第2章 代数式 单元测试-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（湘教版2024）

第2章 代数式 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列表示：a的平方加上b的2倍正确的是（    ） A． B． C． D． 2．多项式的次数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若单项式与是同类项，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知，则代数式的值为（   ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 6．某服装店新开张，第一天销售服装m件，第二天比第一天少8件，第三天的销量是第二天的2倍多3件，这三天的销量一共为（    ） A．件 B．件 C．件 D．件 7．若，，且，则的值是（   ） A．2 B．8 C．或 D．2或8 8．当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 9．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 10．如下图，每个黑色圆片周围都摆有6个白色圆片．10个黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，照这样摆下去，个黑色圆片周围一共摆有白色圆片的个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．请写出单项式的一个同类项： ． 12．单项式的次数是 ． 13．定义一种新的运算：，若，则 ． 14．已知某船顺水航行用了2小时，逆水航行用了3小时，轮船在静水中的速度是m千米/时，水流的速度是a千米/时，则轮船共航行了 千米．（填化简后的结果） 15．若多项式与的差不含项，则 ． 16.对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，， 给出下列说法： ①为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有5种不同的结果． 以上说法中正确的有 个． 三、解答题：本题共9小题，共72分． 17．计算： (1) (2) 18．先化简，再求值，其中，． 19．已知有理数满足，且，求的值． 20．小明同学准备完成题目：“化简：”，发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成3，请你帮助小明化简：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几． 21．将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，求没有覆盖的阴影部分的周长． 22．我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则． “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，请尝试： (1)合并同类项：____________； 把看成一个整体，合并的结果是____________； (2)已知，先化简再求值：． 23．探索规律： 观察下面的等式： 第 1 个等式： 第 2 个等式： 第 3 个等式： 第 4 个等式： … (1)请写出第 n 个等式：______； (2)利用（1）中的等式，计算：； (3)计算：； (4)计算：． 24．某商店出售网球和网球拍，网球拍每只定价80元，网球每个定价4元，商家为促销商品，同时向客户提供两种优惠方案：①买一只网球拍送3个网球；②网球拍和网球都按定价的9折优惠。现在某客户要到该商店购买球拍20只，网球x个． (1)若，该客户按优惠方案①购买需付款多少元？（用含x的式子表示） (2)若，该客户按优惠方案②购买需付款多少元？（用含x的式子表示） (3)若时，通过计算说明，此时按哪种优惠方案购买较为合算？ (4)当时，你能结合两种优惠方案给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出所需的钱数． 25．【知识回顾】观察下列各式： ； ； ； 【理解应用】 根据你发现的规律解答下列各题： （1）根据以上规律可知，_____； （2）你能否由此归纳出一般性规律：_____； （3）若是正整数，且，请化简：_____ 【能力提升】 （4）计算： 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 代数式 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列表示：a的平方加上b的2倍正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握列代数式的方法是解题关键． 根据平方、倍、和运算列出代数式即可得． 【详解】解：的平方加上的2倍可表示为， 故选：B． 2．多项式的次数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”，熟练掌握多项式的次数的定义是解题关键．根据多项式的次数的定义求解即可得． 【详解】解：∵的次数是3，的次数是1，的次数是0， ∴多项式的次数是3， 故选：B． 3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误． 故选：C 4．若单项式与是同类项，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数求值等，解题的关键是掌握同类项的定义． 根据同类项的定义得出的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， 故选：C． 5．已知，则代数式的值为（   ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 【答案】A 【分析】此题主要考查由已知代数式求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 首先将已知代数式转换形式，然后代入所求代数式，即可得解． 【详解】解：由已知，得 ∴ 故选：A． 6．某服装店新开张，第一天销售服装m件，第二天比第一天少8件，第三天的销量是第二天的2倍多3件，这三天的销量一共为（    ） A．件 B．件 C．件 D．件 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式及整式的加减运算，分别用代数式表示出第二天与第三天的销售量，即可求得三天销售量的和，从而完成解答． 【详解】解：由题意得：第二天的销售量为：件，第三天的销售量为：件， 则三天的总销售量为：件； 故选：B． 7．若，，且，则的值是（   ） A．2 B．8 C．或 D．2或8 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减法运算，代数式求值，正确求出的值是解题的关键． 先求出，根据得到，则或，再进行有理数减法计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故选：D． 8．当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键．将代入得到，整理得到，然后将代入变形得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵当时代数式的值为13， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ． 故选：A． 9．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式求值，根据数值转换机的要求需要两次输入才行．根据数值转换机列代数式，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得当时，，故继续输入， 当时，，故输出的值为8． 故选：C． 10．如下图，每个黑色圆片周围都摆有6个白色圆片．10个黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，照这样摆下去，个黑色圆片周围一共摆有白色圆片的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的规律探索，主要培养学生的观察能力和总结能力， 即每增加一个黑色圆片，白色圆片就会增加4个，由此可得：n个黑色圆片周围一共摆有白色圆片：，由此解答即可． 【详解】解：1个黑色的圆片周围有6个白色圆片； 2个黑色的圆片周围有10个白色圆片； 3个黑色的圆片周围有14个白色圆片； 4个黑色的圆片周围有18个白色圆片； …… 即每增加一个黑色圆片，白色圆片就会增加4个，由此可得：n个黑色圆片周围一共摆有白色圆片：， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．请写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12．单项式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 根据单项式的概念作答即可． 【详解】单项式的次数是， 故答案为：． 13．定义一种新的运算：，若，则 ． 【答案】2 【分析】该题考查了整式的加减法，代数式求值，根据新的运算法则化简，再将代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：2． 14．已知某船顺水航行用了2小时，逆水航行用了3小时，轮船在静水中的速度是m千米/时，水流的速度是a千米/时，则轮船共航行了 千米．（填化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，解题关键是准确列出式子． 用算式表示出顺水航行的路程加上逆水航行的路程，再化简即可． 【详解】解：∵船从A码头到B码头顺水航行用了2小时，从B码头到A码头逆水航行用了3小时，轮船在静水中的速度是m千米/时，水流的速度是a千米/时， ∴轮船共航行了(千米)， 故答案为：． 15．若多项式与的差不含项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，先求差，根据多项式与的差不含项可得出的系数为0，即可得出k的值． 【详解】解：由题意得： ， 由于多项式与的差不含项， 则 解得． 故答案为：． 16.对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，， 给出下列说法： ①为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有5种不同的结果． 以上说法中正确的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算等知识点，清晰的分类讨论是解本题的关键；令，，，，所有“双减操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“+”号，再分类计算，再根据结果进行判断即可. 【详解】解：令，，， 第1种：， 第2种：， 第3种：， 第4种：， 第5种：， 第6种：， 由上可知，所有的“双减操作”，x为整数时，其结果均能被2整除；故①说法正确； 不存在哪种“双减操作”，其结果为；故②说法错误； 所有的“双减操作”共有5种不同的结果；故③说法正确． 故答案为：2． 三、解答题：本题共9小题，共72分． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 18．先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减的化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，然后代入求值即可． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 19．已知有理数满足，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法法则，代数式求值，由绝对值的性质可得，，进而由有理数的加法法则可得或，再分别代入代数式计算即可求解，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ∴，， ， ∴或， 当时， 原式 ； 当时， 原式 ． 20．小明同学准备完成题目：“化简：”，发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成3，请你帮助小明化简：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几． 【答案】(1) (2)原题中“”是4 【分析】本题考查的是去括号，整式的加减运算，整式的加减运算中结果的值与字母无关，理解题意，熟悉去括号的法则是解题的关键， （1）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）设这个系数为m，再计算，由结果为常数可得项的系数为0从而可列式求出答案. 【详解】（1）解： ； （2）解：设这个系数为m， 则 ， ∵结果是常数， ， 解得：， ∴原题中“”是4． 21．将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，求没有覆盖的阴影部分的周长． 【答案】44 【分析】本题考查整式加减，设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图①中长方形的周长为36，求得，根据图②中长方形的周长为53，求得，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y， 则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为， 5号长方形的长为，宽为， 由图①中长方形的周长为36，可得，， 解得， 如图，图②中长方形的周长为53， ∴， ∴， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ． 22．我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则． “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，请尝试： (1)合并同类项：____________； 把看成一个整体，合并的结果是____________； (2)已知，先化简再求值：． 【答案】(1)； (2)7 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，整式的化简求值，熟知整式的相关计算法则是解题的关键． （1）利用合并同类项的计算法则求解即可；把看成一个整体，然后利用合并同类项的计算法则求解即可； （2）先对所求式子去括号，然后合并同类项化简，然后变形为，然后整体代入到化简结果中求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：∵， ∴ ． 23．探索规律： 观察下面的等式： 第 1 个等式： 第 2 个等式： 第 3 个等式： 第 4 个等式： … (1)请写出第 n 个等式：______； (2)利用（1）中的等式，计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及数字类变化规律探究，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）归纳总结得到第n个等式即可； （2）根据归纳的公式进行解答即可； （3）根据，利用得出的规律计算即可求出值． （4）原式变形为进行解答即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 依此类推， 第n个等式：； 故答案为：； （2）解： ； （3）∵， ∴ （4）解： ． 24．某商店出售网球和网球拍，网球拍每只定价80元，网球每个定价4元，商家为促销商品，同时向客户提供两种优惠方案：①买一只网球拍送3个网球；②网球拍和网球都按定价的9折优惠。现在某客户要到该商店购买球拍20只，网球x个． (1)若，该客户按优惠方案①购买需付款多少元？（用含x的式子表示） (2)若，该客户按优惠方案②购买需付款多少元？（用含x的式子表示） (3)若时，通过计算说明，此时按哪种优惠方案购买较为合算？ (4)当时，你能结合两种优惠方案给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出所需的钱数． 【答案】(1) (2)元 (3)方案①划算，见解析 (4)先按方案①购买20只球拍，获赠60个网球，再按照方案二购买40个网球，所需钱数为：1744元 【分析】本题考查了列代数式及有理数的实际应用（费用比较与方案优化），解题的关键是根据两种优惠方案的规则，区分“买球拍送网球”的数量限制与“整体9折”的计算方式，准确列出不同情况下的付款表达式并进行计算． （1）方案①：买20只球拍送个网球，需额外买个网球，付款球拍总价额外网球总价； （2）方案②：所有商品打9折，付款（球拍总价+网球总价）； （3）时，分别代入两方案表达式算费用，比较大小； （4）结合两方案：用方案①买球拍得赠球，剩余网球用方案②买，计算组合费用． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：根据题意得：． （3）解：当时，方案①：（元）； 方案②：（元）， ∵， ∴方案①划算，则选择方案①． （4）解：先按方案①购买20只球拍，获赠60个网球，再按照方案二购买40个网球，（元）， 则所需钱数为1744元． 25．【知识回顾】观察下列各式： ； ； ； 【理解应用】 根据你发现的规律解答下列各题： （1）根据以上规律可知，_____； （2）你能否由此归纳出一般性规律：_____； （3）若是正整数，且，请化简：_____ 【能力提升】 （4）计算： 【答案】（1）（2）；（3）（4） 【分析】（1）根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可． （2）根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可． （3）根据，化简解答即可． 【能力提升】（4）根据题意，得，结合规律解答即可． 本题考查了规律的探索，公式的应用，熟练掌握规律，并运用规律解题是解题的关键． 【详解】（1）解：根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可， 故， 故答案为：． （2）解：根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可， 故， 故答案为：． （3）解：根据题意，得， 故 故答案为：． （4）解：根据题意，得， 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $