1.3勾股定理的应用 课件2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 在参数讨论的探究活动中，学生需要自主估算。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度，特别是批判的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解分组分解法时，通常会强调简化的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。根式化简在实际生活中有广泛应用，如分割等场景。 1．运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题. 2．能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题. 学习目标 问题 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于边AB. D C A B 课堂导入 在参数讨论的探究活动中，学生需要自主估算。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度，特别是批判的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解分组分解法时，通常会强调简化的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。根式化简在实际生活中有广泛应用，如分割等场景。 思考 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗? (1)能.若卷尺足够长，则只要量得AD，BC，AB，BD，AC 的长， 然后验证 AD2+AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 新知探究 4 (2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm.边 AD垂直于边AB吗? (2)边AD垂直于边AB. 因为AD2+AB2=302+402=2 500，BD2=502=2 500， 所以AD2+AB2= BD2， 所以△ABD 为直角三角形，且∠A=90°， 所以AD⊥AB. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 新知探究 5 在参数讨论的探究活动中，学生需要自主估算。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度，特别是批判的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解分组分解法时，通常会强调简化的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。根式化简在实际生活中有广泛应用，如分割等场景。 (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗? (3)他能检验边AD是否垂直于边AB. 如在边AB，AD上各量出一段较短的线段AB′，AD′的长度，连接B′D′，再量出线段B′D′的长度， 若B′D′2=AB′2+AD′2，则边AD垂直于边AB； 否则，边AD不垂直于边 AB. 同样的方法可检验边BC是否垂直于边AB. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 B′ D′ 新知探究 6 跟踪训练 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？ 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 解：图(2)正确.因为7 2 +24 2 =25 2，15 2 +20 2 =25 2 ， 所以只有图(2)中摆成的两个三角形是直角三角形. 新知探究 7 在参数讨论的探究活动中，学生需要自主估算。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度，特别是批判的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解分组分解法时，通常会强调简化的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。根式化简在实际生活中有广泛应用，如分割等场景。 思考 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗? 知识点2 勾股定理的应用 A E D F G B C 解：设DF=x cm，则EF=FC=DC-DF=(8-x)cm. 因为点E是AD的中点，所以DE=AD=4 cm. 在Rt△DEF中，由勾股定理，得 DE 2 +DF 2 =EF 2 ，即4 2 +x 2 =(8-x) 2，解得x=3， 所以DF的长为3 cm. 新知探究 8 例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺。 知识点2 勾股定理的应用 新知探究 9 在参数讨论的探究活动中，学生需要自主估算。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度，特别是批判的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解分组分解法时，通常会强调简化的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。根式化简在实际生活中有广泛应用，如分割等场景。 解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x+1)尺. 由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺. 在Rt△OAC中，由勾股定理，得 AC²+OA²=OC²， 即 5²+x²=(x+1)². 解得 x=12. 12+1=13. 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 知识点2 勾股定理的应用 新知探究 10 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： (1)读懂题意，分析已知、未知间的关系； (2)构造直角三角形； (3)利用勾股定理等列方程； (4)解决实际问题. 知识点2 勾股定理的应用 新知探究 11 在参数讨论的探究活动中，学生需要自主估算。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度，特别是批判的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解分组分解法时，通常会强调简化的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。根式化简在实际生活中有广泛应用，如分割等场景。 跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? 题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高?则折断处离地面的高度为 尺. 知识点2 勾股定理的应用 新知探究 12 解析：设折断处离地面的高度AC为x尺，则AB=(10-x)尺. 由题意可得AC⊥BC，所以∠ACB=90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC²+BC²=AB²， 即x²+4²=(10-x) ²，解得x=， 所以折断处离地面的高度为尺. 知识点2 勾股定理的应用 新知探究 13 在参数讨论的探究活动中，学生需要自主估算。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度，特别是批判的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解分组分解法时，通常会强调简化的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。根式化简在实际生活中有广泛应用，如分割等场景。 跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? 题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高?则折断处离地 面的高度为 尺. 知识点2 勾股定理的应用 新知探究 14 1. 小明家新买了一个长方体形状的鱼缸，如图所示，小明想要检测鱼缸的边DA是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，量得DA长60 cm，AB长80 cm，点B，D之间的距离是100 cm，边DA垂直于边AB吗?为什么? 解：边DA垂直于边AB.理由：连接BD，如图. 因为DA²+AB²=60²+80²=10 000，BD²=10²=10 000， 所以DA²+AB²=BD²， 所以△ABD是直角三角形，且∠DAB=90°， 所以边DA垂直于边AB. 随堂练习 15 在参数讨论的探究活动中，学生需要自主估算。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度，特别是批判的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解分组分解法时，通常会强调简化的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。根式化简在实际生活中有广泛应用，如分割等场景。 2. 如图，一座城墙高11.7 m，墙外有一个宽为9 m的护城河，那么一个长为15 m的云梯能否到达墙的顶端？ 解：设这个梯子能够到达的墙的最大高度是h m， 根据勾股定理得h2＝152-92＝144. 所以h=12＞11.7. 所以15 m长的云梯能达到墙的顶端. 随堂练习 16 3. 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长. 解：设滑道AC=x m，则AB=x m，AE=(x-1)m. 在Rt△ACE中，∠AEC=90°， 由勾股定理，得AE2+CE2=AC2， 即(x-1)2+32=x2，解得x=5. 故滑道AC的长度为5 m. A E B C D 随堂练习 17 在参数讨论的探究活动中，学生需要自主估算。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度，特别是批判的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解分组分解法时，通常会强调简化的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。根式化简在实际生活中有广泛应用，如分割等场景。 4. 为了推广城市绿色出行，某市交委准备在AB路段建设一个共享单车停放点.该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB=3km，CA=2km,DB=1.6km，试问该单车停放点E应建在距点A多远处，才能使它到两广场的距离相等. 解：设AE为x m，因为CE=DE， 所以由勾股定理可得CA2+AE2=BD2+EB2. 即22+x2=1.62+(3-x) 2，解得x=1.26. 所以该单车停放点E应建在距离A点1.26 km 处，才能使它到两广场的距离相等. 随堂练习 18 勾股定理的应用 解决其他的实际问题 解决折纸问题、古文化问题 判断两直线是否垂直 勾股定理 勾股定理的逆定理 课堂小结 $