精品解析：北京市第十四中学2025-2026学年九年级上学期开学学考试数学试题

北京十四中2025—2026学年度第一学期开学检测 初三数学 2025.9 注意事项 1．本试卷共8页，共25道小题，满分100分．考试时间70分钟． 2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．答题不得使用任何涂改工具． 一、选择题（每小题3分，共24分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 3. 下列计算：①；②；③；④．其中结果确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 5. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一次函数为，下列说法中错误的是（ ） A. 若函数图象经过原点，则 B. 若，则函数图象经过第一、二、三象限 C. 函数图象与y轴交于点 D. 无论m为何实数，函数图象总经过 7. 甲、乙两台机床生产同一种零件，这两台机床一周5天生产次品的数量（单位：个）如表： 时间 次品个数 机床 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 甲 1 1 1 0 2 乙 0 1 2 0 2 甲、乙两台机床这周5天生产次品数量的平均数分别为，，方差分别为，，则正确的结论是 A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为4，点是的中点，点从点出发，沿移动至终点，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（第9—16题每题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 10. 已知点，在的图象上， 且，则k的值可以是______（写出一个即可）． 11. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________. 12. 如图，将含45°角的直角三角尺的直角顶点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，与直尺的另一边交于点D，当时，D，B两点分别落在直尺上的处，则直尺的宽度为______cm． 13. 如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x、y的方程组的解是________． 14. 如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是，，若，，则的长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是__________． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是_____． 三、解答题（本题共52分，第17题8分，第18题4分，第19题6分，第20题4分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题6分，第25题7分） 17. 计算： （1）； （2）（）（）+（﹣1）2． 18. 如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是、、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 19. 某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元． （1）求，两种食材的单价． （2）该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 20. 我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图①，在中，为边上的高，边的“线高差”等于，记为． （1）若中，，则________； （2）如图②，在中，，求的值． 21. 已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M． （1）求直线的表达式． （2）求的面积． （3）点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 23. 为了解某校八年级学生的环保知识学习的情况，从八年级全体学生中随机抽取男生、女生各人进行环保知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对成绩的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．所抽取的八年级男生的环保知识测试成绩的数据的频数分布表： 分数 频数 2 3 7 3 其中，在的成绩的数据有： ． b．所抽取的八年级男生、女生的环保知识测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 男生 m n 女生 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）在所抽取的男生中，记环保知识测试成绩高于他们的平均分的人数为．在所抽取的女生中，记环保知识测试成绩高于她们的平均分的人数为．比较，的大小，并说明理由； （3）假设该校八年级学生都参加此次测试，其中男生有人，估计男生测试成绩不低于分的人数（直接写出结果）． 24. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数．下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，________； （2）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3） （4）观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是________；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而________； （5）进一步探究，若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是________． 25. 如图，四边形是矩形，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）是的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十四中2025—2026学年度第一学期开学检测 初三数学 2025.9 注意事项 1．本试卷共8页，共25道小题，满分100分．考试时间70分钟． 2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．答题不得使用任何涂改工具． 一、选择题（每小题3分，共24分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，故A符合题意； B、，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故B不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故C不符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 3. 下列计算：①；②；③；④．其中结果确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质和二次根式的计算，根据相关知识点一一判断即可； 【详解】解：①根据二次根式的性质可得：，故正确； ②，被开方数不能为负数，所以此题无意义，故错误； ③，故正确； ④，故错误； 所以共有2个正确； 故选：B． 4. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，再根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴． 5. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识点，灵活运用根据勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形成为解题的关键． 逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴ ∴是直角三角形，故B不符合题意； ∵， ∴设， 又∵， ， ∴是直角三角形，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴不是直角三角形，故D符合题意． 故选D． 6. 已知关于x的一次函数为，下列说法中错误的是（ ） A. 若函数图象经过原点，则 B. 若，则函数图象经过第一、二、三象限 C. 函数图象与y轴交于点 D. 无论m为何实数，函数图象总经过 【答案】C 【解析】 【分析】把（0，0）代入即可判断A；根据一次函数的性质即可判断B；令x＝0，即可求得函数图象与y轴交于点（0，6m﹣3），即可判断C；把x＝﹣6代入解析式求得y＝﹣3，即可判断D． 【详解】解：A．函数图象经过原点， ∴6m﹣3＝0， ∴，故选项正确，不符合题意； B．当m＝1时，＝x＋3， ∵k＝1＞0，b＝3＞0， ∴函数图象经过第一、二、三象限， 故选项正确，不符合题意； C．当x＝0时，y＝6m﹣3， ∴函数图象与y轴交于点（0，6m﹣3）， 故选项错误，符合题意； D．当x＝﹣6时，＝﹣6m＋6m－3＝﹣3，, ∴无论m为何实数，函数图象总经过， 故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 7. 甲、乙两台机床生产同一种零件，这两台机床一周5天生产次品的数量（单位：个）如表： 时间 次品个数 机床 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 甲 1 1 1 0 2 乙 0 1 2 0 2 甲、乙两台机床这周5天生产次品数量的平均数分别为，，方差分别为，，则正确的结论是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数、方差，根据平均数及方差公式计算出，，，，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， ，． 故选：． 8. 如图，正方形的边长为4，点是的中点，点从点出发，沿移动至终点，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意分情况讨论：①当点P在AE上时，②当点P在AD上时，③当点P在DC上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式. 【详解】①当点在上时， ∵正方形边长为4，为中点， ∴， ∵点经过的路径长为， ∴， ∴， ②当点在上时， ∵正方形边长为4，为中点， ∴， ∵点经过的路径长为， ∴，， ∴， ， ， ， ③当点在上时， ∵正方形边长为4，为中点， ∴， ∵点经过的路径长为， ∴，， ∴， 综上所述：与的函数表达式为： . 故答案为C. 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势． 二、填空题（第9—16题每题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是关键，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：若在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 10. 已知点，在的图象上， 且，则k的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．由时，，根据一次函数的增减性，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，且， ∴y随着x的增大而减小， ∴， ∴k可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________. 【答案】2.5 【解析】 【详解】分析：根据矩形的性质可得AC=BD=10，BO=DO=BD=5，再根据三角形中位线定理可得PQ=DO=2.5． 详解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=10，BO=DO=BD， ∴OD=BD=5， ∵点P、Q是AO，AD的中点， ∴PQ是△AOD的中位线， ∴PQ=DO=2.5． 故答案为2.5． 点睛：此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分． 12. 如图，将含45°角的直角三角尺的直角顶点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，与直尺的另一边交于点D，当时，D，B两点分别落在直尺上的处，则直尺的宽度为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线等知识，熟练正确作出辅助线是解题关键. 过点作于点， 在中， 根据“直角三角形中度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，，利用勾股定理可得然后利用度角的直角三角形的性质得到的值，即可确定直尺的宽度. 【详解】如下图， 过点作于点， 根据题意可知：，， 在中， ， ∴ ∴直尺的宽为 故答案为： 13. 如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x、y的方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 观察图象得：一次函数与的图像交于点，再根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：观察图象得：一次函数与的图像交于点， ∴二元一次方程组的解是． 故答案为：． 14. 如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是，，若，，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是合理的作出辅助线；先根据矩形的性质得到四个角是直角，根据三个是直角的四边形是矩形，再根据矩形的性质和等腰三角形的性质得到线段的长度，进而运用勾股定理即可解决问题； 【详解】解：如图，延长交于点， 在正方形中， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 同理得：四边形是矩形， 四边形是矩形； ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， 在中， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，联立解析式，求解对应的二元一次方程组即可求解． 【详解】解：由可得： ∴直线与直线的交点为 ∵直线与直线的交点在第一象限， ∴ 解得： 故答案为： 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是_____． 【答案】（, ） 【解析】 【分析】连接OC，OC与AB的交点为E，当E为AB中点是，此时OC最大，此时，根据勾股定理，由勾股定理求出CE=2，OC=3，求出∠COB=30°，解直角三角形求出CF和OF即可． 【详解】解：E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，过C作CF⊥x轴于F，则∠CFO=90°， 此时由勾股定理得： OC=1+2=3， 即 ∵∠CBE=90°， ∴∠ECB=30°，∠BEC=60°， ∴∠AEO=60°， ∵在Rt△AOB中，E为斜边AB中点， ∴AE=OE， ∴△AOE等边三角形， ∴∠AOE=60°， ∴∠COB=90°-60°=30°， 由勾股定理得： 所以点C的坐标是 故答案为： 【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能根据题意求出OC的最大值是解此题的关键． 三、解答题（本题共52分，第17题8分，第18题4分，第19题6分，第20题4分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题6分，第25题7分） 17. 计算： （1）； （2）（）（）+（﹣1）2． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质，二次根式的除法运算，再进行二次根式的加减运算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式化简，再进行实数的运算计算即可． 【详解】（1） ； （2）（）（）+（﹣1）2 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，二次根式的除法运算，二次根式的加减运算，掌握二次根式的计算是解题的关键． 18. 如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是、、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ，，， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟记平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形是解决问题的关键． 由平行四边形的性质得出，，再由中点的定义得出，，即可证出四边形是平行四边形． 【详解】略 19. 某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元． （1）求，两种食材的单价． （2）该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元 （2）种食材购买，种食材购买时，总费用最少，为元 【解析】 【分析】（1）设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得，，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克， 由题意得， 解得， 种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元； 【小问2详解】 解：设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得： ， 且 解得： ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为：元， 种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元． 20. 我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图①，在中，为边上的高，边的“线高差”等于，记为． （1）若中，，则________； （2）如图②，在中，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】考查三角形综合题、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，求出高即可解决问题； （2）过点作于点，设，则，由勾股定理求出即可解决问题； 【小问1详解】 解：如图①，过点作于点． 因为，， ∴由勾股定理得． 因为， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图②，过点作于点． 设，则． 因为， ∴， 解得， ∴， ∴． 21. 已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M． （1）求直线的表达式． （2）求的面积． （3）点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围． （1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题． （2）把代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可； （3）由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出n的范围． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为， 将，代入得：， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 将代入，得：， ∴， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 当点C位于点D上方时，即是直线在直线上方，如图： 由图象可知． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，运用数形结合思想解决问题是解答本题的关键； （1）根据一次函数平移的性质可得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据点结合图象，利用数形相结合的思想求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 当时，， 即过点； 将代入得： ， 解得， 当时，函数的值小于一次函数的值，如图， ． 23. 为了解某校八年级学生的环保知识学习的情况，从八年级全体学生中随机抽取男生、女生各人进行环保知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对成绩的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．所抽取的八年级男生的环保知识测试成绩的数据的频数分布表： 分数 频数 2 3 7 3 其中，在的成绩的数据有： ． b．所抽取的八年级男生、女生的环保知识测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 男生 m n 女生 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）在所抽取的男生中，记环保知识测试成绩高于他们的平均分的人数为．在所抽取的女生中，记环保知识测试成绩高于她们的平均分的人数为．比较，的大小，并说明理由； （3）假设该校八年级学生都参加此次测试，其中男生有人，估计男生测试成绩不低于分的人数（直接写出结果）． 【答案】（1）， （2），理由如下； 由题意知，， ∵女生成绩的中位数为， ∴有7个人的成绩大于或等于，此时， ∴； （3）人 【解析】 【分析】（1）由题意知，中位数为从小到大依次排序里的第8位数，落在，即，出现了4次，次数最多，即； （2）由题意知，，由女生成绩的中位数为，可知有7个人的成绩大于或等于，此时，进而可得； （3）由题意知，样本中不低于分的人数有7人，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，中位数为从小到大依次排序里的第8位数，落在，即， 出现了4次，次数最多，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：由题意知，样本中不低于分的人数有7人， ∴， ∴估计男生测试成绩不低于分的人数为人． 24. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数．下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，________； （2）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3） （4）观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是________；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而________； （5）进一步探究，若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是________． 【答案】（1）3； （2） 画出该函数图象的另一部分，下图为所求： （3），增大； （4）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题． （1）计算出当对应的函数值，从而可以求得的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可求得； （4）观察函数图象，可以得到满足题意的k的取值范围； 【小问1详解】 解：当时，， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 故答案为：，增大； 【小问4详解】 解：观察图象， 若关于x的方程只有一个解， 那么与只有一个交点， 则k的取值范围是或； 故答案为：或． 25. 如图，四边形是矩形，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）是的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2） 解：， 证明：过点作于点， ∵是的中点，， ∴，， ∴，， 由（1）可知：， ∵， ， 在中，， ∴， 化简得：， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质得到直角和平行，再根据角平分线的定义和平行线的性质分别得到角相等，即可解决问题； （2）作出合理的辅助线，根据线段的和差，把有关线段转化到直角三角形中，根据勾股定理即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和三线合一等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $