精品解析：福建省龙岩市第一中学锦山学校2025-2026学年高三上学期第一次月考(9月)数学试题

龙岩市第一中学锦山学校2024-2025学年高三上学期 第一次月考（9月）数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，根据补集和交集的概念可求出结果. 【详解】由得或，则或，则， 又，所以. 故选：A 2. 已知函数，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据导数的定义及极限的运算得，求解即可； 解法二：求出导函数，根据导数的定义及极限的运算得，求解即可. 【详解】解法一：函数， 则， 所以，解得． 解法二：，而， 所以，解得． 故选：A 3. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数可求得在和上的单调性，由此可排除错误选项. 【详解】当时，，则， 在上单调递增，BD错误； 当时，，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，C错误，A正确. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中间变量比较大小即可. 【详解】因为， 所以，故C正确. 故选：C 5. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 【答案】D 【解析】 【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可. 【详解】由，得， 即，故，A、B错误； 又由，，得， 故牛奶的温度从降至需， 从降至还需. 故选：D 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 7. 已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得出函数的相关性质并作出图像，令，方程转化为，根据原方程解得个数可确定转化后方程根的分布情况，由根的分布即可解题. 【详解】函数的性质，在和［0，2］上是减函数， 在和上是增函数，时，函数取极大值时， ，函数取极小值，当时，， 因此方程有且只有7个不同实数根， 设则方程必有两个根， 其中，由此可得，所以. 故选：B． 8. 已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题设可得该函数为上的增函数且为奇函数，而原不等式可化为，故可求不等式的解. 【详解】设，则， 其定义域为，定义域关于原点对称，故为上的奇函数， 不妨设，故，即， 故为上的增函数，故为上的增函数. 又 ， 故即，所以， 故，故原不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确为（ ） A. 已知函数，若，有成立，则实数a的值为4 B. 若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为 C. 设集合，则“”是“”的充分不必要条件 D. 函数与函数是同一个函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的对称性，可求得a值，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，结合二次型函数的性质，可判断B的正误；根据集合的包含关系及充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据同一函数的定义，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为， 又二次函数的对称轴为， 所以，解得，故A正确； 对于B：当时，可得成立，满足题意， 当时，可得，解得， 综上k的取值范围为，故B错误； 对于C：当时，，所以，充分性成立， 若，则或，解得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D：函数定义域为R，函数的定义域为， 定义域不同，故不是同一函数，故D错误， 故选：AC 10. 已知正数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，，求出，根据对数的运算性质及换底公式计算即可判断A；利用作商法即可判断B；利用作差法即可判断D；再根据AD即可判断C. 【详解】解：设，， 则，，， 所以，A正确； 因为，则， 因为，则， 所以，B正确； 因为， 则，D正确. 因为，则，所以，C错误. 故选：ABD. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 是函数的一个周期 D. 方程恰有4个不同的根 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，根据偶函数的性质及函数的对称性判断A，推导出的周期，即可判断C，根据周期性与对称性，作出，的图象与的图象，数形结合即可判断D. 【详解】对于A：令，则是偶函数，即，即， 所以关于对称，故A正确； 对于C：因为是定义在上的奇函数，则， 因为，所以， 即，所以的周期， 显然，则也是函数的周期，故C正确； 对于B：因为，， 所以，， 所以，故B错误； 对于D：因为，，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，可知关于点对称，又可作出上的图象， 又的周期，作出，的图象与的图象， 又，，所以，即， 如图所示：所以与有4个交点，故D正确， 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合偶函数的定义可得，代入即可得的值． 【详解】解：由题意得：，解得：或， 时，是奇函数，不符合题意， 时，是偶函数，符合题意， 故，，  故答案为： 13. 在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数性质，利用在上是奇函数，可得，计算可求得，利用单调性结合已知可求得a的取值范围. 【详解】由是上的奇函数，得，解得， 因为，所以，又在上是增函数， 所以是增函数，所以, 综上可得的取值范围是. 故答案为： 14. 设若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得，将转化为关于的代数式，利用换元法，根据的范围结合二次函数的性质即可求解. 【详解】解：∵时，， ∴在上的图象与上的图象关于对称， 不妨设，如图： 可得，. ∴. ∴ ，. 令， 则原式化为，其对称轴为，开口向上， ∴在上单调递增.∴. ∴的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求的单调递减区间； （2）当在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数定义域，再利用对数函数、二次函数单调性求出递减区间. （2）按分类求出函数在指定区间上的最大值，再建立不等式求解即得. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得， 此时，令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而当时，函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）得，当时，函数在上单调递减，， 依题意，，解得； 当时，函数在上单调递增，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 16. 已知二次函数满足，且有最小值. （1）求的解析式； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解. （2）根据给定条件，列出恒成立的不等式并分离参数求解. （3）按函数图象对称轴与区间位置关系分类求出最小值. 【小问1详解】 依题意，设，由，得，则， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知：，由，函数的图象总在一次函数的图象的下方， 得在上恒成立， 函数图象开口向上，对称轴为，则函数在上单调递减， 则当时，，因此， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 函数图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 所以． 17. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且 （1）求证：； （2）线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为，，所以， 因为，E为AD的中点，所以， 所以≌，所以， 因为，所以，,所以， 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，且PH，平面PEC，所以平面PEC， 又平面PEC，． （2） 因为，≌，， 所以，， 因为，， 所以∽， 所以， 所以， ，，， 因为、EC、BD两两垂直， 建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系， ，，，，， 假设线段PC上存在一点F满足题意， 因为与共线，所以存在唯一实数，满足， 所以， 设向量为平面的一个法向量，且，， 所以，取，得， 同理得平面的一个法向量， 因为二面角的余弦值是， 所以， 由，解得或， 观察图象可得当时，二面角的平面角为钝角，与条件矛盾，故， 所以，又， 所以线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是． 【解析】 【分析】先证明， ，根据线面垂直判定定理证明平面，再证明； 推导出两两垂直，建立空间直角坐标系，设点的坐标，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式列方程求出点的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值.某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终止比赛，答对3道题则进入决赛，答错3道题则被淘汰.已知学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立. （ⅰ）求甲至多回答了4道题被淘汰的概率； （ⅱ）设甲在初赛答题的道数为X，求X的分布列和数学期望. （2）决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出.已知学生甲进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他恰好答对2道题目胜出的概率为，求的最小值. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）X的分布列： X 3 4 5 P 数学期望为； （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）明确甲至多回答了4道题的可能情况即可计算求解； （ⅱ）求出随机变量取值和各取值相应概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求数学期望值； （2）先求出第3道题答对的概率，接着求出答对2道题目胜出的概率，再利用导数工具即可求的最小值. 【小问1详解】 （ⅰ）甲至多回答了4道题被淘汰则有两种情况，一种是连续答错前3道题，另一种是甲在前三道题中答错两道，且答错第4道， 所以甲至多回答了4道题被淘汰的概率为； （ⅱ）由题可得， ，， 所以X的分布列为： X 3 4 5 P 所以X的数学期望为. 【小问2详解】 由题可得第3道题答对的概率为， 所以学生甲答对2道题目胜出的概率为， 所以， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 19. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在上存在零点，求证：当时，. 【答案】（1） （2）在，上单调递增，在上单调递减； （3）由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得. 在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，，则， 令，则在时恒成立， 故在上单调递减，则，即在时恒成立， 则在上单调递减，则，故. 【解析】 【分析】（1）利用导数，可得，求解即可； （2）求导，分，，，讨论可得单调性； （3）结合（1）可得，进而可得，令，，利用导数可得求得，进而可得结论. 【小问1详解】 ∵，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 ， 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或；令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则恒成立，故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩市第一中学锦山学校2024-2025学年高三上学期 第一次月考（9月）数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 3. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确为（ ） A. 已知函数，若，有成立，则实数a的值为4 B. 若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为 C. 设集合，则“”是“”的充分不必要条件 D. 函数与函数是同一个函数 10. 已知正数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 是函数的一个周期 D. 方程恰有4个不同的根 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是_________. 13. 在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是_________． 14. 设若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求的单调递减区间； （2）当在上恒成立，求的取值范围. 16. 已知二次函数满足，且有最小值. （1）求的解析式； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式． 17. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且 （1）求证：； （2）线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由． 18. 诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值.某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终止比赛，答对3道题则进入决赛，答错3道题则被淘汰.已知学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立. （ⅰ）求甲至多回答了4道题被淘汰的概率； （ⅱ）设甲在初赛答题的道数为X，求X的分布列和数学期望. （2）决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出.已知学生甲进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他恰好答对2道题目胜出的概率为，求的最小值. 19. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在上存在零点，求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $