精品解析：福建省福州三牧中学2025-2026学年九年级上学期九月份阶段考试数学试卷

福州三牧中学2025-2026学年第一学期九年级 九月适应性练习数学学科 （满分150分，用时120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 8的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：8的相反数是， 故选A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 若．则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键；由分式变形为，然后代值进行求解即可． 【详解】解：∵时，， ∴， 当时，原式． 故选B． 3. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的比较大小，解题的关键是掌握利用平方法进行比较大小． 先求出各数的平方，比较平方的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 4. 一次函数的函数值随的增大而增大，当时，的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，求出时，的值，再根据增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∵一次函数的函数值随的增大而增大， ∴当时，， ∴的值可以是； 故选D． 5. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，对应边  与  的夹角即为旋转角，从而可以得到  的度数，由  结合角的和差关系可以得到  的度数． 【详解】解： 绕点  按逆时针方向旋转  后得到 ， ， ， ． 6. 如图，在菱形中，与交于点，过点作于点，连接，则的长为（　　） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理求出长，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平行四边形的性质、旋转的性质，延长交轴于点，过点作轴于点，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， 由题意可得，轴，，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：A． 8. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 9. 如图，菱形中，点是对角线上一点，过点作，分别交于点，连接，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，利用特殊角的锐角三角函数值解直角三角形，全等三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点，根据菱形的性质得出相等角和边，证明四边形为平行四边形，利用锐角三角函数求出，得出，证明和，得出即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点， ∵四边形为菱形， ∴，， 又∵， ∴，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 若（为两个连续奇数，），则下列对的描述中正确的是（ ） A. 总是偶数 B. 总是奇数 C. 总是无理数 D. 可能是有理数，可能是无理数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，设，，进而得到，整体代入中求出，进行判断即可． 【详解】解：∵为两个连续奇数，， ∴设，，且为整数， ∴， ∴ ； ∵为偶数， ∴为奇数且总是有理数； 故选B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. ___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了含立方根的实数运算，解题的关键是掌握立方根． 先求出立方根，然后再进行加法运算． 【详解】解：， 故答案为：5． 12. 据统计，2025年第一季度福建全省旅游总花费209095000000元，其中209095000000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 某学科为选拔尖子进行了三轮测试，其中第一轮、第二轮与第三轮成绩（百分制）按的比例计算最终成绩，参与选拔的甲、乙两个同学的三轮成绩及最终成绩如表，由以上信息，可以判断、的大小关系是___________．（填“”、“”或“”） 轮次 学生 第一轮成绩 第二轮成绩 第三轮成绩 最终成绩 甲 70 86 85 乙 80 75 85 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算公式，求出，进行比较即可． 【详解】解：由题意，可知：，， ∴，， 故； 故答案为： 14. 若整数1、2、3、4、5的方差为，整数6、7、8、9、10的方差为，则与的大小关系是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求方差，根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案． 【详解】解：整数6、7、8、9、10是整数1、2、3、4、5的每一个数都加上5所得， ∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，波动程度不变，方差不变， ∴； 故答案为： 15. 如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点．处，并得到折痕，小强测得长边，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，根据折叠的性质，得到，，结合平行四边形的性质，得到，代入计算即可． 【详解】根据折叠的性质，得到，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 16. 如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．取点关于轴的对称点，根据点的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将用含的代数式表示出来；再分别将点、的坐标代入得到对应的值，从而得到的取值范围，进而求得的整数值． 【详解】解：如图，取点关于轴的对称点． ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点、点为的三等分点， ∴，， ∵点关于轴的对称点， ∴，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点， 设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且， 将代入， 得，∴， ∴， 当反射光线经过时，得， 解得； 当反射光线经过时，得， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）将以点O为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； （4）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如图所示，根据旋转的性质画出的即为所求； （2） 如图所示， （3） 如图所示，即为所求； （4） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，属于基础题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质． (1)根据旋转的性质即可画出旋转后对应的； (2) 点A向下平移2个单位，向左平移4个单位得到点，根据平移的性质即可画出平移后对应的； (3)根据旋转的性质即可画出旋转后对应的； (4) 如图，连接和，找出交点，根据旋转的性质即可得出旋转中心的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据平移的性质， 点A向下平移2个单位，向左平移4个单位得到点， 画出即为所求； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 如图，连接和，交点为 旋转中心为， 故答案为：． 19. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，． ． ． 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案； （2）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ，， 为等边三角形． ， ，， ． ． 20. 为了解某地区九年级学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项球类运动的喜爱情况，从该地区随机抽取部分九年级学生进行问卷调查，收集数据（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一项运动），并将调查得到的数据用下面的表格和扇形图来表示（表、图均不完整） 运动项目 羽毛球 乒乓球 篮球 足球 排球 人效 36 90 27 根据表、图提供的信息，解决以下问题： （1）计算出表中、的值； （2）求扇形统计图中表示“足球”部分所对应的扇形的圆心角度数； （3）若该地区九年级学生共有60000人，试估计该地区九年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生有多少人？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是扇形统计图，利用样本估计整体等知识． （1）根据乒乓球的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用总人数乘以篮球人数的占比即可得a，进而可得b； （2）用乘以足球人数所占百分比可得答案； （3）用该校的总人数乘以喜爱羽毛球球运动的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 本次调查共抽取的总的学生数是：（名）， 喜欢篮球人数：（名）， 喜欢足球的人数：（名）， 故答案为：，； 【小问2详解】 扇形统计图中表示“足球”的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 根据题意得：（人）， 答：喜爱羽毛球运动的学生有人． 21. 如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接、和，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求点和点之间的距离 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵延长至点，使， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，熟悉掌握矩形的判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的判定方法先判定出四边形是平行四边形，再利用对角线相等判定出四边形为矩形即可； （2）连接，利用勾股定理求出的长，利用矩形的性质得到的长，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，则点和点之间的距离即为线段的长度． ∵，， ∴， 由（1）可得， ∴在中，． ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，则， 由（1）可得， ∴在中，， ∴点和点之间的距离为． 22. 已知关于x的方程 （1）求证：此方程总有实数根； （2）若m为整数，且此方程有两个互不相等的非负整数根，求m的值． 【答案】（1） 证明：当m=0时，此方程为-4x+4=0，解得x=1.即m=0时此方程有一个实数根. 当m0时，此方程为一元二次方程 ∵ ≥0， ∴方程总有两个实数根． 综上所述,无论m取何值方程均有实数根. （2）m=1或4． 【解析】 【分析】（1）分类讨论：当m=0时，原方程化为-4x+4=0，解得x=1；当m≠0时，计算判别式得Δ=4，由于4≥0，则不论m为任何实数时总有两个实数根，所以不论m为任何实数时，关于x的方程m+4x+4-m=0总有实数根； （2）根据求根公式可得，，再根据方程有两个互不相等的非负整数根，得到m=1或2或3，再进行讨论得到m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得：m≠0， ∵， ∴，， ∵方程有两个互不相等的非负整数根， ∴整数m=1或2或4． 当m=1时，，符合题意； 当m=2时，，不符合题意； 当m=4时，，符合题意． ∴m=1或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ= -4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法． 23. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品．原料的单价是原料单价的倍，若用元收购原料会比用元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，盒还需其他成本元．市场调查发现：该产品每盒的售价是元时，每天可以销售盒；每涨价元，每天少销售盒． （1）填空：、两原料的单价分别为____元、_____元，每盒产品的成本______元（成本=原料费+其他成本） （2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）若每盒产品的售价不超过元（是大于的常数且是整数），直接写出每天的最大利润． 【答案】（1）4.5，3，30 （2）w＝−10x2＋1400x−33000； （3）当a≥70时，每天最大利润为16000元，当60＜a＜70时，每天的最大利润为（−10a2＋1400a−33000）元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费＋其他成本计算每盒产品的成本即可； （2）根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可； （3）根据（2）中的函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元， 根据题意，得：，解得m＝3， 经检验m＝3是方程的解， ∴1.5m＝4.5， ∴每盒产品的成本是：4.5×2＋4×3＋9＝30（元）， 故答案是：4.5，3，30； 【小问2详解】 根据题意，得w＝（x−30）[500−10（x−60）]＝−10x2＋1400x−33000， ∴w关于x的函数解析式为：w＝−10x2＋1400x−33000； 【小问3详解】 由（2）知w＝−10x2＋1400x−33000＝−10（x−70）2＋16000， ∴当a≥70时，每天最大利润为16000元， 当60＜a＜70时，每天的最大利润为（−10a2＋1400a−33000）元． 【点睛】本题主要考查二次函数和分式方程的实际应用，熟练应用二次函数的性质求最值是解题的关键． 24. 提出问题：这是一道日本小学算术奥林匹克题：如图1，正方形边长为10．一条长为9的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面3个单位长度处作水平线，在左面2个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 阅读解法：【小学生解法】利用面积割补解决： 如图2，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为3、2，其面积为6，所以四边形的面积是． 【初中生解法】利用设未知数解决： 如图3，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是． 完成任务：（要求：任务一用小学生解法，任务二用初中生解法） 任务一：如图4，正方形边长为10，一条长为8的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面4个单位长度处作水平线，在左面3个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务二：如图5，正方形边长为10，一条长为5的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面2个单位长度处作水平线，在左面1个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务三：填空：四边形的面积由___________、___________、___________确定，它与的长度___________，与的倾斜程度___________． 【答案】任务一：56； 如图，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为4、3，其面积为12，所以四边形的面积是； 任务二：51； 如图，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是； 任务三：正方形的边长；距离A下面的单位长度；距离左面的单位长度；无关；无关 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，整式的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 任务一：仿照题干解法求解即可； 任务二：仿照题干解法求解即可； 任务三：设在下面个单位长度处作水平线，在左面个单位长度处作垂直线，设，再仿照题干解法求解． 【详解】解：任务一：略 任务二：略 任务三：设在下面个单位长度处作水平线，在左面个单位长度处作垂直线， 设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是， ∴四边形的面积由正方形的边长、距离A下面的单位长度、距离左面的单位长度确定，它与的长度无关，与的倾斜程度无关． 25. 已知抛物线（为常数）的顶点为，与轴相交于两点（点在点的右侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作轴，交线段于点． （1）若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标． （2）若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）①分别令，进行求解即可；②求出直线的解析式，设出点坐标，进而表示出点坐标，根据，列出方程进行求解即可； （2）把，代入，求得，求出抛物线的顶点坐标为，求出直线的解析式，平行求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出，进而求出点的坐标，延长交轴于点，根据三角函数求出的长，根据，列出方程求出的值，进而求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：当，则：； ①∵， ∴当时，，当时， 解得：， ∴，； ②由①知：，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， 解得：， ∴， 设，则：， ∴， 解得：或； ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：把，代入，得：， ∴， ∴ ∵， ∴当时，，顶点坐标为：， ∴， 同（1）法可得：直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把，代入，得：， ∴， ∴， 令， 解得：， ∴， ∴，， ∴， 延长交轴于点，则：轴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三牧中学2025-2026学年第一学期九年级 九月适应性练习数学学科 （满分150分，用时120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 8的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 2. 若．则（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数的函数值随的增大而增大，当时，的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 5. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，与交于点，过点作于点，连接，则的长为（　　） A. 5 B. 10 C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，点是对角线上一点，过点作，分别交于点，连接，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 6 10. 若（为两个连续奇数，），则下列对的描述中正确的是（ ） A. 总是偶数 B. 总是奇数 C. 总是无理数 D. 可能是有理数，可能是无理数 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. ___________． 12. 据统计，2025年第一季度福建全省旅游总花费209095000000元，其中209095000000用科学记数法表示为___________． 13. 某学科为选拔尖子进行了三轮测试，其中第一轮、第二轮与第三轮成绩（百分制）按的比例计算最终成绩，参与选拔的甲、乙两个同学的三轮成绩及最终成绩如表，由以上信息，可以判断、的大小关系是___________．（填“”、“”或“”） 轮次 学生 第一轮成绩 第二轮成绩 第三轮成绩 最终成绩 甲 70 86 85 乙 80 75 85 14. 若整数1、2、3、4、5的方差为，整数6、7、8、9、10的方差为，则与的大小关系是___________． 15. 如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点．处，并得到折痕，小强测得长边，则四边形的周长为______． 16. 如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时，的取值范围为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）将以点O为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； （4）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______． 19. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 20. 为了解某地区九年级学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项球类运动的喜爱情况，从该地区随机抽取部分九年级学生进行问卷调查，收集数据（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一项运动），并将调查得到的数据用下面的表格和扇形图来表示（表、图均不完整） 运动项目 羽毛球 乒乓球 篮球 足球 排球 人效 36 90 27 根据表、图提供的信息，解决以下问题： （1）计算出表中、的值； （2）求扇形统计图中表示“足球”部分所对应的扇形的圆心角度数； （3）若该地区九年级学生共有60000人，试估计该地区九年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生有多少人？ 21. 如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接、和，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求点和点之间的距离 22. 已知关于x的方程 （1）求证：此方程总有实数根； （2）若m为整数，且此方程有两个互不相等的非负整数根，求m的值． 23. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品．原料的单价是原料单价的倍，若用元收购原料会比用元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，盒还需其他成本元．市场调查发现：该产品每盒的售价是元时，每天可以销售盒；每涨价元，每天少销售盒． （1）填空：、两原料的单价分别为____元、_____元，每盒产品的成本______元（成本=原料费+其他成本） （2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）若每盒产品的售价不超过元（是大于的常数且是整数），直接写出每天的最大利润． 24. 提出问题：这是一道日本小学算术奥林匹克题：如图1，正方形边长为10．一条长为9的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面3个单位长度处作水平线，在左面2个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 阅读解法：【小学生解法】利用面积割补解决： 如图2，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为3、2，其面积为6，所以四边形的面积是． 【初中生解法】利用设未知数解决： 如图3，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是． 完成任务：（要求：任务一用小学生解法，任务二用初中生解法） 任务一：如图4，正方形边长为10，一条长为8的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面4个单位长度处作水平线，在左面3个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务二：如图5，正方形边长为10，一条长为5的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面2个单位长度处作水平线，在左面1个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务三：填空：四边形的面积由___________、___________、___________确定，它与的长度___________，与的倾斜程度___________． 25. 已知抛物线（为常数）的顶点为，与轴相交于两点（点在点的右侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作轴，交线段于点． （1）若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标． （2）若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $