生产螺母的工人数=120、螺母数=2×螺栓数. 对点训练 2.某制衣厂某车间现有24名制作服装的工人,每天都制作某种品牌的衬衫和裤子,每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条.已知制作一件衬衫可获得利润30元,制作一条裤子可获得利润16元,若该厂要求每天获得利润2 100元,则需要安排多少名工人制作衬衫? 题型精讲 题型 方案决策问题 例　某中学准备组织700名七年级师生去安徽黄山春游.据了解:客运公司有49座和35座(不含司机)两种型号的客车可供租用,49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元;4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4 400元. (1)问49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元? (2)若该中学到客运公司租车一天,如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最少? 变式训练 踏春时节,某班学生集体组织亲子游,沿着樱花步道骑自行车,该班学生花了950元租了若干辆自行车,自行车的类型和租车价格如表所示: 自行车类型 A型车 B型车 C型车 座位数/个 2 3 4 租车价格/(元/辆) 30 45 55 (1)若同时租用B,C两种类型的车,且共有65个座位,则应租B,C两种类型的车各多少辆? (2)若B型车租4辆,余下的租用A型和C型,要求每种车至少租用1辆,请你帮他们设计A型车和C型车的租车方案. 参考答案 自主预习 预学思考 1.混合前后总质量不会发生改变. 2.混合前两种物质中含有的铜的质量之和等于混合后物质中含有的铜的质量. 自学检测 1.B 2. 合作探究 知识生成 知识点一 解:设甲种盐水的浓度为x,乙种盐水的浓度为y,根据题意,得 解得 答:甲浓度为6%,乙浓度为10%. 归纳总结　总溶液质量　总溶质质量 对点训练 1.解:设甲、乙两种食物各需要x克、y克, 依据题意得 解得 答:每份营养餐中,甲、乙两种食物各需要28克、30克. 知识点二 解:设安排x人生产螺栓,y人生产螺母,则每天可生产螺栓50x个,螺母20y个. 依题意,得解得 故应安排20人生产螺栓,100人生产螺母. 对点训练 2.解:设安排a人制作衬衫,b人制作裤子,每天获得利润2 100元. 依题意得 解得 答:需要安排18名工人制作衬衫. 题型精讲 题型　 例　解:(1)设49座的客车每辆每天的租金是x元,35座的客车每辆每天的租金是y元, 根据题意得 解得 答:49座的客车每辆每天的租金是800元,35座的客车每辆每天的租金是600元. (2)设租用m辆49座的客车,n辆35座的客车, 根据题意得49m+35n=700, 整理得n=20-m. 因为m,n均为自然数, 所以或或 所以共有3种租车方案: 方案1:租用20辆35座的客车,所需租金为600×20=12 000(元). 方案2:租用5辆49座的客车,13辆35座的客车,所需租金为800×5+600×13=11 800(元). 方案3:租用10辆49座的客车,6辆35座的客车,所需租金为800×10+600×6=11 600(元). 因为12 000>11 800>11 600, 所以租金最少的租车方案为租用10辆49座的客车,6辆35座的客车. 变式训练　 解:(1)设应租B型车x辆,C型车y辆. 依题意得解得 答:应租B型车15辆,C型车5辆. (2)设租A型车a辆,C型车b辆. 依题意得30a+45×4+55b=950, 整理得b=14-a. 因为a,b均为正整数, 所以a为11的倍数,所以或 所以共有2种租车方案: 方案1:租11辆A型车,8辆C型车. 方案2:租22辆A型车,2辆C型车. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 第1课时 素养目标 1.知道用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤. 2.能适当归纳日常生活中的实际问题和行程问题,寻找解决相关问题的一般方法. 3.通过用二元一次方程组解决实际问题,体会方程组这一数学模型的作用. 重点 解决行程问题. 【自主预习】 预学思考 1.列方程解应用题的一般步骤有哪些? 2.行程问题中几个基本量之间有什么关系?相遇问题和追及问题中的等量关系是什么? 自学检测 1.“成长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某校足球队在第一轮比赛中赛了9场,负了2场,共得17分.那么该队胜了几场?平了几场?设该队胜了x场,平了y场,那么根据比赛场次可得方程为 ;胜场得分 ,平场得分 ,这个足球队得17分,可得方程为 . 2.甲、乙两人相距50千米,若同向而行,乙5小时可追上甲;若相向而行,1小时两人相遇.设甲、乙两人每小时分别走x千米、y千米,根据两人相遇可列方程 ;根据乙追上甲,可列方程 . 【合作探究】 知识生成 知识点一 积分问题 阅读课本本课时“例1”的内容,思考下列问题. 某足球比赛的计分规则为胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某队踢14场球,负5场,共得19分,问这个队胜几场?平几场? 归纳总结 比赛得分问题中,等量关系有:胜场+平场+负场=总场数;胜场得分+平场得分+负场得分=总得分. 对点训练 1.足球比赛的记分规则如下:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.一支足球队在某个赛季比赛共14场,现已比赛8场,输了一场,得17分,请问: (1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场? (2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分? 知识点二 行程问题 阅读课本本课时“例2”的内容,思考下列问题. 甲、乙两人练习赛跑,如果甲让乙先跑10米,那么甲跑5秒钟就能追上乙,如果甲让乙先跑2秒钟,那么甲跑4秒钟就能追上乙,求甲、乙两人的速度. 【方法指导】对于路程问题,用示意图表示数量关系,比较直观,便于找到等量关系. 对点训练 2.甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑.如果两人同时同地反向跑,经过25秒第一次相遇;如果两人同时同地同向跑,经过250秒,甲第一次追上乙.设甲、乙每秒分别跑x米、y米,则根据题意,可列方程组: . 知识点三 调配问题 某工厂第一车间的人数比第二车间人数的少30人,若从第二车间调10人到第一车间,则第一车间的人数是第二车间人数的,问两车间的人数各是多少? 【方法指导】调配问题要寻找调配前后的等量关系,以及调配前后量的变化. 对点训练 3.(数学文化)我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题:“甲乙隔沟牧放,二人暗里参详.甲云得乙九只羊,多乙一倍之上,乙说得甲九只,两家之数相当,二人闲坐恼心肠,画地算了半晌.”其大意:甲、乙两人一起放牧,两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊,那么甲的羊数为乙的2倍;如果甲给乙9只羊,那么两人的羊数相同.请问甲、乙各有多少只羊? 题型精讲 题型 流水问题(逆风问题) 例　甲、乙两码头相距60千米,某船往返两地,顺流时用3小时,逆流时用3小时45分,则船在静水中航速为 千米/时,水流速度为 千米/时. 归纳总结 顺流的速度=船速+水速,逆流的速度=船速-水速. 变式训练 A地至B地的航线长9 750 km,一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5 h,它逆风飞行同样的航线需13 h,求飞机无风时的平均速度与风速. 参考答案 自主预习 预学思考 1.审、设、列、解、验、答. 2.路程=速度×时间, 相遇问题:甲的路程+乙的路程=甲、乙开始相距的路程. 追及问题:快车的路程-慢车的路程=两车开始相距的路程. 自学检测 1.x+y+2=9　3x　y　3x+y=17 2.x+y=50　5y-5x=50 合作探究 知识生成 知识点一 解:设这个队胜了x场,平了y场. 根据题意,得 解方程组,得 答:这个队胜5场,平4场. 对点训练 1.解:(1)前8场比赛中,设这支球队胜了x场,则平了y场. 根据题意,得解得 答:前8场比赛中,这支球队共胜了5场. (2)打满14场最高得分为17+(14-8)×3=35(分). 答:最高能得35分. 知识点二 解:设甲、乙两人的速度分别为x米/秒、y米/秒,依题意得解得 答:甲、乙两人的速度分别为6米/秒、4米/秒. 对点训练 2. 知识点三 解:设第一、第二两车间的人数分别是x人和y人, 依题意,得解得 答:两车间的人数分别为170人、250人. 对点训练 3.解:设甲有x只羊,乙有y只羊, 根据题意得 解得 答:甲有63只羊,乙有45只羊. 题型精讲 题型　 例　18　2 变式训练　 解:设飞机无风时的平均速度为x千米/时,风速为y千米/时, 由题意得 解得 答:飞机无风时的平均速度为765千米/时,风速为15千米/时. 学科网（北京）股份有限公司 $