第4章 概率 课件2025-2026学年 湘教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦概率核心知识，从基础列表法求概率出发，逐步过渡到实际情境中的随机事件分析，通过转盘、抽卡、掷骰子等生活化问题构建学习支架，引导学生由浅入深理解等可能事件与概率计算的逻辑关系。 其亮点在于深度融合新课标三大核心素养，体现“抽象能力”“推理意识”和“数据观念”。例如第3题用不放回摸球模拟汉字组合，培养学生从现实问题中抽象出基本事件空间的能力；第6题第（3）问借助列表法清晰呈现所有可能结果，强化逻辑推理与概率表达的严谨性；整套训练设计由易到难，层层递进，既提升学生解决复杂概率问题的思维品质，又帮助教师精准把握学情，实现高效教学与素养落地。

第4章 概率 强化训练专题（十八） 概率应用的几种常见的类型 1 类型1 概率与数式的综合 1.在一个不透明的盒子里放有分别写有整式2， ，， 的四 张卡片，从中随机抽取两张，把卡片上的整式分别作为分子和分 母，则能组成分式的概率是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.一个不透明的口袋中装有三个除数字外完全相同的小球，上面 分别标有数字, ，5. （1）从口袋中随机摸出一个小球，摸出的小球上的数字是无理 数的概率为__； 分层训练 构建学科思维 3 （2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为 ，把 小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球 上的数字记为.请用列表法或画树状图法求出与 的乘积是有理 数的概率. 分层训练 构建学科思维 4 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中与 的乘积是有理数的结果有3种， 所以与的乘积是有理数的概率为 . 分层训练 构建学科思维 5 类型2 概率与方程、不等式（组）的综合 3.若从1，2，3，4四个数中选取一个数，记为 ，再从这四个数 中选取一个数，记为，则关于 的一元二次方程 没有实数根的概率为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 4.从，，1，2这四个数中任取一个数作为 的值，再从余下 的三个数中任取一个数作为的值，则不等式组 有整数解 的概率是__. 分层训练 构建学科思维 7 类型3 概率与函数的综合 5.从有理数 ，0，1，2中任选两个数作为点的坐标，满足点在 直线 上的概率是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 6.在平面直角坐标系中，点的坐标为，从 ，0，2这三 个数中任取一个数作为 的值，再从余下的两个数中任取一个数 作为的值，则点 在坐标轴上的概率是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 7.现有四张正面分别标有数字， ，1，2的不透明卡片，它 们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀后，随机抽取 两张，记上面的数字分别为， ，则使得一次函数 的图象不经过第二象限的概率为__． 分层训练 构建学科思维 10 类型4 概率与几何的综合 8.（2024·威海）如图，在扇形 中， ，点是的中点．过点 作 交于点，过点作 ，垂足为 点．在扇形内随机选取一点，则点 落在阴影部 分的概率是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 9.现有4条线段，长度依次是2，4，6，7，从中任选三条，能组 成三角形的概率是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 类型5 概率与其他学科知识的综合 10.已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是 0.5.则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路， 之间，电 流能够正常通过的概率是( ) A A.0.75 B.0.525 C.0.5 D.0.25 分层训练 构建学科思维 13 11.如图，随机闭合开关，， 中的两个， 则能让两盏灯泡， 同时发光的概率为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 $第4章 概率 4.1 随机事件与可能性 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 确定性事件与随机事件 1.（2024·湖北省卷）在下列事件中，必然事件是( ) D A.掷一次骰子，向上一面的点数是3 B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D.任意画一个三角形，其内角和是 分层训练 构建学科思维 3 2.“明天的太阳从西方升起”这个事件属于________事件 （用“必然”“不可能”“不确定”填空）. 3.下列成语描述的事件:①水涨船高;②守株待兔;③水中捞月;④缘 木求鱼.其中为随机事件的是____. 不可能 ② 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 随机事件可能性的大小 4.（贵州中考）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个 标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外 其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小 球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是 ( ) C A.摸出“北斗”小球的可能性最大 B.摸出“天眼”小球的可能性最大 C.摸出“高铁”小球的可能性最大 D.摸出三种小球的可能性相同 分层训练 构建学科思维 5 5.如图,有甲、乙、丙3个转盘,这3个转盘在转动过程中指针停在 灰色区域的可能性( ) D A.甲转盘最大 B.乙转盘最大 C.丙转盘最大 D.一样大 分层训练 构建学科思维 6 6.如图,转盘中8个扇形的面积都相等,任意转动1次转盘,当转盘停 止转动时,估计下列4个事件发生的可能性大小,其中事件发生的可 能性最大的是( ) C A.指针落在标有5的区域内 B.指针落在标有10的区域内 C.指针落在标有偶数或奇数的区域内 D.指针落在标有奇数的区域内 分层训练 构建学科思维 7 7.九年级八班从三名男生（含小强）和五名女生中选四名学生参 加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选 名. （1）当 为何值时，男生小强参加是必然事件？ 解：当 为1时，男生小强参加是必然事件. （2）当 为何值时，男生小强参加是不可能事件？ 解：当 为4时，男生小强参加是不可能事件. （3）当 为何值时，男生小强参加是随机事件？ 解：当 为2或3时，男生小强参加是随机事件. 分层训练 构建学科思维 8 $第4章 概率 强化训练专题（十九） 与统计有关的概率问题 1 【方法技巧】 正确识别统计图表，利用图中的数据再根据概率的意义和方法解题. 1.（2024·日照）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素 质，今年5月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级 进入团体决赛.团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则 如下表： 分层训练 构建学科思维 2 单项比赛计分 规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分， 剩下三个有效分的平均数即为该项得分 团体决赛计分 规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团 体最终成绩由高到低排序 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述 和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： 分层训练 构建学科思维 3 .甲、乙两班五个单项得分折线图： 分层训练 构建学科思维 4 .丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 78 94 90 92 分层训练 构建学科思维 5 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80， 84，86，83，82，求丙班第二个单项的得分 ； 解：去掉最高分86分，最低分80分后， . 丙班第二个单项的得分 为83. 分层训练 构建学科思维 6 （2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名 靠前，那么获得团体比赛冠军的是____班；（填“甲”“乙”或“丙”） 乙 分层训练 构建学科思维 7 （3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有 ， ， 三种图书可供选择.请用列表或画树状图的方法，求两个班 级都选择同一套图书的概率. 分层训练 构建学科思维 8 解：画树状图如图所示. 由图，知共有9种等可能的结果，两个班选择同一种图书的结果 共有3种， （两个班级都选择同一种图书） . 分层训练 构建学科思维 9 2.（2024·遂宁）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为 了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假 期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： 分层训练 构建学科思维 10 小组关于 学校学生“五一”出游情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 学校学生 数据的整理与描述 景 点 A：中国 死海 B：龙风 古镇 C：灵 泉风景 区 D：金 华山 ：未出 游 其他 分层训练 构建学科思维 11 __________________________________________________________________________ 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为 _____，扇形统计图中， ____，“B：龙风古镇”对应圆心角的度数是_____； 100 10 续表 分层训练 构建学科思维 12 （2）请补全条形统计图； 解：出游景点C的人数为 （人）， 补全条形统计图略. （3）该学校总人数为1 800人，请你估计该学校学生“五一”假期 未出游的人数； 解： （人）. 答：估计该学校学生“五一”假期未出游的有144人. 分层训练 构建学科思维 13 （4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A，B，C，D 四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他 们选择同一景点的概率. 分层训练 构建学科思维 14 解：画树状图如图所示. 由图，知共有16种等可能的结果，其中两人选择同一景点的结果 有4种， （选择同一景点） . 分层训练 构建学科思维 15 $第4章 概率 4.2 概率及其计算 4.2.2 用列举法求概率 第1课时 用列表法求概率 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 用列表法求概率 1.如图所示有两个转盘,每个转盘均被分成四个相同的扇形，转动 转盘时指针落在每个扇形内的机会均等.同时转动两个转盘,则两 个指针同时落在标有奇数扇形内的概率为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（2024·济南）3月14日是国际数学节.某学校在今年国际数学 节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动， 如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选 到同一个活动的概率是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.将分别标有“壮”、“美”、“广”、“西”四个汉字的小球装在一个 不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球 前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出 的球上汉字可以组成“广西”的概率是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 【变式】 有四张正面分别标有数字 ，0，1，5的不透明卡片， 它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从 中任取一张，记下后放回，再任取一张，则两次取出的卡片上的 数字和为正数的概率为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 4.现有两组扑克牌，每组3张扑克，第一组分别是红桃5、红桃6、 红桃7，第二组分别是梅花3、梅花4、梅花5，若把两组扑克牌背 面朝上各自搅匀，并分别从两组中各抽取一张牌，试求“抽出两 张牌的数字之和为10”的概率是__． 分层训练 构建学科思维 7 5.（铜仁中考）从， ，2三个数中任取两个不同的数，作为 点的坐标，则该点在第三象限的概率等于__． 分层训练 构建学科思维 8 6.某校开展主题为“交通与防溺水安全教 育”的问卷调查活动，抽取了部分学生进 行调查，调查问卷设置了 非常了解、 比较了解、基本了解、 不太了 解四个等级，要求每个学生填写且只能 填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制 成如图所示不完整的统计图表，根据以上信息回答下列问题： 分层训练 构建学科思维 9 等级 频数（人数） 频率 20 0.4 15 10 0.2 0.1 分层训练 构建学科思维 10 （1）上表中___， ____，将条形统计图补充完整； 5 0.3 解：补全条形统计图如下： 分层训练 构建学科思维 11 （2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常 了解”和“比较了解”防溺水常识的学生共有多少人？ 解： （人）. 答：该校1 000名学生中“非常了解”和“比较了解”防溺水常识的 学生大约有700人. 分层训练 构建学科思维 12 （3）在“非常了解”防溺水常识的学生中，某班有5个学生，其中 3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两个加入志愿者团队，请 用列表法求所选两个学生中至少有一个女生的概率． 分层训练 构建学科思维 13 解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 第1人 第2人 男 男 男 女 女 男 （男 ,男 ） （男 ,男 ） （女 ,男 ） （女 ,男 ） 男 （男 ,男 ） （男 ,男 ） （女 ,男 ） （女 ,男 ） 分层训练 构建学科思维 14 第1人 第2人 男 男 男 女 女 男 （男 ,男 ） （男 ,男 ） （女 ,男 ） （女 ,男 ） 女 （男 ,女 ） （男 ,女 ） （男 ,女 ） （女 ,女 ） 女 （男 ,女 ） （男 ,女 ） （男 ,女 ） （女 ,女 ） 续表 分层训练 构建学科思维 15 由上表可知，共有20种等可能的结果，其中两人中至少有一个女 生的结果有14种， 所以两个学生中至少有一个女生的概率为 ． 答：两个学生中至少有一个女生的概率为 ． 分层训练 构建学科思维 16 7.图1是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标 有数字1，2，3，4，图2是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的 方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个 面（除底面外）的数字之和是几，就从图2中的 点开始沿着顺时 针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第 一次的方法跳动． 图1 图2 分层训练 构建学科思维 17 图1 图2 （1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 处的概率是__； 分层训练 构建学科思维 18 （2）随机掷两次骰子，求棋子最终跳动到点 处的概率． 解：用列表法表示所有可能出现的结果如下： 9 8 7 6 9 8 7 6 分层训练 构建学科思维 19 由表可以看出，共有16种等可能的结果，当和为14时可以跳动到 点的结果有3种，所以（棋子最终跳动到点处） ． 分层训练 构建学科思维 20 $第4章 概率 章末复习 1 复习点1 一个判断——事件的类型 1.（2024·武汉）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏， 两人同时出相同的手势，这个事件是( ) A A.随机事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.确定性事件 2.（贵阳中考）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2， 这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球， 摸出球上的号码小于5”是必然事件，则 的值可能是( ) A A.4 B.5 C.6 D.7 分层训练 构建学科思维 2 复习点2 三种方法 方法1 运用公式 计算概率 3.（2023·连云港）如图是由16个相同的小正方形 和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内 任取一点，则点 落在阴影部分的概率为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 4.（贵阳中考）如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆 放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰 好摆放成如图所示位置的概率是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 方法2 用列表法计算概率 5.（2024·青岛）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班 选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人 决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分 别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝 上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后 放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和 大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复 上述过程． 分层训练 构建学科思维 5 （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是__； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 分层训练 构建学科思维 6 解：游戏公平，理由如下： 根据题意列表如下： 小红 和 小明 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 分层训练 构建学科思维 7 由表,知共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于 4的有3种，两次摸到的数字之和小于4的有3种， 小明获胜的概率是，小红获胜的概率为 ， 两人获胜的概率相等， 游戏公平． 分层训练 构建学科思维 8 方法3 用画树状图法计算概率 6.（2024·淮安）历史文化名城淮安有着丰富的旅游资源.小明计 划假期来淮安游玩，他打算从3个人文景点 .周恩来纪念馆；B. 吴承恩故居；C.河下古镇中随机选取一个，再从2个自然景点 .金湖水上森林；.铁山寺国家森林公园 中随机选取一个. （1）小明从人文景点中选中河下古镇的概率是__； 分层训练 构建学科思维 9 （2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁 山寺国家森林公园的概率. 解：画树状图如图所示. 由树状图，知一共有6种等可能的结果，其中小明恰好选中周恩 来纪念馆和铁山寺国家森林公园的结果有1种， 小明恰好选中 周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率为 . 分层训练 构建学科思维 10 复习点3 一个试验——利用频率估算概率 7.（邵阳中考）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案 （图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了 以下办法：用一个长为，宽为 的长方形，将不规则图案围 起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球 落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试 验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线 统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( ) 分层训练 构建学科思维 11 图① 图② A. B. C. D. √ 分层训练 构建学科思维 12 复习点4 链接中考——概率与统计的综合 8.（2024·东营）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要 （试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我 快乐，我光荣”活动.为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调 查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理 和分析（劳动时间分成五档：A档： ；B档： ；C档：；D档：；档： ）， 调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如图所示： 分层训练 构建学科思维 13 根据以上信息，回答下列问题： 分层训练 构建学科思维 14 （1）本次调查中，共调查了____名学生，补全条形统计图； 50 解：本次调查中，共调查了 （名）学生. 档的学生人数为 （人）， 档中女生人数为 （人）. 补全条形统计图略. 分层训练 构建学科思维 15 （2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，，， ， ，， ，则调查的全部男生劳动时间的中位数为 ____小时. 2.5 分层训练 构建学科思维 16 （3）学校为了提高学生的劳动意识，现从 档中选两名学生作劳 动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好 都是女生的概率. 分层训练 构建学科思维 17 [答案] 由题意，知将档中的2名男生记作男，男 ，2名女生记 作女，女 ，列表如下： 男 男 女 女 男 （男 ，男 ） （男 ，女 ） （男 ，女 ） 男 （男 ，男 ） （男 ，女 ） （男 ，女 ） 女 （女 ，男 ） （女 ，男 ） （女 ，女 ） 女 （女 ，男 ） （女 ，男 ） （女 ，女 ） 分层训练 构建学科思维 18 由表，知共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女 生的结果有2种， 所选两名学生恰好都是女生的概率为 . 分层训练 构建学科思维 19 $第4章 概率 4.3 用频率估计概率 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 频率与概率的关系 1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说 法正确的是( ) D A.频率就是概率 B.频率与试验次数无关 C.概率是随机的，与频率无关 D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 分层训练 构建学科思维 3 2.（贵阳中考）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面 分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6” 朝上的频率的变化趋势接近的值是__． 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 用频率估计概率 3.（徐州中考）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个， 这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频 率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是( ) A A.5 B.10 C.12 D.15 分层训练 构建学科思维 5 4.（2024·宁夏）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下 进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1 000 1 500 成活数 35 134 271 451 631 899 1 350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是____（结果精确到 ）. 0.9 分层训练 构建学科思维 6 5.（2023·鞍山）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个， 这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1 个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸 球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有___个. 3 分层训练 构建学科思维 7 6.一个不透明的袋子里装有黄、白、红三种颜色的球，其中有黄 球16个，白球8个和红球若干个，这些球除颜色外其他都相同.小 明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.5左右， 则摸到黄球的概率约为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 7.如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为15的 矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向 矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边 缘） 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 分层训练 构建学科思维 9 依此估计空白部分的面积是( ) D A.6 B.8.5 C.9.95 D.10 分层训练 构建学科思维 10 8.（营口中考）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的 球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过 多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在 和 ，则箱子里蓝色球的个数很可能是____个. 15 分层训练 构建学科思维 11 $第4章 概率 4.2 概率及其计算 4.2.1 概率的概念 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 概率的含义 1.下列说法错误的是( ) D A.必然事件发生的概率为1 B.不可能事件发生的概率为0 C.事件发生的可能性越大,它的概率越接近1 D.概率很小的事件不可能发生 分层训练 构建学科思维 3 2.下列说法正确的是( ) D A.天气预报说明天降水的概率是 ,则明天一定会下雨 B.某种彩票中奖的概率是 ,则买100张彩票一定有1张中奖 C.“抛一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率是 ”表示抛10次硬币有 5次正面朝上 D.某一事件发生的概率达到 ,说明此事件发生的可能性比较大 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 随机事件的概率 3.（2024·广西）不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球 除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，取出白球的概 率是( ) D A.1 B. C. D. 4.（2024·雅安）将，， ，0，， 这6个数分别写在6 张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概 率是__. 分层训练 构建学科思维 5 5.（2024·徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方 形镖盘 内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等， 则飞镖落在阴影区域的概率为( ) C A. B. C. D. 6.（易错题）小明抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷9次，7次 正面朝上，则他抛掷第10次时，正面朝上的概率是__． 分层训练 构建学科思维 6 7.【新考向·跨学科融合】老师为帮助学生正确理解物理变化与化 学变化，将6种生活现象制成看上去无差别的卡片（如图）.从中 随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是__. 分层训练 构建学科思维 7 8.一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共40个．它们 除颜色外其他都相同，其中红球25个． （1）若黄球的个数是白球的个数的2倍，求从袋中摸出一个球是 黄球的概率； 分层训练 构建学科思维 8 解：设袋中白球有个，则黄球有 个， 根据题意，得，解得 . （个） 袋中黄球有10个， （从袋中摸出一个球是黄球） . 分层训练 构建学科思维 9 （2）若再往袋中放入若干个黑球，从中任意取出一个红球的概 率为 ，求放入黑球的个数． 解：设往袋中放入个黑球，由题意，得，解得． 放入黑球的个数为60个. 分层训练 构建学科思维 10 $第4章 概率 4.2 概率及其计算 4.2.2 用列举法求概率 第2课时 用画树状图法求概率 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点 用画树状图法求概率 1.（2024·齐齐哈尔）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设 计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学 生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生 在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（2024·河南）豫剧是国家级 非物质文化遗产，因其雅俗共赏， 深受大众喜爱.正面印有豫剧经 D A. B. C. D. 典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这 三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从 中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为( ) 分层训练 构建学科思维 4 3.抛掷一枚质地均匀的硬币，连续掷三次，出现“一次正面，两次 反面”的概率为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 4.（教材P131练习T2变式）（2024·武汉）经过某十字路口的汽 车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同. 若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是 ( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 5.甲、乙两人进行象棋比赛，比赛规则为3局2胜制.如果两人在每 局比赛中获胜的机会均等，且比赛开始后，甲先胜了第1局，那 么最后甲获胜的概率是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 6.【新考向·跨学科融合】（2024·内江改编） 如图所示的电路中，当随机闭合开关 ， ， 中的两个时，灯泡能发光的概率为__. 7.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这 个数为“伞数”．甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：从1，2，3， 4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，若组成的 三位数是“伞数”，则甲胜，否则乙胜，则甲获胜的概率是__． 分层训练 构建学科思维 8 8.（铜仁中考）在四个完全相同的小球上分别标上1，2，3，4四个 数字，然后装入一个不透明的口袋里搅匀，小明同学随机摸取一个 小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下标号． 分层训练 构建学科思维 9 （1）请你用画树状图或列表的方法分别表示小明同学摸球的所 有可能出现的结果； 解：画树状图如下： 则小明同学摸球共有16种等可能的结果. 分层训练 构建学科思维 10 （2）按照小明同学的摸球方法，把第一次取出的小球的数字作 为点的横坐标，把第二次取出的小球的数字作为点 的纵坐标， 试求出点落在直线 上的概率是多少？ 解：由（1）知，共有16种等可能的结果，其中点 ， ，，落在直线 上， 点落在直线上的概率是 ． 分层训练 构建学科思维 11 $第4章 概率 教材回归专题（五） 概率中的显性（不）放回问 题——针对教材P133习题T7 1 【教材母题】（教材P133习题 ）在一个袋中有4个大小和质地 都相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明和小强采取 的摸取方法分别是： 小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个 小球，记下标号； 小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机摸取一个小 球，记下标号． 分层训练 构建学科思维 2 （1）请用列举的方法分别表示小明和小强摸球的所有可能出现 的结果； 解：根据题意，可知小明是有放回的摸球，小明摸球的结果情况 有16种，如表所示： 分层训练 构建学科思维 3 4 分层训练 构建学科思维 4 小强是不放回的摸球，小强摸球的结果情况有12种，如表所示： 4 分层训练 构建学科思维 5 （2）分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率． 解：由（1），知小明两次摸球之和等于5的结果有4种，则 （两次摸球的标号之和等于 ；小强两次摸球之和等于 5的结果有4种，则（两次摸球的标号之和等于 . 分层训练 构建学科思维 6 1.（2024·北京）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小 球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀， 再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 2.（2024·山西）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球 和一个绿球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记 下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好 有一个红球的概率是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 3.（2024·苏州）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘 “春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4 张书签充分搅匀. （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为__； 分层训练 构建学科思维 9 （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书 签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1 张为“秋”的概率.（请用画树状图或列表的方法说明理由） 分层训练 构建学科思维 10 解：画树状图如图所示. 由图，知共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为 “春”，1张为“秋”的结果有2种， 抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为 . 分层训练 构建学科思维 11 $第4章 概率 教材回归专题（六） 概率中的隐性（不）放回问 题——针对教材P133习题T6 1 【教材母题】（教材P133习题T6）从， ，2这三个数中任 取两个不同的数，作为点的坐标，求该点在第四象限的概率． 解：画树状图如下： 由树状图，知共有6种等可能的结果，其中点在第四象限的结果 有2种，所以该点在第四象限的概率为 分层训练 构建学科思维 2 1.某学校门口设置了，两条通道，该校同学王明和李强均从 通道入校的概率是( ) A A. B. C. D. 2.（2024·安徽）不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球， 其中1个黄球、1个白球和2个红球.从袋中任取2个球，恰为2个红 球的概率是__. 分层训练 构建学科思维 3 3.把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都按同样的方式 剪成形状、大小相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀，从这堆 图片中随机抽出两张，则这两张图片恰好能组成一张原风景图片 的概率是__. 分层训练 构建学科思维 4 4.（2024·连云港）数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、 质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜 D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数 学家人名”. （1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是 猜“数学名词”的概率是__； 分层训练 构建学科思维 5 （2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或 列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率. 解：画树状图如图所示. 由树状图，知共有12种等可能的结果，其中小军抽取的字谜均是 猜“数学家人名”的结果有2种，即， ， 小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率为 . 分层训练 构建学科思维 6 5.我们要遵守交通规则，文明出行，做到“红灯停，绿灯行”.小刚 每天从家到学校需经过三个路口，且每个路口都安装了红绿灯， 每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校， 求他途中遇到两次红灯，一次绿灯的概率. 分层训练 构建学科思维 7 解：根据题意画树状图如图所示. 由树状图，知共有8种等可能的结果，其中途中遇到两次红灯， 一次绿灯的结果有3种，所以小刚途中遇到两次红灯，一次绿灯 的概率是 . 分层训练 构建学科思维 8 $第4章 概率 综合与实践 1 1.综合与实践. 问题：如何通过试验估计圆周率 ? 学习：一般地，如果在一次试验中，结果落在区域D 中每一点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小 区域 中”这个事件，那么事件A发生的概 率为 . 分层训练 构建学科思维 2 运用： （1）如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒 米，落在圆内的概率为__; 分层训练 构建学科思维 3 试验： （2）随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计并 计算落在圆内的米粒数<m></m>与正方形内的米粒数<m></m>的比<m></m>； 落在圆内的米粒 数 落在正方形内的 米粒数 频率 的估计值 800 1 000 ____ ____ 0.8 3.2 分层训练 构建学科思维 4 总结： （3）多次试验后，可以发现和 之间有什么关系？你能用它们 之间的关系估计出 的值吗? 解：.通过试验得到,的值，再计算 的值，然后可估计 出 的值. 分层训练 构建学科思维 5 反思： （4）为了提高 的估计精度，你认为还可以怎么做? 解：为了提高 的估计精度，可增加试验次数. 分层训练 构建学科思维 6 图1 2.综合与实践. 主题：扔豆子估计概率. 素材：准备一个封闭的圆形装置，整个装置内部 分为,,三个区域,两区域为圆环， 区域为 小圆 ,具体数据如图1所示. 计算： （1）求出,, 三个区域的面积： _________, _________, ________; 分层训练 构建学科思维 7 操作： （2）随机往装置内扔一粒豆子，多次重复试验，豆子落在 区域 的概率 为多少? 解： . 答：豆子落在区域的概率为 . 分层训练 构建学科思维 8 （3）随机往装置内扔180粒豆子，请问大约有多少粒豆子落在 区域? 解： （粒）. 答：大约有100粒豆子落在 区域. 分层训练 构建学科思维 9 拓展： 图2 （4）在如图2所示的图形中随机撒一把豆子， 计算落在,, 三个区域中的豆子数，若落在 这三个区域中的豆子数依次为，， , 估计图中 的值. 分层训练 构建学科思维 10 解：区域面积为 , 区域面积为 , 区域面积为 . 又 落在,,三个区域中的豆子数依次为，， ， ，即，，解得 , （不合题意，舍去）,即 的值为1. 分层训练 构建学科思维 11 $