精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题

2023年秋季高三第一次月考 数学试卷 满分150分，考试时间120分钟 第I卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 下列集合中表示同一集合的是（　　） A. M＝{（2，3）}，N＝{（3，2）} B. M＝{2，3}，N＝{3，2} C. M＝{（x，y）|y＝x+1}，N＝{y|y＝x+1} D. M＝{y＝x2+1}，N＝{y|y＝x2+1} 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合相等的定义直接判断. 【详解】解：对于A，两集合表示不同的点集，故A错误； 对于B，根据集合中元素的无序性知M，N是同一个集合，故B正确； 对于C，两集合的元素不同，M中元素表示点，N中元素表示实数，故C错误； 对于D，M中元素表示等式，N中元素表示实数，故D错误. 故选：B. 2. 设，，为实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式的性质可判断四个选项的正误即可得正确答案. 【详解】对于选项A：若，则，故选项A不正确； 对于选项B：若，则，故选项B不正确； 对于选项C：若，则，故选项C正确； 对于选项D：若，则，若，则，故选项D不正确， 故选：C 3. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义，即可判断奇偶性，根据函数单调性的定义，即可判断函数的增减性. 【详解】函数的定义域为， ，所以函数是奇函数， 且是增函数，是减函数，所以函数在上是增函数. 故选：A 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的运算逐一判断即可. 【详解】：，A错误， ：，B错误， ：，C正确， ：，D错误， 故选：C． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】应用倍角正余弦公式及商数关系将目标式化为，结合已知即可求值. 【详解】由题意知，， 故选：B. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有， 故选：B. 7. “角的终边关于原点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】判断两个条件的推出关系 【详解】若角的终边关于原点对称，则，， 反之，若，则，角的终边关于原点对称 故为充要条件 故选：C 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题及两角差的余弦公式可得的值，再由和差化积公式可得的值，即可求解. 【详解】由题知. ∵， ∴， 即. ∴. 故选：C. 二、多选题：（9-12题，每题5分，部分答对得2分，共计20分） 9. 已知，，则（ ） A. B. C D. 【答案】AC 【解析】 【分析】多项选择题，需要对选项一一验证： 借助于先求出，可以直接求出的值，判断B; 用判断C，二倍角公式判断A、D选项； 【详解】∵，，且 解得： ∴，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ∵，∴. ∵，∴，故D错误. 故选：AC 【点睛】利用三角公式求三角函数值关键： (1)角的范围的判断； (2)对于三角函数求值题，一般是先化简，再求值． 10. 已知函数，下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称； B. 函数在区间上是单调增函数； C. 若函数的定义域为，则值域为 D. 函数的图象与的图象重合 【答案】AD 【解析】 【分析】依次判断各项，其中B中，函数应为单调减函数；C中，函数的值域为，可知此两项错误；A和D经验证，是正确的，由此可得结果. 【详解】对于A，，函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，时，，函数在区间上是单调减函数，故B错误； 对于C，若函数的定义域为，，则值域为，故C错误； 对于D，，故D正确． 本题正确结果：AD 11. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是2，故A正确； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最大值是1，故B正确； ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是，故C错误； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 即的最大值是，故D正确， 故选:ABD 12. 已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是 A. 函数g(x)在(1，+∞)上为单调递增函数 B. x=1是函数g(x)的极小值点 C. 函数g(x)至多有两个零点 D. 当x≤0时，不等式 恒成立 【答案】ABC 【解析】 【分析】对函数求导,利用可得的正负，即函数的单调性，判断出选项AB；讨论的符号，结合单调性得出函数的零点个数，判断出选项C；利用在的单调性和最值，判断出选项D． 【详解】函数，则， 当时，，故在单调递增，A正确； 当时，，故在单调递减，故x=1是函数g(x)的极小值点，B正确； 若，则有两个零点， 若，则有一个零点， 若，则没有零点，故C正确； 在单调递减，则在单调递减，，可知时，，故，即，D错误； 故选：ABC 【点睛】本题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性和极值，判断函数的零点个数，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题． 第II卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 13. 在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么= _______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理结合已知条件直接求解 【详解】在中，，，，则由余弦定理得 ， 故答案为： 14. 若命题 “”是真命题 ，则实数的取值范围是____ 【答案】(－8,0] 【解析】 【分析】对进行分类讨论，当时不等式恒成立，当时利用二次函数的图像性质得到范围，两种情况合起来的结果即为答案 【详解】解：当时不等式为成立， 当时需满足，综上可知实数的取值范围是(－8,0] 故答案为：(－8,0] 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则___________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用可得，再结合是定义在上的奇函数，提出函数的一个周期为2，可求 【详解】函数是定义在上的奇函数，则， 在中，令，有， 在中，用代替，有， 所以2是的一个周期，所以. 故答案为：0 16. 求值_________________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】把变形为，根据变形，把切化为弦，利用积化和差公式及和差化积公式变形，计算即可得到结果． 【详解】原式 ． 故答案为：． 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分） 17. 求值：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】根据指数以及对数的运算法则即可就得结果 【详解】（1）原式=； （2）原式. 【点睛】本题考查实数的指对幂及其运算，属于基础题. 18. 已知是第四象限角，. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简求得. （2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ，即， 又是第四象限角，， . 19. 在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角B的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得，再结合三角形内角范围求解角度即可. （2）由余弦定理建立方程，求出，再利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 则， 由两角和的正弦公式结合诱导公式得， 因为在中，所以，， 得到，解得，则. 【小问2详解】 由余弦定理得， 因为，所以， 解得，由三角形面积公式得. 20. 如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明：点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）方法一:连接、，证明出四边形平行四边形，进而可证得点在平面内； （2）方法一：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值. 【详解】（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论 在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示. 在长方体中，，所以四边形为平行四边形，则，而，所以，所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，，，因此点在平面内. ［方法二］：空间向量共线定理 以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示． 设，则． 所以．故．所以，点在平面内． ［方法三］：平面向量基本定理 同方法二建系，并得， 所以． 故．所以点在平面内． ［方法四］： 根据题意，如图3，设． 在平面内，因为，所以． 延长交于G， 平面， 平面． ， 所以平面平面①． 延长交于H，同理平面平面②． 由①②得，平面平面． 连接，根据相似三角形知识可得． 在中，． 同理，在中，． 如图4，在中，． 所以，即G，，H三点共线． 因为平面，所以平面，得证． ［方法五］： 如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O，则O为的中点．联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，则经过点O，故点在平面内． （2）［方法一］【最优解】：坐标法 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2. 则、、、， ，，，， 设平面的一个法向量为， 由，得取，得，则， 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得，，则， ， 设二面角的平面角为，则，. 因此，二面角的正弦值为. ［方法二］：定义法 在中，，即，所以．在中，，如图6，设的中点分别为M，N，连接，则，所以为二面角的平面角． 在中，． 所以，则． ［方法三］：向量法 由题意得， 由于，所以． 如图7，在平面内作，垂足为G， 则与的夹角即为二面角的大小． 由，得． 其中，，解得，． 所以二面角的正弦值． ［方法四］：三面角公式 由题易得，． 所以． ． ． 设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得 ，所以． 【整体点评】（1）方法一：通过证明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出． （2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出． 21. 已知椭圆过点两点． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可． 试题解析：（Ⅰ）由题意得，． 所以椭圆的方程． 又， 所以离心率． （Ⅱ）设，则． 又，，所以， 直线的方程为． 令，得，从而． 直线的方程为． 令，得，从而 所以四边形的面积 ． 从而四边形的面积为定值． 考点：1、椭圆方程；2、直线和椭圆的关系． 【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想．第一小题根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；第二小题四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可． 22. 设为实数，函数，． （1）求的极值； （2）对于，，都有，试求实数的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值； （2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：函数的定义域为，， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 故函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 解：对于，，都有，则 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 因为，且，则且不恒为零， 故函数在上单调递增，故， 由题意可得，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年秋季高三第一次月考 数学试卷 满分150分，考试时间120分钟 第I卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 下列集合中表示同一集合的是（　　） A. M＝{（2，3）}，N＝{（3，2）} B. M＝{2，3}，N＝{3，2} C. M＝{（x，y）|y＝x+1}，N＝{y|y＝x+1} D. M＝{y＝x2+1}，N＝{y|y＝x2+1} 2. 设，，为实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A B. C. D. 2 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. “角的终边关于原点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（9-12题，每题5分，部分答对得2分，共计20分） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称； B. 函数在区间上是单调增函数； C. 若函数的定义域为，则值域为 D. 函数的图象与的图象重合 11. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是1 C. 最小值是4 D. 的最大值是 12. 已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是 A. 函数g(x)在(1，+∞)上为单调递增函数 B. x=1是函数g(x)的极小值点 C. 函数g(x)至多有两个零点 D. 当x≤0时，不等式 恒成立 第II卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 13. 在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么= _______ 14. 若命题 “”是真命题 ，则实数的取值范围是____ 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则___________. 16 求值_________________. 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分） 17. 求值：（1）； （2）. 18. 已知第四象限角，. （1）化简； （2）若，求的值. 19. 在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角B的大小； （2）若，求的面积. 20. 如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明：点平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 21. 已知椭圆过点两点． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值． 22. 设为实数，函数，． （1）求的极值； （2）对于，，都有，试求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$