专题04 指数函数与对数函数9考点（期中真题汇编，新疆专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题04 指数函数与对数函数 9大高频考点概览 考点01指数的运算 考点02对数的运算 考点03指数函数的概念与图象 考点04指数函数的单调性及最值 考点05对数函数的定义域 考点06对数函数的图象和性质 考点07指对幂比较大小 考点08函数的零点 考点09函数模型的应用 地 城 考点01 指数的运算 （多选）1．（2023秋•且末县校级期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•巴音郭楞州校级期中）化简的结果为　　 A． B．7 C． D．9 3．（2023秋•克拉玛依期中）化简（其中，的结果是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•克拉玛依期中）计算的值为 　　． 5．（2024秋•天山区校级期中） 　　． 6．（2024秋•天山区校级期中）化简： 　　． 地 城 考点02 对数的运算 7．（2024秋•天山区校级期中），，试用，表示　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•天山区校级期中）若，，则用，表示等于　　． （多选）9．（2023秋•天山区校级期中）已知，则下列计算正确的有　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•天山区校级期中）已知，，，且，则 A． B． C． D． （多选）11．（2023秋•英吉沙县校级期中）下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 12．（2024秋•天山区校级期中）计算下列各式的值： （1）； （2）． 13．（2023秋•新市区校级期中）求值： （1）． （2）． 14．（2023秋•英吉沙县校级期中）化简求值： （1）； （2）． 15．（2023秋•克拉玛依期中）计算　　． 16．（2024秋•天山区校级期中）求下列各式的值： （1）； （2）． 17．（2023秋•天山区校级期中）求下列各式的值： （1） （2） 地 城 考点03 指数函数的概念与图象 18．（2023秋•且末县校级期中）若指数函数的图象经过点，则 　　． 19．（2023春•伊犁州期中）函数的图象经过点，则（2）　　 A． B． C． D．9 20．（2024秋•巴音郭楞州校级期中）不论取何正实数，函数恒过点　　 A． B． C． D． 21．（2024秋•天山区校级期中）函数与函数且的图象可能是　　 A． B． C． D． （多选）22．（2023秋•且末县校级期中）已知函数且的图象如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 23．（2024春•天山区校级期中）函数与在同一直角坐标系中的图象是　　 A． B． C． D． 地 城 考点04 指数函数的单调性及最值 （多选）24．（2023秋•克拉玛依期中）下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 25．（2024秋•天山区校级期中）已知，，函数是上的减函数，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， （多选）26．（2024秋•天山区校级期中）下列说法中正确的有　　 A．函数在上单调递增 B．函数的定义域是，，则函数的定义域为， C．不等式的解集为 D．函数关于点中心对称 27．（2024秋•天山区校级期中）函数的值域为． 28．（2024秋•天山区校级期中）已知函数，且是上的奇函数． （1）求实数的值； （2）①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； （3）若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 地 城 考点05 对数函数的定义域 29．（2023秋•新市区校级期中）函数的定义域是 　　． 30．（2024秋•新疆期中）函数的定义域是 　　． 31．（2023秋•天山区校级期中）设函数，则函数的定义域为 　　． 32．（2023秋•天山区校级期中）已知函数． （1）若定义域为，求实数的取值范围； （2）当时，解不等式． 地 城 考点06 对数函数的图象和性质 33．（2023秋•天山区校级期中）已知函数，且的图像过定点，若点在函数的图像上，则　　． 34．（2024秋•天山区校级期中）已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）求满足的的取值范围． 地 城 考点07 指对幂比较大小 35．（2024秋•巴音郭楞州校级期中）已知，，，则　　 A． B． C． D． 36．（2023秋•伊犁州期中）已知，，，则　　 A． B． C． D． 37．（2024秋•塔城市校级期中）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 38．（2023秋•新疆期中）已知，则　　 A． B． C． D． 39．（2023秋•天山区校级期中）已知，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 40．（2023秋•奎屯市校级期中）设，则　　 A． B． C． D． 41．（2023秋•新市区校级期中）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 42．（2023秋•克拉玛依期中）设，，，则，，之间的大小关系是　　 A． B． C． D． 地 城 考点08 函数的零点 43．（2024春•沙依巴克区校级期中）函数的零点个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 44．（2024秋•天山区校级期中）已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 　． 45．（2024春•天山区校级期中）设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．，， （多选）46．（2024秋•天山区校级期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是　　 A．当时， B． C．不等式的解集为，， D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则 地 城 考点09 函数模型的应用 47．（2024秋•和田县校级期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间为　　年． A．7 B．8 C．9 D．10 48．（2023秋•天山区校级期中）工厂需要将某种废气经过过滤后排放，已知该废气的污染物含量（单位：与过滤时间（单位：的关系为为污染物的初始含量），则污染物减少到初始含量的大约需要　　（参考数据： A． B． C． D． 49．（2024秋•天山区校级期中）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为．若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为　　 （精确到0.1，参考数据：， A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 50．（2023秋•博湖县期中）碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡年后，碳14所剩质量，其中为活体组织中碳14的质量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代，2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.4倍，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公元前（参考数据：　　 A．5554年 B．5546年 C．7576年 D．7577年 51．（2023秋•喀什市校级期中）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业、人才、文化、生态、组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务，根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的模型；，已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为　　 A． B． C． D． 52．（2024春•伊宁市期中）为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过78吨，该矿区计划从2024年始出口，当年出口吨，以后每年出口量均比上一年减少． （1）以2024年为第一年，设第年出口量为吨，试求的表达式； （2）国家计划10年后终止该矿区的出口，问2024年最多出口多少吨 53．（2023秋•克州期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过　　天．（参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 54．（2024秋•阿克苏地区校级期中）某校为了让学生感受生命的奥秘，培养学生热爱自然、探索大自然的意识，开展了“种植当岁初，滋荣及春暮”的活动．学校打算在宿舍后面的空地上开设一块面积为的矩形田地让学生种植自己喜欢的植物，四周留有宽度分别为和的过道，如图所示，则该矩形田地的边长为 　　时，过道占地面积最小，最小面积为 　　． 55．（2024秋•喀什市期中）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2．预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为．将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）． （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 56．（2024秋•阿克苏地区校级期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 57．（2023秋•天山区校级期中）某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足：为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． （1）将该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 58．（2023秋•克州期中）新时代党的治疆方略：依法治疆、团结稳疆、文化润疆、富民兴疆、长期建疆．为提升人民生活质量，克州某乡镇全力打造“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：与化肥费用（单位：元）满足如下关系：其它总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的化肥费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 9大高频考点概览 考点01指数的运算 考点02对数的运算 考点03指数函数的概念与图象 考点04指数函数的单调性及最值 考点05对数函数的定义域 考点06对数函数的图象和性质 考点07指对幂比较大小 考点08函数的零点 考点09函数模型的应用 地 城 考点01 指数的运算 （多选）1．（2023秋•且末县校级期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，故错误； 对于，，故正确； 对于，，故错误； 对于，，故正确． 故选：． 2．（2024秋•巴音郭楞州校级期中）化简的结果为　　 A． B．7 C． D．9 【解析】 ． 故选：． 3．（2023秋•克拉玛依期中）化简（其中，的结果是　　 A． B． C． D． 【解析】． 故选：． 4．（2023秋•克拉玛依期中）计算的值为 　　． 【解析】原式． 故答案为：4． 5．（2024秋•天山区校级期中） 　　． 【解析】原式 ． 故答案为：14． 6．（2024秋•天山区校级期中）化简： 　　． 【解析】原式． 故答案为：． 地 城 考点02 对数的运算 7．（2024秋•天山区校级期中），，试用，表示　　 A． B． C． D． 【解析】，， 则． 故选：． 8．（2024秋•天山区校级期中）若，，则用，表示等于　　． 【解析】因为，， 所以， 则． 故答案为：． （多选）9．（2023秋•天山区校级期中）已知，则下列计算正确的有　　 A． B． C． D． 【解析】因为，所以，故正确； 则，且，所以，故正确； ，故正确； ，故错误． 故选：． 10．（2024秋•天山区校级期中）已知，，，且，则 A． B． C． D． 【解析】已知，，， 设， 则，，， 则，， 又，， 即， 又，， 则， 即． 故选：． （多选）11．（2023秋•英吉沙县校级期中）下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】由对数的运算可得，，，故正确，错误． 因为指数函数为增函数，且， 所以，故正确． 故选：． 12．（2024秋•天山区校级期中）计算下列各式的值： （1）； （2）． 【解析】（1）原式； （2） ． 13．（2023秋•新市区校级期中）求值： （1）． （2）． 【解析】（1）原式； （2）原式． 14．（2023秋•英吉沙县校级期中）化简求值： （1）； （2）． 【解析】（1） ． （2） ． 15．（2023秋•克拉玛依期中）计算　　． 【解析】原式． 故答案为：． 16．（2024秋•天山区校级期中）求下列各式的值： （1）； （2）． 【解析】（1） ； （2） ． 17．（2023秋•天山区校级期中）求下列各式的值： （1） （2） 【解析】（1）原式 ； （2）原式 ． 地 城 考点03 指数函数的概念与图象 18．（2023秋•且末县校级期中）若指数函数的图象经过点，则 　　． 【解析】设指数函数，且，根据它的图象经过点， 可得，，，． 故答案为：． 19．（2023春•伊犁州期中）函数的图象经过点，则（2）　　 A． B． C． D．9 【解析】由题意可知，，，且， 解得， 所以， 所以（2）． 故选：． 20．（2024秋•巴音郭楞州校级期中）不论取何正实数，函数恒过点　　 A． B． C． D． 【解析】函数， 令，则，， 所以恒过定点． 故选：． 21．（2024秋•天山区校级期中）函数与函数且的图象可能是　　 A． B． C． D． 【解析】且， 函数为增函数，排除， 中，直线中，则指数函数函数图象应该向上平移才正确，故错误， 中，指数函数为增函数，则，直线，当时，直线过定点，指数函数过定点，应该定点，在定点的上方，不正确，故错误， 中指数函数为减函数，则，当时，直线过定点，指数函数过定点，应该定点，在定点的下方，正确，故正确， 故选：． （多选）22．（2023秋•且末县校级期中）已知函数且的图象如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】由图象可知，函数且在上单调递增，则， 且当时，，可得． 对于选项，，对； 对于选项，，对； 对于选项，，错； 对于选项，由题意可知，，则，所以，，对． 故选：． 23．（2024春•天山区校级期中）函数与在同一直角坐标系中的图象是　　 A． B． C． D． 【解析】由于函数函数与是上的增函数，且它的图象过． 函数是上的减函数，且它的图象过． 故选：． 地 城 考点04 指数函数的单调性及最值 （多选）24．（2023秋•克拉玛依期中）下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，在定义域上是增函数，，，故正确； 对于，在定义域上是减函数，，，故错误； 对于，在上是减函数，，，故正确； 对于，，，，故正确． 故选：． 25．（2024秋•天山区校级期中）已知，，函数是上的减函数，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】因为函数是减函数，所以． 又因为函数图象的对称轴是直线， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是，． 故选：． （多选）26．（2024秋•天山区校级期中）下列说法中正确的有　　 A．函数在上单调递增 B．函数的定义域是，，则函数的定义域为， C．不等式的解集为 D．函数关于点中心对称 【解析】对于，因为在上单调递增，在定义域上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，故错误； 对于，函数的定义域是，，可得，解得， 所以函数的定义域为，，故正确； 对于，不等式， 当时解集为；当时解集为；当时解集为，故错误； 对于，的图象可由的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 所以关于点中心对称，故正确． 故选：． 27．（2024秋•天山区校级期中）函数的值域为． 【解析】因为， 所以． 故答案为：，． 28．（2024秋•天山区校级期中）已知函数，且是上的奇函数． （1）求实数的值； （2）①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； （3）若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是上的奇函数，所以， 所以，所以， 即，化简得， 所以，解得； （2）①由（1）得， 所以， 所以函数在上单调递增，证明如下： 任取，则， 因为，所以，，，所以， 所以，所以函数在上单调递增； ②因为是上的奇函数，所以不等式等价于， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为； （3）因为，所以，即， 因为，，不等式恒成立， 所以当时，； 当，时，对，恒成立， 所以，，， 令，，， 则，该函数为减函数， 所以，所以， 所以实数的取值范围为． 地 城 考点05 对数函数的定义域 29．（2023秋•新市区校级期中）函数的定义域是 　　． 【解析】， 则，解得且， 故函数的定义域为且． 故答案为：且． 30．（2024秋•新疆期中）函数的定义域是 　　． 【解析】函数， 则，解得：， 故的定义域为． 故答案为：． 31．（2023秋•天山区校级期中）设函数，则函数的定义域为 　　． 【解析】， 则，解得， 故函数的定义域为． 故答案为：． 32．（2023秋•天山区校级期中）已知函数． （1）若定义域为，求实数的取值范围； （2）当时，解不等式． 【解析】（1）由已知得解集为， △，解得； （2）时，， ， ， ， 令， 则， 或， 或， 又， ， 综上，的解集为或且． 地 城 考点06 对数函数的图象和性质 33．（2023秋•天山区校级期中）已知函数，且的图像过定点，若点在函数的图像上，则　　． 【解析】因为函数，令，解得，所以， 所以函数的图像过定点， 又点在函数的图像上， 所以，解得， 所以． 故答案为：． 34．（2024秋•天山区校级期中）已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）求满足的的取值范围． 【解析】（1）因为函数为奇函数，所以， 则， 即， 则． （2）由（1）知，， 由，即，解得，即函数的定义域为， 由，， 即， 即， 即，即，解得， 又，则， 故的取值范围为． 地 城 考点07 指对幂比较大小 35．（2024秋•巴音郭楞州校级期中）已知，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意， ， ， ． ， ． 故选：． 36．（2023秋•伊犁州期中）已知，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】，，， 则，且， 所以． 故选：． 37．（2024秋•塔城市校级期中）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解析】根据指数函数性质可得：， ， 根据对数函数性质可得， 所以． 故选：． 38．（2023秋•新疆期中）已知，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 由对数函数的图象与性质知， ； 由对数函数的图象与性质知， ； 由指数函数的图象与性质知， ； ． 故选：． 39．（2023秋•天山区校级期中）已知，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解析】， ，即， ，， ． 故选：． 40．（2023秋•奎屯市校级期中）设，则　　 A． B． C． D． 【解析】， ， ， ， 故选：． 41．（2023秋•新市区校级期中）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解析】，，， ， 故选：． 42．（2023秋•克拉玛依期中）设，，，则，，之间的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解析】，，， ． 故选：． 地 城 考点08 函数的零点 43．（2024春•沙依巴克区校级期中）函数的零点个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】由题意得： 即， 分别画出，的图象如下图， 所以交点个数为2个，即的零点个数为2个， 故选：． 44．（2024秋•天山区校级期中）已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 　． 【解析】令， 因为，所以， 则有方程在内有2个根， 所以在内有2个解， 即直线与函数的图象在内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在，上单调递增， 又因为（1），，（4）， 所以． 故答案为：，． 45．（2024春•天山区校级期中）设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．，， 【解析】作出与在上的图象，如下图所示： ，若恰有两个零点， 数形结合可得，，． 故选：． （多选）46．（2024秋•天山区校级期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是　　 A．当时， B． C．不等式的解集为，， D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则 【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，，由题意可知，选项正确； 由题意可知：，选项错误； ，令，则或； 令，则或； ，即或，即或，选项正确； 令，即， 函数的函数图像如下： 由图像可知，当和存在4个交点时，，选项正确． 故选：． 地 城 考点09 函数模型的应用 47．（2024秋•和田县校级期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间为　　年． A．7 B．8 C．9 D．10 【解析】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值． 故选：． 48．（2023秋•天山区校级期中）工厂需要将某种废气经过过滤后排放，已知该废气的污染物含量（单位：与过滤时间（单位：的关系为为污染物的初始含量），则污染物减少到初始含量的大约需要　　（参考数据： A． B． C． D． 【解析】设污染物减少到最初含量的需要经过小时，则， 两边取自然对数得，， 所以大约需要经过80个小时的时间使污染物减少到最初含量的． 故选：． 49．（2024秋•天山区校级期中）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为．若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为　　 （精确到0.1，参考数据：， A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【解析】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，两边同时取自然对数并整理， 得，， 则， 则给氧时间至少还需要小时． 故选：． 50．（2023秋•博湖县期中）碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡年后，碳14所剩质量，其中为活体组织中碳14的质量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代，2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.4倍，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公元前（参考数据：　　 A．5554年 B．5546年 C．7576年 D．7577年 【解析】由题意知，所以， 所以， 所以可推断该生物死亡的时间约为公元前年． 故选：． 51．（2023秋•喀什市校级期中）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业、人才、文化、生态、组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务，根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的模型；，已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意得当时，，则，解得， 所以，解得， 所以，， 当时，， 所以当贷款人的年收入约为5万元，实际还款比例为． 故选：． 52．（2024春•伊宁市期中）为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过78吨，该矿区计划从2024年始出口，当年出口吨，以后每年出口量均比上一年减少． （1）以2024年为第一年，设第年出口量为吨，试求的表达式； （2）国家计划10年后终止该矿区的出口，问2024年最多出口多少吨 【解析】（1）由题意，每年的出口量构成等比数列，且首项，公比， 所以的表达式为． （2）由题意，10年的出口总量为， 因为国家限定某矿区的出口总量不能超过78吨， 所以， 即， 可得， 所以， 所以2024年最多出口12吨． 53．（2023秋•克州期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过　　天．（参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 【解析】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， ， 故选：． 54．（2024秋•阿克苏地区校级期中）某校为了让学生感受生命的奥秘，培养学生热爱自然、探索大自然的意识，开展了“种植当岁初，滋荣及春暮”的活动．学校打算在宿舍后面的空地上开设一块面积为的矩形田地让学生种植自己喜欢的植物，四周留有宽度分别为和的过道，如图所示，则该矩形田地的边长为 　　时，过道占地面积最小，最小面积为 　　． 【解析】已知学校打算在宿舍后面的空地上开设一块面积为的矩形田地让学生种植自己喜欢的植物，四周留有宽度分别为和的过道， 设矩形田地的边长为，过道占地面积为， 由题意可得， 当且仅当时，即时，最小，且， 所以矩形田地的边长为时，过道占地面积最小，最小面积为． 故答案为：5；48． 55．（2024秋•喀什市期中）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2．预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为．将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）． （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【解析】（1）由题意得，， 要满足题意，则， 即，解得． 即设备占地面积的取值范围为，． （2）， 当且仅当时，等号成立． 所以设备占地面积为时，的值最小． 56．（2024秋•阿克苏地区校级期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人． （2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即，时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为． 57．（2023秋•天山区校级期中）某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足：为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． （1）将该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【解析】（1）由题意知，当时，，，即，； 每件产品的销售价格为（万元）， 利润函数 ． （2）因为利润函数， 所以，当时，， ，当且仅当，即（万元）时，（万元）． 所以，该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元． 58．（2023秋•克州期中）新时代党的治疆方略：依法治疆、团结稳疆、文化润疆、富民兴疆、长期建疆．为提升人民生活质量，克州某乡镇全力打造“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：与化肥费用（单位：元）满足如下关系：其它总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的化肥费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）由题意得，， 所以函数的函数关系式为； （2）当时，在，上单调递减，在，上单调递增， 又，（3），所以， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时（6）， 综上，当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大，最大利润为52元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $