东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题

东北三省精准教学2024年9月高三联考 数 学 黔 本试卷满分150分，考诚时间120分钟， 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选轿题时，选出每小题答案后，用船笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交阿。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A=x12<4|,B=xlg4-1目，则AnB= 盟 A.(0.2) B.（-∞，2) C(-,3) D.0 2已知(2x+1)'=a。+a,x+ex2++a,x,则a1= A.10 B.20 C.40 D.80 3.已知{a,1是无穷数列，a,=3,则“对任意的m,neN”,都有a,=a+a"是“|a.l是等差数列"的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.措尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可 近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为8m,高为3m,则该屋顶的面积约为 A.15m m' 系 B.20w m C.24w m2 D.30mm' 5已知抛物线C:y2=2pr(p>0)的焦点为F,若抛物线上一点M满足1MF1=2,∠0FM=60°， 则p= A.3 B.4 c.6 D.8 6如图a)是函数y=m-)图象上的-点，则an2a+) 数学第1页（共4页） 1.已知函数(x).对任意的x,yeR都有八x+y)=2y)+2x),且八1)=2，则下列说法不正确的是 A.0)=0 B一是奇质致数 Cy=爪x)是R上的增函数 D.八n)=n·2'(n∈N') 8.已知直线l,:ary+5=0与直线2：x*y-g+4=0(aeR)的交点为P,则点P到直线1y=x-3距离的取值范围是 A[32,12] B.(32.72] C.[22,62] D.(22,62] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(1,2),b=(2,-1),则下列判断正确的是 A.a+b=(3,1) B.a·b=(2,-2) C.a⊥b D.lal=1bl 10.现统计具有线性相关关系的变量X,Y,Z的m组数据，如下表所示： 变量 1 2 3 平均数 方差 中 馬 黑 10x 10x 10g 40 10x a 1 E. 并对它们进行相关性分析，得到2=b,X+a,Z与X的相关系数是，Z=b,Y+a,2与Y的相关系数是2，则下列 判断正确的是 附：经验回归方程)=x+:中斜率和破距的最小二乘估计公式分别为6= 立(，-)(x-刃 %到 à=5-：，相关系数r= ∑(-2 2(-) A.5=10 B.=10o C.b,=106g D.=1 11.如图，直四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD是菱形，其所在平面为a,且∠BAD=60°，AB=2M,=2O是 AC,BD的交点，P是平面α内的动点（图中未画出）.则下列说法正确的是 A.若C,P=2,则动点P的轨迹长度为2m B.若∠0C,P=90°，则动点P的轨迹是一条直线 C.若OP=C,P,则动点P的轨迹是一条直线 D.若动点P到直线OC,的距离为1，则PA+PC为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知复数：的实部为2，且二为纯虚数，则复数：= 2+i 数学第2页（共4页） 13已知双曲线C:x2-y=9,点N的坐标为(m,n),其中m,n∈11.2,3引，存在过点N的直线与双曲线C相交于A, B两点，且点N为弦B的中点.则点N的坐标是 ·(写出一个符合条件的答案即可) 14.已知>0且>0时，不等式a心-n(x+m)+>0恒成立，则正数m的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15(13分)已知雨数x)=2x’-3a2+1. (1)当a=1时，求函数fx)的单调递减区间： (2)若x=0是函数爪x)的极小值点，求实数a的取值范围. 16.(15分)某市为了解车主用车的能源类型与对该市交通拥堵感受的关系，共调查了100名车主，并得到如下的 2×2列联表： 觉得交通拥堵 觉得交通不拥堵 合计 燃油车车主 30 20 50 新能源车车主 25 25 50 合计 55 45 100 (1)将颗率估计为假率，从该市燃油车和新能源车车主中随机抽取1名，记“抽取到燃油车车主“为事件A,“抽 取到新能源车车主”为事件A,“抽取到的车主觉得交通拥堵”为事件B,“抽取到的车主觉得交通不拥堵”为 事件B计算P(B,1A,),P(B,A:),比较它们的大小，并说明其意义： (2)是否有90%的把握认为该市车主用车的能源类型与对该市交通拥堵的感受有关？将分析结果与(1)中结 论进行比较，并作出解释 附表及公式： a 0.100 0.010 0.001 2706 6.635 10.828 xi= n(ad-be) a+b)(cvd)(a+e)(bd).n=a+btc+d. 数学第3页（共4页） 17.(15分)如图，已知斜三棱柱ABC-A,B,C,中，侧面BB,C,C⊥侧面AM,B,B,侧面BB,C,C是矩形，例面4，B,B 是菱形，∠BAM,=60°，AB=2BC=2,点E是棱AM,的中点 (1)证明：BE⊥平面BB,C,C: (2)求二面角A,-B,C-E的余弦值 18(17分)已知直线：*=2经过椭圆C:。云=1(a>b>0)的右焦点F且被椭圆C截得的弦长为22. (1)求椭圆C的方程： (2)若过点P(4,0)的动直线m与椭圆C相交于A,B两点，且直线1上的点M满足A/F示，求证：直线B过 定点，并求该定点的坐标 19.(17分)二进制是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，在这一系统中，通常用两个不同的符号0，】来 表示数如果十进制中的整数n声a,·2+a·2++a,·2+a(a,∈10,1，i=0,1,…,k),则这个数在二进制 下记为a,ae,a,au,即(n）m=(a,aa,au):记十进制下的整数n在二进制表示下的各位数字之和为e(n). 即p(n)=atd,++au (1)计算p(7): (2)证明：p(4n+3)=p(2n+1)+1与 (3)求数列1(3·2”-1)川的前n项和S 数学第4页（共4页） 东北三省精准教学2024年9月高三联考 数学 参考答案及解析 1,【答案】A 【解析】由题可知A=(-0,2),B=(0,3),因此A∩B=(0,2). 2.【答案】C 【解析】42=C·22=40 3.【答案】A 【解析】对任意的m,n∈N”,都有amm=anm+an,令m=1,可以得到a1=a。+a,因此{an}是公差为a的 等差数列：若an=2n+1,则a21≠a+a2,故“对任意的m,n∈N,都有awm=am+an”是“{a,}是等差数列" 的充分不必要条件。 4,【答案】B 【解析】由题知，圆锥底面圆半径r=4m,高h=3m→母线1=5m, 因此圆锥的侧面积为S=1=20πm2. 5.【答案】A 【解析】pMF|+|MF.cos60°=3. 6.【答案】D 【解析】由图可知a ππ 6(2π 又为m口-}所以ma-君引手 数学答案第 sin 2a- π+ cos 32 2a- cos" a- a- 3 6 所以tan 2a+ 6 6 cos 2a- 32 3 2sin a- cos a- 24 6 7.【答案】C 【解析】令x=y=0,得到f(0)=f(O)+f(O),因此f(O)=0,所以选项A正确： 令y=-x,得到0=2“f-x)+2fx),即0。- ,所以选项B正确： 2- 2 条件可以化为fx+卫_国+四，记g)=f四，因此gx+)=g)+g0),g)=x符合条件， 2+y 2 2 2 从而f(x)=x·2,不是R上的增函数，所以选项C不正确： 令=e1.用+=2"0+2，即+四.又91所u 21 是首项 为1，公差为1的等差数列， m=1+(n--1=n,所以D选项正确 8.【答案】D 【解析】直线(，，分别过定点4(0,5)，B(-4,1),且互相垂直，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆（不含点(0，I)), 这个圆的圆心坐标为(-2,3)，半径为2√互 圆心到直线1距离为d=-2-3-3引=4W5. 因此圆上的点到直线1距离最大值为6√2，最小为2√反，取得最小值时圆上点的坐标是(0，)，因此取值范围是 (22,6W2]. 9.【答案】ACD 【解析】根据向量的坐标运算a+b=(3,1),ab=2-2=0→a⊥b,a曰b=V5,所以选项ACD正确. 10,【答案】ACD 项共5页 【解析】由公式可以得到选项ACD正确，G,2=100o,2,选项B不正确. II.【答案】BCD 【解析】对于选项A,点P的轨迹是以C为圆心，半径为√22-P=√5的圆，其轨迹长度是2√5π，所以选项 A错误： 对于选项B,点P的轨迹是过点C且垂直OC的平面与a的交线，所以选项B正确： 对于选项C,点P的轨迹是过OC的中点且垂直OC的平面与α的交线，所以选项C正确： 对于选项D,空间中到直线OC,的距离为1的点的轨迹是一个以OC为轴的圆柱面，因此点P的轨迹是一个以O 为中心的椭圆，短半轴长为1，长半轴长a满足asin30°=1→a=2,从而半焦距c=√5，因此点A,C为该椭 圆的焦点，PA+PC=4,所以选项D正确。 12.【答案】2-4i(5分) 【解析】设z=2+i,,:=i(y,teR1≠0)，则2+i=-1+2i, 所以1=-2，y=4,故z=2-4i 13.【答案】(1,2)（或(1,3，(2,3）)(5分) 【解析】法一： 设4(x,y人B(x,为2)，则x2-y2=9,x2-为2=9，两式相减得到 1=当+业.上-五， x+x2x-x2 又+x3=2m,片+3=2n 因此k4=二， 所以直线AB的方程为y-n=”(K-m),与双曲线C:x2-y'=9联立得 数学答案第 n2 n2 所以点N的坐标可以为(1,2)，(1,3)，(2,3) 法二： 由题意易知，双曲线C:x2一y2=9的渐近线为y=土x, 因为m,n∈L,2,3}，所以N(m,n)在双曲线靠原点的一侧， 又因为点N为弦AB的中点，故A,B一定位于双曲线的两支上， 所以 <1,即|mn 所以点N的坐标可以为(，2)，(L,3),(2,3) 14.【答案】(0，e](5分) 【解析】将a视为主元，设g(a)=a心2-ln(x+m)+ (a>0, 4a g(a)=ae"-In(x+m)+22 -ln(x+m=c-ln(x+m),当且仅当ae2产=时取等号， 4a 故当x>0时，e-ln(x+m)>0恒成立. 设h()=e-ln(r+mx>0),则h()=c-1,单调递增，且hO)=e-L=1-】 x+m ①若1-L≥0，即m时，则>h0),所以h)在(0,0)单调递增， n 故只需h(0)≥0，即1-lnm≥0，解得1≤≤c: ②若1-1<0，即0<m<1时， i 页共5页 h(x)=e-ln(x+m)>(x+I)-(x+m-1)=2-m>0, 即0<m<1时，h(x)>0恒成立 综上，m的取值范围是(0，©· 15.【答案】(1)(0,1)(5分) (2)(-0,0)(8分) 【解析】解：(1)当a=1时，f(x)=2x3-3x2+1, f'(x)=6x2-6x=6x(x-1) 由f(x)<0解得0<x<1, 所以函数(x)的单调递减区间为(0，) (2)f'(x)=6x(x-a）,f'"(x)=0时，x=0或x=a. ①若a<0, 当x<a或x>0时，f'(x)>0, 当a<x<0时，f'(x)<0 因此x=0时，函数f(x)取极小值： ②若a=0, 当x<0或x>0时，f(x)>0, 因此x=0不是函数f(x)的极值点： ③若a>0, 当x<0或x>a时，f'(x)>0, 当0<x<a时，f'(x)<0, 因此x=0时，函数f(x)取极大值. (12分) 综上，a的取值范围是(-0,0). (13分) 16.【答案】(1)答案见解析(7分) (2)答案见解析(8分) 【解析】解：(1)由题意得 (1分) m81-号 (2分) (2分) P(B)= 1 (4分) (4分) P(BA)>P(BA) (5分) (5分) 说明从抽样情况来看，燃油车车主觉得交通拥堵的比例比新能源车车主觉得交通拥堵的比例更高， (7分) (6分) (2)x2.100x(30×25-20×252_100100 <2.706, (10分) 55×45×50×50 11×999 因此没有90%的把握认为该市车主用车的能源类型与是否觉得该市交通拥堵有关， (12分) 说明调查人数太少，(1)中的结论不具有说服力，需要调查更多车主 (15分) 17.【答案】(1)证明见解析(6分) (2) 17N19 (9分) 76 (8分) 【解析】(1)证明：因为侧面BBCC是矩形，所以BC⊥BB, (1分) 又因为侧面BB,CC⊥侧面AAB,B,平面BBCC∩平面AA,BB=BB, 所以BC⊥平面AAB,B, (3分) (10分) 因为BEC平面AA,BB,所以BC⊥BE. (4分) 菱形AAB,B中，∠BA4=60°，所以△AA,B是等边三角形， 又E是AA的中点，所以BE⊥AA,得BE⊥BB, (5分) 数学答案第3页共5页 又BB∩BC=B,BB,BCC平面BBCC, 所以BE⊥平面BB,CC. (2)解：由(1)，如图，以B为坐标原点，BE,BB,BC所在直线分别为x轴，y轴 系 因为AB=2BC=2,所以BE=ABsin60°=√5， 因此B(0,2,0,A(N3,1,0),E(√3,0,0，C(0,0,1), 所以B,C=(0,-2,1).B,E=(5,-2,0),B4=(5,-1,0) 设平面EB,C的法向量为m=(X,y,), 由m⊥BC,得-2y+3=0, 由m⊥BE,得V5x-2y=0,令片=1，得m 设平面AB,C的法向量为n=(x2,2,22), 由n⊥BC,得-2y2+22=0, 由m1BA,得5x-为=0，令为=1，得n= m·n 2+1+4 1719 cos(m,n）= (6分) mm 1916 76 V3V3 z轴建立空间直角坐标 所以二面角4-BC-E的余弦值为17W四 (15分) 76 18.【答案】(1) x 兰=15分) (2)证明见解析，定点坐标为(3,0)(12分) 84 【解析】(1)解：由题意得c=2, b2 将x=c代入椭圆方程，可以求到两交点坐标为(2，±一)， (1分) (7分) 所以分=5，因此a2-5a-4=0, (2分) a (8分) 解得a=2√或a=-√2（舍去），b=2, (4分) 即椭圆方程为。+上=1 (5分) 84 (2)证明：当直线m的斜率为0时，直线MB的方程为y=0,此时AM∥FP, (7分) 当直线m的斜率不为0时，可设直线m的方程为x=y+4,代入椭圆方程， (10分) 得到(2+2)y2+8y+8=0, (9分) 由4>0，得到1<√2或1>√2，因此A,B点不在直线/上， (10分) 设点A(x,y)B(x22) (12分) 81 8 则%+4=+2%乃+2 (12分) 数学答案第4页共5页 则1=-上+五， 因为AM/FP,所以M(2,y), 所以直线MB的方程为y-男=上二兰K-2), %+2 令y=0,得到-y片-2%=0%2-片)x-2), 所以x=-少-2亚+2=当+少-2业+2=3. 八一 一 综上，直线MB过定点(3，O) 19.【答案】(1)p(7)=3(3分) (2)证明见解析(6分) 【解析】(1)解：因为7=1+2+22，所以p(7)=1+1+1=3 (2)证明：设2n+1=4+a2++a2,即p(2n+1)=a+a,+ 则4n+3=2(2n+1)+1=1+a。2+a22++a2, 所以p(4n+3)=1+a。+a1+…+ae=p(2n+1)+1, (3)解：因为32"-1=21+2"-1=21+1+2+22+…+2-， 所以p(3-2"-1)=n+1, 因此数列{p(3·2”-1)}的前n项和为Sn= 2+(n+1).._n2+3n 2 …n= 2 (13分) (14分) (17分) 3)3=+3n 2 (8分) (3分) +a, (6分】 (8分) (9分) (13分) (15分) (17分) 数学答案第5页共5页