精品解析：2021年河南省南阳市西峡县中考数学一模试卷

2021年河南省南阳市西峡县中考数学一模试卷 一、选择题．（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 大于且小于的整数有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较法则的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据有理数的大小比较法则求出符合条件的所有整数，即可得出选项． 【详解】解：大于且小于的整数有、、、、、、，共个， 故选：B． 2. 如图，有一足够长的长方形纸片，E、F分别为AD、BC上的动点，沿EF折叠后，FM与AE的所夹的锐角为30°，则的度数为（ ） A. 75° B. 60° C. 15°或75° D. 30°或75° 【答案】C 【解析】 【分析】分当点F在点E的左侧时，当F在点E右侧时，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图1所示，当点F在点E的左侧时， 由题意得∠EMF=30°，， ∴∠BFM=∠EMF=30°， 由折叠的性质可知， ∴； 如图2所示，当F在点E右侧时， 由题意得∠DMF=30°，， 由折叠的性质可知， ∵， ∴∠GEM=∠DMF=30°， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，熟知平行线的性质是解题的关键． 3. 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．其中2.5微米米，将用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟记科学记数法的一般形式是解题的关键． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为：， 故选：C． 4. 如图，放置于桌面上的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，注意看到的棱用实线，直接看不到的用虚线，可得答案． 【详解】解：由几何体可知，该几何体的俯视图为 故选：A． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键． 5. 某校九年级有9名同学参加“建党一百周年”知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】解：由于总共有9个人，且他们的成绩互不相同，第5名的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道自己的成绩和中位数． 故选：A． 【点睛】本题考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图像一定不经过（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：根据题意得，解得， ∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：． 【点睛】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．及一次函数的性质是解题的关键． 7. 某工厂一月份的产值为200万元，第一季度的总产值为662万元，如果设该厂平均每月产值的增长率为x，则由题意列方程应为（　　） A. 200（1+x）2＝662 B. 200x2＝662 C. 200（1+2x）2＝662 D. 200[1+（1+x）+（1+x）2]＝662 【答案】D 【解析】 【分析】等量关系为：一月份的产值+二月份的产值+三月份的产值＝662万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵一月份的产值为200万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的产值为200×（1+x）， ∴三月份的产值为200×（1+x）×（1+x）＝200（1+x）2， ∴可列方程为200[1+（1+x）+（1+x）2]＝662， 故选：D． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键. 8. 若菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半，计算求值即可． 【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为和， ∴菱形的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的面积，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题关键． 9. 点到轴的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得的纵坐标绝对值即可求得点到轴的距离． 此题主要考查点的坐标；用到的知识点为：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值． 【详解】解：， 点到轴的距离是， 故选：D． 10. 如图所示，一只小虫在折扇上沿路径爬行，能大致描述小虫距出发点的距离与时间之间的函数图象是 （    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图形问题，解决有关动点问题的函数图象类习题时，不一定要通过求解析式来解决，注意分析因变量随自变量的变化而变化的趋势． 由于这只小虫行走的路线正好是一个扇形，从圆心出发，经过半径、弧和半径回到圆心，然后根据扇形的性质求解即可． 【详解】解：这只小虫在折扇上沿路径爬行时， 在上运动时，随的增大而增大，成正比例； 在弧上运动时，是定值为半径； 在上运动时，随的增大而减小，是一条直线． 故选：C． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 若不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解集情况是解决本题的关键． 先分别求出不等式的解集，得，根据不等式组无解，即可求出的取值范围． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组无解， ． 故答案为：． 12. 将两个完全一样的三角板按如图位置放在一起，就可以画出两条相互平行的直线，这样画图的原理是_______． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 由内错角相等，两直线平行，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， ∵两个三角尺是完全相同的， ∴， ∴ ∴这样画图的原理是内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 13. 有四张完全一样正面分别写有数字，0，1，2的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之积分别为：0，，，0，0，0，，0，2，，0，2， 其中抽取的两张卡片上的数字之积为负数的结果有4种， ∴抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕点B按顺时针方向旋转后与Rt△EBD重合，连接AE，那么∠EAB的度数是________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】先根据∠CAB=50°，求出∠ABC，再结合图形，由旋转的性质确定∠ABE的度数，然后根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠CAB=50°， ∴， ∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转后与Rt△EBD重合， ∴旋转中心是点B，旋转角为40°，BE=BA， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键． 15. 在中，为边上一点．将沿着过点的直线折叠，使点落在边上的处．若，，，则整个过程中，的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，当时，最小，推出是等腰直角三角形，可得最小，设，则，，解方程即可得到结论． 本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 【详解】解：如图， 将沿着过点的直线折叠，使点落在边上的处， ， 当时，最小， ， 是等腰直角三角形， ∴， 此时最小， 设，则，， ， ， ， 的最小值是； 故答案为：． 三、解答题．（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】根据算术平方根、零指数幂和负整数指数幂分别化简，再作加减法． 【详解】解： = =0 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 17. 在期末考试来临之际，同学们都进入紧张的复习阶段，为了了解同学们晚上的睡眠情况，现对八年级部分同学进行了调查统计，并制成如图两幅不完整的统计图：其中代表睡眠时间小时左右，代表睡眠时间小时左右，代表睡眠时间小时左右，代表睡眠时间小时左右，代表睡眠时间小时左右，其中扇形统计图中“”的圆心角为，请你结合统计图所给信息解答下列问题： （1）共抽取了______名同学进行调查，同学们的睡眠时间的众数是______小时左右，并将条形统计图补充完整； （2）请你据题中所给信息估计八年级每个学生的平均睡眠时间约多少小时？ 【答案】（1） ，，补全图形如下： （2）小时 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，条形统计图和扇形统计图的知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由对应的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，根据人数最多的一组为睡眠时间的众数，得出同学们的睡眠时间的众数是：小时左右，用总人数乘以对应圆心角占周角的比例求得其人数，从而补全图形； （2）利用加权平均数的定义列式计算可得． 【小问1详解】 解：依题意，本次被调查的同学人数为（名） 同学们的睡眠时间的众数出现在B，为8小时. ∴组人数为（名） 故答案为：，； 【小问2详解】 解：估计八年级每个学生的平均睡眠时间约（小时） 18. 在直角坐标系xOy中，函数的图象上点A的纵坐标是横坐标的3倍． （1）求点A的坐标； （2）设一次函数y＝kx+b（b≠0）的图象经过点A，且与y轴相交于点B，如果OA＝AB，求这个一次函数的解析式． 【答案】（1）点A的坐标为（2，6）；（2）y＝﹣3x+12． 【解析】 【分析】（1）根据A点位置及坐标特点，代入反比例函数解析式解方程即可求出A的坐标； （2）设点B的坐标为（0，m），根据OA＝AB列出关于m的方程，解方程即可求出B点坐标，进而求出一次函数的解析式． 【详解】解：（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a＞0， ∵点A在反比例函数的图象上，得：，解得a1＝2，a2＝﹣2， 经检验a1＝2，a2＝﹣2是原方程的根，但a2＝﹣2不符合题意，舍去， ∴点A的坐标为（2，6）； （2）设点B的坐标为（0，m）， ∵点B在y轴上，OA＝AB， ∴（6﹣m）2+2 2＝62+2 2，解得m＝0或12， ∵一次函数y＝kx+b中，b≠0，∴m＝0舍去， ∴m＝12，∴点B的坐标为（0，12）， 则一次函数的解析式为y＝kx+12，由于这个一次函数图象过点A（2，6）， ∴6＝2k+12，解得k＝﹣3， ∴所求一次函数的解析式为y＝﹣3x+12． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数求一次函数解析式，难度不大，属于基础题型. 19. 如图，地在地的正东方向，由于大山的阻隔，从地到地需要绕行地、已知地位于地的南偏西60方向，地距离地200千米，地位于地的北偏西45°方向．现准备打通、两地的穿山隧道，修建、两地的直达高速公路．求地到地之间高速公路的长（结果保留根号）． 【答案】千米 【解析】 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据题意，得，，， 在中，（千米）， （千米）， 在中，（千米）， ∴（千米）， 答：A地到地之间高速公路长千米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义． 20. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB， (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半径． 【答案】 （1）证明：连结OB． ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA． ∵PA=PB， ∴∠PAB=∠PBA， ∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，即∠PAO=∠PBO． 又∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO=90°， ∴∠PBO=90°， ∴OB⊥PB． 又∵OB是⊙O半径， ∴PB是⊙O的切线； （2）⊙O的半径为1. 【解析】 【分析】（1）连结OB，由OA=OB，得∠OAB=∠OBA，再根据PA=PB，得∠PAB=∠PBA，从而得出∠PAO=∠PBO，由PA是⊙O的切线可推得∠PBO=90°，即OB⊥PB，所以PB是⊙O的切线； （2）连结OP，根据PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，再由OA=OB，则点O在线段AB的垂直平分线上，从而得出OP垂直平分线段AB，根据BC⊥AB，得出PO∥BC，则∠AOP=∠ACB=60°．在Rt△APO中，利用tan∠AOP，求出AP，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）连结OP． ∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上，∴OP垂直平分线段AB． 又∵BC⊥AB，∴PO∥BC，∴∠AOP=∠ACB=60°． 在Rt△APO中，∵tan∠AOPtan60°，AP，∴AO=1，∴⊙O的半径为1． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、线段的垂直平分线以及解直角三角形的综合运用． 21. 某超市拟于十月一前5天里销售某种水果，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律： ①当1≤x≤30时，y＝43；当31≤x≤50时，y与x满足为y＝﹣x+55； ②销售量m与x的关系如图所示． （1）求m与x的关系式； （2）超市在第几天销售可获利4250元？ 【答案】（1）；（2）超市在第24天和第40天销售可获利4250元 【解析】 【分析】（1）设m与x的关系式为，把和代入即可解出，，从而得出答案； （2）根据销售总利润=（单售价-单进价）×销售量，列出方程，求解即可． 【详解】（1）设m与x的关系式为， 把和代入中得：， 解得：， m与x的关系式为； （2）当1≤x≤30时，， 解得：， 当31≤x≤50时， 整理得;， ， 解得：（舍去）或， 综上所得：超市在第24天和第40天销售可获利4250元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用与一次函数，根据题意列出等量关系式是解决本题的关键． 22. 在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y． （1）用列表法或画树形图表示出（x，y）的所有可能出现的结果； （2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在二次函数y=x2的图象上的概率． 【答案】(1)列表如下： 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接列表法（或树形图）分析所有等可能的出现结果； （2）根据（1）得出所有情况数，看其中有哪些点落在二次函数y=x2的图象上，再根据概率公式求出答案即可． 解：（1）略 （2）∵共有16种等可能情形，其中落在二次函数y=x2的图象上的有 2个，即点（1，1）和（2，4），∴P==． 23. 如图是一个等边三角形，你能将它分成两个全等的三角形吗？能分成三个、四个、五个、六个全等的三角形吗？如果能，请你画出图形． 【答案】能分成两个、三个、四个、六个全等的三角形，不能分成五个全等三角形,图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的中位线．根据等边三角形三线合一的性质即可得出结论 【详解】解：能分成两个、三个、四个、六个全等的三角形．不能分成五个全等三角形. 作等边三角形一边的中线，可分成两个全等的三角形；作等边三角形三边的中线交于一点，可分成三个全等的三角形；作等边三角形的三条中位线可分成四个全等的三角形；作等边三角形三边的中线，可分成六个全等的三角形； 如图所示： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年河南省南阳市西峡县中考数学一模试卷 一、选择题．（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 大于且小于的整数有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 如图，有一足够长的长方形纸片，E、F分别为AD、BC上的动点，沿EF折叠后，FM与AE的所夹的锐角为30°，则的度数为（ ） A. 75° B. 60° C. 15°或75° D. 30°或75° 3. 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．其中2.5微米米，将用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，放置于桌面上的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 某校九年级有9名同学参加“建党一百周年”知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图像一定不经过（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 某工厂一月份的产值为200万元，第一季度的总产值为662万元，如果设该厂平均每月产值的增长率为x，则由题意列方程应为（　　） A. 200（1+x）2＝662 B. 200x2＝662 C. 200（1+2x）2＝662 D. 200[1+（1+x）+（1+x）2]＝662 8. 若菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 9. 点到轴的距离为（    ） A. B. C. D. 10. 如图所示，一只小虫在折扇上沿路径爬行，能大致描述小虫距出发点的距离与时间之间的函数图象是 （    ） A. B. C. D. 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 若不等式组无解，则的取值范围是______． 12. 将两个完全一样的三角板按如图位置放在一起，就可以画出两条相互平行的直线，这样画图的原理是_______． 13. 有四张完全一样正面分别写有数字，0，1，2的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是_________． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕点B按顺时针方向旋转后与Rt△EBD重合，连接AE，那么∠EAB的度数是________． 15. 在中，为边上一点．将沿着过点的直线折叠，使点落在边上的处．若，，，则整个过程中，的最小值是______． 三、解答题．（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： 17. 在期末考试来临之际，同学们都进入紧张的复习阶段，为了了解同学们晚上的睡眠情况，现对八年级部分同学进行了调查统计，并制成如图两幅不完整的统计图：其中代表睡眠时间小时左右，代表睡眠时间小时左右，代表睡眠时间小时左右，代表睡眠时间小时左右，代表睡眠时间小时左右，其中扇形统计图中“”的圆心角为，请你结合统计图所给信息解答下列问题： （1）共抽取了______名同学进行调查，同学们的睡眠时间的众数是______小时左右，并将条形统计图补充完整； （2）请你据题中所给信息估计八年级每个学生的平均睡眠时间约多少小时？ 18. 在直角坐标系xOy中，函数的图象上点A的纵坐标是横坐标的3倍． （1）求点A的坐标； （2）设一次函数y＝kx+b（b≠0）的图象经过点A，且与y轴相交于点B，如果OA＝AB，求这个一次函数的解析式． 19. 如图，地在地的正东方向，由于大山的阻隔，从地到地需要绕行地、已知地位于地的南偏西60方向，地距离地200千米，地位于地的北偏西45°方向．现准备打通、两地的穿山隧道，修建、两地的直达高速公路．求地到地之间高速公路的长（结果保留根号）． 20. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB， (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半径． 21. 某超市拟于十月一前5天里销售某种水果，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律： ①当1≤x≤30时，y＝43；当31≤x≤50时，y与x满足为y＝﹣x+55； ②销售量m与x的关系如图所示． （1）求m与x的关系式； （2）超市在第几天销售可获利4250元？ 22. 在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y． （1）用列表法或画树形图表示出（x，y）的所有可能出现的结果； （2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在二次函数y=x2的图象上的概率． 23. 如图是一个等边三角形，你能将它分成两个全等的三角形吗？能分成三个、四个、五个、六个全等的三角形吗？如果能，请你画出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $