2025-2026学年苏科版八年级数学上册小议全等三角形常考模型

执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 全等三角形常考模型复习 全等三角形常考模型 模型一：截长补短模型 模型二：倍长中线模型 模型三：“一线三垂直”模型 模型四：“手拉手”模型 模型五：半角模型 模型六：对角互补模型 一、知识回顾 全等 三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 基本 性质 对应边相等 对应角相等 判定 方法 一般三角形 直角三角形 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 斜边、直角边（HL） A' B' C' C B A 模型一：截长补短模型 全等三角形常考模型 有一类几何题主要是证明三条线段长度的“和”或“差” 及其比例关系. 所谓“截长”，就是将二者中最长的那条线段一分为二， 使其中的一条线段与己知线段相等，然后证明其中的 另一段与己知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个己知的较短的线段延长至与 另一个已知的较短的长度相等, 然后求出延长后的线段 与最长的已知线段的关系,有的是采取截长补短后， 使之构成某种特定的三角形进行求解. 1、模型介绍： 例1、如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， 若E在AD上，求证：BE⊥CE；(2)BC=AB-CD. 2、例题讲解： 证明:(1)∵BE、CE 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线 ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4, 又∵AB∥CD, ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180” ∴∠2+∠3=90°， ∴ ∠BEC=90°， ∴ BE⊥ CE. (2)在BC上取点F, 使BF=BA,连接 EF. 在△ABE 和△FBE中， △ABE ≌△FBE(SAS) ∴∠A=∠5. ∵AB∥ CD, ∴∠A+∠D=180° ∴∠5+∠2=180°， ∴∠5+∠6=180°， ∴∠6=∠D。 △CDE ≌△CFE(SAS) ∴ CF=CD. ∵BC=BF+CF, ∴BC=AB+CD. 1、 已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， BD、CE交于点0，试判断BE，CD,BC的数量关系，并说明理由. 3、针对性训练： 2、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD， ∠ABC+∠AEF=180°，求证:DA平分∠CDE. 解题思路：在BC上取一点G,使CG=CD,连接OG。 易证：△OGC ≌△ODC(SAS),得 再证：△OGB ≌△OEB（ASA）,得BG=BE ∠COD=∠COG=∠BOE=∠BOG=60° 解题思路：延长DE到F,使EF=BC,连接AF。 易证：△ABC ≌△AEF(SAS),得 AC=AF,CD=FD 再证：△ADC ≌△ADF（SSS）, 得∠ADC=∠ADF 模型二：倍长中线模型 中线是三角形中的一条重要线段，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。 所谓倍长中线法就是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，再联结相应的顶点利用中线的性质、辅助线、对顶角相等，构造出全等三角形(通常用“SAS”证明)，进而证明对应边之间的关系。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系。简单地说，倍长中线法其目的是构造一对对顶的全等三角形，其本质是转移边、转移角。 1、模型介绍： 例2、如图，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，I是EG的中点，延长IA交BC于点H， 求证:AH是BC边上的高。 2、例题讲解： ∵I是EG的中点，∴ EI=GI 证明:延长AI到M,使MI=AI,连接MG. ∵正方形ABDE和正方形ACFG ∴AB=AE=MG,AC=AG ∠BAE=∠CAG=90° ∴∠AGM+∠BAC =360°-∠BAE-∠CAG=180°， ∴ ∠BAC=∠AGM △AEI ≌△MGI(SAS) ∴ AE=MG,∠2=∠M ∴AE∥MG, ∴∠AGM+∠EAG=180° △ACB ≌△AGM(SAS) ∴ ∠1=∠M ∴ ∠1=∠2 ∵ ∠2+∠BAH=90° ∴ ∠1+∠BAH=90° ∴ AH⊥BC。 变式：如图，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I， 求证:EI=GI。 2、例题讲解： 证明:过E作EN⊥AI于N， 过G作GM⊥AI于M， ∵AH是BC边上的高 ∴ ∠ANE=∠AMG=∠AHB=∠AHC=90°, ∵正方形ABDE ∴AB=AE,∠BAE=90° ∠BAH+∠ABH=∠BAH+∠EAN=90° ∴∠ABH=∠EAN， ∴△ABH ≌△EAN(AAS) ∴ AH=EN 同理可得， △ACH ≌△GAM(AAS) ∴ AH=GM ∴ EN=GM 易证，△ENI ≌△GMI(AAS) ∴ EI=GI 1、如图，在△ABC中，AD为 BC边上的中线， (1)求证:AB+AC>2AD； (2)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围。 3、针对性训练： 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF， D是BC中点，试比较BE+CF与EF的大小. 模型三：“一线三垂直”模型 1、模型介绍： 一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转 90°，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。 知识方法：过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等(AAS) 2、常见两种图形： 例3、在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,直线MN经过点C, 且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E。 (1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时,求证:DE=AD+BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时,求证:DE=AD-BE; (3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,试问DE、AD、BE 具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系。 2、例题讲解： 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， 又直线MN经过点C， 且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∵∠ADC=∠CEB=90° ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CD=BE，CE=AD， ∴DE=CD+CE=AD+BE； （2）∵△ABC中，∠ACB=90°， 直线MN经过点C， 且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°， 而AC=BC，∴△ADC≌△CEB， ∴CD=BE，CE=AD， ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE； （3）如图3，∵△ABC中，∠ACB=90°， 直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE， ∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB， ∴CD=BE，CE=AD， ∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD； DE、AD、BE之间的关系为DE=BE﹣AD。 3、针对性训练： [问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，点D为直线BC上 的一个动点(不与B、C重合)，连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E,连结EC. [间题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下 的解思路:过点E作EF⊥BC交直线BC于F,如图2所示，通过证明△ABD≌△DFE 可推证△CEF是等腰三角形，从而求得∠DCE= °。 [继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数. [拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB=6,请直接写出BE的最小值. 模型四：“手拉手”模型 手拉手模型，顾名思义，是由两个顶角相等的等腰三角形通过顶点重合、底角顶点相连的方式组成的图形。手拉手模型，是数学里最常见的一个几何图形，是属于共端点几何模型中的一个类别。它像旋转一样，它像两个人手拉住手一样。所，民间称之为手拉手模型。 当然考试的时候，也经常会出现变式题。但不管怎么变， 所有的题型都是从这几个基础图形，变式而来的。 1、模型介绍： 2、例题讲解： 例4、已知:如图△ABC和△ADE 都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，求证:BD=CE，BD⊥CE. 证明: ∵△ABC 与△AED 均为等腰直角三角形 ∴ AB=AC，AE=AD， ∠BAC=∠EAD=90° ∴∠BAC +∠CAE=∠EAD+∠CAE. 即∠BAE=∠CAD 在△BAE 与△CAD 中, AB=AC,∠BAE=∠CAD.AE=AD ∴△BAE≌△CAD (SAS) ∴BD=CE，∠1=∠2. ∵∠3=∠4. ∠1+∠3=90° ∴ ∠2+∠4=90° 即BD⊥CE. 3、针对性训练： 1、图1、图2中,点B为线段 AE上一点,△ABC与△BED 都是等边三角形。 (1)如图1.求证:AD=CE: (2)如图2,设 CE与 AD 交于点F,连接 BF, ①求证:∠CFA=60°；②求证:CF+BF=AF 2、如图,两个正方形 ABCD与 DEFG,连结 CE、AG, 二者相交于点 H。求: (1)AG=CE (2)AG与CE之间的夹角为多少度? (3)HD平分∠AHE。 模型五：半角模型 一、“半角模型”特征 ①共端点的等线段；②共顶点的倍半角 二、利用旋转变换解决问题 ①旋转的目的:将分散的条件集中,隐蔽的关系显现 ②旋转的条件:具有公共端点的等线段 ③旋转的方法:以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的 夹角为旋转角 1、模型介绍： 等腰直角三角形 2、例题讲解： 例5、在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠BAF=45°则BE、DF、EF之间的数量关系为 。 (1)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别 是BC、CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，BE、DF、EF三条线段 之间的数量关系是否仍然成立，请证明。 (1)结论:EF=BE+DF.理由如下: 如图(1)中，在正方形ABCD中.AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°把△ABE 绕点A逆时针旋转90°得到△ADE'，∵∠ADF=∠ADE'=90°，∴点F、D、E'共线:. ∠E'AF=90°-45°=45°=∠EAF 在△AFE和△AFE'中 AF=AF ∠FAE=∠FAE'， AE=AE' ∴△AFE≌△AFE'(SAS) ∴EF=FE'=DE'+DF=BE+DF. ｛ BE+DF=EF （2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADF=180°，E、F 分别是BC、CD上的点且∠EAF= ∠BAD，BE、DF、EF三条线段 之间的数量关系是否仍然成立? (2)结论:EF=BE+DF成立，理由如下: 如图(2)中，因为AB=AD，所以可以 将△ABE绕点A旋转到△ADG位置. ∠B+∠ADF=180°，∠B=∠GDA, ∴∠GDA+∠ADF=180°.. ∴G、D、F共线, ∠BAE+∠DAF=∠EAF=60°， ∠GAD=∠BAE，∴∠GAF=∠EAF, 在△FAE和△FAE'中 AF=AF ∠FAE=∠FAG， AE=AG ∴△FAE≌△FAG (SAS) ∴ EF=FG=DG+DF=BE+DF ｛ 3、针对性训练： 如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的△MDN，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长. 模型六：对角互补模型 对角互补模型是经典的几何模型，其中会涉及到全等三角形的证明、倒角的计算、线段数量关系的证明、旋转的构造等综合性较高的几何知识，一直都是热门考点。对角互补模型在初二陆续就会出现，一般会和等腰直角三角形、正方形等特殊图形结合起来，既有选填压轴的题型，也经常会以简答题进行考察 常见的四边形对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型,2a-(180-2a)对角互补模型。 对角互补模型常见的两种处理策略: ①过顶点做双垂线，构造全等三角形; ②进行旋转的构造，构造手拉手全等 1、模型介绍： 2、例题讲解： 例6、已知，如图，∠AOB=∠DCE=90°， OC平分∠AOB。求证: (1)CD=CE；(2)0D+0E= 0C （3）S四边形ODCE= S△OCD+ S△OCE= 0C2. 证明:如图，过点C分别作CF⊥OC交OB于点F, (1)∵OC平分∠AOB, ∴∠COB=45°，∴∠OCF=90° ∴∠COB=∠CFO=45° ∴OC=CF，∵∠CDO+∠CEO=180°, ∴∠CEO+∠CEF=180°，∠CDO=∠CEF ∠DCO+∠OCE=90°,∴∠OCE+∠ECF=90°， ∠DCO=∠ECF ∴∠CDO=∠CEF,∠DCO=∠ECF,CF=CO, ∴△CDO≌△CEF ∴CD=CE, DO=EF 3、针对性训练： 1.将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放， 点A，B，C分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠 部分的面积的和为 ( ) A.2 B.3 C.6 D.8 2.如图所示,ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的 直角三角板 DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的 短直角边为DF，长直角边为DE)，将三角板DEF绕D点按逆时针 方向旋转. (1)在如图1中，DE交AB于M，DF交BC于N，求证：DM=DN； (2)继续旋转至如图2，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N， 求证：DM=DN $