2.1 平方根（同步课件）-2025-2026学年八年级数学上册新苏科版同步教学课件

第2章 实数的 初步认识 2.1 平方根 苏科版 八年级上册 教学目标 01 理解算术平方根的概念，会求一个非负数的算术平方根 02 理解平方根与开平方的概念，会求一个非负数的平方根 03 理解平方根的被开方数与算术平方根的非负性 算术平方根 01 课堂导入 设边长为x，根据正方形的面积公式，得到x2 = a。 下表中列举了一些a的值，请写出边长x对应的值： x 问 题 一张正方形纸片的面积为a，它的边长是多少? 面积 a 1 2 3 4 … 边长 x a ? 解：当a = 1时，x = 1；当a = 4时，x = 2。 当a = 2，3时，x是多少呢？ 02 知识精讲 算术平方根： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2 = a， 那么这个正数x叫作a的算术平方根。 a的算术平方根记为，读作“根号a”， eg：2的算术平方根记作，3的算术平方根记作。 规定：0的算术平方根是0，即 = 0。 02 知识精讲 例1 求下列各数的算术平方根： ( 1 ) 100； ( 2 ) ； ( 3 ) 0.09； ( 4 ) 104。 解：( 1 ) ∵102 = 100，∴100的算术平方根 = 10； ( 2 ) ∵( )2 = ，∴的算术平方根 = ； ( 3 ) ∵0.32 = 0.09，∴0.09的算术平方根 = 0.3； ( 4 ) ∵( 102 )2 = 104，∴104的算术平方根 = 102。 讨 论 02 知识精讲 1. 根据算术平方根的定义，，分别等于多少？ 解：表示“2的算术平方根的平方”， 根据算术平方根的意义，得 = 2； 表示“3的算术平方根的平方”， 根据算术平方根的意义，得 = 3。 讨 论 02 知识精讲 2. ，有意义吗？ 解：= 0，有意义； 没有意义，也就没有意义。 讨 论 02 知识精讲 3. ( 1 ) 、分别等于多少？ ( 2 ) 、分别等于多少？ ( 3 ) 、分别等于多少？ 解：( 1 ) = = 2， = = 2； = = 3， = = 3； = = 4， = = 4。 02 知识精讲 算术平方根的性质： ( 1 ) = a，a ≥ 0； ( 2 ) = | a |。 03 典例精析 题型一 求一个数的算术平方根： 例1、的算术平方根是______。 解： = ，的平方根是。 03 典例精析 题型二 与算术平方根有关的实际应用： 例2、小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为360cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3。她不知能否裁得出来，正在发愁。小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。”你同意小明的说法吗？请你通过计算说明理由。 解：不同意小明的说法，理由如下： 面积为400cm2的正方形纸片的边长为： = 20 ( cm )， 设面积为360cm2的长方形纸片的长为4x cm，宽为3x cm， ∴4x·3x = 360，∴x = ，∴长方形纸片的长为4cm，宽为3cm， ∵4 > 20，∴小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片。 平方根 01 课堂导入 解：∵22 = 4，( -2 )2 = 4， ∴x是2或-2。 x 问 题 如果x2 = 4，那么x是多少？ 02 知识精讲 平方根： 一般地，如果x2 = a ( a ≥ 0 )， 那么x叫作a的平方根，也称为二次方根。 eg：2和-2是4的平方根。 02 知识精讲 如果x2 = a，那么( -x )2 = x2 = a。 所以x和-x都满足x2 = a。 可见一个正数有正负两个平方根， 正的平方根就是算术平方根。 eg：9的平方根是3与-3，可以简记为±3， 其中3是9的算术平方根。 讨 论 02 知识精讲 下列各数有平方根吗？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由。( 1 ) 0.09； ( 2 ) 0； ( 3 )-。 解：( 1 ) ∵0.32 = 0.09，( -0.3 )2 = 0.09，∴0.09的平方根±0.3； ( 2 ) ∵02 = 0，∴0的平方根0； ( 3 ) ∵- < 0，∴-没有平方根。 02 知识精讲 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 如果a为正数，那么a有两个平方根±， 其中，正的平方根是算术平方根，负的平方根是-。 02 知识精讲 解：( 1 ) ∵102 = 100，( -10 )2 = 100， ∴100的平方根± = ±10； ( 2 ) ∵252 = 625，( -25 )2 = 625，∴625的平方根± = ±25； ( 3 ) ∵0.092 = 0.0081，( -0.09 )2 = 0.0081， ∴0.0081的平方根± = ±0.09； ( 4 ) 2的平方根±。 例2 求下列各数的平方根： ( 1 ) 100； ( 2 ) 625； ( 3 ) 0.0081； ( 4 ) 2。 02 知识精讲 开平方： 求一个数的平方根的运算叫作开平方，这个数叫作被开方数。 开平方与平方有下面的关系，如图所示。 10 -10 25 -25 0.3 -0.3 0 100 625 0.09 0 ±x x2 平方 开平方 讨 论 02 知识精讲 解： < 。 ( 1 ) 如图，将面积为2的正方形纸片放置在面积为3的正方形纸片上，据图比较与的大小。 2 3 讨 论 02 知识精讲 ( 2 ) 已知a > b > 0，类似地，根据下图比较与的大小。 a b 解： > 。 03 典例精析 题型三 求一个数的平方根： 例3-1、先说出下列各式的意义，再计算。 ( 1 ) ±； ( 2 ) ； ( 3 ) -。 解：( 1 ) ±表示的平方根，± = ±； ( 2 ) 表示289的算术平方根， = 17； ( 3 ) -表示的负平方根，- = -。 03 典例精析 题型三 求一个数的平方根： 例3-2、的平方根是______。 解： = 9，9的平方根是±3。 ±3 03 典例精析 题型三 求一个数的平方根： 例3-3、下列运算正确的是（　　） A． = -7 B．- = 5 C． = ±9 D． = 3 D 解：A．负数没有平方根； B．- = - = -5； C． = 9； D． = = 3。 03 典例精析 题型四 根据平方根求参： 例4-1、一个正数x的平方根是2a - 3与5 - a，则x = ________。 49 解：∵正数x的平方根是2a - 3与5 - a， ∴2a - 3 + 5 - a = 0，解得：a = -2， ∴正数x的平方根是-7与7， ∴正数x = 49。 03 典例精析 题型四 根据平方根求参： 例4-2、已知2a - 1的平方根是±3，3a + b - 1的算术平方根是4， 求a + 2b的值。 解：∵2a - 1的平方根是±3，3a + b - 1的算术平方根是4， ∴2a - 1 = 9，3a + b - 1 = 16，解得：a = 5，b = 2， ∴a + 2b = 5 + 2 × 2 = 9。 03 典例精析 题型四 根据平方根求参： 例4-3、一个数的算术平方根为2m - 6，它的平方根为± ( m - 1 )， 求m的值。 解：① 2m - 6 = m-1，解得：m=5， 此时2m - 6 = 4，± ( m - 1 ) = ±4，符合题意； ② 2m - 6 = - ( m - 1 )，解得：m = ， 此时2m - 6 = - < 0，± ( m - 1 ) = ±，不符合题意； 综上：m = 5。 03 典例精析 题型五 根据平方根解方程： 例5、求式中x的值：( x - 3 )2 = 25。 解：( x - 3 )2 = 25， x - 3 = ±5， x - 3 = 5或x - 3 = -5， ∴x=8或x=-2。 平方根的被开方数 与算术平方根 的非负性 02 知识精讲 平方根的被开方数与算术平方根的非负性： 1. 平方根的被开方数具有非负性，即“”中的a ≥ 0； 2. 算术平方根具有非负性，即 ≥ 0。 03 典例精析 题型六 算术平方根的非负性——“0+0”模型： 例6、已知 + = 0，则y = ________。 解：∵ + = 0， ≥ 0， ≥ 0， ∴=0，=0， ∴x - y + 3 = 0，x + 1 = 0， ∴x = -1，y = 2。 2 03 典例精析 题型七 算术平方根的非负性——求最值： 例7、当x = ________时，式子3 + 有最小值，且最小值是________。 解：∵ ≥ 0， ∴3 + ≥ 3， ∴当x - 4 = 0时，3 + 有最小值3， 即x = 4时，3 + 有最小值3。 4 3 课后总结 算术平方根： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。 a的算术平方根记为，读作“根号a”。规定：0的算术平方根是0，即 = 0。 算术平方根的性质： ( 1 ) = a，a ≥ 0； ( 2 ) = | a |。 课后总结 平方根： 一般地，如果x2 = a ( a ≥ 0 )，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根。 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 0的平方根是0；负数没有平方根。 如果a为正数，那么a有两个平方根±， 其中，正的平方根是算术平方根，负的平方根是-。 开平方： 求一个数的平方根的运算叫作开平方，这个数叫作被开方数。 平方根的被开方数与算术平方根的非负性： 1. 平方根的被开方数具有非负性，即“”中的a ≥ 0； 2. 算术平方根具有非负性，即 ≥ 0。 2.1 平方根 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $