精品解析：2023年山东省实验中学推荐生招生考试数学试题

2023.5山东省实验中学推荐生招生考试数学试题 一、单项选择题 1. 设a，b为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. C. 2023 D. 2. 已知整数满足，那么整数对的个数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 二、不定项选择题 4. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点B落在边的点P处（P不与A、D重合），点C落在G点处，交于点H，连接、，交于点M，连接．下列结论正确的有（ ） A 平分 B. C D. 若，，则四边形面积为 5. 若（x为任意实数），下列结论正确的有（ ） A. B C. D. 三、填空题 6. 如图，点M是函数图象上的任一点，直线，过点M分别作轴，，点A、B为垂足，则______． 7. 已知，其中m，n，p，q为常数，则_______． 8. 若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567）等．在某次数学趣味活动中，小明需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，则抽取的“三位递增数”不能被5整除的概率为______． 9. 当代数式取最小值时，相应的x的值是：______；有A、B、C、D、E五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张．现在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友），要是调动的卡片总数最小，最少调动______张． 四、解答题 10. （1）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在中，，，，，求的面积． 探究二：如图2，中，，，，求的面积（用a、b、α表示）写出探究过程___________． 结论：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是，两边之积乘以两边所夹角正弦值的一半．如：中，，，，则的面积 （2）如图3，P，Q，R是三边上的点，且 求的值． （3）如图4，E，F，G，H分别在四边形四边上，且 求的值． 11. 已知抛物线（，）的顶点为，抛物线的顶点在轴上，且抛物线和关于成中心对称． （1）当时，求的解析式和的值； （2）设与轴正半轴的交点是，当为等腰三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023.5山东省实验中学推荐生招生考试数学试题 一、单项选择题 1. 设a，b为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. C. 2023 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系等知识，根据一元二次方程根的定义得到，再用a表示，得到，所以原式变形为，再根据一元二次方程根与系数的关系得到，利用整体代入法计算，即可求得． 【详解】解∶∵a，b为方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选∶D． 2. 已知整数满足，那么整数对的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，由可得，与是同类二次根式，设，，则，求出的整数解即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，与是同类二次根式， 设，，则， ∴该方程有组整数解，，，，，分别对应整数对，，，，， 故选：． 3. 如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆所在的位置，以及等腰三角形的性质，中位线的性质，弧长公式等，熟练掌握这些公式和性质是解题的关键． 连接，易得，点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，再由弧长公式求出的半径，即可得出的长度． 【详解】解：连接， ， 为等腰三角形， 为中点， ， 即， 点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当点C运动到点A的时候，点P到达点的位置， 点P所经过的路径为， 连接， 为 中点，为中点， ， ，， ， ， 即， 故选：A ． 二、不定项选择题 4. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点B落在边的点P处（P不与A、D重合），点C落在G点处，交于点H，连接、，交于点M，连接．下列结论正确的有（ ） A. 平分 B. C. D. 若，，则四边形面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的折叠问题，做题时，通过折叠的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识求解是解题的关键． 通过折叠的性质得到，，可推出，即可判断选项，作，证明全等三角形，即可判断选项，通过已知条件证明是等腰三角形，即可判断选项，利用即可判断选项． 【详解】由题意，则， ，， ， 由题意可得：， ， 平分，故选项正确； 作， ， 和中，， ， ，， 四边形为正方形， ， 又， ， ， ，故选项正确； 由折叠的性质可得是的中垂线， ， 由题意可得，， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，即， ，故选项正确； 若，，则， 在中，， ，， ， ， ，故选项错误． 5. 若（x为任意实数），下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查二项式展开式中系数性质的应用，通过赋值法结合奇偶项和的运算求解. 【详解】解：选项A：令，左边为，右边为，故，正确，符合题意 ； 选项B与C： 令，左边为，右边为①； 令，左边为，右边为②； 由得，故，选项C正确，符合题意 ； 由得，奇数次项和为，与选项B符号相反，B错误； 选项D：令，左边为，右边为；代入，得，D错误； 综上，正确选项为：A、C. 三、填空题 6. 如图，点M是函数图象上的任一点，直线，过点M分别作轴，，点A、B为垂足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数，涉及到正比例函数、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键． 延长交l于点D，设，可得，， ，再证明是等腰直角三角形，可得，即可求解． 详解】解：延长交l于点D， 设， ∵轴， ∴， ∵直线， ∴，， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 7. 已知，其中m，n，p，q为常数，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；先对等式右边进行通分化简，然后对照等式左右两边的分式即可列出方程组进行求解． 【详解】解：等式右边通分得到： ， 由于左边等于右边，且分母相同，所以有： 解得：，，，； 所以； 故答案为10． 8. 若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567）等．在某次数学趣味活动中，小明需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，则抽取的“三位递增数”不能被5整除的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法求解概率． 【详解】解：由题意可知： 当个位数字3时，则十位数字为2，百位数字为1；此时有1种情况； 当个位数字为4时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，所以有种情况； 当个位数字为5时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，当十位数字为4时，百位数字可以为1、2和3，所以有种情况； 当个位数字为6时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，当十位数字为4时，百位数字可以为1、2和3，当十位数字为5时，百位数字可以为1、2、3和4，所以有种情况； 由此可知：个位数字为7时，有种情况；个位数字为8时，有种情况；个位数字为9时，有种情况； ∴三位递增数共有个，其中被5整除的三位递增数个位数字一定为5，由上可知共有个， ∴随机抽取的三位递增数不被5整除的概率为； 故答案为． 9. 当代数式取最小值时，相应的x的值是：______；有A、B、C、D、E五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张．现在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友），要是调动的卡片总数最小，最少调动______张． 【答案】 ①. 2 ②. 9 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值不等式，难度较大，解题关键是掌握绝对值不等式：对于任意给定的实数，则，当且仅当时等号成立． 由绝对值不等式得到，当且仅当时取到最小值； 设A给B、B给C、C给D、D给E、E给A的卡片数量分别为，，，，，得到，，，，那么，再由绝对值不等式求解． 【详解】由绝对值不等式， 当且仅当时取到最小值； 设A给B、B给C、C给D、D给E、E给A的卡片数量分别为，，，，，对任意，表示反向调动卡片，那么调动完毕后，每个人的卡片数量为， 于是，我们有，，，， 所以 ， 当且仅当时取到等号， 故答案为：2；9． 四、解答题 10. （1）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在中，，，，，求的面积． 探究二：如图2，中，，，，求的面积（用a、b、α表示）写出探究过程___________． 结论：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是，两边之积乘以两边所夹角正弦值的一半．如：中，，，，则的面积 （2）如图3，P，Q，R是三边上的点，且 求的值． （3）如图4，E，F，G，H分别在四边形的四边上，且 求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）探究一：先利用正弦得到，再表示出的面积； 探究二：作，垂足为D，求出，再表示出的面积； （2）先得出，，从而可求得； （3）先求得，再求得，，从而可得的值． 【详解】解：（1）探究一：在中，， ∴， ∴， ∴； 探究二：作，垂足为D， 因为， 所以， （2）因为， 同理可得， 所以； （3）连接、，由上面的方法易知， ， 所以， 同理， 所以． 11. 已知抛物线（，）的顶点为，抛物线的顶点在轴上，且抛物线和关于成中心对称． （1）当时，求解析式和的值； （2）设与轴正半轴的交点是，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点间距离公式，中心对称的性质，等腰三角形的定义等知识点． （1）当时，，表示出顶点和顶点，由抛物线和关于成中心对称得到也关于成中心对称，列方程组求出，由函数图象中心对称性质求解析式即可得到答案； （2）同上可得，，点A坐标，点B坐标，可求点C坐标，再分三种情况，根据两点间距离公式建立方程求解． 【小问1详解】 解：抛物线（，）， 当时，， 则顶点坐标为， 抛物线的顶点在轴上， 设， 抛物线和关于成中心对称， 也关于成中心对称， 即， 解得， 由对称性可知，与开口大小相同，但方向相反，则的解析式为； 【小问2详解】 解：对于抛物线，配方得， ∴ 设， 抛物线和关于成中心对称， 也关于成中心对称， 即， 解得， 所以，，点A坐标，点B坐标， 对于，当，则， 解得：（舍） ∴点C坐标. 若，，解出； 若，，点A到x轴的距离为6， ∵， ∴此种情况不可能： 若，， 解出， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $