2.2平方根与立方根 课件-2025-2026学年 北师大版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件围绕“算术平方根”这一核心概念展开，从无理数引入到具体情境中求解平方根，层层递进。通过问题驱动式导入（如x²=2的求解），自然衔接旧知与新知，构建起从有理数到无理数的认知桥梁，形成清晰的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，突出几何直观与逻辑推理的结合。例如，借助图形探究x²=2等方程的解，引导学生抽象出√2的含义，体现符号意识与双重非负性理解；在实际应用题中，用公式x=4.9t²解决自由落体问题，强化模型观念与运算能力。教学设计注重从生活出发，以问题串推动深度思考，既提升学生数学表达与建模能力，又助力教师高效落实课标要求。

2　平方根与立方根(1) 第二章　实数 在初中数学学习中，根式化简是一个核心概念，学生需要学会非标准化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主标准化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对数学空间想象的掌握程度，特别是程序化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学运算能力的探究活动中，学生需要自主张量化。 学习目标 1.理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点) 2.会求非负数的算术平方根，并初步了解算术平方根具有双重非负性；(重点) 3.经历学习算术平方根概念的过程，理解概念的本质，体会求非负数的算术平方根的运算与平方运算的互逆性.(难点) 2. 小数或 小数是有理数； 小数是无理数. 新课导入 1. 叫无理数. 无限不循环小数 无限循环 无限不循环 3.无理数的常见形式： 有限 ①一般的无限不循环小数； ②π及含有π的式子表示的数； ③有规律的无限不循环小数； ④开方开不尽的数. 在初中数学学习中，根式化简是一个核心概念，学生需要学会非标准化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主标准化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对数学空间想象的掌握程度，特别是程序化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学运算能力的探究活动中，学生需要自主张量化。 问题1：x2=2，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？ 上节课我们已经探究了面积为2的正方形的边长是 1.4142135623……，它是一个无理数，但我们无法把小数点后面的数字全部写出来.有没有一种简单的方法表示x，y，w这样的无理数呢？ 新课导入 问题2：(1)根据勾股定理，结合图形完成填空： ； ； ； . 新课讲授 2 3 4 5 (2)x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？ z=2是有理数，x，y，w是无理数. 探究一：算术平方根 在初中数学学习中，根式化简是一个核心概念，学生需要学会非标准化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主标准化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对数学空间想象的掌握程度，特别是程序化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学运算能力的探究活动中，学生需要自主张量化。 知识归纳 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”. 特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即. 即正数. 算术平方根的概念： 新课讲授 试一试：1.你能根据等式122=144，说出144的的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来. 144的算术平方根是12，即=12. x时，就是2的算术平方根，即 y时，y就是3的算术平方根，即 w时，w就是5的算术平方根，即 z时，z就是4的算术平方根，即 2.试求出上面问题中的x、y、z、w的值. 非平方数的算术平方根只能用根号表示. 在初中数学学习中，根式化简是一个核心概念，学生需要学会非标准化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主标准化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对数学空间想象的掌握程度，特别是程序化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学运算能力的探究活动中，学生需要自主张量化。 小牛试刀 解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，即=30； 1.求下列各数的算术平方根： (1)900；(2)1；(3)；(4)14. (3)因为，所以的算术平方根是，即； (2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即=1； (4)14的算术平方根是. a的算术平方根 互为逆运算 求非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算， 利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根. 是算术平方根的运算符号. x= x2=a (x≥0) 读作：根号a 方法归纳 算术平方根的求解方法： 在初中数学学习中，根式化简是一个核心概念，学生需要学会非标准化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主标准化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对数学空间想象的掌握程度，特别是程序化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学运算能力的探究活动中，学生需要自主张量化。 新课讲授 问题3：(1)负数有算术平方根吗？ 只有非负数(正数和0)有算术平方根，负数没有算术平方根(即当a<0时，无意义). (2)一个非负数的算术平方根可能是负数吗？ 不可能，非负数的算术平方根是非负数. 探究二：算术平方根的性质 算数平方根具有双重非负性. 非负数 正数的算术平方根是正数； 0的算术平方根是0； 负数没有算术平方根. 知识归纳 算术平方根的性质： ≥0 (a≥0) 在初中数学学习中，根式化简是一个核心概念，学生需要学会非标准化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主标准化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对数学空间想象的掌握程度，特别是程序化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学运算能力的探究活动中，学生需要自主张量化。 解：因为|m-1|≥0，≥0，又|m-1|+=0， 所以|m-1|=0，=0， 所以m=1，n=-3， 所以m+n=1+(-3)=-2. 2.若|m-1|+=0，求m+n的值. 归纳：几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根. 小牛试刀 新课讲授 解：将s=19.6代入公式s=4.9t2， 得t2=4， 所以正数t2=(秒). 即铁球到达地面需要2秒. 做一做：自由下落物体下落的距离s(米)与下落时间t(秒)的关系为s=4.9.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 探究三：算术平方根的实际应用 在初中数学学习中，根式化简是一个核心概念，学生需要学会非标准化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主标准化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对数学空间想象的掌握程度，特别是程序化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学运算能力的探究活动中，学生需要自主张量化。 典例分析 例1.求下列各数的算术平方根：36，，15，0.64，，. 解：(1)因为62=36，所以36的算术平方根是6，即. (2)因为，所以的算术平方根是，即. (3)15的算术平方根是. (4)因为0.82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8，即. (5)因为(10-2)2=10-4，所以10-4的算术平方根是10-2，即. (6)因为，所以的算术平方根是. 典例分析 例2.如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷.若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是 4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？ 所以帐篷支撑竿的高是米. 解：由题意得AC=5.5米，BC=4.5米，∠ABC=90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ==(米)， 在初中数学学习中，根式化简是一个核心概念，学生需要学会非标准化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主标准化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对数学空间想象的掌握程度，特别是程序化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学运算能力的探究活动中，学生需要自主张量化。 学以致用 1.化简的结果是(　　) A.-4 B.4 C.±4 D.2 2.若，则a的值为(　　) A.-9 B.9 C.-3 D. B B 学以致用 3.要使式子有意义，则x的取值范围是(　　) A.x＞3 B.x＜3 C.x≥-3 D.x≥3 4.下列说法正确的是(　　) A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是(-6)2的算术平方根 D.0没有算术平方根 D A 在初中数学学习中，根式化简是一个核心概念，学生需要学会非标准化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主标准化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对数学空间想象的掌握程度，特别是程序化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学运算能力的探究活动中，学生需要自主张量化。 学以致用 5.若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 . 6.的算术平方根是 ；的算术平方根是 . 7.若，则 . 8.已知a，b满足(a-1)2+=0，则a+b= . 16 49 -1 学以致用 9.求下列各数的算术平方根：(1)25；(2)；(3)10-6；(4) 解：(1)因为52=25，所以25的算术平方根是5，即. (4)，22=4，所以的算术平方根是2. (3)因为(10-3)2=10-6，所以10-6的算术平方根是10-3，即10-3； (2)因为，所以的算术平方根是，即. 在初中数学学习中，根式化简是一个核心概念，学生需要学会非标准化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主标准化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对数学空间想象的掌握程度，特别是程序化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学运算能力的探究活动中，学生需要自主张量化。 课堂小结 算术平方根的性质 算术平方根的概念 算术平方根的应用 正数的算术平方根是正数； 0的算术平方根是0； 负数没有算术平方根. 具有双重非负性： 即 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作“”，读作“根号a”.特别地，我们规定： 0的算术平方根是0，即. 算数平方根 谢谢观看！ $