第二十二章 二次函数 单元提优卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章二次函数单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是关于的二次函数，那么的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 2.抛物线上有两点，，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 3.已知二次函数，下列说法正确的是  (    ) A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 【答案】D  【解析】略 4.将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 5.如图，点是抛物线与轴的交点，轴交抛物线另一点于，点为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点作于点，根据等边三角形的性质得出，，，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ，，． 当时，， ， ， ． 故选：． 6.如图，已知抛物线顶点在轴上，抛物线与直线相交于，两点，点在轴上，点的横坐标为，那么抛物线顶点的坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 7.某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角两边足够长，用米长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设米若在点处有一棵树与墙，的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园面积的最大值为(    ) A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】C  【解析】略 8.二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如表： 有下列四个结论：抛物线的对称轴是直线和是方程的两个根：若，则其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：易求，，，，正确 抛物线对称轴为直线，错误 由对称性得的解为或，正确 由对称性得抛物线经过点，当时，随增大而减小，时，，即时，，正确． 故选B． 9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，若是轴上一动点，点的坐标为，连接，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 10.我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：；；；若的取值范围是，则直线与的图象有个公共点，则正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可． 【详解】解：由图象可知，或，故错误． 由可知，当时，，；当时，，， ，故正确． 抛物线经过两点， 抛物线的对称轴为直线， 故正确． 根据的取值范围是，得， 由直线得直线与轴的交点坐标为， 故交点在的左侧， 由直线得直线与轴的交点坐标为，且， 故交点在正半轴上，大致如下： 故与的图象有个公共点， 故正确． 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知点，都在抛物线上，则的值为          ． 【答案】  【解析】略 12.用配方法将二次函数写成的形式是          ． 【答案】  【解析】略 13.如图，若抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是          ． 【答案】  【解析】略 14.若抛物线与轴的两个交点都在轴正半轴上，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】略 15.一座拱桥的轮廓是抛物线形如图所示，桥高为米，拱高米，跨度米相邻两支柱间的距离均为米，则支柱的高度为          米 【答案】  【解析】略 16.将二次函数为常数的图像沿轴翻折，若翻折后的图像将轴截出长为的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为          ． 【答案】  【解析】略 17.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，其顶点为，若与的面积比为，则的值为          ． 【答案】  【解析】略 18.如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点，和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线于点，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】  【解析】【分析】 本题主考查二次函数的图象的平移变换及待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据点与点的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出解析式，再求出点的坐标，过点作轴于点，由题意可知阴影部分的面积等于矩形的面积，然后求解即可． 【解答】 解：过点作轴于点，设交轴于点，则四边形为矩形，  抛物线平移后经过原点和点， 平移后的抛物线对称轴为． 平移后的二次函数解析式为：， 将代入得出：，解得：， 抛物线解析式为． 点的坐标是 ，． 由题意知，阴影部分的面积等于矩形的面积， 阴影部分的面积． 故答案为． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知抛物线上一点． 求的值； 求抛物线与轴的交点坐标； 画出这条抛物线的大致图象草图，并根据图象回答： 当取什么值时，？ 当取什么值时，的值随的增大而减小？ 【答案】(1)解：把（1，4）代入，得，解得；  (2)， . 由，解得，， ​​​​​​​抛物线与轴的交点坐标是，；  (3)画出这条抛物线的大致图象如图所示： 由图象可知： ①当时，； ②当时，的值随的增大而减小.  【解析】 略  略  略 20.本小题分 二次函数的图象如下，根据图象解答下列问题． 写出方程的两个根． 分别写出不等式的解和的解． 写出随的增大而减小时，自变量的取值范围． 写出方程的解． 【答案】(1)解：从题干图中可以看出抛物线与轴交于和两点，方程的两个根为，．  (2)从图中可以看出，当时，；  当或时，，不等式的解为，不等式的解为或．  (3)从图中看出对称轴为直线，当时，随的增大而减小．  (4)方程的解为．  【解析】 略  略  略  略 21.本小题分 如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门不包括建筑材料． 所围矩形猪舍的边为多少时，猪舍面积为？ 所围矩形猪舍的边为多少时为整数，猪舍面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)解：设AB＝x m．则AD＝27-2x+1＝(28-2x)m，∴x(28-2x)＝90，解得x1＝5，x2＝9．  当x＝5时，28-2x＝18＞13，不符合题意，舍去；  当x＝9时，28-2x＝10＜13，符合题意．  答：AB为9 m时，猪舍的面积为90 m2；  (2)设AB＝x m，所围矩形猪舍的面积为y m2．  y＝x(28-2x)＝-2x2+28x＝-2(x-7)2+98，∵0＜28-2x≤13，∴7.5≤x＜14．∵y＝-2(x-7)2+98，图象开口向下，∴在对称轴x＝7的右侧y随x增大而减小，∵AB为整数，即当x＝8时，y最大值＝96．  答：AB为8 m时，面积最大，最大面积是96 m2．  【解析】 略  略 22.本小题分 若抛物线的对称轴为直线，且该抛物线经过点． 求该抛物线对应的函数表达式． 当时，则函数值的取值范围为______． 若方程有实数根，则的取值范围为______． 【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴为直线， ，即， 抛物线经过点． ， 把代入得，解得， ， 抛物线解析式为； ， 时，有最小值， 当时，， 当时，则函数值的取值范围为； 当直线与抛物线有交点时，方程有实数根， ． 故答案为，． 先利用对称轴方程得，再把点代入抛物线解析式得到，然后求方程组求出、得到抛物线解析式为； 利用配方法得到，利用二次函数的性质得到时，有最小值，而当时，，从而得到当时，对应的函数值的取值范围； 利用直线与抛物线有交点时，方程有实数根，从而得到． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 23.本小题分 如图，抛物线与直线相交于点和点． 求和的值． 求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)解：将点A(2，0)代入y＝x2+mx，得0＝4+2m， 解得m＝-2． 将点A(2，0)代入y＝-x+b，得0＝-2+b， ​​​​​​​解得b＝2．  (2)由（1）得，直线和抛物线的解析式分别为y＝-x+2，y＝x2-2x， 联立 解得或 ∴点B的坐标为(-1，3)． ​​​​​​​由图象可知，不等式x2+mx＞-x+b的解集为x＜-1或x＞2．  (3)-1≤xM＜2或xM＝3．  【解析】 略  略  略 24.本小题分 如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点直线过抛物线的顶点． 求抛物线的函数表达式； 若直线与抛物线交于点，与直线交于点． 当取得最大值时，求的值和的最大值； 当是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)解：∵抛物线与x轴交于和两点， ∴抛物线的对称轴为直线. 在中，令，得，∴抛物线的顶点为. 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为.   (2)①在中，令，得，∴. 由，，得直线BC的函数表达式为， ∴，， ∴. ∵，∴当时，EF取最大值， ∴m的值为，EF的最大值为. ②∵，，， ∴，，. 若，则， 解得（点E与点C重合，舍去）或，∴； 若，则， 解得（舍去）或或（不符合题意，舍去）， ∴；若，则， 解得（舍去）或或（不符合题意，舍去），∴. 综上所述，点E的坐标为或或.   【解析】 略  略 25.本小题分 下面是嘉嘉同学错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期天 错题积累 探究抛物线为常数在的部分与直线的公共点． 思路：问题转化为抛物线与直线______的公共点； 在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线在的部分； 结合中图像，就的取值范围讨论两个图像公共点的个数． 任务一：根据上述思路完成错题订正； 任务二：若抛物线为常数在的部分与直线有两个公共点，仿照上述思路，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①c   ②解：如图①所示. ③解：当或时，抛物线（c为常数）在的部分与直线有1个公共点； 当时，抛物线（c为常数）在的部分与直线有2个公共点； 当或时，抛物线（c为常数）在的部分与直线没有公共点.   (2)解：问题转化为抛物线与直线的公共点. 画出图像如图②，可以发现，当时，抛物线（m为常数）在的部分与直线有两个公共点.   【解析】 略  略 26.本小题分 在平面直角坐标系中，已知抛物线． 当时，求抛物线与轴的交点坐标； 若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移个单位长度，得到新的二次函数的图象当时，求新的二次函数的的取值范围； 已知和是抛物线上的两点对于，，都有，求的取值范围． 【答案】；   ；   或  【解析】当时，， 当，， 抛物线与轴的交点坐标为； 由条件可得， 解得：或舍， 解析式为：， 则向上平移个单位长度后的函数解析式为：， 对称轴为直线：， ， 当时，， 当时，， 当时，， ， 当时，求新的二次函数的的取值范围：． 根据题意可得：， 在上恒成立， 转化为：在上恒成立， 当时，， 令， 当时，，， 要满足时，，则，如图： ； 当时，， 令， 当时，，， 要满足时，，则，如图： ， 综上所述：对于，，都有，则的取值范围为或． 先求出解析式，再令，即可求解； 先求出解析式为，则向上平移个单位长度后的函数解析式为：，然后求出对称轴，根据的取值范围可得的最值； 由题意得，在上恒成立，问题转化为：在上恒成立，再分类讨论，画图求解即可． 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 第2页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 二次函数单元提优卷 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是关于的二次函数，那么的值为(    ) A. B. C. D. 2.抛物线上有两点，，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.已知二次函数，下列说法正确的是  (    ) A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 4.将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是  (    ) A. B. C. D. 5.如图，点是抛物线与轴的交点，轴交抛物线另一点于，点为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知抛物线顶点在轴上，抛物线与直线相交于，两点，点在轴上，点的横坐标为，那么抛物线顶点的坐标是(    ) A. B. C. D. 7.某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角两边足够长，用米长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设米若在点处有一棵树与墙，的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园面积的最大值为(    ) A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 8.二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如表： 有下列四个结论：抛物线的对称轴是直线和是方程的两个根：若，则其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，若是轴上一动点，点的坐标为，连接，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 10.我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：；；；若的取值范围是，则直线与的图象有个公共点，则正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共30分。 11.已知点，都在抛物线上，则的值为          ． 12.用配方法将二次函数写成的形式是          ． 13.如图，若抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是          ． 14.若抛物线与轴的两个交点都在轴正半轴上，则的取值范围是          ． 15.一座拱桥的轮廓是抛物线形如图所示，桥高为米，拱高米，跨度米相邻两支柱间的距离均为米，则支柱的高度为          米 16.将二次函数为常数的图像沿轴翻折，若翻折后的图像将轴截出长为的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为          ． 17.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，其顶点为，若与的面积比为，则的值为          ． 18.如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点，和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线于点，则图中阴影部分的面积为__________． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分已知抛物线上一点． 求的值； 求抛物线与轴的交点坐标； 画出这条抛物线的大致图象草图，并根据图象回答： 当取什么值时，？ 当取什么值时，的值随的增大而减小？ 20.本小题分二次函数的图象如下，根据图象解答下列问题． 写出方程的两个根． 分别写出不等式的解和的解． 写出随的增大而减小时，自变量的取值范围． 写出方程的解． 21.本小题分如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门不包括建筑材料． 所围矩形猪舍的边为多少时，猪舍面积为？ 所围矩形猪舍的边为多少时为整数，猪舍面积最大，最大面积是多少？ 22.本小题分若抛物线的对称轴为直线，且该抛物线经过点． 求该抛物线对应的函数表达式． 当时，则函数值的取值范围为______． 若方程有实数根，则的取值范围为______． 23.本小题分如图，抛物线与直线相交于点和点． 求和的值． 求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 24.本小题分 如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点直线过抛物线的顶点． 求抛物线的函数表达式； 若直线与抛物线交于点，与直线交于点． 当取得最大值时，求的值和的最大值； 当是等腰三角形时，求点的坐标． 25.本小题分下面是嘉嘉同学错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期天 错题积累 探究抛物线为常数在的部分与直线的公共点． 思路：问题转化为抛物线与直线______的公共点； 在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线在的部分； 结合中图像，就的取值范围讨论两个图像公共点的个数． 任务一：根据上述思路完成错题订正； 任务二：若抛物线为常数在的部分与直线有两个公共点，仿照上述思路，直接写出的取值范围． 26.本小题分在平面直角坐标系中，已知抛物线． 当时，求抛物线与轴的交点坐标； 若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移个单位长度，得到新的二次函数的图象当时，求新的二次函数的的取值范围； 已知和是抛物线上的两点对于，，都有，求的取值范围． 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $