精品解析：2025年广东省韶关市九年级中考数学考前训练卷（四）（部分学校联考）

2025年韶关市九年级中考数学考前训练卷（四） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数中，最小的数是（　　） A. 2 B. 0 C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达到1222万人，数12220000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，（α＞β）AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（　　） A. α﹣β B. 2（α﹣β） C. α﹣2β D. （α﹣β） 5. 袋子中装有个红球和个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机地摸出1个球，则它是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 和0之间 C. 2和3之间 D. 和之间 8. 方程的解是（　　） A. B. C. D. 9. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 12. 若一个边形的外角和是它内角和的倍，则_______． 13. 在中，若∠A、∠B满足|cosA－|＋(sinB－)2＝0，则∠C＝____． 14. 一组数据：1，7，7，3，5，3的中位数________． 15. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，BD＝，BC＝3，则的最小值为_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，长方形中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①在边上取一点，使； ②在上作一点，使点到点和点的距离相等； （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了迎接体育中考，某校对600名毕业班学生进行了一次体能摸底测试（满分30分），并随机抽取部分学生的测试成绩（单位：分），制成如下图所示的频数分布直方图，已知成绩在15.5~18.5这一组的频率为0.05．请回答下列问题： （1）在这个调查中，样本容量为______，学生体育测试的平均成绩是______（提示：取各组的组中值进行计算）； （2）补全成绩在21.5~24.5这组的频数分布直方图； （3）学校准备从测试成绩在27.5~30.5这一组同学中，选2名同学当体育集训的督导员，但只有5名同学自愿报名，且5名同学中男生比女生多1名，若学校采取随机抽签的方式确定两名同学，求选中的同学恰好是一男一女的概率． 20. 自2022年新课程标准颁布以来，南阳油田教育中心高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，教育中心计划购买A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台． （1）求A，B型设备的单价分别是多少元； （2）教育中心计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买台A型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案． 21. 如图，直线，与反比例函数的图象交于点A与点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求不等式的解集 五、解答题（三）：本大题共2小题， 第22小题13分，第23小题14分，共21分． 22. 已知中，点和点是平面内两点，连接，和，． （1）如图1，若，，，求的长度； （2）如图2，连接和，点为中点，点为中点，连接和，若，求证：； （3）若，，当取得最小值，且取得最大值时，直接写出的面积． 23. 已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标． （3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年韶关市九年级中考数学考前训练卷（四） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数中，最小的数是（　　） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，根据实数的大小比较可直接进行求解． 【详解】解：∵； ∴最小的数是； 故选C． 2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握轴对称图形，中心对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意； C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项符合题意； D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达到1222万人，数12220000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：数12220000用科学记数法表示为， 故选：A 4. 如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，（α＞β）AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（　　） A. α﹣β B. 2（α﹣β） C. α﹣2β D. （α﹣β） 【答案】D 【解析】 【分析】先将∠BAC用α和β表示出来,再算出∠EAC,在直角三角形中利用两锐角互余的性质解出∠DAE即可. 【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠EAC＝∠BAC＝90°﹣（α+β）， 在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣β， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣β﹣90°+（α+β）＝（α﹣β）， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形中的角度计算,关键在于正确利用角平分线和直角三角形两锐角互余的性质. 5. 袋子中装有个红球和个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机地摸出1个球，则它是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式直接进行计算即可求解． 【详解】解：∵袋子中装有个红球和个黑球，共个球， ∴从袋子中随机地摸出1个球，则它是红球的概率为， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键． 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方以及合并同类项．根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；根据幂的乘方法则对B进行判断；根据合并同类项对C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 7. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 和0之间 C. 2和3之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】先估算的取值范围，利用不等式的性质，再估算的取值范围，判断即可 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练运用夹逼法估算无理数的整数范围是解题的关键． 8. 方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两边都乘以，化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】， 两边都乘以，得 ， 整理，得 ， ∴． 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选A． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 9. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，牢记“当，双曲线的两支分别位于第二、四象限，且同一象限内y随x的增大而增大”是解题的关键． 根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：， ， 图象在二、四象限，且同一象限内y随x的增大而增大， ， ∴，， ∴． 故选：B． 10. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 12. 若一个边形的外角和是它内角和的倍，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和的综合应用．解题的关键是掌握多边形的内角和为，外角和为． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：5． 13. 在中，若∠A、∠B满足|cosA－|＋(sinB－)2＝0，则∠C＝____． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性与偶次幂即可cosA =，sinB=，利用特殊角的三角函数可得∠A=60°，∠B=45°，从而即可得解． 【详解】解：∵|cosA－|＋(sinB－)2＝0， ∴cosA =，sinB= ∴∠A=60°，∠B=30° ∴∠C＝180°-60°-30°=90°， 故答案为90°． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性与偶次幂、特殊角的三角函数以及三角形的内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 14. 一组数据：1，7，7，3，5，3的中位数________． 【答案】4 【解析】 【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】将这组数据从小到大重新排列为1，3，3，5，7，7 ∴这组数据的中位数为， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 15. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，BD＝，BC＝3，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点D作于点F．作于点B，于点C，CH和BH交于点H，取BH中点G，连接AG、CG．由所作辅助线可知为等腰直角三角形，即可求出．由，即可推出．根据，即推出，由此易证，得出，故可设，则．由直角三角形斜边中线的性质可知．在中，利用勾股定理可求出，最后根据在中利用三角形三边关系，可推出，代入数据即得出答案． 【详解】如图，过点A作于点E，过点D作于点F．作于点B，于点C，CH和BH交于点H，取BH中点G，连接AG、CG． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵G为BH中点，， ∴． ∴在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形三边关系．作出辅助线是解题的关键，本题较难． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，化简绝对值，负整数指数幂，先化简绝对值、特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握同分母分式的加减运算法则是解题的关键． 根据同分母分式的减法法则计算即可化简，再把代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，长方形中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①在边上取一点，使； ②在上作一点，使点到点和点的距离相等； （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的面积． 【答案】（1） ①如下图： ②如下图： （2） 【解析】 【分析】本题考查线段的尺规作图，垂直平分线的尺规作图，勾股定理的应用，解题的关键是掌握线段的尺规作图，垂直平分线的尺规作图，勾股定理的应用． （1）①以点为圆心，长为半径画弧，交于即为点；②连接，作线段的垂直平分线，交于点，即为所求； （2）由作图可得，，根据勾股定理，求出，根据，求出；再根据垂直平分线的性质，可得，设，根据勾股定理，求出，再根据，即可． 【小问1详解】 解：①以点为圆心，长为半径画弧，交于，即为点； ②连接，作线段的垂直平分线，交于点，即为所求； 【小问2详解】 解：连接， 由作图可得，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了迎接体育中考，某校对600名毕业班学生进行了一次体能摸底测试（满分30分），并随机抽取部分学生的测试成绩（单位：分），制成如下图所示的频数分布直方图，已知成绩在15.5~18.5这一组的频率为0.05．请回答下列问题： （1）在这个调查中，样本容量为______，学生体育测试的平均成绩是______（提示：取各组的组中值进行计算）； （2）补全成绩在21.5~24.5这组的频数分布直方图； （3）学校准备从测试成绩在27.5~30.5这一组同学中，选2名同学当体育集训的督导员，但只有5名同学自愿报名，且5名同学中男生比女生多1名，若学校采取随机抽签的方式确定两名同学，求选中的同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）60，24.3； （2）补全频数分布直方图如下 （3）0.6 【解析】 【分析】（1）用第一组人数÷第一组的频率，即可求得样本容量，根据平均数的定义，即可求解； （2）先求出成绩在21.5~24.5这组的频数，进而补全统计图，即可； （3）画出树状图，展示所有等可能的结果，再利用概率公式，即可求解． 【详解】解：（1）样本容量：3÷0.05＝60； ∴21.5～24.5组别人数＝60−3−6−10−14＝27（人）， ， 平均成绩＝1458÷60＝24.3， 故答案为：60，24.3； （2）略 （3）∵5名同学中男生比女生多1名， ∴男生3名，女生2名， 画树状图如下： ∵一共有20种等可能的结果，选中的同学恰好是一男一女有12种， ∴P(选中的同学恰好是一男一女)=12÷20=0.6． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力及概率；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，画出树状图，再求概率，是解题的关键． 20. 自2022年新课程标准颁布以来，南阳油田教育中心高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，教育中心计划购买A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台． （1）求A，B型设备的单价分别是多少元； （2）教育中心计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买台A型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案． 【答案】（1）A，B型设备单价分别是，元 （2），当购买台A型设备，则购买B型设备台时，购买费用最低 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． （1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解； （2）设购买台型设备，购买型设备台根据题意建立一元一次不等式，求得最小整数解；根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用． 【小问1详解】 解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元， 根据题意得：， 解得，经检验是原方程的解， 型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是，元． 【小问2详解】 设购买台型设备， 购买型设备台，依题意， ． 解得， 的最小整数解为， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，此时． 答：当购买台型设备，则购买型设备37台时，购买费用最低 21. 如图，直线，与反比例函数的图象交于点A与点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求不等式的解集 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．． （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得m值，进而利用待定系数法求解即可； （2）先联立两函数解析式，求出点A的坐标，再根据图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分点的横坐标的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：，在一次函数的图象上， ∴ ， ， 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或 ∴ 观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象上方， ∴不等式的解集是或． 五、解答题（三）：本大题共2小题， 第22小题13分，第23小题14分，共21分． 22. 已知中，点和点是平面内两点，连接，和，． （1）如图1，若，，，求的长度； （2）如图2，连接和，点为中点，点为中点，连接和，若，求证：； （3）若，，当取得最小值，且取得最大值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，取的中点，连接， 又∵是，， ∴， ∵ ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴即 又∵ 即， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，证明即可求解； （2）取的中点，连接，根据中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再证明，得出，进而即可得证； （3）将绕点顺时针转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 根据，当四点共线时，最小，进而确定的位置，根据点在为圆心，为半径的圆上运动，由点到圆上的距离关系，得出当取得最大值时，在的延长线上，连接，过点作于点，进而解直角三角形，求得的长，根据三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作交于点， ∵中， ∴，， ∵，， ∴，． 又∵， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵中，， ∴是等边三角形， 如图所示，将绕点顺时针转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，， 则是等边三角形， 是等边三角形， ∵ 取的中点，则， ∵是的中点，，， ∴ ∴当四点共线时，最小 此时如图所示， ∴ ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴是直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则，， 在中， ∵是等边三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， 取的中点，连接， ∵ ∴点在为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∴当取得最大值时，在的延长线上， 连接，过点作于点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，加权费马点问题，点与圆的位置关系，直径所对的圆周角是直角；熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标． （3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，点的坐标为 （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法解答便可； （2）设点的坐标为，过点作轴，与交于点，用表示的坐标，进而根据三角形的面积公式表示的面积，最后根据二次函数求最值的方法求得结果； （3）分三种情况：当时；当时；当时．分别列出关于的纵坐标方程进行解答． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点、， 设抛物线的解析式为：， 把代入中，得 ， ， 抛物线的解析式为：， 即； 【小问2详解】 解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1， 设直线的解析式为，则 ， 解得， 直线的解析式为：， ， ， ∵， ， ∵， 当时，的最大值为， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线， ∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为， 的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 把代入中，得， 点的坐标为， 设的坐标为； ①当时，则， 即， 解得，， ． ②当时，则， 即， 解得，， 点的坐标为或； ③当时，则， 即， 解得，， 点的坐标为或． 综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，二次函数图象的平移，二次函数的最值的求法，等腰三角形的定义，两点距离公式，分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $