第3章勾股定理 复习课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了勾股定理及其逆定理的核心知识，通过知识框架图从“正”“逆”两个方向串联定理的发现、证明、应用等内容，建立直角三角形边的数量关系与空间形式的联系，帮助学生构建完整的知识体系。 其亮点在于采用“知识点回顾-问题研讨-拓展提高”分层复习策略，如蚂蚁爬圆柱展开侧面体现几何直观培养数学眼光，旗杆高度问题转化为直角三角形运用推理意识发展数学思维，购物车问题建模强化模型意识提升数学语言表达。这种设计兼顾基础与拓展，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习指导。

执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 第3章 勾股定理复习 学习目标 1、会用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理 判定直角三形。 2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的 “转化”的思想。 学习重点： 勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用。 学习难点： 勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用。 二、知识梳理： 1、知识网络： 直角三角形三边之间有特殊的数量关系，通过对图形面积的探究，发现并证明了勾股定理及其逆定理，从“正”和“逆”两个方向对直角三角形二边之间的关系进行了刻画。勾股定理及其逆定理在数与形之间建立了联系。 二、回顾与整理： 知识点1：勾股定理的发现 2、如图，数轴是点C表示的数为 。 1、如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°，若a+b=14 cm, c=12 cm，则△ABC的面积是 (　 　) A.13 cm2 B.26 cm2 C.48 cm2 D.52 cm2 　[解析] ∵∠C=90°,c=12 cm，∴a2+b2=c2=122=144, ∵a+b=14 cm且(a+b)2=a2+b2+2ab, ∴142=144+2ab, ∴ab=26, A 3.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,BD是△ABC的高, 求BD的长. 解:过点A作AE⊥BC于点E, 则∠AEB=90°. 又∵AB=AC=13,,BC=10, 1、勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即如图，直角三角)的两条直角边a，b与斜边c之间满足： 我国古代学者把直角三角形较短的直角边 称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”。 知识回顾： 勾股定理只适用于直角三角形。 2、直角三角形斜边上的高与其三边长度之间的关系。 如图，直角三角形的三边长为a，b，c（c为斜边）斜边的高h为 直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积 除以斜边的长。 知识点2：勾股定理的证明 、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”, 后人称其为“赵爽弦图”.下图是由弦图变化得到的,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的,记图中正方形ABCD,正方形EFCH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3、若S1+S2+S3=12,则下列关于S1,S2,S3的说法正确的是（ ） A.S1=2 B.S2=3 C.S3=6 D.S1+S3=8 D 2、勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了李明灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形按如图摆放时,可以利用“面积法”来验证勾股定理,请写出推导过程. 解: 如图, 连接DB,过点D作DF⊥BC 交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a . 勾股定理的证明有很多方法,其中结合图形的切割、拼接,通过面积相等证明是最常见的一种方法。 感悟数形结合思想. 2、勾股定理的证明方法： 1、认识赵爽的“弦图” 知识回顾： 通过拼图，数形结合思想，把整个拼图的面积有两种 不同的表示方法，建立等式，再经过化简，得出结论， 从而验证了勾股定理。 知识点3：勾股定理的逆定理  1、在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c, 则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是(　 　) A.a2=1,b2=2,c2=3 B.a∶b∶c=3∶4∶5 C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.∠A+∠B=∠C C 2、如图 ,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发,沿射线BC以2 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s,当t=　　　　时,△ABP为直角三角形. 知识回顾： （1）内容：如果三角形的三边长分别为a，b，c， 且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 （2）证明方法：先作一个直角三角形，使它的两条直角边与已知三角形的两条较短的边分别相等，由勾股定理计算出所作直角三角形的三边关系，结合已知条件，得到最长边（斜边）相等，最后根据“SSS”，得到两个三角形全等，从而得到已知三角形的一个角为直角，说明这个三角形是直角三角形。 （3）作用：由数到形，它也是证明直角三角形的一种方法。 （1）概念：如果三个正整数a，b，c满足关系a2+b2=c2， 则称a，b，c为勾股数。     （2）常见的勾股数： 3,4,5,；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9，40,41，…。 （3）口诀：奇数平方写连续，偶数半方加减一。 、勾股定理的逆定理： 2、勾股数： 知识点4：勾股定理的简单应用 1、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm， 按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF， 那么DE= . 解:设DE为x， 因为DE是由BE翻折过来的 所以DE=BE=x.那么AE=10-x， 在Rt△ABD中: AD²+AE2=DE2 所以:42+(10-x)2=x2 解得 x=5.8 cm x x 10-x 4 5.8 2.小强是一名优秀的国旗护卫队队员，他想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗? 1 5 x x+1 解:设学校旗杆的高为xm， 绳子长（x+1）m. 由勾股定理，得 52+x2=（x+1）2 解得 x=12m 知识点4：勾股定理的简单应用 （1）实际生活中的应用： 实际问题--（转化）-数学问题--（转化）--直角三角形。   （2）数学领域中的应用： 数学几何图形---直角三角形（建模）---计算直角三角形 的边或角的特征。 、勾股定理的应用： 2、勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）构造直角三角形 （2）确定待求量 （3）利用勾股定理 例1、为了抗早保收，某市准备开采地下水，经探测，C处地下 有水，为此C处需要爆破，已知C处与公路上的停靠站A的距离 为300m，与公路上的另一停靠站B的距离为 400m,AB 的距离为 500m，如图所示，为了安全，爆破点 C周围250m 的范围内禁止进入，在进行爆破时，公路AB段某部分是否有危险而需要 暂时封锁? 三、问题研讨： 例2、(1)如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6， AD=CD，求AD的长； (2)边长分别为a和b的两个正方形按图2的样式摆放， 如果阴影部分的面积为20，a+b=10，求ab的值. 例3、如图所示,在一棵树的10 m高处(点D处)有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘点A处,另一只猴子爬到树顶(点C)后沿CA直接跃向池塘点A处,如果两只猴子所经过的路程相等,那么这棵树有多高? 解:设CD=x m.已知BD=10 m, AB=20 m. 则BC=(10+x)m. 根据题意,得AB+BD=CD+AC, 20+10=x+AC,∴AC=(30-x)m, 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AC2=AB2+BC2, 即(30-x)2=202+(10+x)2, 解得x=5.故BC=BD+CD=10+5=15(m).答:这棵树高15 m. 例4.如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向240 km的O处, 以每小时30 km的速度沿南偏东60°的OB方向移动,距台风 中心150 km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否会受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城会受到台风的影响,则A城受台风影响的时间有多长? (2)如图,设AR=AT=150 km, 则RH2=AR2-AH2=1502-1202=8100. ∴ RH=90km, 同理 HT=90 km. ∴RT=RH+HT=180 km.∴A城受台风影响的时间为180÷30=6(h). 解:(1)A城会受到这次台风的影响. 理由:如图,过点A作AH⊥OB于点H.在Rt△AOH中,∵∠AHO=90°, OA=240km,∠AOH=30°, ∴AH= OA=120 km.∵ 120<150,∴A城会受到这次台风的影响. 例5、如图,圆柱形容器高9 cm,底面圆的周长为24 cm,在杯口点B处有一滴蜂蜜,此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的点A处.(1)求蚂蚁从点A到点B处吃到蜂蜜所走的最短路程;(2)若蚂蚁刚出发时发现点B处的蜂蜜正以每秒1.75厘米，沿杯内壁下滑,4 s后掉到点C处,此时蚂蚁正好吃到了蜂蜜.求蚂蚁的平均速度至少是多少. 解:(1)将圆柱的侧面展开,如图所示. ∵ 圆柱形容器高9 cm, 底面圆的周长为24 cm,∴BD=9 cm,AD=12 cm.∴AB2=AD2+BD2=122+92=225.∴AB=15 cm.答:蚂蚁从点A到点B处吃到蜂蜜 所走的最短路程是15 cm. (2)如图所示,延长CB至点C', 使BC'=BC,连接AC', 则蚂蚁所走的 最短路程即为AC'的长. 由题意知BC'=BC= 1.75 ×4=7(cm). 例6、图1是超市购物车，图2为超市购物车侧面示意图， 得∠ACB=90°，支架AC=4.8dm，CB=3.6dm. (1)两轮中心AB之间的距离为 dm； (2)若OF的长度为 dm，支点F到底部DO的距离为5dm， 试求∠FOD的度数。 1、如图①，在凸四边形中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC. (1)如图②，若连接AC，则△ADC的形状是 三角形。 你是根据哪个判定定理? (2)如图③，若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE， 并连接AE，请问:BD与AE相等吗?若相等，请加以证明； 若不相等，请说明理由， (3)在第(2)题的前提下，请你说明 BD2=AB2+BC2成立的理由. 四、拓展提高： 2、在△ABC中，AD⊥BC，AB=15，AD=12， AC=13， 求△ABC的面积。 1、在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，分别以它的三边 为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为（　　） A、24　 B、　　 　C、 D、 五、强化训练： 2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3， 则最大正方形E的面积是（     ） A.13  B.26  C.47  D.94 3、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图（a）是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理，图（b）是由图（a）放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为 （　　） A、90　　　B、100　　　C、110　  　D、121 4、如图，为一个矩形场地，AB=3.6米，AD=3米，如图堆放 这一根长方体的木块，木块的棱EF与矩形场地的边AD平行， 且木块从正面看是边长为0.2米的正方形，蚂蚁从A到达C处需要走的最短路程是 . 5、在直线1上摆放着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3。正放置的四个正方形的面积 依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=         。 6、如图，∆ABC中，AB=5，AC=3，BC=7， 求∠BAC的度数和∆ABC的面积。 7、如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC。D是BC 的中点。E,F分别是AB,AC上的点。且DE⊥DF， 若BE=12,CF=5,求△DEF的面积。 8、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8, 在△ABE中,DE是AB边上的高,DE=12, S△ABE=60. (1)求BC的长; (2)求△ABC中AB边上的高.