3.3勾股定理的简单应用（2）课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 3.3勾股定理的简单应用（2） 学习目标 、了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知 两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由 “三角形边的关系得出三角形是直角三角形”。 2、掌握勾股定理及其逆定理，运用它们进行简单 的说理和计算。运用数形结合的思想，培养 学生“学数学、用数学”解决问题能力。 学习重点：运用勾股定理及其逆定理解决数学问题。 学习难点：应用勾股定理及其逆定理解决与直角三角形相关的数学问题。 一、情境创设： 如图，是3个相同的正方形拼成一个大长方形， 则∠1+∠2= ° 。 1 1 2 1 2 △ABC是等腰直角三角形 45 今天我们继续学习勾股定理的简单应用。 二、探索新知： 讨论：如图，在数轴上点B表示 ，点C表示 ， 你能在数轴上画出表示 的点吗? 试写出a99的值。 . E a99=OA99= a2=OA2= a3=OA3= a4=OA4= an=OAn= a1=OA1= 尝试解决问题： 问题：我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上, 高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何.” 题意是：如图所示,把枯木看成一个圆柱体,因一丈是十尺, 则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕圆柱 而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则葛藤的最短长度是 尺. 20尺 3尺 3尺 3尺 3尺 3尺 25尺 25 归纳： 求几何体表面上最短路线长的方法解这类题的关键 就是应用转化思想,即将立体问题转化为平面问题,把曲面转化为平面,把曲线转化为直线,将连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边,从而构造直角三角形,然后利用勾股定理求出最短路线长。 1.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯内壁，离杯上沿2cm与蜂蜜正相对的点A处,则蚂蚁从内壁A处到达内壁B处的最短距离为( ) A.13cm B. cm C. cm D.20cm 试一试： 解:如图:将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A'连接A'B，则A'B即为最短距离 D 2、如图所示,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于 他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少? ∵AP=A'P,∴AP+PB=A'P+PB=A'B 在Rt△A'DB中, A'D=4+4+7=15(km),BD =8 km, 由勾股定理,得 A'B2=152+82=289, ∴A'B=17 km, 即他要完成这件事情所走的 最短路程是17km. 解:如图所示,设南河岸为MN,作出 点A关于河岸MN的对称点A', 连接A'B交MN于点P,连接AP, 则AP+PB就是最短路线长， 例题精讲： 例1、证明：直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短已知，如图，点P在直线l外，PA⊥l， 垂足为A，Q为直线l上不同于点A 的任意一点, 求证：PA<PQ。 例2、如图，CD为RtAABC的斜边AB上的高，设CD=h, AD=m，DB=n.求证：h=mn 三、独立训练： 1、如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m处,发现此时绳子末端距离地面2 m,则旗杆的 高度为(滑轮上方的部分忽略不计) (　　) A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m 2、如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人 为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了 一条“路”,他们仅仅少走了（ ）步路 (假设2步为1 m),却踩伤了花草. A.3 B.4 C.5 D.6 3、如图，在一个半径为r,高为h的圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处， （1）甲、乙两人假设蚂蚁从A处爬向B处沿图1、图2 两种路径长分别为S1，S2，则S1= ，S2= ； （2）若h=80厘米，r=20厘米， 你认为蚂蚁怎么走最近? 4、如图，以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间 有什么关系？请说明理由. 解:以 AB,BC为直径的两个半圆的面积之和等于以AC为直径的半圆的面积. 理由如下，设以 BC,AB,AC 为直径的半圆面积分别为S1,S2,S3; 13 5、如图，有一个长为12m，宽4cm，高3cm的长方形铁盒， 在其内部放一根笔直的铁丝，则铁丝的最长长度是多少？ 在Rt△ABC中，根据勾股定理：BC²=AC²+AB²=160+32=169。∴BC=13cm。 解：铁丝的长度最长是这个 长方体的对角线BC。 ∵CD=12cm，AD=4cm，AB=3cm。 在Rt△ADC中，根据勾股定理：AC²=CD²+AD²=12²+4²=160。 所以铁丝的长度最长是13cm。 14 如图，在长方体A处的蚂蚁沿长方体外表面爬行， 想吃C1处的食物，怎样走最近? 四、拓展延伸 ∴小蚂蚁爬行的最短路线为5． 解：展开后有三种不同的情况如图. 如图1，AC12=(2+1)2+42=25，AC1=5. 如图2，AC12=(4+2)2+12=37， 如图3，AC12=(4+1)2+22=29， 五、总结反思： 2、求几何体表面上最短路线长的方法解这类题的关键 就是应用转化思想,即将立体问题转化为平面问题,把曲面转化为平面,把曲线转化为直线,将连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边,从而构造直角三角形,然后利用勾股定理求出最短路线长。 1、勾股定理的简单应用知识网络。 六、随堂检测 1、某无盖圆柱形杯子的展开图如图所示,将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有　　 cm. 2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，求AE、EC 的长. 3、已知正方形ABCD的边长为4，E为BC中点， F在CD上，且DF＝3CF，求证：AE⊥EF。 $