精品解析：上海市彭浦第三中学2020-2021学年九年级下学期数学期中线上考试试题

上海彭浦三中2020-2021学年九下期中线上考试 （满分：150分 考试时间：150分钟） 一．选择题（共24分） 1. 如图，已知数轴上的点A、B表示的实数分别为a，b，那么下列等式成立的是( ) A. B. C. D. 2. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为( ) A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形 D. 正多边形都是中心对称图形 5. 如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么的值等于（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，动点P从点A开始沿的路径匀速运动到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共48分） 7. 16的算术平方根是___________． 8. 方程的解是___． 9. 将分别写有“创建”、“文明”、“城市”的三张大小、质地相同的卡片随机排列，那么恰好排列成“创建文明城市”的概率是_____． 10. 如果正比例函数图像经过原点和第一、第三象限，那么______． 11. 一枚（形状为正方体）骰子可以掷出1、2、3、4、5、6这六个数中的任意一个，用这个骰子随机掷出的一个数替代二次根式中的字母x，使该二次根式有意义的概率是________. 12. 已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______． （备用数据tan31° = cot59°≈0.6， sin37° = cos 53°≈0.6) 13. 某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别(图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类)，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有_____人． 14. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，，以点A为圆心，为半径作圆，再以点C为圆心，2为半径作圆，那么这两圆的位置关系是_____． 15. 七边形的对角线条数为______条． 16. 如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为________． 17. 如图，在△ABC中，∠ACB＝α（90°＜α＜180°），将△ABC绕着点A逆时针旋转2β（0°＜β＜90°）后得△AED，其中点E、D分别和点B、C对应，联结CD，如果CD⊥ED，请写出一个关于α与β的等量关系的式子_____． 18. 如图，在Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB．设BE＝a，DC＝b，那么AB＝_____．（用含a、b的式子表示AB） 三．解答题（共78分） 19. 解方程组：. 20. 某文具店每天售出甲、乙两种笔，统计后发现：甲、乙两种笔同一天售出量之间满足一次函数的关系，设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为x（支）、y（支），部分数据如表所示（下表中每一列数据表示甲、乙两种笔同一天的售出量）． 甲种笔售出x（支） … 4 6 8 … 乙种笔售出y（支） … 6 12 18 … （1）求y关于x的函数关系式；（不需要写出函数的定义域） （2）某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为30元和120元，如果乙种笔每支售价比甲种笔每支售价多2元，那么甲、乙两种笔这天各售出多少支？ 21. 小张同学尝试运用课堂上学到方法，自主研究函数y=的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成： （1）函数y=自变量的取值范围是　 　； （2）下表列出了y与x的几组对应值： x … ﹣2 ﹣ m ﹣ ﹣ 1 2 … y … 1 4 4 1 … 表中m的值是　 　； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标点，试由描出的点画出该函数的图象； （4）结合函数y=的图象，写出这个函数的性质：　 　．（只需写一个） 22. 如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，连接AD交线段PQ于点E，且，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F． （1）求证：PC＝PE； （2）当P是边AC中点时，求证：四边形AECF是矩形． 23. 已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA＝OB＝6，∠AOB＝30°． （1）求点A、B的坐标； （2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式； （3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知，P（m，2）（m＞0），求m的值． 24. 如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，EF是BC边上的中位线，点G为BE中点，点P是底边BC上一动点，线段CG与线段PF交于点Q，联结EQ． （1）若PC＝3BP，证明：EQ∥AC，且EQ＝AC； （2）如图2，当AB＝5，BC＝6时，若以点B为圆心，以BP为半径的圆与以EF为直径的圆相切，求BP的长； （3）若AB＝6，BC＝4，且△EFQ与△CPF相似，求BP的长． 25. 已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC=AO，点D为BC的中点， (1)如图，连接AC、OD，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD； (2)如图，当点B为的中点时，求点A、D之间的距离： (3)如果AD的延长线与圆O交于点E，以O为圆心，AD为半径的圆与以BC为直径的圆相切，求弦AE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海彭浦三中2020-2021学年九下期中线上考试 （满分：150分 考试时间：150分钟） 一．选择题（共24分） 1. 如图，已知数轴上的点A、B表示的实数分别为a，b，那么下列等式成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图示，可得：b＜0＜a，|b|＞|a|，据此判断即可． 【详解】∵b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0， ∴|a+b|= -a-b． 故选B． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握． 2. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并用数轴表示不等式组的解集．根据题意解出不等式组，结合数轴表示即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组解集在数轴上可表示为 ． 故选：B 3. 如图，已知▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为( ) A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6 【答案】C 【解析】 【分析】根据AE∥BC，E为AD中点，找到AF与FC的比，则可知△AEF面积与△FCE面积的比，同时因为△DEC面积=△AEC面积，则可知四边形FCDE面积与△AEF面积之间的关系． 【详解】解：连接CE，∵AE∥BC，E为AD中点， ∴ ． ∴△FEC面积是△AEF面积的2倍． 设△AEF面积为x，则△AEC面积为3x， ∵E为AD中点， ∴△DEC面积=△AEC面积=3x． ∴四边形FCDE面积为5x， 所以S△AFE：S四边形FCDE为1：5． 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题关键是通过线段的比得到三角形面积的关系． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形 D. 正多边形都是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据正方形的判定方法对B进行判断；根据矩形的性质、三角形中位线定理以及菱形的判定方法对C进行判断；根据中心对称图形的定义对D进行判断． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以B选项正确； C、顺次联结矩形各边中点所得四边形是菱形，所以C选项错误； D、边数为偶数的正多边形都是中心对称图形，所以D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 5. 如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答． 【详解】如图，过点P作PE⊥OA于点E， ∵OP是∠AOB的平分线， ∴PE＝PM， ∵PN∥OB， ∴∠POM＝∠OPN， ∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°， ∴＝． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 6. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，动点P从点A开始沿的路径匀速运动到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据点P运动，AD不变的条件进行逐项分析即可得出结论； 【详解】当点P由A运动到B时，△APD的面积逐渐增大； 当点P由B运动到C时，△APD的面积不变； 当点P由C运动到D时，△APD的面积逐渐减小； 再观察图形可得AB＜CD，故△APD的面积由小到大的时间应小于△APD的面积由大到小的时间． 故答案选D． 【点睛】本题主要考查函数图像问题，准确判断定值和变量是解本题的关键． 二．填空题（共48分） 7. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 8. 方程的解是___． 【答案】 【解析】 【分析】将方程两边平方整理得到关于x的一元二次方程，然后求解即可． 【详解】方程两边平方得，x2﹣x＝2， 整理得，x2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1， 经检验，x1＝2，x2＝﹣1都是原方程的根， 所以，方程的解是x1＝2，x2＝﹣1． 故答案为：x1＝2，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查了无理方程，一元二次方程的解法，转化无理方程为一元二次方程是解题的关键． 9. 将分别写有“创建”、“文明”、“城市”的三张大小、质地相同的卡片随机排列，那么恰好排列成“创建文明城市”的概率是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意用树状图画出三张卡片排列的所有等可能结果，再确定恰好排列成“创建文明城市”的结果数，依据概率公式可得答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能排列的方式，其中恰好排列成“创建文明城市”的只有1种， ∴恰好排列成“创建文明城市”的概率是. 故答案为 ． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率：先利用列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，即可求出概率． 10. 如果正比例函数的图像经过原点和第一、第三象限，那么______． 【答案】 【解析】 【详解】由正比例函数y=(k-1)x的图像经过原点和第一、第三象限可得k-1＞0，解得k＞1. 11. 一枚（形状为正方体的）骰子可以掷出1、2、3、4、5、6这六个数中的任意一个，用这个骰子随机掷出的一个数替代二次根式中的字母x，使该二次根式有意义的概率是________. 【答案】 【解析】 【详解】由二次根式有意义可得x-3≥0，即可得x≥3，一枚（形状为正方体的）骰子可以掷出1、2、3、4、5、6这六个数中能使二次根式有意义的结果有3、4、5、6四种情况，所以二次根式有意义的概率是 . 12. 已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______． （备用数据tan31° = cot59°≈0.6， sin37° = cos 53°≈0.6) 【答案】37°． 【解析】 【分析】画出图形，设坡角为α，根据sinα=，可求得α的度数． 【详解】由题意，作出图形，设坡角为α， ∵sina= 即sina= 0.6 ∴a= 37° 故答案为: 37°. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形. 13. 某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别(图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类)，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有_____人． 【答案】480 【解析】 【分析】首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数． 【详解】解：∵被调查的学生人数为：12÷20%＝60(人)，喜欢文学类的有24人， ∴全校1200名学生中喜欢文学类图书的有人. 故答案为480． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的有关知识，属于基础题型，求出样本中喜爱文学类图书所占百分比是解此题的关键. 14. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，，以点A为圆心，为半径作圆，再以点C为圆心，2为半径作圆，那么这两圆的位置关系是_____． 【答案】外离 【解析】 【分析】先解直角三角形求出AC的长，再利用无理数的估算得到与AC的关系，然后利用圆与圆的位置关系即可进行判断． 【详解】解：如图，∵∠B＝90°，，∴设AB＝4x，AC＝5x， ∴BC＝3x，∴3x＝3，解得x＝1，∴AC＝5， ∵，∴， ∴以点A为圆心，为半径作圆和以点C为圆心，2为半径作圆相外离． 故答案为外离． 【点睛】本题考查了解直角三角形和圆与圆的位置关系，难度不大，熟练掌握解直角三角形和圆与圆位置关系判断的方法是求解的关键. 15. 七边形的对角线条数为______条． 【答案】14 【解析】 【分析】根据从n多边形的一个顶点可以作对角线的条数为，可得n多边形的对角线共有条（）即可求解． 【详解】解：七边形的对角线条数为（条）， 故答案为：14． 【点睛】本题考查多边形的对角线条数，熟记多边形对角线条数的公式是解题的关键． 16. 如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据作图过程可得平分；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明，证出，即可得出的长． 【详解】解：根据作图的方法得：平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键． 17. 如图，在△ABC中，∠ACB＝α（90°＜α＜180°），将△ABC绕着点A逆时针旋转2β（0°＜β＜90°）后得△AED，其中点E、D分别和点B、C对应，联结CD，如果CD⊥ED，请写出一个关于α与β的等量关系的式子_____． 【答案】α+β＝180° 【解析】 【分析】本题考查的是旋转与等腰三角形，做辅助线AF⊥CD，由旋转可得∠ADE=∠ACB=，再用含有字母的式子表示出∠ADC与∠DAF，利用三角形内角和即可倒出的关系 【详解】如图，过A作AF⊥CD， 由旋转可得，∠ADE＝∠ACB＝α， ∵CD⊥DE， ∴∠ADC＝α﹣90°， 由旋转可得，AC＝AD，∠CAD＝2β， ∴∠DAF＝β， ∴Rt△ADF中，∠DAF+∠ADF＝90°，即β+α﹣90°＝90°， ∴α+β＝180°． 故答案为α+β＝180°． 【点睛】本题的关键是做辅助线，用含有字母的式子表示出∠ADC与∠DAF 18. 如图，在Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB．设BE＝a，DC＝b，那么AB＝_____．（用含a、b的式子表示AB） 【答案】 【解析】 【分析】只要证明△FAE≌△DAE，推出EF＝ED，∠ABF＝∠C＝45°，由∠EBF＝∠ABF+∠ABE＝90°，推出，可得，根据AB＝BC•cos45°即可解决问题． 【详解】证明：如图， ∵△DAC≌△FAB， ∴AD＝AF，∠DAC＝∠FAB， ∴∠FAD＝90°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠DAC+∠BAE＝∠FAB+∠BAE＝∠FAE＝45°， 在△FAE和△DAE中， ， ∴△FAE≌△DAE， ∴EF＝ED，∠ABF＝∠C＝45°， ∵∠EBF＝∠ABF+∠ABE＝90°， ∴， ∴BC＝a+b+， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共78分） 19 解方程组：. 【答案】，，， 【解析】 【详解】试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可． 试题解析：解： 由①得：（x﹣y）2=9 所以x﹣y=3③，x﹣y=﹣3④ ③②与④②联立得： 解方程组，得：； 解方程组，得：． 所以原方程组的解为：． 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解． 20. 某文具店每天售出甲、乙两种笔，统计后发现：甲、乙两种笔同一天售出量之间满足一次函数的关系，设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为x（支）、y（支），部分数据如表所示（下表中每一列数据表示甲、乙两种笔同一天的售出量）． 甲种笔售出x（支） … 4 6 8 … 乙种笔售出y（支） … 6 12 18 … （1）求y关于x的函数关系式；（不需要写出函数的定义域） （2）某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为30元和120元，如果乙种笔每支售价比甲种笔每支售价多2元，那么甲、乙两种笔这天各售出多少支？ 【答案】（1）y=3x-6；（2）甲、乙两种这天笔各售出10支、24支 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求出y与x的函数关系式． （2）根据题意列出关系式即可求出答案． 【详解】（1）设函数关系式为y=kx+b（k≠0），由图象过点（4，6），（6，12）， 得：， 解之得： 所以y关于x的解析式为：y=3x-6． （2）设甲种笔售出x支，则乙种笔售出（3x-6）支，由题意可得： 整理得：x2-7x-30=0 解之得：x1=10，x2=-3（舍去）3x-6=24 答：甲、乙两种这天笔各售出10支、24支． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意找出等量关系，本题属于中等题型． 21. 小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数y=的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成： （1）函数y=自变量的取值范围是　 　； （2）下表列出了y与x的几组对应值： x … ﹣2 ﹣ m ﹣ ﹣ 1 2 … y … 1 4 4 1 … 表中m的值是　 　； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图象； （4）结合函数y=的图象，写出这个函数的性质：　 　．（只需写一个） 【答案】（1）x≠0；（2）﹣1；（3）见解析；（4）图象关于y轴对称. 【解析】 分析】（1）由分母不等于零可得答案； （2）求出y=1时x的值即可得； （3）根据表格中的数据，描点、连线即可得； （4）由函数图象即可得． 【详解】（1）函数y=的定义域是x≠0， 故答案为x≠0； （2）当y=1时，=1， 解得：x=1或x=﹣1， ∴m=﹣1， 故答案为﹣1； （3）如图所示： （4）图象关于y轴对称， 故答案为图象关于y轴对称． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数自变量的取值范围、函数值的求法、列表描点画函数图象及反比例函数的性质． 22. 如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，连接AD交线段PQ于点E，且，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F． （1）求证：PC＝PE； （2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，等量代换得到，推出，于是得出结论； （2）根据平行线的性质得到∠PFC＝∠FCG，根据角平分线的性质得到∠PCF＝∠FCG，等量代换得到∠PFC＝∠FCG，根据等腰三角形的性质得到PF=PC，得到PF=PE，由已知条件得到AP=CP，推出四边形AECF是平行四边形，再证得∠ECF＝90°，于是得出结论. 【详解】（1）证明：∵PQ∥BC， ∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴PC＝PE； （2）∵PF∥DG， ∴∠PFC＝∠FCG， ∵CF平分∠PCG， ∴∠PCF＝∠FCG， ∴∠PFC＝∠FCG， ∴PF＝PC， ∴PF＝PE， ∵P是边AC的中点， ∴AP＝CP， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵PQ∥CD， ∴∠PEC＝∠DCE， ∴∠PCE＝∠DCE， ∴， ∴∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质以及矩形的判定，还涉及了平行线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定等知识点，属于综合题，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 23. 已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA＝OB＝6，∠AOB＝30°． （1）求点A、B的坐标； （2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式； （3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知，P（m，2）（m＞0），求m的值． 【答案】（1）A点坐标为，B点坐标为（6，0）；（2）；（3）m的值为或 【解析】 【分析】（1）根据30°角所对的直角边是斜边的一半，可得AC的长，再根据锐角三角函数，可得OC，根据点的坐标，可得答案； （2）根据等腰直角三角形，可得E点坐标，再根据待定系数法，可得答案； （3）根据30°角所对的直角边是斜边的一半，可得∠CNP=30°，再根据勾股定理求得OE的长，根据点的坐标，可得N点坐标，根据点的左右平移，可得点P坐标. 【详解】（1）如图1 ， 作 AC⊥OB于C点， 由OB＝OA＝6，得B点坐标为（6，0）， 由OB＝OA＝6，∠AOB＝30°，得 ， ∴A点坐标为； （2）如图2 ， 由其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形，得 ， 即E点坐标为（3，﹣3）． 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣3，将B点坐标代入，解得， 抛物线的解析式为 化简得； （3）如图3 ， PN＝2， ，PC＝1， ∠CNP＝∠AOB＝30°， NP∥OB， NE＝2，得ON＝4， 由勾股定理，得 ，即． N向右平移2个单位得， N向左平移2个单位，得， m的值为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，难度较大，考点涉及含30°角的直角三角形、锐角三角形函数、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数解析式以及勾股定理等知识点，熟练掌握各个知识点是解题关键. 24. 如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，EF是BC边上的中位线，点G为BE中点，点P是底边BC上一动点，线段CG与线段PF交于点Q，联结EQ． （1）若PC＝3BP，证明：EQ∥AC，且EQ＝AC； （2）如图2，当AB＝5，BC＝6时，若以点B为圆心，以BP为半径的圆与以EF为直径的圆相切，求BP的长； （3）若AB＝6，BC＝4，且△EFQ与△CPF相似，求BP的长． 【答案】（1）见详解 （2）或 （3）1 【解析】 【分析】（1）联结PG，根据已知条件证，得到，进而证即可求证； （2）根据题意，正确作图，再根据等腰三角形的性质、中位线性质、勾股定理即可求解； （3）根据相似即可得EQ∥AC，再根据（1）的思路即可求解； 【小问1详解】 解：如图，联结PG ∵E是AB的中点，G是BE的中点 ∴PG∥AC ∵PG∥AC ∴ 【小问2详解】 ①如图，取EF的中点D，联结BD，根据题意，分别作D、B相切于点Q，作 ∵AB=AC， ∴BG=GC=BC=3 ∴ ∵EF是BC边上的中位线 根据圆的性质， ∴ ②如图，取EF的中点D，联结BD，根据题意，分别作D、B相切于点Q，作 ∵AB=AC， ∴BG=GC=BC=3 ∴ ∵EF是BC边上的中位线 根据圆的性质， ∴ 【小问3详解】 当时， ∴ 则由（1）可知 ∵ ∴ ∴ ∴ 当，无法证明，不存在． 【点睛】本题主要考查三角形的相识、等腰三角形的性质、中位线的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 25. 已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC=AO，点D为BC的中点， (1)如图，连接AC、OD，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD； (2)如图，当点B为的中点时，求点A、D之间的距离： (3)如果AD的延长线与圆O交于点E，以O为圆心，AD为半径的圆与以BC为直径的圆相切，求弦AE的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）连接OB、OC，可证△OBC是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC等于30°，OA=OC可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD的值. （2）连接OB、OC，可证△OBC是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB等于30°，因为点D为BC的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD、AD的长. （3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD的长，再过O点作AE的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解. 【详解】(1)如图1：连接OB、OC. ∵BC=AO ∴OB=OC=BC ∴△OBC是等边三角形 ∴∠BOC=60° ∵点D是BC的中点 ∴∠BOD= ∵OA=OC ∴=α ∴∠AOD=180°-α-α-=150°-2α (2)如图2：连接OB、OC、OD 由（1）可得：△OBC等边三角形，∠BOD= ∵OB=2， ∴OD=OB∙cos= ∵B为的中点， ∴∠AOB=∠BOC=60° ∴∠AOD=90° 根据勾股定理得：AD= （3）①如图3.圆O与圆D相内切时： 连接OB、OC，过O点作OF⊥AE ∵BC是直径，D是BC的中点 ∴以BC为直径的圆的圆心为D点 由（2）可得：OD=，圆D的半径为1 ∴AD= 设AF=x 在Rt△AFO和Rt△DOF中， 即 解得： ∴AE= ②如图4.圆O与圆D相外切时： 连接OB、OC，过O点作OF⊥AE ∵BC是直径，D是BC的中点 ∴以BC为直径的圆的圆心为D点 由（2）可得：OD=，圆D的半径为1 ∴AD= 在Rt△AFO和Rt△DOF中， 即 解得： ∴AE= 【点睛】 本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $