精品解析：广东省深圳市明德实验学校（集团）2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

深圳明德实验学校（集团）香蜜校区 2025-2026学年第一学期九年级开学诊断测试（数学） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 2024年巴黎奥运会圆满落幕，下列是巴黎奥运会四个运动项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握这两个定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义一一判断即可． 【详解】解：选项A，B中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项A，B错误，不符合题意； 选项C中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C正确，符合题意； 选项D中的图形不是轴对称图形但是中心对称图形，故选项D错误，不符合题意； 故选C． 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； 当时，，故选项D符合题意； 故选D． 3. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在△ABC中可求得∠ACB＝∠ABC＝70°，在△BCD中可求得∠DBC＝40°，由此可求出∠ABD． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°－40°）÷2＝70°， 又∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD＝70°， ∴∠DBC＝180°－70°×2＝40°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣40°＝30°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用． 4. 如图，在中，的平分线交于点，，，则（ ）　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行四边形的性质，易得，，再根据，进行求解即可． 【详解】解：在中， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ， ， ， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质及等腰三角形的判定．解题的关键是根据平行和角平分线得到等腰三角形． 5. 如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大3倍 D. 扩大4倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变． 【详解】解：分式中的与都扩大2倍，得 ， 故选：B． 6. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，即可解答． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上：k的取值范围是且， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 8. 如图，在边长为6的正方形中，点分别在边上，与交于点，，，，则长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理 ，正方形的性质 ，三角形全等的判定和性质；过点作于点，取的中点，连接，根据正方形的性质证出 ，再根据直角三角形的性质得出，得到当共线时，有最小值，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 分解因式8a2－2=__________． 【答案】2（2a＋1）（2a－1） 【解析】 【详解】本题要先提取公因式2,再运用平方差公式将写成，即原式可分解为：8a2－2 10. 如图，韶关市城市新地标韶阳楼坐落在美丽的森林公园内．韶阳楼的地底藏有一座神秘古塔的塔基，正与韶阳楼的中心位置重合，该塔基是正六边形，此六边形的内角和为_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据多边形的内角和为：，得正六边形的内角和，解答即可． 本题考查了正多边形的内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和为：，得正六边形的内角和， 故答案为：． 11. 一元二次方程的两根为a与β．则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的求值，一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键． 把变形为，然后利用根与系数的关系求得，，，最后代入到中，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为a与β． ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可该不等式的解集． 【详解】解：把代入，得：，解得：， ∴直线与直线交于点， 当时，则． 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，，则______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，旋转的性质及勾股定理，将绕点D顺时针旋转得到，连接，作于点H，先求出，证明四边形是平行四边形，从而求出，进而求出答案． 【详解】解：如下图，将绕点D顺时针旋转得到，连接，作于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：15． 三、解答题（共8小题，共61分） 14. 解方程组：． 【答案】该不等式组无解． 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，掌握不等式组解集的确定方法成为解题的关键． 先求出各不等式的解集，然后根据不等式的解集确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式得： 解不等式得： ∴该不等式组无解． 15. 先化简，再从，，0，3中选择一个合适的a值代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再从所给数中选一个有意义的数代入计算即可． 【详解】解： ， ，， ，0， 当时，原式． 16. 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得 第一步 第二步 第三步 （1）嘉嘉的解答过程从第____________步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）一 （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵当时，方程两边才能同时除以，得 ， 当时，方程两边同时除以，无意义， ∴第一步就出现了错误，没分类讨论． 故答案为：一． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 17. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 3 【解析】 【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 18. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）21万元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 19. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； （2）分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； （3）用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）3，6 （2）真分式，，4 （3）当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 （4）当时，分式取到最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【小问1详解】 解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； 【小问2详解】 解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； 【小问3详解】 解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； 【小问4详解】 解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 20. 定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 （2）如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）A； （2）解：四边形是“奇妙四边形”，理由如下： 如下图所示， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 四边形内角和为， ， 又， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 四边形是“奇妙四边形”； 或． 【解析】 【分析】根据“奇妙四边形”的定义进行判断即可； 根据正方形的性质和垂直的定义可得：，根据四边形内角和定理和邻补角定义可证，根据正方形的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，等量代换可证，根据等角对等边可证，所以可证结论成立； 因为，所以四边形有一组对角互补，根据“奇妙四边形”的定义还需要有一组邻边相等，所以应分、、、四情况求解． 【小问1详解】 解：正方形、矩形的四个角都是直角， 正方形、矩形都满足有一组对角互补， 只有正方形的四条边都相等， 正方形是“奇妙四边形”， 故选：A； 【小问2详解】 略 解：四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形内角和为， ， 若四边形是“奇妙四边形”， 则需要有一组邻边相等， 当时， 如下图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 由可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 如下图所示，过点作于M， 设， 由可知， ， ， 在中，， 是正方形的对角线， ， ， ， 解得：， ， ， ； 当时，则点是的中点， 则只有当点与点重合时成立， 故不符合题意； 当时， 如下图所示，连接， 在和中，， ， ， 同上； 如下图所示， 当时，则有是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ， 把绕点顺时针旋转到的位置， ， 由可知， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是理解“奇妙四边形”的定义，根据“奇妙四边形”找出边和角的关系，分情况求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳明德实验学校（集团）香蜜校区 2025-2026学年第一学期九年级开学诊断测试（数学） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 2024年巴黎奥运会圆满落幕，下列是巴黎奥运会四个运动项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，的平分线交于点，，，则（ ）　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大3倍 D. 扩大4倍 6. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 8. 如图，在边长为6的正方形中，点分别在边上，与交于点，，，，则长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 分解因式8a2－2=__________． 10. 如图，韶关市城市新地标韶阳楼坐落在美丽的森林公园内．韶阳楼的地底藏有一座神秘古塔的塔基，正与韶阳楼的中心位置重合，该塔基是正六边形，此六边形的内角和为_________． 11. 一元二次方程的两根为a与β．则的值是________． 12. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 13. 如图，在四边形中，，，则______． 三、解答题（共8小题，共61分） 14. 解方程组：． 15. 先化简，再从，，0，3中选择一个合适的a值代入求值． 16. 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得 第一步 第二步 第三步 （1）嘉嘉的解答过程从第____________步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 17. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长度． 18. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 19. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； （2）分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； （3）用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 20. 定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 （2）如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $